Закони арифметичних дій 5. Теоретичні основи законів та властивостей арифметичних дій

Підхід до складання цілих невід'ємних чисел дозволяє обґрунтувати відомі закони додавання: переміщувальний та поєднаний.

Доведемо спочатку перемісний закон, т. е. доведемо що будь-яких цілих неотрицательных чисел а і b виконується рівність a + b= b + а.

Нехай а - число елементів у множині А, Ь - число елементів у множині В і АВ=0. Тоді визначення суми цілих неотрицательных чисел а + b є число елементів об'єднання множин А і У: а + Ь = п (А//В). Але безліч А В дорівнює множині A відповідно до переміщувальної властивості об'єднання множин, і, Значить, п(АU В) = п(В U А). За визначенням суми п(ВіА) = Ь + а, тому a+b=b+a будь-яких цілих неотрицательных чисел а і Ь.

Доведемо тепер сполучний закон, т. е. доведемо що будь-яких цілих неотрицательных чисел а, Ь, з виконується рівність (a + b)+c = a + (b + c).

Нехай а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причому АUВ=0, ВUС=0 Тоді визначення суми двох чисел можна записати (а+ Ь)+ с = п(А/ /)В) + п(С) = п((АUВUС).

Оскільки об'єднання множин підпорядковується сполучному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Звідки за визначенням суми двох чисел маємо п (А J (BUC)) = n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Отже, (а + Ь) + с - a + (b + с) для будь-яких цілих невід'ємних чисел a, b і с.

Яке призначення сполучного закону складання? Він пояснює, як можна знаходити суму трьох доданків: для цього достатньо скласти перший доданок з другим і до отриманого числа додати третій доданок або додати перший доданок до суми другого і третього. Зауважимо, що поєднаний закон передбачає перестановки доданків.

І переміщувальний і сполучний закони складання можуть бути узагальнені на будь-яку кількість доданків. При цьому переміщувальний закон означатиме, що сума не змінюється при будь-якій перестановці доданків, а сумісний - що сума не змінюється при будь-якому угрупованні доданків (без зміни їх порядку).

З переміщувального і поєднувального законів складання випливає, що сума кількох доданків не зміниться, якщо їх переставити будь-яким способом і якщо будь-яку групу укласти в дужки.

Обчислимо, використовуючи закони складання, значення виразу 109+36+191+64+27.

На підставі переміщувального закону переставимо доданки 36 і 191. Тоді 109+36+191+64+27=109+191+36+64+27.

Скористаємося сполучним законом, згрупувавши доданки, а потім знайдемо суми в дужках: 109+191+36+64+27==(109+191)+(36+64)+27=300+100+27.

Застосуємо ще раз поєднувальний закон, уклавши в дужки суму чисел 300 і 100: 300 + 100 + 27 = (300 + 100) + 27.

Зробимо обчислення: (300 + 100) + 27 = 400 + 27 = 427.

З переміщувальним властивістю додавання учні початкових класів знайомляться щодо чисел першого десятка. Спочатку воно використовується при складанні таблиці додавання однозначних чисел, а потім для раціоналізації різних обчислень.

Сполучний закон складання у початковому курсі математики явно не вивчається, але постійно використовується. Так, він є основою прийому додавання числа за частками: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5. Крім того, у тих випадках, коли треба додати число до суми, суму до числа, суму до суми, сполучний закон використовується в поєднанні з переміщувальним. Наприклад, додавати суму 2+1 до 4 пропонується такими способами:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Проаналізуємо ці методи. У разі 1 обчислення виконано відповідно до зазначеного порядку дій. У разі 2 застосовано поєднану властивість додавання. Обчислення в останньому випадку спираються па переміщувальний і поєднувальний закони складання, причому проміжні перетворення опущені. Вони такі. Спочатку на підставі переміщувального закону переставили місцями доданки 1 та 2: 4+(2-1) = 4+(1+2). Потім скористалися сполучним законом: 4 + (1 +2) = (4 + 1) + 2. І, нарешті, здійснили обчислення згідно з порядком дій (4 +1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Правила віднімання числа з суми та суми з числа

Обґрунтуємо відомі правила віднімання числа із суми та суми з числа.

Правило віднімання числа із суми. Щоб відняти число із суми, достатньо відняти це число з одного із доданків суми і до отриманого результату додати інше доданок.

Запишемо це правило, використовуючи символи: Якщо а, Ь, с - цілі невід'ємні числа, то:

а) при а>з маємо, що (а+Ь) - с = (а - с) + Ь;

б) при Ь>з маємо, що (a + b) - c = = a + (b - с);

в) при а>с і Ь>с можна використовувати будь-яку з даних формул.

Нехай а>с, тоді різниця а-с існує. Позначимо її через р: а - с = р. Звідси а = р + с. Підставимо суму р+-с замість а у вираз (а+Ь) - с і перетворимо його: (а + 6) -с = (р + c + b) - c = p + b + -c - c = p+b

Але літерою р позначено різницю а --с, отже, маємо (а+Ь) -- -- с = (а -- с)+Ь, що потрібно було довести.

Аналогічно проводяться міркування й інших випадків. Наведемо тепер ілюстрацію цього правила (випадок «а») за допомогою кіл Ейлера. Візьмемо три кінцеві множини А, В та С, такі, що п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с та AUB=0, СUА. Тоді (a+b) -- є число елементів множини (AUB)C, а число (а -- с)+Ь є число елементів множини (АС)UВ. На колах Ейлера безліч (АУВ)С зображується заштрихованою областю, представленою малюнку.

Легко переконатися в тому, що безліч (АС)UВ зобразиться такою самою областю. Отже, (AUB)C = (AC)UB для даних

множин А, В і С. Отже, п((АUВ)С) = п((АС)UВ)і (а + Ь) - с - (а - с) + Ь.

Аналогічно можна проілюструвати і випадок "б".

Правило віднімання з суми. Щоб відняти від числа суму чисел, досить відняти від цього числа послідовно кожне доданок одне за одним, тобто якщо а, Ъ, с - цілі невід'ємні числа, то при а>Ь+с маємо а--(Ь+с ) = (а - Ь) - с.

Обґрунтування цього правила та його теоретико-множинна ілюстрація виконуються так само, як і для правила віднімання числа із суми.

Наведені правила розглядаються у початковій школі на конкретних прикладах, для обґрунтування залучаються наочні зображення. Ці правила дозволяють раціонально виконувати обчислення. Наприклад, правило віднімання з числа суми лежить в основі прийому віднімання числа частинами:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Сенс наведених правил добре розкривається під час вирішення арифметичних завдань у різний спосіб. Наприклад, завдання «Вранці пішли в море 20 маленьких та 8 великих рибальських човнів. 6 човнів повернулися. Скільки човнів із рибалками має ще повернутися? може бути вирішена трьома способами:

/Спосіб. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 - 6 = 22

// Метод. 1. 20 - 6 = 14 2. 14 + 8 = 22

ІІІ спосіб. 1. 8 - 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Закони множення

Доведемо закони множення, з визначення твори через декартово твір множин.

1. Переміщувальний закон: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а і Ъ справедлива рівність a*b = b*a.

Нехай а = п(А), Ь = п(В). Тоді за визначенням твору а * Ь = п (А * В). Але множини А*В н В*А рівносильні: кожній парі (а, Ь) з множини АХВ можна поставити у відповідність єдину пару (Ь, а) з множини ВхА, і навпаки. Значить, п(АХВ) = п(ВхА) і тому a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-а.

2. Сполучний закон: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а, Ь, з справедливою є рівність (а* Ь) *с = а* (Ь*с).

Нехай а=п(А), b=п(В), с=п(С). Тоді за визначенням твору (a-b)-c = n((AXB)XQ, aa-(b-c) = n(AX(BXQ)). виду ((а, Ь), с), а друге - з пар виду (а, (Ь, с)), де АВ, Ь, В, але множини (АХВ) ХС і АХ (ВХС) рівносильні, так як Існує взаємно однозначне відображення однієї множини на іншу, тому п((АХВ) *С) = п (А*(В*С)), і, отже, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).

3. Розподільний закон множення щодо додавання: для будь-яких цілих невід'ємних чисел а, Ь, справедлива рівність (a +b) x c = ac+ be.

Нехай а - п (А), Ь = п (В), с = п (С) і АUВ = 0. Тоді за визначенням твору маємо (a + b) x c = n ((AUB) * C. Звідки на підставі рівності (*) отримуємо п ((А UВ) * С) = п((А * С) U (В * С)), і далі за визначенням суми та добутку п ((А * С) U (В * С) ) - = п (А * С) + п (В * С) = ас + Ьс.

4. Розподільний закон множення щодо віднімання: для будь-яких цілих невід'ємних чисел a, b і с і a^b справедлива рівність (а - Ь)с = = ас - Ьс.

Цей закон виводиться з рівності (АВ) С = (А * С) (В * С) і доводиться аналогічно попередньому.

Переміщувальний і сполучний закони множення можна поширити на будь-яку кількість множників. Як і під час додавання, ці закони часто використовуються спільно, т. е. твір кількох множників не зміниться, якщо їх переставити будь-яким способом і якщо будь-яку їх групу укласти в дужки.

Розподільні закони встановлюють зв'язок множення зі складанням та відніманням. На основі цих законів відбувається розкриття дужок у виразах типу (а+Ь)с та (а - Ь) с, а також винесення множника за дужки, якщо вираз має вигляд ас --be або

У початковому курсі математики вивчається переміщувальна властивість множення, воно формулюється так: «Від перестановки множників твір не зміниться» - і широко використовується при складанні таблиці множення однозначних чисел. Сполучний закон у початковій школі у явному вигляді не розглядається, але використовується разом з переміщувальним при множенні числа на твір. Відбувається це так: учням пропонується розглянути різні способи знаходження значення виразу 3* (5*2) і порівняти отримані результати.

Наводяться випадки:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Перший грунтується на правилі порядку дій, другий - на сполучному законі множення, третій - на переміщувальному і сполучному законах множення.

Розподільний закон множення щодо складання розглядається у школі на конкретних прикладах і носить назву правил множення числа на суму та суми на число. Розгляд цих правил диктується методичними міркуваннями.

Правила поділу суми на число та числа на твір

Познайомимося з деякими властивостями розподілу натуральних чисел. Вибір цих правил визначено змістом початкового курсу математики.

Правило поділу суми на число. Якщо числа а та Ь діляться на число с, то їх сума а + Ь ділиться на с; приватне, одержуване при розподілі суми а+Ь на число с, дорівнює сумі приватних, одержуваних при розподілі на с і Ъ на с, тобто.

(а + Ь): с = а: с + b: с.

Доведення. Оскільки а ділиться на с, існує таке натуральне число т = а:с, що а = с-т. Аналогічно існує таке натуральне число п - Ь: с, що Ь = с-п. Тоді а+Ь = c-m + c-/2 = c-(m + n). Звідси випливає, що а+Ь ділиться на і приватне, одержуване при розподілі а+Ь на число с, дорівнює т+п, тобто а:с+Ь:с.

Доведене правило можна витлумачити з теоретико-множинних позицій.

Нехай а=п(А), Ь=п(В), причому АГВ=0. Якщо кожну з множин А і В можна розбити на рівносильних підмножин, то і об'єднання цих множин допускає таке ж розбиття.

При цьому якщо в кожному підмножині розбиття множини А міститься а:з елементів, а в кожному підмножині множини міститься Ь:з елементів, то в кожному підмножині множини А[) міститься а:з+Ь:з елементів. Це означає, що (а + Ь): с = а: с + Ь: с.

Правило поділу числа на твір. Якщо натуральне число а ділиться на натуральні числа Ь і с, то, щоб розділити а на добуток чисел Ъ і с, достатньо розділити число а на b (с) та отримане окреме розділити на с (Ь): а:(Ь * с) --(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказ. Покладемо (а: Ь): с = х. Тоді за визначенням частки а:Ь = с-х, звідси аналогічно а - Ь-(сх). З поєднаного закону множення а = (Ьс)-х. Отримана рівність означає, що:(Ьс) = х. Таким чином, a:(bc) = (a:b):c.

Правило множення числа на часткове двох чисел. Щоб помножити число на часткове двох чисел, достатньо помножити це число на поділений і отриманий добуток розділити на дільник, тобто.

a-(b:c) = (a-b):c.

Застосування сформульованих правил дозволяє спростити обчислення.

Наприклад, щоб знайти значення виразу (720+ 600): 24, достатньо розділити на 24 складові 720 і 600 та отримані приватні скласти:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значення виразу 1440:(12* 15) можна знайти, розділивши спочатку 1440 на 12, а потім отримане приватне розділити на 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Зазначені правила розглядаються у початковому курсі математики на конкретних прикладах. При першому знайомстві з правилом поділу суми 6 + 4 число 2 залучаються ілюстративний матеріал. Надалі це правило використовується для раціоналізації обчислень. Правило розподілу числа на твір широко застосовується при розподілі чисел, що закінчуються нулями.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

22.10.15 Класна робота

Знайдіть довжину відрізка АВ а b АВ АВАВ = a + b АВ = b + a

11 + 16 = 27 (фруктів) 16 + 11 = 27 (фруктів) Чи зміниться загальна кількість фруктів від перестановки доданків? Маша зібрала 11 яблук та 16 груш. Скільки фруктів опинилося в кошику Маші?

Складіть літерний вираз для запису словесного висловлювання: «від перестановки доданків сума не зміниться» а + b = b + a

(5 + 7) + 3 = 15 (іграшок) Який спосіб підрахунку простіше? Маша вбирала ялинку. Вона повісила 5 ялинкових куль, 7 шишок та 3 зірочки. Скільки іграшок повісила маша? (7 + 3) + 5 = 15 (іграшок)

Складіть літерний вираз для запису словесного висловлювання: « Щоб до суми двох доданків додати третій доданок, можна до першого доданку додати суму другого та третього доданків » (a + b) + с = a + (b + с)

Підрахуємо: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Вчимося

Чи справедливі для множення ті ж закони, що й для складання? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)

b = 15 а = 12 c = 2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2 = = 12 · (15 · 2) = 360 S = a · b = b · a S = 12 · 15 = = 15 · 12 = 180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переміщувальний закон множення Сполучний закон множення

Підрахуємо: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756 = 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Вчимося рахувати швидко!

ТЕМА УРОКУ: Із чим сьогодні на уроці працюємо? Сформулюйте тему уроку.

212 (1 стовпчик), 214 (а, б, в), 231, 230 У класі Домашнє завдання 212 (2 стовпчик), 214 (г, д, е), 253

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Розробка уроку з математики в 5 класі "Закони арифметичних дій" включає текстовий файл і презентацію до уроку.

Закони арифметичних дій

Дана презентація була підготовлена ​​до уроку з математики в 5 класі на тему "Закони арифметичних дій" (підручник І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович).

Урок вивчення нового матеріалу з використанням ЕОР.

Закони арифметичних дій

Презентація створена для візуального супроводу уроку у 5 класі на тему "Арифметичні дії з цілими числами". У ній представлена ​​добірка завдань як для загального, так і для самостійного рішення.

розробка уроку Математика 5 клас Закони арифметичних дій

розробка уроку Математика 5 клас Закони арифметичних дій№ п/пСтруктура анотаціїЗміст анотації1231ПІБ Малясова Людмила Геннадіївна2Посада, що викладається предмет Учитель ма...

Тема. Закони арифметичних дій: пересувний, сполучний, розподільний

Тип уроку. Урок первинного пред'явлення нових знань.

Предметні УУД. Навчитися записувати закони математичних дій за допомогою формул та давати словесне формулювання закону

Метапредметні УУД. Комунікативні: розвивати вміння обмінюватися знаннями між однокласниками для ухвалення ефективних спільних рішень.

Регулятивні: планувати свою дію відповідно до поставленого завдання.Пізнавальні: вміти виділяти суттєву інформацію із текстів різних видів

Особистісні УУД. Формування пізнавального інтересу

План уроку:

План:

1. Організаційний момент.
2. Перевірка раніше вивченого матеріалу.
3. Вивчення нового матеріалу.
4. Первинна перевірка засвоєння знань (робота із підручником).
5. Контроль та самоперевірка знань (самостійна робота).
6. Домашнє завдання
7. Рефлексія.

Сценарій уроку

Етап уроку

Діяльність вчителя

Діяльність учня

1.Оргмомент

Здрастуйте, хлопці!

Нам урок час розпочати.

Настав час обчислювати.

І на важкі запитання

Ви відповідь зумійте дати!

Математика, друзі,
Абсолютно всім потрібна.
На уроках працюй старанно,
І успіх на тебе чекає обов'язково!

Готуються до уроку

Відповідь: Математика

2. Перевіряє раніше вивчений матеріал.

S=Vt

Периметр прямокутника

P=2(a+b)

Площа прямокутника

S=ab

Пройдений шлях

– Відкрийте зошити, підпишіть число, класна робота.Зверніть увагу на екран

1) a = 8см

в = 13см

2) V = 70 км / год

t=5год

3) a = 17м

b = 24м

4) S = 300 км

t=6 год

5) S = 420 км

V=70км/год

S=?

S=?

P=?

V=?

t=?

- Працюємо усно за наступним слайдом.(5 слайдів).

12 + 5 + 8

25 10

250 – 50

200 – 170

30 + 15

45: 3

15 + 30

45 – 17

28 25 4

Завдання: визначити значення виразів.(Один учень працює біля екрана.)

– Що цікавого зауважили, вирішуючи приклади? На які приклади варто звернути особливу увагу?(Відповіді дітей.)

Проблемна ситуація

– Які властивості складання та множення ви знаєте з початкової школи? Чи вмієте ви їх записувати за допомогою буквених виразів? (Відповіді дітей).

Обчислюють усно

Формула – рівність, що є записом правила обчислення будь-якої величини.

Запишіть у зошиті відповіді. Тепер увага на слайд "Перевір себе"(4 слайд).

Перевір себе

104 см 2
350 км
82 м
50 км/год
6 год

3. Повідомлення теми та мети уроку

– Отже, тема сьогоднішнього уроку “Закони арифметичних дій”(6 слайд).
– Запишіть у зошиті тему уроку.
– Що нового ми маємо дізнатися на уроці? (Разом із дітьми формулюються цілі уроку).

Застосування формул під час вирішення завдань

Формули периметра та площі фігур, шлях

4. Вивчення нового матеріалу.

У класі 11 д і 12м, скільки всього учнів?

Як дізнатися відповідь? Якщо до д+м чи до м+д результат зміниться?

Який висновок зробимо?

У вазу поклали 5 груш, 7 бананів та 3 яблука. Можна дізнатися ск всього фруктів?

– Дивимось на екран.(7 слайд) .

Закони складання

Рівність

приклад

Переміщувальний

a + b = b + a

7 + 3 = 3 + 7

Сполучний

(a + b) + c = a + (b + c)

(48 + 3) + 12 = (48 + 12) + 3 = 63

Ви бачите закони додавання, записані в буквеному вигляді та приклади. (Розбір прикладів).

Показую на дошці 27+148+13=188

124+371+429+346=800+470=1270

А тепер ви спробуйте

Молодці!

Відповідають на запитання

Так

По одному учню з колонки

Учень працює біля дошки інші в зошитах

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

5.Фізмінутка

Закрийте очі, розслабте тіло,

Уявіть – ви птах, ви раптом полетіли!

Тепер в океані дельфіном пливете,

Тепер у саду яблука стиглі рветься.

Ліворуч, праворуч, довкола подивилися,

Розплющили очі, і знову за справу!

Виконують за учителем

6. Первинна перевірка засвоєння знань (робота з підручником).

№213 розглянемо, усно 214

Біля дошки обчислимо зручним способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

7. . Контроль та самоперевірка знань (самостійна робота).

Варіант 1.

Варіант 2.

Виконують індивідуально та здають на перевірку, оцінки на наступний урок

8.Домашнє завдання

Р.т, 212, 214

9. Рефлексія

Від перестановки доданків…

Від перестановки множників.

Щоб помножити різницю на число, потрібно…Які висновки ви зробили на уроці?

Дякую всім за урок. До побачення

Сьогодні на уроці:

А. Я дізнався(ла)……

В. Мені сподобалося.

С. Мені не сподобалося.

Д. Для мене було важким.

Співвіднеси формули

S=Vt

Периметр прямокутника

P=2(a+b)

Площа прямокутника

S=ab

Пройдений шлях

2.Заповніть таблицю

1) a = 8см

в =13 см

2) V = 70км / год

t=5год

3) a = 17м

b=24м

4) S = 300км

t=6год

5) S = 420км

V=70км / год

S=?

S=?

P=?

V=?

t=?

Обчислити

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

7893+456342+300758126+319+434+551=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

Обчисліть зручним способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

Самостійна робота

а) 25∙4∙86 б) 176+24+8 в) 4∙5∙333

г) (977+23)∙49 д)(202-102)∙87

6. Продовжи пропозицію

Від перестановки доданків…

Якщо до суми двох доданків додати третій доданок, то…

Від перестановки множників.

Якщо добуток двох множників помножити на третій множник, то...

Щоб помножити суму на число, потрібно…

1.Соотнеси формули

S=Vt

Периметр прямокутника

P=2(a+b)

Площа прямокутника

S=ab

Пройдений шлях

2.Заповніть таблицю

1) a = 8см

в =13 см

2) V = 70км / год

t=5год

3) a = 17м

b=24м

4) S = 300км

t=6год

5) S = 420км

V=70км / год

S=?

S=?

P=?

V=?

t=?

Обчислити

83346+140458+91054 =

107888+32012+213355=

7893+456342+300758126+319+434+551=

70+90+130+10=

5427+6328+10023+612=

Обчисліть зручним способом

5*328*12 756*25*4

50*(346*2) 8*(956*125)

Самостійна робота

а) 25∙4∙86 б) 176+24+8 в) 4∙5∙333

г) (977+23)∙49 д)(202-102)∙87

6. Продовжи пропозицію

Від перестановки доданків…

Якщо до суми двох доданків додати третій доданок, то…

Від перестановки множників.

Якщо добуток двох множників помножити на третій множник, то...

Щоб помножити суму на число, потрібно…

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ 1-6 КЛАСІВ.

Шановні батьки!Якщо Ви шукайте репетитора з математики для Вашої дитини, то це оголошення для Вас. Пропоную скайп-репетиторство: підготовка до ОДЕ, ЄДІ, ліквідація прогалин у знаннях. Ваші вигоди очевидні:

1) Ваша дитина знаходиться вдома, і Ви можете бути за неї спокійною;

2) Заняття проходять у зручний для дитини час, і Ви навіть можете бути присутніми на цих заняттях. Поясню я просто та доступно на всій звичній шкільній дошці.

3) Інші важливі переваги скайп-занять додумаєте самі!

Напишіть мені за адресою: або одразу додавайтеся до мене у скайп, і ми про все домовимося. Ціни доступні.

З повагою Тетяна Яківна Андрющенко – автор цього сайту.

Я рада запропонувати вам скачати безкоштовно довідкові матеріали з математики 5 класу. Завантажити тут!

Не секрет, що деякі діти зазнають труднощів при множенні та розподілі в стовпчик. Найчастіше це з недостатнім знанням таблиці множення. Пропоную навчити таблицю множення за допомогою лото. Докладніше дивіться тут. Завантажити лото тут.

Дорогі друзі!Скоро ви зіткнетеся (або вже зіткнулися) з необхідністю вирішувати завдання на відсотки. Такі завдання починають вирішувати у 5 класі та закінчують. а ось і не закінчують розв'язувати задачі на відсотки! Ці завдання зустрічаються і на контрольних, і на іспитах: як переказних, так і ОДЕ та ЄДІ. Що ж робити? Потрібно вчитися вирішувати такі завдання. У цьому вам допоможе моя книга "Як розв'язувати задачі на відсотки". Подробиці тут!

• a+b=c, де a і b-складові, c-сума.
• Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок.

• a-b=c, де a-зменшуване, b-віднімається, c-різницю.
• Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання.
• Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

• a b = c, де a і b-множники, c-твор.
• Щоб знайти невідомий множник, потрібно добуток розділити на відомий множник.

• a:b=c, де a-ділене, b-ділитель, c-приватне.
• Щоб знайти невідоме ділене, потрібно дільник помножити на приватне.
• Щоб знайти невідомий дільник, потрібно поділити розділити на приватне.

• a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
• (a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

• a b = b a(Перемістковий: від перестановки множників твір не змінюється).
• (a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).
• (a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
• (а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).

• Дільникомнатурального числа аназивають натуральне число, на яке аділиться без залишку. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-ділителі числа 24, тому що 24 ділиться на кожне з них без залишку) 1-ділитель будь-якого натурального числа. Найбільший дільник будь-якого числа – саме це число.
• Кратнимнатурального числа bназивають натуральне число, яке ділиться без залишку на b. (Числа 24, 48, 72, ...-кратні числу 24, тому що діляться на 24 без залишку). Найменше кратне будь-якого числа - саме це число.

Ознаки ділимості натуральних чисел.

• Числа, що вживаються за рахунку предметів (1, 2, 3, 4, ...) називають натуральними числами. Безліч натуральних чисел позначають буквою N.
• Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парнимицифрами. Числа, запис яких закінчується парними цифрами, називають парними числами.
• Цифри 1, 3, 5, 7, 9 називають непарнимицифрами. Числа, запис яких закінчується непарними цифрами, називаються непарними числами.
• Ознака ділимості на число 2. Усі натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою, поділяються на 2.
• Ознака ділимості на число 5. Усі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0 чи цифрою 5, поділяються на 5.
• Ознака ділимості на число 10. Усі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0, поділяються на 10.
• Ознака ділимості на число 3. Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то саме число ділиться на 3.
• Ознака ділимості на число 9. Якщо сума цифр числа ділиться на 9, те саме число ділиться на 9.
• Ознака ділимості на число 4. Якщо число, складене з останніх двох цифр даного числа, ділиться на 4, те й саме це число ділиться на 4.
• Ознака ділимості на число 11.Якщо різницю між сумою цифр, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр, які стоять на парних місцях, ділиться на 11, то й саме число ділиться на 11.

• Простим називають число, яке має лише два дільники: одиницю і саме це число.
• Складовим називають число, яке має понад два дільники.
• Число 1 не відноситься ні до простих чисел, ні до складових чисел.
• Запис складового числа у вигляді добутку лише простих чисел називається розкладанням складового числа на прості множники. Будь-яке складове число можна єдиним чином подати у вигляді твору простих множників.

• Найбільшим загальним дільником даних натуральних чисел називають найбільше натуральне число, яке ділиться кожне з цих чисел.
• Найбільший загальний дільник даних чисел дорівнює добутку загальних простих множників у розкладах цих чисел. приклад. НОД(24, 42)=2·3=6, т. до. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, їх загальні прості множники 2 і 3.
• Якщо натуральні числа мають лише один спільний дільник-одиницю, ці числа називають взаємно простими.

• Найменшим загальним кратним даних натуральних чисел називають найменше натуральне число, кратне кожному з цих чисел. приклад. НОК (24, 42) = 168. Це найменше число, яке ділиться на 24 і 42.
• Для знаходження НОК кількох даних натуральних чисел треба: 1) розкласти кожне із цих чисел на прості множники; 2) виписати розкладання більшого з чисел і помножити його на множники, що відсутні, з розкладів інших чисел.
• Найменше кратне двох взаємно простих чисел дорівнює добутку цих чисел.

b-знаменник дробу, показує, скільки рівних частин розділили;

a-числитель дробу показує, скільки таких частин взяли. Дробова риса означає знак розподілу.

Іноді замість горизонтальної дробової риси ставлять похилий, і звичайний дріб записується так: a/b.

• У правильного дробучисельник менший за знаменник.
• У неправильного дробучисельник більший за знаменник або дорівнює знаменнику.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Розподіл і чисельник і знаменник дробу на їхній спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

• Число, що складається з цілої частини та дробової частини, називається змішаним числом.
• Щоб неправильний дріб уявити як змішаного числа, треба розділити чисельник дробу на знаменник, тоді неповне приватне буде цілою частиною змішаного числа, залишок – чисельником дробової частини, а знаменник залишиться той самий.
• Щоб уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно помножити цілу частину змішаного числа на знаменник, до отриманого результату додати чисельник дробової частини та записати в чисельнику неправильного дробу, а знаменник залишити той самий.

• Промінь Охз початком відліку у точці Про, на якому вказано одиничний відріздо і напрямок, називають координатним променем.
• Число, що відповідає точці координатного променя, називається координатоюцієї точки. Наприклад , А(3). Читають: точка А з координатою 3.

• Найменшим загальним знаменником ( НОЗ) даних нескоротних дробів є найменше загальне кратне ( НОК) знаменників цих дробів.
• Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

• З двох дробів з однаковими знаменниками більше той, у якого чисельник більший, і менший за той, у якого чисельник менший.
• З двох дробів з однаковими чисельниками більше та, у якої знаменник менший, і менший за той, у якого знаменник більший.
• Щоб порівняти дроби з різними чисельниками та різними знаменниками, треба привести дроби до найменшого спільного знаменника, а потім порівнювати дроби з однаковими знаменниками.

• Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий.
• Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, спочатку дроби призводять до найменшого загального знаменника, а потім складають дроби з однаковими знаменниками.
• Щоб виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками, з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, а знаменник залишають той самий.
• Якщо потрібно виконати віднімання дробів з різними знаменниками, то їх спочатку приводять до спільного знаменника, а потім виконують віднімання дробів з однаковими знаменниками.
• При виконанні дій додавання або віднімання змішаних чисел ці дії виконують окремо для цілих частин і для дробових частин, а потім результат записують у вигляді змішаного числа.

• Добуток двох звичайних дробів дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників цих дробів.
• Щоб помножити звичайний дріб на натуральне число, потрібно помножити чисельник дробу цього числа, а знаменник залишити той самий.
• Два числа, добуток яких дорівнює одиниці, називають взаємно оберненими числами.
• При множенні змішаних чисел їх спочатку перетворюють на неправильні дроби.
• Щоб знайти дріб від числа, потрібно помножити число на цей дріб.

• Щоб розділити звичайну дріб на звичайну дріб, потрібно поділити помножити на число, зворотне дільнику.
• При розподілі змішаних чисел їх спочатку перетворюють на неправильні дроби.
• Щоб розділити звичайний дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу помножити на це натуральне число, а чисельник залишити той самий. ((2/7): 5 = 2 / (7 · 5) = 2/35).
• Щоб знайти число за його дробом, потрібно розділити на цей дріб число, що відповідає йому.

• Десятичним дробом називають число, що записане в десятковій системі і має розряди менше одиниці. (3,25; 0,1457 і т. д.)
• Знаки, що стоять у десятковому дробі після коми, називають десятковими знаками.
• Десятковий дріб не зміниться, якщо в кінці десяткового дробу приписати або відкинути нулі.

Щоб скласти десяткові дроби, потрібно: 1) зрівняти у цих дробах кількість десяткових знаків; 2) записати їх один під одним так, щоб кома була записана під комою; 3) виконати додавання, не звертаючи уваги на кому, і поставити в сумі кому під комами у складниках дробах.

Щоб виконати віднімання десяткових дробів, потрібно: 1) зрівняти кількість десяткових знаків у зменшуваному та віднімуваному; 2) підписати віднімається під зменшуваним так, щоб кома опинилася під комою; 3) виконати віднімання, не звертаючи уваги на кому, і в отриманому результаті поставити кому під комами зменшуваного та віднімається.

• Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, потрібно помножити його на це число, не звертаючи уваги на ком, і в отриманому творі відокремити коми стільки цифр праворуч, скільки їх було після коми в даному дробі.
• Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на коми, і в отриманому результаті відокремити комою праворуч стільки цифр, скільки їх було після ком в обох множниках разом.
• Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д. потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифр.
• Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д. потрібно перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифр.

• Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, потрібно ділити дріб на це число, як ділять натуральні числа і поставити в приватному ком тоді, коли закінчиться розподіл цілої частини.
• Щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д. потрібно перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифр.

• Щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число.
• Щоб розділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д., потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифр. (Ділення десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д. рівносильне множенню цього десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.)

Щоб округлити число до будь-якого розряду – підкреслимо цифру цього розряду, а потім усі цифри, що стоять за підкресленою, замінюємо нулями, а якщо вони стоять після коми – відкидаємо. Якщо перша замінена банкрутом або відкинута цифра дорівнює 0, 1, 2, 3 або 4, то підкреслену цифру залишаємо без зміни. Якщо перша замінена банкрутом або відкинута цифра дорівнює 5, 6, 7, 8 або 9, то підкреслену цифру збільшуємо на 1.

Середнє арифметичне кількох чисел.

Середнім арифметичним кількох чисел називають частки від поділу суми цих чисел на число доданків.

Різниця між найбільшим та найменшим значеннями ряду даних називається розмахом ряду чисел.

Число, що з найбільшою частотою серед даних чисел ряду, називається модою ряду чисел.

• Відсотком називається одна сота частина. Придбати книгу, яка навчає, «Як розв'язувати завдання на відсотки».
• Щоб виразити відсотки дробом чи натуральним числом, потрібно число відсотків поділити на 100%. (4% = 0,04; 32% = 0,32).
• Щоб виразити число у відсотках, його треба помножити на 100%. (0,65 = 0,65 · 100% = 65%; 1,5 = 1,5 · 100% = 150%).
• Щоб знайти відсотки від числа, потрібно виразити відсотки звичайним або десятковим дробом і помножити отриманий дріб на дане число.
• Щоб знайти число за його відсотками, потрібно виразити відсотки звичайним або десятковим дробом і розділити на цей дріб це число.
• Щоб знайти, скільки відсотків становить перше число від другого, потрібно розділити перше число на друге і помножити результат на 100%.

• Частка двох чисел називають ставленням цих чисел. a:bабо a/b– відношення чисел a та b, причому, а – попередній член, b – наступний член.
• Якщо члени цього відношення переставити місцями, то ставлення, що вийшло, називають зворотним для даного відношення. Відносини b/a та a/b – взаємно зворотні.
• Відношення не зміниться, якщо обидва члени відносини помножити або розділити на те саме число, відмінне від нуля.

• Рівність двох відносин називають пропорцією.
• a:b=c:d. Це пропорція. Читають: атак ставиться до b, як cвідноситься до d. Числа a та d називають крайніми членами пропорції, а числа b та c – середніми членами пропорції.

• Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів. Для пропорції a:b=c:dабо a/b=c/dосновна властивість записується так: a d = b c.
• Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, потрібно твір середніх пропорцій розділити на відомий крайній член.
• Щоб знайти невідомий середній член пропорції, потрібно добуток крайніх членів пропорції розділити відомий середній член. Завдання пропорцію.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Відношення довжини відрізка на карті до довжини відповідної відстані на місцевості називають масштабом карти.

Нехай величина узалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узменшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються обернено пропорційними.

Якщо дві величини знаходяться у зворотному пропорційної залежності, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

• Безліч являє собою сукупність деяких предметів або чисел, складених за будь-якими загальними властивостями або законами (множина букв на сторінці, безліч правильних дробів зі знаменником 5, безліч зірок на небі і т.д.).
• Багато складаються з елементів і бувають кінцевими або нескінченними. Безліч, яке не містить жодного елемента, називають порожньою множиною і позначають O.
• Безліч Уназивають підмножиною множини А, якщо всі елементи множини Ує елементами множини А.
• Перетином множин Аі Уназивається безліч, елементи якого належать і безлічі Аі безлічі У.
• Об'єднанням множин Аі Уназивається безліч, елементи якого належать хоча б одному з даних множин Аі У.

• N- Безліч натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, ...
• Z- безліч цілих чисел: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
• Q– безліч раціональних чисел, що у вигляді дробу m/n, де m- ціле, n- натуральне (-2; 3/5; v9; v25 і т.д.)

• Координатною прямою називають пряму, на якій задані позитивний напрямок, початок відліку (точка О) та одиничний відрізок.
• Кожній точці координатної прямої відповідає деяке число, яке називають координатою цієї точки. Наприклад, А(5)). Читають: точка А з координатою п'ять. У 3). Читають: точка з координатою мінус три.

• Модулем числа а (записують |a|) називають відстань від початку відліку до точки, що відповідає даному числу а. Значення модуля будь-якого числа невід'ємне. |3|=3; |-3|=3, т.к. відстань від початку відліку до числа -3 і до числа 3 дорівнює трьом одиничним відрізкам. |0|=0 .
• За визначенням модуля числа: |a|=a, якщо a?0і |a|=-a, якщо а b.
• Якщо при порівнянні чисел a та b різниця a-b- Негативне число, то a , їх називають строгими нерівностями.
• Якщо нерівності записують знаками? чи?, їх називають нестрогими нерівностями.

а) Подвійна нерівність виду a 0 гілки гіперболи розташовані в I та III, а при k

Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.

• Лінійним рівняннямз двома змінниминазивається рівняння виду ax+by=c, де xі y- Змінні, числа aі b- Коефіцієнти, число з- Вільний член.
• Пара значень змінних, у яких лінійне рівняння з двома змінними перетворюється на правильне числове рівність, називається рішенням цього рівняння. Рішення рівняння записують у круглих дужках. Наприклад, (2; -1) є рішенням рівняння 3x+2y=4, оскільки 3·2+2·(-1)=4.
• Рівняння з двома змінними, що мають одні й самі рішення, називаються рівносильними.
• Безліч точок координатної площини, координати яких є розв'язком рівняння, називається графікомрівняння.
• Графік лінійного рівняння з двома зміннимиax+by=c,в якому хоча б один із коефіцієнтів при змінних не дорівнює нулю, є пряма.

Системи лінійних рівнянь із двома змінними.

• Пара значень змінних,що звертає у правильну рівність кожне рівняння системи лінійних рівнянь із двома змінними, називається розв'язуванням системи рівнянь.
• Вирішити систему рівнянь - значить знайти всі її рішення або довести, що рішень немає.
• Для рішень системи лінійних рівнянь із двома змінними використовують графічний спосіб, спосіб підстановки та спосіб складання.

• Спосіб полягає в побудові графіка кожного рівняння, що входить до цієї системи, в одній координатній площині та знаходженні точки перетину цих графіківв. Координати цієї точки (x; y)і будуть з'являтися рішеннямданої системи рівнянь.
• Якщо прямі перетинаються, то система рівнянь має єдинеРішення.
• Якщо прямі, що є графіками рівнянь системи, паралельні, то система рівнянь не має рішень.
• Якщо прямі, що є графіками рівнянь системи, збігаються, то система рівнянь має нескінченнебезліч рішень.

1. В одному з рівнянь виражають одну змінну через іншу, наприклад, висловили yчерез х.
2. Підставляють отриманий вираз замість yу друге рівняння - виходить рівняння з однією змінною х.
3. З отриманого рівняння знаходять значення цієї змінної х.
4. Підставляють значення ху вираз, отриманий у 1) пункті та знаходять значення змінної y.
5. Пара (x; y)є розв'язком цієї системи рівнянь.

1. Помножують ліву та праву частини одного або обох рівнянь на таке число, щоб коефіцієнтиза однієї зі змінних у рівняннях виявилися протилежними числами.
2. Складають почленноотримані рівняння - залишається рівняння з однією змінною, з якого знаходять значення цієї змінної.
3. Підставляють знайдене значення змінної у будь-яке з даних рівнянь і знаходять значення другої змінної.
4. Отримана пара значень змінних і є рішенням цієї системи рівнянь.

Вирішення систем лінійних нерівностей з однією змінною.

• Значення змінної, у якому кожна нерівність системи перетворюється на правильне числове нерівність, називається рішенням системи нерівностей з однією змінною.
• Алгоритм розв'язання систем нерівностей з однією змінною.

1. Знайти безліч розв'язків кожної нерівності системи.
2. Зобразити на одній координатній прямій безліч розв'язків кожної з нерівностей.
3. Перетин проміжків - безліч рішень цих нерівностей і є розв'язанням даної системи.
4. Вирішення системи нерівностей можна записати у вигляді нерівності або у вигляді числового проміжку

Абсолютна та відносна похибки.

• Абсолютна похибка(позначають?х) - модуль різниці між даним та наближеним значеннями даного числа. ?х= |x-x 0 |, де x - це число, x 0 - його наближене значення.
• Відносна погрішність(позначають?) – модуль відношення абсолютної похибки до наближеного значення числа. ?=|?x/x 0 |, де х - абсолютна похибка числа х, x 0 - його наближене значення.

www.mathematics-repetition.com

Все частіше на уроці в початкових класах з'являється комп'ютер, мультимедійний проектор та інтерактивна дошка для того, щоб підтримати активність учнів на уроці, викликати в них інтерес до вивчення нового матеріалу та пояснити складні поняття. Уроки математики у 2 класі з використанням презентації є більш насиченими, вони стимулюють інтерес кожного учня до вивчення предмета, розвивають увагу та допитливість.

Математика у початковій школі є предметом особливим, специфічним. Засвоїти легко її може далеко не кожен учень. Цікава, грамотно складена презентація з математики у 2 класідопомагає підтримувати інтерес у дітей протягом 45 хвилин уроку.

Комп'ютерна презентація до уроку математики в 2 класі - це найбільш передова технологія, яка сьогодні впроваджується у всіх школах незалежно від того, за якою програмою вона працює, який УМК лежить в основі навчання дітей. Її можна використовувати як протягом усього уроку, і на певних його етапах. Завдяки використанню презентації на уроці математики найскладніша тема у 2 класі видасться доступною та зрозумілою.

Вчителями практиками зазначено, що відкритий урок з математики з презентацією для 2 класу, як за Петерсоном, так і за Моро, викличе інтерес не тільки у дітей, а й у колег, які відвідують подібні заходи. На таких відкритих уроках можна досягти більшої продуктивності учнів. Навіть пасивні діти прагнуть виявити свою активність, коли на уроці цікаво.

Учні 2 класу з нетерпінням чекають на уроки математики, якщо знають, що їхній вчитель на черговому занятті не тільки даватиме нові знання, а й зможе здивувати їхньою формою піднесення. Важко готувати педагогу для 2 класу з математики за програмою 2100 чи ПНШ презентації щодня. На це піде багато часу навіть у тому випадку, якщо добре освоєно програму Power Point. Наш портал створений для тих, хто працює творчо. Ми пропонуємо скачати безкоштовно готові презентації уроку з математики для 2 класу на всі теми, які відповідають ФГОС Всі розробки складені найкращими вчителями, які працюють у початкових класах великих міст і невеликих селищ. Ці педагоги поділилися своїми ідеями в Інтернеті, а ми зібрали їх на одному порталі та розклали за класами та предметами.

Перетворити урок математики у 2 класі з ФГОС на суцільний показ презентацій не можна. Плануючи його етапи, слід думати про здоров'язбереження учнів. Зробіть свій урок яскравим, насиченим, інтелектуально багатим, але не перенасичуйте його марними картинками та зайвою анімацією. Деякі презентації до уроку математики у 2 класі містять лише 6 – 7 слайдів, але їх достатньо, щоб використовувати комп'ютерну підтримку на певному етапі уроку та сфокусувати увагу учнів до певної проблеми.

Завантажити презентацію до уроку математики у 2 класі – зовсім не означає звільнити себе повністю від підготовки до занять. Цей матеріал необхідно заздалегідь переглянути та адаптувати до свого класу. Тільки в такому разі вдасться зберегти інтерес дітей до цього предмета та залучити їх до процесу роботи, розвинути бажання шукати самостійно відповіді на доступні запитання.

Навчитися вирішувати найскладніші приклади правильно учні зможуть лише тоді, коли зрозуміють порядок виконання дій. Перше знайомство з цим матеріалом відбувається у 2 класі. Презентація для 2 класу «Порядок дій» звертає увагу на важливість кожної дії та на відмінні особливості множення та поділу, коли вони зустрічаються поряд із додаванням та.

Презентація на 13 слайдах представляє багатий матеріал для пояснення теми «Конкретний сенс поділу» у 2 класі за підручником Моро за програмою «Школа Росії». На перших слайдах розташовані завдання для усного рахунку та повторення попереднього матеріалу. Далі йде знайомство із змістом поділу з прикладу динамічних картинок: 9 тюльпанів необхідно розділити в.

Презентація знайомить із випадками табличного розподілу на число 2. На початку уроку йде попередня підготовка до вивчення даного матеріалу. Разом зі Смішариком діти вважають усно, повторюють сенс поділу та зв'язок його з множенням. На конкретному прикладі відбувається знайомство з розподілом на 2. При знайомстві з розподілом на 2 частини, презентація.

Освоївши дві основні дії (складення та віднімання) у першому класі, учні поступово розширюють коло своїх математичних знань і у 2 класі отримують відомості про нові дії. Презентація на тему множення передбачає знайомство на уроці математики із змістом цієї арифметичної дії. Розробка виконана на 16 слайдах у вигляді математичної подорожі.

З теми «Множення на 2» починається складання таблиці множення, яку дуже скоро кожному другокласнику доведеться вивчити напам'ять. Слайди презентації до уроку на тему «Таблиця множення на 2 та числа 2» – це початок великої роботи з вивчення теми, яка вестиметься ще протягом кількох уроків. Виконано розробку у вигляді.

Вивчити всі випадки табличного множення відразу вдається не кожній дитині. Презентація на тему «Таблиця множення у віршах» - цікаве супроводження не одного, а цілого циклу уроків з математики в 2 класі, присвячених вивченню даного матеріалу. У вигляді невеликих підказок-четверостиш рекламується на слайдах презентації кожен приклад таблиці множенні, починаючи з 2.

Презентація з 24 слайдів формує в учнів 2 класу поняття у тому, що конкретний зміст множення – це що інше, як сума однакових доданків. Урок проводиться на початку знайомства з множенням. На конкретних прикладах учні 2 класу розуміють із презентації, що таке значення множення: 10+10+10+10=10 4. Запис за допомогою.

Познайомитися з новою арифметичним дією поділу допоможе презентація, виконана до уроку математики, який передбачає первинне сприйняття матеріалу та засвоєння позначення на листі. Для проведення уроку та освячення всіх його етапів створено 13 слайдів. На них у презентації представлений матеріал для усного рахунку, запровадження нового поняття, закріплення матеріалу та підведення.

Переходячи до окремих випадків множення та поділу, другокласники дізнаються цікавий спосіб множення на 1. Кращим помічником при поясненні матеріалу стане презентація з математики, яка виконана на 15 слайдах і наочно знайомить з тим, як можна провести розподіл на 1 або виконати множення на 1. висновок, що учні 2 класу отримують.

Другокласники з радістю сприймають матеріал, який не треба зазубривати. Незвичайним відкриттям стане для них урок, на якому вони, переглядаючи слайди презентації, відкриють прийом множення та розподілу чисел на 10, хоча хтось із вчителів, бачачи підготовку дітей, тут же показує на прикладі слайдів презентації множення та розподіл на 100. Прийоми множення .

Познайомити учнів з таблицею множення і поділу на 3 можна у різний спосіб. Ми пропонуємо скачати для уроку математики у 2 класі з ФГОС презентацію, яка наповнена цікавим матеріалом, що мотивує другокласників до швидкого запам'ятовування таблиці. Презентація бездоганна в оформленні та красиво анімована. На етапі знайомства з табличними випадками множення цікаво використати.

Разом із Незнайкою, переглядаючи слайди презентації, учні 2 класу вчать таблицю множення та поділу на 4 на улюбленому уроці ненудної математики. Нудьгувати справді доведеться, бо наш герой не просто з'являється на слайдах. Він має завдання, мета яких – сприяти швидкому засвоєнню табличних випадків множення з числом 4. Спочатку.

Математика – країна нових відкриттів та постійних подорожей за знаннями. У цьому вся ще раз дає можливість переконатися урок, у якому вивчатиметься нова тема: таблиця множення і розподілу на 5 в 2 класі. Презентація до уроку математики, на якому відбувається знайомство з множенням та розподілом числа на 5 та визначенням.

Презентація для знайомства учнів 2 класу з таблицею множення та поділу на 6 пропонує подорож у країну чаклунства Хогвартс. Це місце проживання чарівників і кожен другокласник зможе ним стати, якщо виконає ряд завдань на уроці математики. Учням треба: Знайти чарівну цифру Скласти без помилок таблицю множення та поділу.

Презентація виконана до уроку математики (ФГОС, Школа 2100) у 2 класі, на якому вивчатиметься таблиця множення та поділу на 7, а також знайомство з сьомою часткою числа. Використовуючи слайди презентації, легко організувати усний рахунок, вивчення нового матеріалу та його первинне закріплення. Кожному вчителю буде легко провести урок з цієї.

Щоб добре опанувати математику, учні повинні навчитися вважати усно. Усний рахунок є обов'язковим етапом уроку математики у 2 класі. Презентація пропонує ряд цікавих завдань, які відточують навичку усних обчислень у межах 100: Приклади на додавання в межах 20 та 100 Приклади на віднімання в межах 20 та 100 Завдання.

Математикою можна займатися як на уроці, а й у класному годині під час проведення шкільного тижня математичних наук. Хочете, щоб така класна година була цікавою і не втомила дітей, скачайте презентацію, яка називається «Цікава математика». Її завдання вимагають як знання прийомів обчислень, а й кмітливості. Запропонуйте дітям цікаві завдання.

Стародавнє мистецтво японців орігамі може допомогти у вивченні математики у 2 класі, оскільки дуже тісно пов'язане з цією наукою. У презентації представлений проект, який доводить цю гіпотезу. Спочатку дається невеликий екскурс у дні становлення орігамі в Японії, потім показуються основні способи складання паперу. Ось тут у презентації вже чітко.

Математичний базар – це нова цікава вікторина математики для учнів 2 класу, представлена ​​у презентації на 17 слайдах. Розповідь починається з розповіді про Піфагора. Такий початок заходу зовсім недарма, оскільки цей великий учений головною в математиці вважав цифру 1. Ось до першого завдання пропонується перейти другокласникам. В розробці.

Темі складання та віднімання чисел у 2 класі приділяється не менше значення, ніж у першому. Презентація з математики для 2 класу створена для уроку 1.4, де належить пояснити, як відбувається додавання та віднімання величин. Розробка виконана на 12 слайдах, які містять матеріал не тільки для пояснення нового матеріалу, а й.

Напередодні Дня космонавтики з учнями 2 класу можна провести урок-подорож до космосу з математики (Моро) з використанням представленої готової презентації. Щоб весело подорожувати від Землі до планети Туманності, доведеться цілий урок рахувати, вирішувати, порівнювати та відгадувати. Веселий настрій, бадьорий темп і ряд захоплюючих завдань зроблять математичну подорож до космосу.

Основна увага в 2 класі на уроках математики приділяється вивченню нумерації чисел в межах 100. Тільки вивчивши цю тему, можна опанувати обчислювальні навички з двозначними числами. Презентація знайомить з числами до 100, зі своїми назвами, місцезнаходженням у ряду, складом, сусідами. Розробка дозволяє вивчити тему "Усна нумерація чисел у межах 100".

Знайомство з поняттями «ціна, кількість, вартість» у презентації з математики для 2 класу відбувається у захоплюючій формі – подорож до магазину Сонечко. Ситуація є досить звичною. Кожна іграшка предмет має свою ціну. Дітей зустрічає уважний продавець, з яким доведеться розплачуватися. До уроку можна підготувати "віртуальні" гроші. Складаючи на уроці задачі с.

Основні арифметичні дії над числами, з якими працюють учні другого класу – це додавання та віднімання. Опанувати їх доведеться кожному, але щоб процес вивчення теми не здався важким, пропонуємо використовувати презентацію з математики для відкритого або робочого уроку у 2 класі з ФГОС з УМК «Школа 2100» на тему «Арифметичні.

27 слайдів презентації - чудовий матеріал для того, щоб вивчити у 2 класі одиниці часу. Після усного рахунку вчитель пропонує другокласникам відгадати загадку (слайд10) і лише після цього формулює цілі, які стоять перед дітьми на уроці: вивчати визначення часу за годинами, використовуючи нові одиниці: годину, хвилину. Щоби привернути увагу.

Чи можна побачити час і що це за величина, учні отримують відповідь на уроці математики у 2 класі. Довжину відрізка можна виміряти, вага предмета визначають за допомогою зважування, а як визначити вік людини, тривалість канікул? Чи скоро буде Новий рік та через скільки днів приїде бабуся, діти навчаться визначати самостійно.

Презентація дає вчителю можливість ввести наочно для учнів 2 класу на уроці математики (Школа 2100) нове поняття площа прямокутника, використовуючи знання про довжину та ширину. Спочатку повторюється спосіб знаходження периметра з прикладу рішення задачі. Потім для цього завдання необхідно знайти площу ділянки, щоб визначити, скільки відер води знадобиться для.

Презентація нагадує маленьку казку, яка познайомить учнів 2 класу з прямокутником та його властивостями. Починається історія з того, що квадрат вирушив шукати своїх родичів, бо дуже нудно йому було жити у геометричному царстві. Назустріч йому йшла постать чимось нагадує квадрат: кути такі ж прямі, до того їх теж було.

Презентація до уроку математики у 2 класі складена з урахуванням знань дітей про квадрат, отримані ними у першому класі. Вивчаючи нову тему на уроці, школярі повинні побачити та запам'ятати властивості квадрата, його відмінність від прямокутника та схожість із цією фігурою. Урок математики починається повторення знань про прямокутник. За презентацією.

Презентація складена вчителем математики щодо уроку у 2 класі на тему «Периметр прямокутника». У 1 класі учні вже знаходили периметр різних фігур: трикутника, квадрата, прямокутника, багатокутника, але використовували при цьому лише дію складання. На цьому етапі відкриваються нові можливості для знаходження периметра прямокутника, оскільки діти знають множення. Мультимедійний.

Презентація на тему «Ломана лінія» дає учням 2 класу загальне уявлення про цю фігуру та вчить вимірювати її довжину. Показ слайдів допоможе пояснити тему кожному учневі, незважаючи на різний рівень підготовки дітей у класі. Вивчення нового матеріалу починається з розгляду картинки на одному із слайдів презентації, де кожен.

Презентація з логічними завданнями – це джерело матеріалу для розвитку розумових здібностей учнів 2 класу. Використовувати розробку можна лише на уроках математики. Її застосування буде доречним під час підготовки дітей до шкільних олімпіад, конкурсів, проведення позакласної роботи, організації тематичних предметних тижнів. На слайдах презентації є логічні завдання.

Презентація з грою «Поле чудес» з математики може бути використана під час позакласної роботи з предмета в будь-якому класі початкової школи (1, 2, 3, 4 клас). Як і телевізійна гра «Поле чудес», яка щоп'ятниці з'являється на екранах наших телевізорів, ця електронна гра викликає великий інтерес у дітей. Її запитання.

Презентація для уроку математики на тему «У скільки разів більше, у скільки разів менше» складена для роботи у 2 класі з УМК «Школа 2100» (Демідова). Інтерактивний посібник виконано з урахуванням програмних вимог та ФГОС, тому може бути використаний для проведення відкритого уроку з математики у 2 кл. До відкритого заходу.

Презентація з математики містить ряд простих завдань на множення та розподіл для 2 класу. Мультимедійна розробка виконана у вигляді тесту, тому може бути використана на уроці для перевірки вміння учнів вирішувати найпростіші завдання вивчених видів. Кожне завдання складено у віршованій формі. Цікавий сюжет не відволікає учнів від умови.

Комп'ютерна презентація виконана для уроку математики у 2 класі для знайомства школярів з назвою компонентів та результатів дії розподілу. Учні навчаться проводити розподіл чисел певну кількість рівних частин. Для цього їм пропонується ряд практичних завдань, що виконуються з опорою на наочність: усний рахунок, дії з двоцифровими числами, розподіл чисел.

КВК з презентацією може бути проведений як на уроці математики у 2 – 3 класі, так і при організації позакласної роботи на предметному тижні, в таборі. Завантажити посібник із конспектом математичного конкурсу можуть усі вчителі, які працюють у початковій школі, у ГПД. Учні мають провести невелику підготовчу роботу перед проведенням заходу.

Презентація, на сторінках якої на школярів чекає подорож на дивовижному кораблі з білими вітрилами, пропонує знайомство з числовими виразами. Це не простий урок математики, де вестиметься відточування обчислювальних навичок. Це маленька мандрівка за своїм особливим сценарієм, де знайдеться місце для вирішення завдань, для знайомства з героями книг Даніеля Дефо, для.

Презентація стане для вчителя чудовим мультимедійним посібником для 2 класу математики на тему «Компоненти множення». Вона наповнена якісним та досить цікавим матеріалом, що дає можливість систематизувати нові знання та організувати практичну роботу з вивчення нової теми. Тут на слайдах просто і зрозуміло наводяться теоретичні поняття, які слід запам'ятати. Учням пропонуються.

Презентація наповнена чудово для сприйняття школярами матеріалом для знайомства з новим розрядом багатозначних чисел. На уроці математики у 2 чи 3 класі йтиме рахунок сотнями, який увінчається знайомством із тисячею. Діти вирушають у подорож. У них є скрині зі скарбами. Усі багатства необхідно перерахувати. Ось так іде запам'ятовування.

Презентація допоможе організувати роботу на уроці математики з учнями 2 класу на тему «Рішення рівнянь». Посібник можна завантажити для роботи з навчальним посібником Петерсон (ПНШ) або за іншою ОС. Електронний посібник виконаний досить якісно. Воно зацікавить учнів, приверне їхню увагу до вивчення теми. Учні не просто знайомляться з рівностями, ст.

Презентацію виконано для вчителів початкової школи. З її використанням можна провести урок математики у 2 класі за підручником Петерсон (УМК «Перспектива», Навчуся вчитися» та інші) на тему «Окружність і коло». Переглядаючи посібник, працюючи з його матеріалом, учням буде нескладно запам'ятати нові терміни по темі, навчитися креслити коло та коло с.

Презентація виконана для супроводу уроку з математики Петерсон на 2 класи на тему «Дільники та кратні». На сторінках розробки школярі знайдуть усі визначення, які потрібно запам'ятати. Звернувшись до них кілька разів протягом заняття, можна бути впевненим, що цей матеріал залишиться в пам'яті. До того ж вдало підібрано наочність.

На основі цієї презентації на уроці математики у 2 класі можна провести перевірочний математичний диктант. Школярам всього лише потрібно читати завдання, виконувати їх усно і записувати в зошитах відповіді на питання, вирішувати завдання, виконувати самоперевірку виконаної роботи. Після виконання всіх завдань кожен учень зможе сам поставити собі оцінку, порахувавши.

Презентація дозволить вивчити закони множення суми на число та здійснити одночасно з учнями 2 класу на уроці математики подорож до Індії. Таке заняття буде надзвичайно цікавим для дітей. Їм сподобаються ті завдання, які запропонує вчитель. Вони із задоволенням працюватимуть на занятті, готуючись до множення двозначного числа на однозначне. На.

Презентація знайде застосування на уроці математики в 2 класі (УМК «Гармонія»), коли закріплюватиметься таблиця множення та поділу з числом 8. знайомство з новим матеріалом. Ось тому цей урок.

Презентація створена для тих, хто любить грати під час уроків математики. У 2-4 класі будь-яку математичну тему можна викласти в ігровій формі, але найбільше школярам подобаються ігри, які вимагають від дітей правильних відповідей на нелегкі питання, де потрібно вирішувати логічні завдання, згадувати історію, з'являтися кмітливість. Саме цю радість.

У презентації пропонується матеріал для проведення позакласного заходу з математики у початковій школі (2-4 клас) на тему «Математичний турнір». На 29 слайдах посібники школярам пропонуються завдання, які мають логічний характер, які викличуть інтерес до предмета та сприятимуть розширенню знань з різних тем, включаючи історію математики. Дітям потрібно.

Презентація виконана талановитим педагогом, який уже котрий рік навчає дітей в одній із шкіл Москви. Ганна Василівна Татузова просто обожнює математику, тому на її особистому сайті стільки посібників, які допоможуть провести цікавий урок в 1-2 класі. Деякі її посібники пропонуються лише за оформленим замовленням, деякі є.

Презентація пропонує матеріал для проведення уроку математики у 2 класі, на якому буде проводитися закріплення таблиці множення та поділу на 6. . Маша та Вітя.

Презентація розроблена для вивчення теми «Переміщувальна властивість множення». Урок математики в 2 класі вчитель провела з дітьми, що слабко чують, проте це зовсім не робить якихось обмежень у використанні запропонованого матеріалу. Його можна завантажити для знайомства або закріплення переміщувального закону та інших програм («Гармонія», «ПНШ», «Школа 2100» та інші). Використовуючи.

Презентація на тему «Множення та поділ на 1 та 0» допоможе розібратися з особливими випадками обчислень, які легко запам'ятовуються, якщо знати формули. Матеріал може бути використаний у 2 чи 3 класі. Завантажити його можна разом із конспектом та анотацією до роботи, в яких докладно розписані прийоми множення чисел на нуль.

Презентація представляє тренажер для закріплення таблиці множення та поділу з числом 9. Використовувати його можна для роботи з будь-яким УМК. Показати його буде цікаво як на уроках математики, так і вдома для дітей, які вивчають математику у 2 класі з УМК "Школа Росії", "Гармонія", "Школа 2100". Пропрацювавши його кілька разів.

У презентації пропонується корисний та цікавий матеріал, який можна використовувати для організації факультативу з математики або уроку у 2 класі. Це олімпіадні завдання, які часто зустрічаються дітям у конкурсах, на математичних олімпіадах у школі. Завдання сприятимуть розвитку логічного мислення. Вони викличуть інтерес до предмета, формуватимуть уміння знаходити рішення.

У презентації пропонуються завдання, які можна використовувати для виконання учнями 2 класу контрольної роботи з математики. Матеріал підібраний учителем, який не один рік відпрацював у початковій школі. Усі завдання перевірочної роботи відповідають вимогам програми. Роботу можна написати наприкінці 3 чверті за УМК «Школа 2100». Усі завдання представлені на.

Презентація знайомитиме дітей 2 класу з множенням та розподілом чисел. Закріплення теми під час уроці математики відбувається за сторінкам російської казки. У дівчинки гуси-лебеді вкрали її коханого братика. Потрібна термінова допомога, але цього разу завдання доведеться виконувати математичні, щоб просуватися далі. А для цього необхідно множити та ділити, вирішувати.

Презентація допоможе закріпити табличні випадки множення та поділу чисел на 5, 6, 7, 8, 9. На цей урок математики в гості до учнів 2 класу приходить Попелюшка. Її поява принесе радість молодшим школярам. Їхня увага активізується, зросте інтерес до вирішення завдань, пропонованих на 17 слайдах. Розробку можна завантажити і на.

Презентація пропонує школярам подорож країною геометрії, де вони знайомитимуться з кутами і вивчатимуть їх види, вчитися будувати, знаходити у складі запропонованих постатей, креслити у зошитах. Тема вивчається на уроці математики у 2 класі. Її матеріал не прив'язаний до конкретного підручника, тому використовувати посібник можна і роботи.

Презентація допоможе учням 2 класу, які займаються за програмою «Школа 21 століття» запам'ятати назви чисел у записах арифметичних дій складання, віднімання, поділу та множення. У розробці дано схеми, у яких є всі необхідні терміни. Усі головні назви виділені червоним кольором. На кожній схемі є приклад, що демонструє дію та підписано назви чисел.

Презентацію рекомендується завантажити для з'ясування на уроці математики (2 – 3 клас) зв'язку між діями поділу та множення. Матеріал виконаний слухачами кусів підвищення кваліфікації. Розробка може використовуватись тими, хто працює з УМК «Школа 2100». Посібник для заняття виконаний на 10 слайдах. Це правила, які школярам потрібно знати. Теоретичний матеріал.

У презентації зібрано основні правила щодо деяких випадків множення та поділу, які не є табличними. Їх необхідно запам'ятати, але зробити це найкраще через вивчення відповідних формул. Посібник допоможе провести урок за підручником Занкова або Аргінської, оскільки складено з урахуванням вимог ФГОС. На 9 слайдах розробки є низка.

Презентація знайомить школярів про те, що таке частки і дроби, як їх одержують і як записують, як відбувається перебування частки числа. Посібник викличе непідробний інтерес на уроці математики у 2 – 3 класі. Виконано воно зрозуміло та цікаво та може бути використане для будь-яких УМК комплексів (ПНШ, Школа 21 століття).

Презентація виконана у вигляді електронного тренажера для перевірки складання та віднімання в межах 20 на уроці математики у 2 класі. Електронна технологія може бути використана не тільки на навчальному занятті. З ним буде цікаво працювати школярам удома, тож скачати тренажер можуть усі, хто хоче довести до автоматизму знання табличних випадків.

У презентації пропонується цікавий дидактичний матеріал, який може бути використаний на уроках математики у 2 класі під час роботи з підручником Рудницької. Усі вправи підібрані відповідно до програми. Вони будуть цікаві школярам. Виконання їх не займе багато часу, але суттєво розрядить обстановку на занятті, допоможе змінити діяльність дітей, викличе.

Презентація створена на допомогу вчителям, які навчають учнів під час уроків математики у 2 класі вирішувати прості рівняння. На даному занятті, школярі вивчатимуть, як знайти невідоме віднімання, що зменшується. Вони повторять, як вирішуються ті рівняння, де необхідно знайти один із доданків, позначених іксом. У розробці багато цікавого матеріалу є слова Ейнштейна.

Презентація виконана до уроку математики у 2 класі за підручником Чекліна (ПНШ) для знайомства з тим, як знайти невідомий доданок. Заняття пропонується провести у цікавій формі. Школярі не просто вчаться вирішувати рівняння, вони вирушають у космічну подорож та виконують певні завдання. Така робота протягом 45 хвилин дасть чудові результати. Ні.

Презентація познайомить школярів із літром – основною одиницею вимірювання місткості. Ця технологія виконана для супроводу уроку математики у 2 - 3 класі (Петерсон). Переглядаючи 21 слайд електронної допомоги, школярі вивчатимуть нову тему та закріплюватимуть вивчене. Для цього в роботі достатньо інформації про вимір місткості (об'єму), використовуючи нову одиницю.

Тема №1.

Численні вирази. Перетворення числових виразів

I. Теоретичний матеріал

Основні поняття

· Натуральні числа

· Десятковий запис числа

· Протилежні числа

· Цілі числа

· Звичайний дріб

· Раціональні числа

· Нескінченний десятковий дріб

· Період числа, періодичний дріб

· Ірраціональні числа

· Дійсні числа

· Арифметичні дії

· Числове вираз

· Значення виразу

· Звернення десяткового дробу у звичайний

· Звернення звичайного дробу до десяткового

· Звернення періодичного дробу у звичайний

· Закони арифметичних дій

· Ознаки ділимості

Числа, які вживаються при рахунку предметів або для вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів, називаються натуральними. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такий запис чисел називають десятковий.

Наприклад: 24; 3711; 40125.

Безліч натуральних чисел прийнято позначати N.

Два числа, що відрізняються один від одного тільки знаком, називаються протилежнимичислами.

Наприклад, Числа 7 і - 7.

Числа натуральні, їм протилежні, а також число нуль складають безліч цілих Z.

Наприклад: – 37; 0; 2541.

Число виду , де m –ціле число, n –натуральне число, називається звичайною дробом. Зауважимо, що будь-яке натуральне число можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1.

Наприклад: , .

Об'єднання множин цілих і дробових чисел (позитивних та негативних) складає безліч раціональнихчисел. Його прийнято позначати Q.

Наприклад: ; – 17,55; .

Нехай дано десятковий дріб. Її значення не зміниться, якщо праворуч приписати будь-яку кількість нулів.

Наприклад: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Такий десятковий дріб називається нескінченним десятковим дробом.

Будь-який звичайний дріб можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу.

Група цифр, що повторюється послідовно, після коми в записі числа називається періодом, а нескінченний десятковий дріб, що має такий період у своєму записі, називається періодичної. Для стислості прийнято період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки.

Наприклад: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Нескінченні десяткові неперіодичні дроби називаються ірраціональнимичислами.

Об'єднання множин раціональних та ірраціональних чисел складає безліч дійснихчисел. Його прийнято позначати R.

Наприклад: ; 0,(23); 41,3574…

Число є ірраціональним.

Для всіх чисел визначено дії трьох ступенів:

· Дії I ступені: додавання та віднімання;

· Дії II ступені: множення та поділ;

· Дії III ступені: зведення в ступінь та вилучення кореня.

Вираз, складений із чисел, знаків арифметичних дій та дужок, називається числовим.

Наприклад: ; .

Число, отримане в результаті виконання дій, називається значенням виразу.

Числовий вираз не має сенсуякщо містить розподіл на нуль.

При знаходженні значення виразу виконуються послідовно дії III ступеня, II ступеня та наприкінці дії I ступеня. При цьому необхідно враховувати розміщення у числовому виразі дужок.

Перетворення числового виразу полягає в послідовному виконанні арифметичних дій над числами, що входять до нього, з використанням відповідних правил (правило складання звичайних дробів з різними знаменниками, множення десяткових дробів та ін.). Завдання на перетворення числових виразів у навчальних посібниках зустрічаються у наступних формулюваннях: «Знайдіть значення числового виразу», «Спростіть числове вираження», «Обчисліть» та ін.

При знаходженні значень деяких числових виразів доводиться виконувати події з дробами різного виду: звичайними, десятковими, періодичними. В цьому випадку буває необхідно звернути звичайний дріб у десятковий або виконати зворотну дію - замінити періодичний дріб звичайним.

Щоб звернути десятковий дріб у звичайний, достатньо в чисельнику дробу записати число, що стоїть після коми, а в знаменнику - одиницю з нулями, причому нулів має бути стільки, скільки цифр знаходиться праворуч від коми.

Наприклад: ; .

Щоб звернути звичайний дріб у десятковий, Треба розділити її чисельник на знаменник за правилом розподілу десяткового дробу на ціле число.

Наприклад: ;

;

.

Щоб звернути періодичний дріб у звичайний, Треба:

1) від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду;

2) записати цю різницю чисельником;

3) у знаменнику написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді;

4) дописати в знаменнику стільки нулів, скільки цифр між комою та першим періодом.

Наприклад: ; .

Закони арифметичних дій над дійсними числами

1. Переміщувальний(Комутативний) закон складання: від перестановки доданків значення суми не змінюється:

2. Переміщувальний(Комутативний) закон множення: від перестановки множників значення твору не змінюється:

3. Сполучний(асоціативний) закон складання: значення суми не зміниться, якщо якусь групу доданків замінити їх сумою:

4. Сполучний(асоціативний) закон множення: значення твору не зміниться, якщо якусь групу множників замінити їх твором:

.

5. Розподільний(Дистрибутивний) закон множення щодо додавання: щоб помножити суму на число, достатньо помножити кожен доданок на це число і скласти отримані твори:

Властивості 6 – 10 називають законами поглинання 0 та 1.

Ознаки подільності

Властивості, що дозволяють у деяких випадках, не роблячи поділ, визначити, чи ділиться одне число на інше, називаються ознаками подільності.

Ознака ділимості на 2.Число ділиться на 2 і тоді, коли запис числа закінчується на парнуцифри. Тобто на 0, 2, 4, 6, 8.

Наприклад: 12834; –2538; 39,42.

Ознака ділимості на 3. Число ділиться на 3 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Наприклад: 2742; –17940.

Ознака ділимості на 4. Число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 4 двоцифрове число, утворене останніми двома цифрами заданого числа.

Наприклад: 15436; –372516.

Ознака ділимості на 5. Число ділиться на 5 і тоді, коли його остання цифра або 0, або 5.

Наприклад: 754570; –4125.

Ознака ділимості на 9. Число ділиться на 9 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

Наприклад: 846; –76455.