Знаки косинуса синуса та тангенсу по чвертях. Знаки тригонометричних функцій

Тип уроку:систематизації знань та проміжного контролю.

Обладнання:тригонометричне коло, тести, картки із завданнями.

Цілі уроку:систематизувати вивчений теоретичний матеріал за визначенням синусу, косинуса, тангенсу кута; перевірити ступінь засвоєння знань з цієї теми та застосування на практиці.

Завдання:

• Узагальнити та закріпити поняття синуса, косинуса та тангенсу кута.
• Формувати комплексне уявлення про тригонометричні функції.
• Сприяти виробленню в учнів бажання та потреби вивчення тригонометричного матеріалу; виховувати культуру спілкування, вміння працювати у групах та потреби у самоосвіті.

«Хто змолоду робить і думає сам, той
стає потім, надійнішим, міцнішим, розумнішим.

(В.Шукшин)

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

Клас представлений трьома групами. У кожній групі – консультант.
Вчитель повідомляє тему, цілі та завдання уроку.

ІІ. Актуалізація знань (фронтальна робота із класом)

1) Робота в групах за завданнями:

1. Сформулювати визначення sin кута.

– Які знаки має sin α у кожній координатній чверті?
– При яких значеннях має сенс, вираз sin α і які значення воно може набувати?

2. Друга група ті ж питання для cos α.

3. Третя група відповіді готує з тих самих питань tg α і ctg α.

У цей час троє учнів самостійно працюють біля картки (представники різних груп).

Картка №1.

Практична робота.
За допомогою одиничного кола обчислити для кута 50, 210 і - 210 значення sin, cos і tg.

Картка №2.

Визначити виразний знак: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 та sin 2.

Картка №3.

1) Обчислити:
2) Порівняти: cos 60 та cos 2 30 – sin 2 30

2) Усно:

а) Запропоновано низку чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Серед них є зайві. Яка властивість sin або cos може виражати ці числа (Чи може sin або cos приймати ці значення).
б) Чи має вираз: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (-5); ; ctg0;
ctg (-π). Чому?
в) Чи існує найменше та найбільше значення sin або cos, tg, ctg.
г) Чи правильно?
1) α = 1000 є кутом ІІ чверті;
2) α = - 330 є кутом IV чверті.
д) Числам відповідає та сама точка на одиничному колі.

3) Робота біля дошки

№ 567 (2; 4) – Знайти значення виразу
№ 583 (1-3) Визначити виразний знак

Домашнє завдання:таблиці в зошит. № 567(1, 3) № 578

ІІІ. Засвоєння додаткових знань. Тригонометрія у долоні

Вчитель:Виявляється, значення синусів та косінусів кутів «знаходяться» на вашій долоні. Протягніть руку (будь-яку) і розведіть якнайсильніше пальці (як на плакаті). Запрошується один учень. Ми вимірюємо кути між нашими пальцями.
Береться трикутник, де є кут 30, 45 і 60 90 і прикладаємо вершину кута до пагорба Місяця на долоні. Бугор Місяця знаходиться на перетині продовжень мізинця та великого пальця. Один бік поєднуємо з мізинцем, а інший бік – з одним з решти пальців.
Виявляється між мізинцем і великим пальцем кут 90, між мізинцем та безіменним – 30, між мізинцем та середнім – 45, між мізинцем та вказівним – 60. І це у всіх людей без винятку

мізинець № 0 – відповідає 0,
безіменний № 1 – відповідає 30,
середній № 2 - відповідає 45,
вказівний № 3 – відповідає 60,
великий № 4 - відповідає 90.

Таким чином, у нас на руці 4 пальці і запам'ятаємо формулу:

Це просто мнемічне правило. Взагалі значення sin або cos α треба знати напам'ять, але іноді це правило допоможе у важку хвилину.
Придумайте правило для cos (кути без зміни, а відліку від великого пальця). Фізична пауза, пов'язана зі знаками sin або cos α.

IV. Перевірка засвоєння ЗУН

Самостійна робота зі зворотним зв'язком

Кожен учень отримує тест (4 варіанти) та лист з відповідями для всіх однаковий.

Тест

Варіант 1

1) При якому куті повороту радіус займе те саме положення, що і при повороті на кут 50.
2) Знайдіть значення виразу: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Яке з чисел менше від нуля: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Варіант 2

1) При якому куті повороту радіус займе те саме положення, що і при повороті на кут 10.
2) Знайти значення виразу: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Яке з чисел більше від нуля: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Варіант 3

1) Знайдіть значення виразу: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Яке з чисел менше від нуля: sin 40, cos (– 10), tg 210, sin 140.
3) Кутом якої чверті є кут α, якщо sin α > 0, cos α< 0.

Варіант 4

1) Знайдіть значення виразу: tg 60 - 6ctg 90.
2) Яке з чисел менше від нуля: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Кутом якої чверті є кут α, якщо ctg α< 0, cos α> 0.

(слово – тригонометрія ключове)

V. Відомості з історії тригонометрії

Вчитель:Тригонометрія – це досить важливий розділ математики життя людини. Сучасний вид тригонометрії надав найбільший математик 18 століття Леонард Ейлер - швейцарець за походженням довгі роки працював у Росії і був членом Петербурзької академії наук. Він запровадив відомі визначення тригонометричних функцій сформулював і довів відомі формули, ми їх навчатимемо пізніше. Життя Ейлера дуже цікаве і я раджу познайомитися з нею за книгою Яковлєва «Леонард Ейлер».

(Повідомлення хлопців на цю тему)

VI. Підбиття підсумків уроку

Гра «Хрестики – нулики»

Беруть участь двоє найактивніших учнів. Їх підтримують групи. Розв'язання завдань записується у зошит.

Завдання

1) Знайти помилку

а) sin 225 = - 1,1 в) sin 115< О
б) cos 1000 = 2 г) cos (-115) > 0

2) Виразіть у градусах кут
3) Виразіть у радіанах кут 300
4) Яке найбільше та найменше значення може мати вираз: 1+ sin α;
5) Визначте знак виразу: sin 260, cos 300.
6) У якій чверті числового кола розташована точка
7) Визначте знаки виразу: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Обчисліть:
9) Порівняти: sin 2 та sin 350

VII. Рефлексія уроку

Вчитель:Де ми можемо зустрітися із тригонометрією?
На яких уроках у 9 класі та й зараз ви застосовуєте поняття sin α, cos α; tg α; ctg α та з якою метою?

Дозволяють встановити низку характерних результатів – властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. У цій статті ми розглянемо три основні властивості. Перше вказує знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута α залежно від цього, кутом якої координатної чверті є α . Далі ми розглянемо властивість періодичності, що встановлює незмінність значень синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу кута при зміні цього кута на ціле число оборотів. Третя властивість виражає залежність між значеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу протилежних кутів α і −α .

Якщо Вас цікавлять властивості функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса, їх можна вивчити у відповідному розділі статті .

Навігація на сторінці.

Знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу по чвертях

Нижче в цьому пункті зустрічатиметься фраза «кут I, II, III і IV координатної чверті». Пояснимо, що це за кути.

Візьмемо одиничну коло , відзначимо на ній початкову точку А(1, 0) , і повернемо її навколо точки O на кут α, при цьому вважатимемо, що ми потрапимо до точки A 1 (x, y) .

Кажуть що кут α є кутом I, II, III, IV координатної чвертіякщо точка А 1 лежить в I, II, III, IV чверті відповідно; якщо ж кут такий, що точка A 1 лежить на будь-якій з координатних прямих Ox або Oy , то цей кут не належить жодній з чотирьох чвертей.

Для наочності наведемо графічну ілюстрацію. На кресленнях нижче зображені кути повороту 30, -210, 585 і -45 градусів, які є кутами I, II, III і IV координатних чвертей відповідно.

Кути 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градусів не належать жодній з координатних чвертей.

Тепер розберемося, які знаки мають значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α залежно від того, кутом якої чверті є α .

Для синуса та косинуса це зробити просто.

За визначенням синус кута - це ордината точки А 1 . Вочевидь, що у І і ІІ координатних чвертях вона позитивна, а III і IV чвертях – негативна. Таким чином, синус кута α має знак плюс у I та II чвертях, а знак мінус – у III та VI чвертях.

У свою чергу косинус кута α - це абсцис точки A 1 . У І та IV чвертях вона позитивна, а у ІІ та ІІІ чвертях – негативна. Отже, значення косинуса кута α у І та IV чвертях позитивні, а у II та III чвертях – негативні.

Щоб визначити знаки по чвертях тангенсу та котангенсу, потрібно згадати їх визначення: тангенс – це відношення ординати точки A 1 до абсциси, а котангенс – відношення абсциси точки A 1 до ординати. Тоді з правил розподілу чиселз однаковими та різними знаками слід, що тангенс і котангенс мають знак плюс, коли знаки абсциси та ординати точки A 1 однакові, і мають знак мінус – коли знаки абсциси та ординати точки A 1 різні. Отже, тангенс і котангенс кута мають знак + у І та ІІІ координатних чвертях, і знак мінус – у ІІ та ІV чвертях.

Дійсно, наприклад, у першій чверті і абсцису x, і ордината y точки A 1 позитивні, тоді і приватне x/y, і приватне y/x - позитивно, отже, тангенс і котанген мають знаки + . А в другій чверті абсцису x – негативна, а ордината y – позитивна, тому і x/y та y/x – негативні, звідки тангенс і котангенс мають знак мінус.

Переходимо до наступної властивості синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Властивість періодичності

Зараз ми розберемо, мабуть, найбільш очевидну властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута. Воно полягає в наступному: при зміні кута на ціле число повних обертів значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу цього кута не змінюються.

Це і зрозуміло: при зміні кута на ціле число обертів ми з початкової точки А завжди потраплятимемо в точку А 1 на одиничному колі, отже значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса залишаються незмінними, оскільки незмінні координати точки A 1 .

За допомогою формул аналізовану властивість синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу можна записати так: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tg(α+2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , де α - кут повороту в радіанах, z - будь-яке , абсолютна величина якого вказує кількість повних оборотів, на які змінюється кут α , а знак числа z вказує напрямок повороту.

Якщо ж кут повороту α заданий у градусах, то зазначені формули перепишуться у вигляді sin(α+360°z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, , так як , а . Ось ще приклад: або .

Ця властивість разом із формулами приведення дуже часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу «великих» кутів.

Розглянуту властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу іноді називають властивістю періодичності.

Властивості синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів

Нехай А 1 – точка, отримана внаслідок повороту початкової точки А(1, 0) навколо точки O на кут α, а точка А 2 – це результат повороту точки А на кут −α протилежний куту α .

Властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів базується на досить очевидному факті: згадані вище точки А 1 і А 2 або збігаються (при ), або розташовуються симетрично щодо осі Ox . Тобто, якщо точка A 1 має координати (x, y) то точка А 2 матиме координати (x, −y) . Звідси за визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу записуємо рівності та .
Зіставляючи їх, приходимо до співвідношень між синусами, косинусами, тангенсами та котангенсами протилежних кутів α і −α виду .
Це і розглядається властивість у вигляді формул.

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, справедливі рівності та .

Залишається лише помітити, що властивість синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів протилежних кутів, як і попередня властивість, часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, і дозволяє повністю уникнути негативних кутів.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Сінусомчисла аназивається ордината точки, що зображує це число на числовому колі. Синусом кута в арадіан називається синус числа а.

Сінус- функція числа x. Її область визначення

Область значень синуса- відрізок від -1 до 1 , так як будь-яке число цього відрізка на осі ординат є проекцією будь-якої точки кола, але ніяка точка поза цим відрізком не є проекцією будь-якої з цих точок.

Період синусу

Знак синуса:

1. синус дорівнює нулю при , де n- будь-яке ціле число;

2. синус позитивний при , де n- будь-яке ціле число;

3. синус від'ємний при

Де n- Будь-яке ціле число.

Сінус- функція непарна xі -x, їх ординати - синуси - виявляться також протилежними. Тобто для будь-кого x.

1. Синус зростає на відрізках , де n- Будь-яке ціле число.

2. Cинус зменшується на відрізку , де n- Будь-яке ціле число.

При ;

при .

Косінус

Косинусомчисла аназивається абсцис точки, що зображує це число на числовому колі. Косинусом кута в арадіан називається косинус числа а.

Косінус- Функція числа. Її область визначення- безліч всіх чисел, так як у будь-якого числа можна знайти ординату, що зображає його точки.

Область значень косинуса- відрізок від -1 до 1 , так як будь-яке число цього відрізка на осі абсцис є проекцією будь-якої точки кола, але ніяка точка поза цим відрізком не є проекцією будь-якої з цих точок.

Період косинусадорівнює. Адже через кожні положення точки, що зображує число, точно повторюється.

Знак косинуса:

1. косинус дорівнює нулю при , де n- будь-яке ціле число;

2. косинус позитивний при , де n- будь-яке ціле число;

3. косинус від'ємний при , де n- Будь-яке ціле число.

Косінус- функція парна. По-перше, область визначення цієї функції є безліч всіх чисел, отже, симетрична щодо початку відліку. А по-друге, якщо відкласти від початку два протилежні числа: xі -x, то їхні абсциси - косинуси - виявляться рівними. Тобто

для будь-кого x.

1. Косинус зростає на відрізках , де n- Будь-яке ціле число.

2. Косинус зменшується на відрізках , де n- Будь-яке ціле число.

при;

при .

Тангенс

Тангенсомчисла називається відношення синуса цього числа до косінус цього числа: .

Тангенсомкута в арадіан називається тангенс числа а.

Тангенс- Функція числа. Її область визначення- множина всіх чисел, у яких косинус не дорівнює нулю, тому що ніяких інших обмежень у визначенні тангенсу немає. І оскільки косинус дорівнює нулю при , то де .

Область значень тангенсу

Період тангенсу x(Не рівні ), що відрізняються один від одного на , і провести через них пряму, то ця пряма пройде через початок координат і перетне лінію тангенсів в деякій точці t. Ось і вийде, що , тобто число є періодом тангенсу.

Знак тангенсу:тангенс - ставлення синуса до косінус. Значить, він

1. дорівнює нулю, коли синус дорівнює нулю, тобто при , де n- Будь-яке ціле число.

2. позитивний, коли синус та косинус мають однакові знаки. Це буває тільки в першій і третій чвертях, тобто при , де а- Будь-яке ціле число.

3. негативний, коли синус і косинус мають різні знаки. Це буває тільки в другій і четвертій чвертях, тобто при , де а- Будь-яке ціле число.

Тангенс- функція непарна. По-перше, область визначення цієї функції симетрична щодо початку відліку. А по-друге, . З огляду на непарності синуса і парності косинуса, чисельник отриманого дробу дорівнює , та її знаменник дорівнює , отже, сам цей дріб дорівнює .

Ось і вийшло, що .

Значить, тангенс зростає на кожній ділянці своєї галузі визначення, тобто на всіх інтервалах виду , де а- Будь-яке ціле число.

Котангенс

КотангенсомЧисло називається відношення косинуса цього числа до синуса цього числа: . Котангенсомкута в арадіан називається котангенс числа а. Котангенс- Функція числа. Її область визначення- множина всіх чисел, у яких синус не дорівнює нулю, тому що ніяких інших обмежень у визначенні котангенсу немає. І оскільки синус дорівнює нулю при , то де

Область значень котангенсу- множина всіх дійсних чисел.

Період котангенсудорівнює. Адже якщо взяти будь-які два допустимі значення x(Не рівні ), що відрізняються один від одного на , і провести через них пряму, то ця пряма пройде через початок координат і перетне лінію котангенсів в деякій точці t. Ось і вийде, що , тобто число є періодом котангенса.