Уравнение пуассона в сферических координатах. Уравнение пуассона и математическая постановка задач электростатики

Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

Если ввести оператор , называемый оператором Лапласа , то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно

и .

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

О постановке задачи математической физики

И ее корректности

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящее от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Тут можно провести аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями, когда для выделения из общего решения частного, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, отыскивались по этим условиям произвольные постоянные. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия, заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия,

так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.

Физическая задача решается по схеме:

1) реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);

2) выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;

3) на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;

4) выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в соответствии с выбранными законами.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.

Примеры

ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:

Решение. Преобразуем уравнение а)

Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка

и .

Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция . Действительно, раскрывая , получим

ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что

Уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка, для которого ;

Уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относительно старших частных производных;

Уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего порядка.

ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение .

Решение. Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от : , поскольку, дифференцируя по , получим ноль, а это значит, что данное равенство выполняется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию .

ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение , где заданная функция.

Решение. Интегрируя по , восстановим искомую функцию

Где произвольная функция.

Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произвольную функцию . Такое решение называется общим. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.

ПРИМЕР 2.40. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: . Положим , после чего данное уравнение принимает вид . Как было установлено в примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: , где произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: . Проинтегрировав полученный результат по , получим

где и произвольные дважды дифференцируемые функции.

Легко проверить, что найденная функция удовлетворяет данному уравнению.

Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.

Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произвольные постоянные.

В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = - grad j . В то же время согласно теореме Гаусса

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

.

Вынесем минус за знак дивергенции

.

Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ свб =0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде

Произведем почленное умножение и получим

.

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

. (11.29)

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

. (11.30)

Приведем без вывода выражения Ñ 2 j в цилиндрической системе координат

, (11.31)

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV - элемент объема, ds -элемент заряженной поверхности, dl - элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R , в соответствии с формулой (11.20) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

. (11.33)

В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R . Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R .

Граничные условия

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе - в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

Я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Уравнение Пуассона

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

Где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля . Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В мы разберём важное распределение из математической статистики - распределение Больцмана.

Теги:

• физика
• электростатики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Описывает адиабатный процесс, протекающий в . Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой: .

Уравнение Пуассона имеет вид:

Здесь – объем, занимаемый газом, – его , а величина называется показателем адиабаты.

Показатель адиабаты в уравнении Пуассона

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен , для двухатомного – , а для трёхатомного – .

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет . Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного . После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до . Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики: , где — , а А – выполняемая над ней работа. Поскольку то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2