Урок "Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции y = f(x)".

Материал, представленный в видеоуроке, является продолжением темы построения графиков функций путем различных преобразований. Мы рассмотрим, как строится график функции y= f (kx ), если известен график функции у= f (x ) . В данном случае k - любое действительное число, не равное нулю.

Вначале рассмотрим случай, когда k - положительное число. Для примера построим график функции у= f (3 x ) , если график функции у= f (х) у нас есть. На рисунке на оси координат изображен график у= f (х ), на котором есть точки с координатами А и В. Выбирая произвольные значения х и подставляя их в функцию у= f (3 x ), находят соответствующие значения функции у . Таким образом, получают точки графика функции у= f (3 x ) А 1 и В 1 , у которых ординаты такие же, как у точек А и В. То есть мы можем сказать, что из графика функции у= f (x ) путемсжатия с коэффициентом k к оси ординат можно получить график функции y= f (kx ) . Важно отметить, что точки пересечения с осью ординатпри сжатии остаются на прежнем месте.

В случае, когда k - отрицательное число, график функции y= f (kx ) преобразовывается из графика функции у= f (x ) путем растяжения от оси ординат с коэффициентом 1/ k .

1) вначале строится часть волны графика функции у = sin х (см. рисунок);

2) т.к. k = 2, выполняется сжатие графика функции у= sinx к оси ординат, коэффициент сжатия равен 2. Находим точку пересечения с осью x . Т.к. график функции у = sin х пересекает ось абсцисс в точке π, то график функции у = sin 2 х пересекает ось абсцисс в точке π/k = π/2.Аналогичным способом находятся все остальные точки графика функции у = sin 2x и по этим точкам строится весь график.

Рассмотрим 2-й пример - построение графика функции у = cos (x/2) .

1) строим часть волны графика функции у = cosх (см. рисунок);

2) т.к. k =1/2, выполняем растяжение графика функции у = sin х от оси ординат с коэффициентом ½.

Найдем точку пересечения графика с осью х . Т.к. график функции у = cos х пересекает ось абсцисс в точке π/2, то график функции у = cos (x/2) пересекает ось абсцисс в точке π. Таким же образом находим все остальные точки графика функции у = cos (x/2) , построим по этим точкам весь график.

Далее рассмотрим вариант построения графика функции y = f (kx ), где k - число отрицательное. Например, при k = -1 функция y = f (kx ) = f (- x ). На рисунке изображен график у= f (х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбрав произвольные значения х и подставив их в функцию y = f (- x ), находим соответствующие значения функции у . Получим точки графика функции y = f (- x ) А 1 и В 1 , которые будут симметричны точкам А и В относительно оси ординат. То есть при использовании симметрии относительно оси ординат из графика функции у= f (kx ) получаем график функции y= f (- x ).

Переходим к построению графика функции y = f (kx ) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) построим часть волны графика у = sin х ;

2) т.к. k = 4, выполним растяжение полуволны графика относительно оси абсцисс, где коэффициент растяжения равен 4;

3) выполним симметричное преобразование относительно оси абсцисс;

4) произведем растяжение от оси ординат (коэффициент растяжения равен 2);

5) завершим построение всего графика.

В данном видеоуроке мы подробно рассмотрели, каким образом поэтапно можно построить график функции y= f (kx ) при разных значениях k .

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Сегодня познакомимся с преобразованием, которое поможет научиться строить график функции у = f (kx)

(игрек равен эф от аргумента, который представляет произведение ка и икс), если известен график функции у = f (x) (игрек равно эф от икс), где ка - любое действительное число (кроме нуля)».

1) Рассмотрим случай, когда k - положительное число на конкретном примере, когда k = 3.То есть нужно построить график функции

у = f (3x) (игрек равен эф от трех икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике функции у = f (x) есть точка А с координатами (6; 5) и В с координатами (-3; 2). Это значит, что f (6) = 5 и f (- 3) = 2 (эф от шести равно пяти и эф от минус трех равно двум). Проследим за перемещением этих точек при построении графика функции у = f (3x).

Возьмем произвольное значение х = 2, вычислим у, подставив значение х в график функции у = f (3x) , получим, что у = 5. (на экране: у = f (3x) = f (3∙2)= f (6) = 5.) То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с А 1 координатами (2; 5). Если же х = - 1, то подставив значение х в график функции у = f (3x), получим значение у= 2.

(На экране: у = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с координатами В 1 (- 1; 2). Итак, на графике функции у = f (3x) есть точки с той же ординатой, что и на графике функции у = f (x), при этом абсцисса точки в два раза меньше по модулю.

То же будет справедливо и для других точек графика функции у = f (x), когда мы будем переходить к графику функции у = f (3x).

Обычно такое преобразование называют сжатием к оси у(игрек) с коэффициентом 3.

Следовательно, график функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (x) с помощью сжатия к оси у(игрек) с коэффициентом k. Заметим, что при таком преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ординат.

Если же k меньше единицы, то говорят не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом (то есть, если k = , то говорят о растяжении с коэффициентом 4).

ПРИМЕР 1. Построить график функции у = sin 2x (игрек равен синусу двух икс).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = sin x на промежутке от ноля до пи. Так как коэффициент равен двум, а значит k - положительное число больше единицы, значит осуществим сжатие графика функции у = sin x к оси ординат с коэффициентом 2. Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = sin x пересекает ось ОХ в точке π, то график функции у = sin 2x будет пересекать в точке (π: k =π: 2 =)(пи делим на ка равно пи деленное на два равно пи на два). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = sin2 x. Так, точке графика функции у = sin x с координатами (;1) будет соответствовать точка графика функции у = sin 2x с координатами (;1). Таким образом получим одну полуволну графика функции у = sin 2x. Используя периодичность функции построим весь график.

ПРИМЕР 2. Построить график функции у = cos (игрек равен косинусу частного икс и двух).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = cos x. Так как k - положительное число меньше е единицы, значит осуществим растяжение графика функции у = cos x от оси ординат с коэффициентом 2.

Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = cos x пересекает ось ОХ в точке, то график функции у = cos будет пересекать в точке π. (: k =π: = π). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = cos. Таким образом получим одну полуволну искомого графика функции. Используя периодичность функции построим весь график.

Рассмотрим случай, когда k равно минус единице. То есть нужно построить график функции у = f (-x) (игрек равен эф от минус икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике есть точка А с координатами (4; 5) и точка В (-5; 1). Это значит, что f (4) = 5 и f (- 5) = 1.

Так как при подстановке в формулу у = f (-x) вместо х = - 4 получим у = f (4) = 5, то на графике функции у = f (-x) есть точка с координатами А 1

(- 4 ; 5) (минус четыре, пять). Аналогично, графику функции у = f (-x) принадлежит точка В 1 (5; 1).То есть графику функции у = f (x) принадлежат точки А(4; 5) и В(-5; 1), а графику функции у = f (-x) принадлежат точки А 1 (- 4; 5) и В 1 (5; 1). Эти пары точек симметричны относительно оси ординат.

Следовательно, график функции у = f (-x) с помощью преобразования симметрии относительно оси ординат можно получить из график функции у = f (x).

3) И, наконец, рассмотрим случай, когда k - отрицательное число. Учитывая, что равенство f (kx) = f (- |k|x) (эф от произведения ка на икс равно эф от произведения минус модуля ка и икса) справедливое, то речь идет о построении графика функции у = f (- |k|x), который можно построить поэтапно:

1) построить график функции у = f (x);

2) построенный график подвергнуть сжатию или растяжению к оси ординат с коэффициентом |k| (модуль ка);

3) осуществить преобразование симметрии относительно оси у

(игрек) полученного во втором пункте графика.

ПРИМЕР 3. Построить график функции у = 4 sin (-) (игрек равно четыре, умноженное на синус частного минус икс на два).

Решение. Прежде всего вспомним, что sin(- t) = -sint(синус от минус тэ равно минус синусу тэ), значит, у = 4 sin (-) = - 4 sin (игрек равен минус четырем, умноженным на синус частного икс на два). Строить будем поэтапно:

1) Построим одну полуволну графика функции у= sinх.

2) Осуществим растяжение построенного графика от оси абсцисс с коэффициентом 4 и получим одну полуволну графика функции

у= 4sinх(игрек равно четыре, умноженное на синус икс).

3) К построенной полуволне графика функции у= 4sinх применим преобразование симметрии относительно оси х(икс) и получим полуволну графика функции у= - 4sinх.

4) Для полуволны графика функции у= - 4sinх осуществим растяжение от оси ординат с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции - 4 sin .

5) С помощью полученной полуволны построим весь график.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: («игрек равно эф от икс»). Символом также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

Пример 1

Медицинский термометр

Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет зависеть от температуры вашего тела. Например, если x -- температура вашего тела в градусах Цельсия, а y -- высота, на которую поднимется ртуть в миллиметрах, то записать зависимость x от y можно так: y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} . Если 0.1°C соответствует 1 мм, то f (x) = 10 (x − 35) {\displaystyle f(x)=10(x-35)} (т.е. ). Догадайтесь, почему надо вычитать 35?

Давайте найдём на какую высоту поднимется ртуть при температуре тела 36,6°C:
f (36 , 6) = 10 (36 , 6 − 35) = 16 {\displaystyle f(36{,}6)=10(36{,}6-35)=16} (мм)

Пример 2

Зависимость длины рельсы от температуры.

Пример 3

Решим задачу:
Функция задана формулой: f (x) = 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x+1} . Найдите: f (1) {\displaystyle f(1)} ; f (2) {\displaystyle f(2)} ; f (3) {\displaystyle f(3)} ; f (7 , 1) {\displaystyle f(7{,}1)} ;
Решение:
f (1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3}
f (2) = 2 ⋅ 2 + 1 = 5 {\displaystyle f(2)=2\cdot 2+1=5}
f (3) = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 {\displaystyle f(3)=2\cdot 3+1=7}
f (7 , 1) = 2 ⋅ 7 , 1 + 1 = 15 , 2 {\displaystyle f(7{,}1)=2\cdot 7{,}1+1=15{,}2}
Ответ: f (1) = 3 {\displaystyle f(1)=3} ; f (2) 1 = 5 {\displaystyle f(2)1=5} ; f (3) = 7 {\displaystyle f(3)=7} ; f (7 , 1) = 15 , 2 {\displaystyle f(7{,}1)=15{,}2} .

Область определения и область значений функции

Функция y = f (x) {\displaystyle y=f(x)} является заданной, если указана область определения и правило, по которому можно определить значение функции по заданному значению аргумента x. Если область определения не задана, то считают, что областью определения являются все значения аргумента, при котором f (x) {\displaystyle f(x)} имеет смысл.

Пример 1

Пример с тем же градусником. Областью определения функции y = 10 (x − 35) {\displaystyle y=10(x-35)} будет шкала градусника. Например, от 35°C до 42°C (т.е. закрытый интервал [ 35 ; 42 ] {\displaystyle } ). Область значений будет высота от 0 мм до 70 мм (т.е. ). Наша функция является заданной.

Пример 2

Решим задачу:
g (x) = x + 7 {\displaystyle g(x)={\sqrt {x+7}}} . Определите область определения функции.
Решение:
Областью определения функции являются все допустимые выражения g (x) {\displaystyle g(x)} . То есть область определения будут все значения x, при которых подкоренное выражение будет больше или равно нулю:
x + 7 ⩾ 0 {\displaystyle x+7\geqslant 0}

Ответ: x ⩾ − 7 {\displaystyle x\geqslant -7} или x ∈ [ − 7 ; + 1) {\displaystyle x\in [-7;+{\mathcal {1}})} .

График функции

С графиками некоторых функций вы уже знакомились в предыдущих классах.

Разберем определение подробнее:

- Что значит «…зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\)…»?

Наглядный пример: предположим, вы пришли в магазин купить конфеты, которые продаются вразвес и стоят по \(100\) рублей килограмм. Вопрос – сколько денег вы заплатите? Ответ: смотря сколько конфет купим! Действительно, купим два килограмма – заплатим \(200\) рублей, купим четыре с половиной – заплатим \(450\) рублей. То есть, цена покупки зависит от количества килограмм. Или, иначе говоря, цена покупки есть функция от количества купленных килограмм.

И если количество килограмм обозначить за \(x\), а цену покупки - за \(y\), то можно записать: \(y=100x\). Фактически, эта запись и есть функция. При этом понятно, что \(x\) изменяется по нашему желанию. Поэтому:

\(x\) называется независимой (свободной) переменной или аргументом функции .

Игрек же меняется автоматически, не сам по себе, а потому что изменился \(x\). Поэтому:

\(y\) называется зависимой переменной или функцией икса.

Эту связь между иксом и игреком можно пояснить такой аналогией: игрек – это телевизор, а икс – пульт от него. И если вы хотите, например, увеличить звук - вы не лезете внутрь телевизора и не пытаетесь вручную поменять напряжение в его резисторах, а просто нажимаете кнопку на пульте – и звук меняется. То есть звук поменялся не сам по себе, а потому что вы нажали кнопку. При этом с самим телевизором вы ничего не делали.

- Что значит «…каждому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\)»?
Если мы в полученную выше функцию \(y=100x\) поставим вместо икса, например, тройку, то получим, что игрек равен \(100·3=300\). И сколько бы раз мы не подставляли вместо икса тройку – мы всегда будем получать, что игрек равен \(300\). Мы никак не сможем получить другое значение игрека, если будем подставлять один и тот же икс. В этом и заключается смысл записи «каждому значению икса – только одно значение игрека».

Отметим, что игрек может быть одинаков для нескольких иксов. Например, функция \(y=x^2-6x+9\) имеет одинаковые значения игрека для икса равного \(1\) и для икса равного \(5\).

\(x=1\) \(y=1^2-6·1+9=4\)
\(x=5\) \(y=5^2-6·5+9=4\)

Однако это никак не противоречит сказанному выше: сколько бы мы не подставляли вместо икса \(1\) или \(5\) – мы всегда будем получать только «игрек равен \(4\)».

Вообще понятие функции гораздо шире рассмотренного выше, потому что функцией можно назвать не только «вычисления по формуле», но и любую зависимость элементов. При этом обязательно должно выполняться требование «одному иксу – один игрек». Для ясности приведем еще несколько примеров из жизни.

Например, зависимость типа «человек» - «рост человека» вполне можно считать функцией, потому что для каждого «икса» (то есть каждого отдельного человека) есть свой «игрек» (рост этого человека). Причем значение игрека (роста) определяется тем, какой икс (то есть какого именно человека) мы взяли, и это значение - только одно.

А вот зависимость типа «человек» - «хобби человека» уже не функция! Потому что требование «одному иксу – один игрек» здесь не выполняется, ведь у человека (икса) может быть и два, и три, и десять разных хобби (игреков).

Еще пример: вы шли по улице и нашли \(100\) рублей. Значит ли это, что пройдя по этой улице \(10\) раз, вы найдете \(1000\) рублей? Нет, не значит, потому что здесь нет зависимости между прогулкой и найденной суммой. Это случайность, а не функция.

Способы задания функции

Функция может задаваться:
- аналитически (в виде «формулы»):
например , \(y=100x\) или \(y=x^2-6x+9\)

- таблично (таблица значений «икса» и соответствующих ему значений «игрека»):

- графически (в виде графика):
например ,

Зачастую одну и ту же функцию можно задать разными способами. Например, при мы как раз функцию, заданную аналитически, представляем в графическом виде.

Обратите внимание: на график функции требование «одному иксу – один игрек» также распространяется!

Виды функций

В школьном курсе подробно изучаются следующие виды функций:

- (имеет график - прямая) - все функции, приводимые к виду \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) – числа. В этих функциях икс только в первой степени и нет переменных в знаменателях.
- (график - парабола) – функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\). Здесь обязательно есть икс в квадрате. А вот икс в первой степени или свободные члены \(c\) – могут отсутствовать.
Обратной пропорциональности (график - гипербола) – задается формулой \(y=\) \(\frac{k}{x}\) , причем \(k≠0\).		\(y=\)\(\frac{3}{x}\)

В старших классах также изучается степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции.

Тема нашего урока: «Преобразование графиков игрек равно эф от ка икс».

Прежде чем приступить к изучению темы, выполните упражнения. Зная графики функций игрек равно синус икс и игрек равно косинус икс, построить графики функции: игрек равно синус икс плюс два. Игрек равно два косинус икс. Игрек равно минус три синус икс.

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся еще с одним видом преобразований графиков игрек равно эф от ка икс. Сначала рассмотрим преобразование при ка больше нуля.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус икс на два.

Если икс равно пи, то игрек равно синус пи на два и равен единице. Заметим, что одна вторая находится в промежутке от нуля до единицы.

Абсциссы точек графика функции игрек равно эф от ка икс получаются делением абсцисс соответствующих точек графика функции игрек равно эф от икс на число ка. Если ка находится в промежутке от нуля до единицы, то такое преобразование называют растяжением от оси игрек с коэффициентом ка.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус два икс. Заметим, что если икс равен пи на два, то игрек равно нулю. Если ка больше единицы, то такое преобразование называют сжатием к оси игрек с коэффициентом ка.

Рассмотрим преобразование графиков при ка меньше нуля. Построим график функции игрек равно синус минус икс. Получим, что график функции игрек равно эф от минус икс можно получить из графика функции игрек равно эф от икс с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Однако так будет не всегда. Для построения графика игрек равно эф от минус икс есть специальный алгоритм. Рассмотрим его:

Для построения графика функции игрек равно эф от минус икс надо: первое: построить график функции игрек равно эф от икс. Второе: исследовать функцию на четность и если функция четная, то график функции игрек равно эф от минус икс совпадает с графиком функции игрек равно эф от икс. Если функция нечетная, то вместо графика функции игрек равно эф от минус икс можно построить график функции игрек равно минус эф от икс.

В нашем примере была нечетная функция игрек равно синус икс, поэтому график функции построился с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Построим график функции игрек равно косинус минус два икс.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. Построим график функции игрек равно косинус два икс. Так как косинус – четная функция, то график функции игрек равно косинус минус два икс совпадает с графиком функции игрек равно косинус два икс.

Составим алгоритм построения графика функции игрек равно эф от ка икс при ка меньше нуля. Для этого надо: первое – построить график функции игрек равно эф от икс, второе – осуществить сжатие к (растяжение от) оси игрек с коэффициентом модуль ка. Третье – растянутый график подвергнуть преобразованию относительно оси игрек, если функция нечетная; и оставить без изменения, если функция четная.

Рассмотрим пример. Построить график функции игрек равно два синус икс минус пи на два. Решение. Построим график функции игрек равно синус икс. Сместим график функции вправо на пи на два и получим график функции игрек равно синус икс минус пи на два. Растянем график функции от оси икс в два раза и получим график функции игрек равно два синус икс минус пи на два.

Рассмотрим еще один пример. Построить график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. С помощью сжатия к оси игрек, построим график функции игрек равно косинус два икс. Сдвинем полученный график вправо на пи на три, получим график функции игрек равно косинус два икс плюс пи на три. Растянем график функции от оси икс в три раза и получим график функции игрек равно три косинус два икс плюс пи на три. Отобразим полученный график относительно оси икс и получим график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

На прошлом уроке, мы с вами записывали в какую точку отобразиться точка с координатами икс игрек при различных преобразованиях. Повторим это и добавим преобразование, которое мы с вами изучали сегодня.

Преобразование эф от икс плюс а отобразит нашу точку в точку с координатами икс минус а, игрек. То есть произойдет смещение графика функции по оси икс влево, если а больше нуля и вправо, если а меньше нуля.

Преобразование эф от икс плюс бэ отобразит нашу точку в точку с координатами икс, игрек плюс бэ. То есть произойдет смещение графика функции по оси игрек вверх, если бэ больше нуля и вниз, если бэ меньше нуля.

Преобразование эм умножить на эф от икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс, эм игрек. То есть ордината каждой точки увеличится в эм раз.

Преобразование эф от ка икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс деленное на ка, игрек. То есть абсцисса каждой точки уменьшиться в ка раз.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Понятия переменной величины и функции фактически в неявном виде использовались в математике задолго до появления работ французских математиков П. Ферма (1601 - 1665) и Р. Декарта (1596 - 1650), в которых они ввели метод координат. Этот метод использовали для графического исследования свойств функции и графического решения уравнений. Термин "функция" ввел немецкий математик Г. Лейбниц (1646 - 1716). У него функция связывалась с графиком.

Под влиянием Л Эйлера (1707 - 1783) И. Бернулли (1667 - 1748) функцию стали понимать как аналитическое выражение, т. е. выражение, состоящее из переменных, чисел и знаков действий. У Л Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах Н.И. Лобачевского (1792 - 1856) и немецкого математика Дирихле (1805 - 1859). Примерно с этого момента функцию стали понимать как соответствие между числовыми множествами, которое могло быть установлено различными способами (таблицей, графиком, формулой, описанием).

Функция.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции.

Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В - множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу, взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В , что и в примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений - множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В . Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через D - множество исех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К .(т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого крута. Мы получаем функцию с областью определения K и областью значений D .

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через R - множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a и r и каждому натуральному числу n поставим в соответствие действительное число, равное n -му члену арифметической прогрессии с первым членом а и разностью r (т. е. натуральному числу n поставим в соответствие действительное число а + (n - 1)r. Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений R .

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество R всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа а и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а + (х - 1)r . Мы получаем функцию с областью определения R и областью значений R . Заметим, что в примерах 4 и 5 одинакова область значений R и одинаково правило соответствия: формулы a + (n - 1)r и а + (х - 1)r показывают, что в обоих случаях надо над выбранным числом (n или х ) проделать одни и те же действия, чтобы узнать, какое число поставлено ему в соответствие. Однако области определения этих двух функций различны, и потому мы имеем в примерах 4 и 5 разные функции. Таким образом, для задания функции мало указать правило соответствия, а надо еще обязательно указать область определения и область значений.

Для обoзначения функций обычно пользуются буквами. Одна буква (чаще всего х ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области определения функции. Эта буква называется аргументом. Таким образом, если сказано, что х - аргумент некоторой функции, то вместо х мы можем подставить любой элемент, принадлежащий области определения этой функции. Далее, другая буква (чаще всего у ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области значений. Эта буква называется функцией (и это второе значение слова «функция»). Наконец, третья буква (чаще всего f используется для обозначения правила соответствия. Это значит, что если а - произвольное значение аргумента (т. е. произвольный элемент, взятый из области определения функции), то элемент, поставленный ему в соответствие, обозначается через f(a) . Элемент у = f(a) называется значением рассматриваемой функции при х = а. Все три буквы х, у, f объединяются одной записью: y = f{x) . («игрек равен эф от икс»), которая и означает, что х - аргумент, y - функция, f -правило соответствия. Иногда букву y или выражение f(х) также называют функцией (и это - уже третье значение слова «функция»).

Пример 6. Обратимся снова к функции, рассмотренной в примере 4. Аргумент обозначим через n , функцию - через у, а правило соответствия - через f . Таким образом, мы запишем эту функцию в виде y = f(n) . Вот несколько значений этой функции:

f(1) = а 1 , f(2) = а 2 , где a 2 = a 1 + r и т. д.

Пример 7. Рассмотрим функцию у = q(х) , у которой областью определения и областью значений является множество R всех действительных чисел, а правило соответствия имеет - следующий вид:

Вот несколько значений этой функции: q(-15) = 0, q(-23) = 0, q(-1) = 0, q(0) = 0, q(1) = 1, q(3) = 3, q(14) = 14, q(107) = 107, ...

Разумеется, вместо букв х, у, f можно использовать и другие буквы. Например, запись s = p(t) означает, что s есть функция аргумента t (или короче: s есть функция от t ), причем правило соответствия обозначается буквой р .

Следует подчеркнуть, что область значений функции представляет собой множество элементов (или чисел), среди которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой функции. Однако в области значений могут содержаться и «лишние» элементы, не являющиеся значениями функции. Иными словами, множество значений функции обязательно содержится в области значений, но не обязательно совпадает с ней. Так, в примере 3 значениями функции являются лишь положительные числа, тогда как область значений есть множество всех действительных чисел. Несовпадение множества значений функции и области значений можно видеть также в примерах 4 и 7.

В заключение рассмотрим еще одно (четвертое!) понимание слово «функция», являющееся для школьного курса математики наиболее важным. Именно, функцией называют произвольное выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действий и числа.

Например, функциями (в этом смысле) являются

y = x 2 + 2 (2),

(3),

y = | 7x - 3 | (4),

Почему же такие формулы называют «функциями» и не противоречит ли это понимание функции сказанному выше?

Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться:

Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х или другую букву, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать:
1) что за область значений принимается все множество R действительных чисел;
2) за область определения принимается множество всех тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия, указанные в правой части;
3) если число а принадлежит области определения, то значение функции при х = а равно числу, получающемуся, если в правую часть подставить х = а и произвести указанные действия.
Итак, задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия.

Пример 8 . y = x 2 + 3.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указан действия возведение в степень и сложение, они выполнимы при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции является все множество D действительных чисел (или, иначе, бесконечный интервал

Пример 9. Найти область определения функции.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указаны действия: возведение в степень, умножение, сложение, извлечение квадратного корня и деление. Первые три действия всегда выполнимы. Извлечь квадратный корень можно лишь тогда, когда x 2 - 90, а деление возможно, если x - 50. Так как x 2 - 90,
при x(-; -3]}