Вычисление вероятности сложных событий.
1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Р е ш е н и е.Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событиюА , равно числу всех возможных случаев, т.е.m = n = 10 иP (A ) = 1. В этом случае событиеА достоверно.
Задача. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Р е ш е н и е. Синих шаров в урне нет, т.е. m = 0, аn = 15. Следовательно,P (A ) = 0/15 = 0. В данном случае событиеА – невозможное.
Задача. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Р е ш е н и е. Здесь m = 4,n = 12 иP (A ) = 4/12 = 1/3.
Задача. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые?
Р е ш е н и е. Здесь число всех случаев
Число же случаев, благоприятствующих
событиюА
, определяется равенством
Итак,
Задача. В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяты четыре фрукта. Найти вероятность того, что
а) взято четыре яблока;
б) взято четыре груши.
Р е ш е н и е. Общее число элементарных
исходов испытания равно числу сочетаний
из 100 элементов по четыре, т.е.
.
а) Число исходов, благоприятствующих
рассматриваемому событию (все взятые
наугад четыре фрукта являются яблоками),
равно числу сочетаний из 90 элементов
по четыре, т.е.
.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу
возможных элементарных исходов:
.
б) Число исходов, благоприятствующих
рассматриваемому событию (все взятые
наугад четыре фрукта – груши), равно
числу способов, которыми можно извлечь
четыре груши из десяти имеющихся, т.е.
.
Искомая вероятность
.
Задача 6. На отрезкеОА длиныL числовой осиОх наудачу нанесена точкаВ (х ). Найти вероятность того, что отрезкиОВ иВА имеют длину больше, чемL /4.
Р е ш е н и е. Разобьем отрезок ОА на четыре равные части точкамиC ,D ,E (рис. 7). Требование задачи будет выполнено, если точкаВ попадет на отрезокС E , длина которого равнаL /2.
Рис. 7
Следовательно, р = (L /2) :L = 1/2.
Задача 9. Из 10 ответов к задачам, помещенным на данной странице, 2 имеют опечатки. Студент решает 5 задач. Какова вероятность того, что в одной из них ответ дан с опечаткой?
Р е ш е н и е.
.
Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N 1 элементов первого вида иN 2 элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности изk элементов она состоит изk 1 элементов первого вида иk 2 элементов второго вида, гдеk =k 1 +k 2 ,k 1 N 1 ,k 2 N 2 ?
.
Задача 10. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Р е ш е н и е. Имеем
Применив теорему сложения вероятностей, получим
Задача 11. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Р е ш е н и е. В данном случае речь идет о совмещении событий А иВ , где событиеА – появление белого шара из первого ящика, событиеВ – появление белого шара из второго ящика. При этомА иВ – независимые события. ИмеемР (А ) = 2/12 = 1/6,Р (В ) = 8/12 = 2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находим
Задача 12. В условиях предыдущей задачи определитьвероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Р е ш е н и е. Пусть: событие А
–
появление белого шара из первого ящика;
событиеВ
– появление белого шара
из второго ящика; событиеС
–
появление черного шара из первого ящика
событиеD
– появление
белого шара из второго ящика
ТогдаР
(А
) = 1/6,Р
(В
) = 2/3,
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика – черный:
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика – белый:
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, – черным. Применяем теорему сложения вероятностей.
Вычисление вероятности сложных событий
Пусть имеется урна с десятью шарами, из которых 6 белых и 4 черных. Тогда возможны следующие события:
А – вынуть белый шар из урны
В – вынуть черный шар из урны
Событие А состоит из событий А 1 ,А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 . Событие В состоит из событий В 1 , В 2 , В 3 , В 4 . Тогда процент белых шаров в урне определиться как отношение , а процент черных шаров .
Определение: Вероятностью события А наз. число, равное отношению числа исходов m благоприятствующих наступлению события А к общему числу всех элементарных исходов n.
- формула классического способа подсчета вероятности
Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей
Определение: Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Р п = п !
Определение: Размещения – комбинации из т п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний
Пример 1. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение . В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
Пример 2. В урне 10 шаров: 6белых и 4черных. Из нее вынимают два шара. Какова вероятность того что: а) 2белых; б) 2черных; в) 1белый,1черный
Решение:
а) пусть А – вынуты 2белых шара. Найдем общее число всех элементарных исходов n.
б) пусть В – вынуты 2 черных шара
в) пусть С – вынут 1белый и 1черный шар
В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).
Решение:
Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:
При определении вероятности события, по ее классическому определению, требуется выполнение определенных условий. Эти условия заключаются в равновозможности и несовместности событий, входящих в полную группу событий, вероятность которых надо определить. На практике не всегда можно определить все возможные варианты исходов, а тем более обосновать их равновозможность. Поэтому при невозможности удовлетворения требованиям классического определения вероятности используют статистическую оценку вероятности события. При этом вводится понятие относительной частоты появления события А , равной отношению , где т - число испытаний, в которых произошло событие А; п - общее число испытаний.
Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события А будет сколь угодно мало отличать от вероятности события А: .
Это равенство справедливо при неизменности условий, при которых проводится эксперимент.
Справедливость теоремы Бернулли была доказана и в многочисленных опытах по сравнению вероятностей, вычисленных классическим и статистическим методами. Так, в опытах Пирсона, по определению вероятности выпадения «герба» при выполнении 12 000 бросков, статистическая вероятность была равна 0,5016, а при 24 000 бросков - 0,5005, что показывает приближение к значению вероятности 0,5 по мере увеличения числа опытов. Близость значений вероятности, определенных различными способами, указывают на объективность возможности наступления этого события.
4. Теорема сложения вероятностей
Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности других, если они связаны между собой. Теорема сложения вероятностей позволяет определить вероятность появления одного из нескольких случайных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (2)
Доказательство. Пусть п - общее число равновозможных несовместных элементарных исходов; m 1 - число исходов благоприятствующих событию А; т 2 - число исходов, благоприятствующих событию В. Так как А и В несовместные события, то событию А+В будет благоприятствовать m 1 +m 2 исходов. Тогда, согласно классическому определению вероятности:
Расширяя это доказательство на п событий, можно доказать следующую теорему.
Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А 1 , А 2 ,..., А п равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Р(А 1 + А 2 +…+А п) = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) (3)
Из этой теоремы можно вывести два следствия:
Следствие 1. Если события А 1 ,А 2 ,..., А п образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) = 1. (4)
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
Доказательство. Противоположные события несовместны и образуют полную группу, а сумма вероятностей таких событий равна 1.
Пример 3 .
Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.
Решение:
Событие А - выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = . Событие В - выпадение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = . События несовместные, поэтому
Пример 4.
Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них 20 комплектов мужской одежды, 6 - женской и 14 - детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.
Решение:
Событие А
- одежда мужская, вероятность 
Событие В
– одежда женская, 
-> Теория вероятностей. Случайное событие, его частота и вероятность
Случайное событие, его частота и вероятность
