Что таоке модель. Что такое Модель? Значение и толкование слова model, определение термина

Главная задача человека в высокой сфере моды, будь то мужчина, женщина или ребенок,- это демонстрация различных туалетов на модных показах, очень важно раскрыть свое умение и подчеркнуть изящество работ модных дизайнеров.
«Подиумные модели » (runway models ) считаются самыми востребованными, потому что работают в живых показах одежды, транслируемых по телевещанию. Хорошая модель должна убедить человека, что вещь, которую она демонстрирует, предназначена именно для него, и ее во что бы то ни стало, следует приобрести. Интересный факт, подиумная модель не должна иметь пышные сексуальные формы, чем больше она похожа на мальчика, тем более востребованной она буде в сфере моды. Небольшая грудь, мальчишеские бедра и высокий рост – вот главный конек подиумной модели.
«Парт-модель » или body part model — это обладательница красивых рук, волос, ногтей, губ. Работа парт-модели предназначена для демонстрации определенных частей тела с целью рекламы шампуней, часов, ювелирных изделий, косметики, очков, перчаток. То есть достаточно иметь форму ногтей необычайной красоты, при этом имея ужасную внешность, чтобы стать парт – моделью. В последнее время это направление стало очень популярным и востребованным. Если у вас изящные руки, ровные белые зубы, красивая улыбка или высокая пышная грудь, то почему бы не продемонстрировать свои прелести, да еще и получить за это деньги!
Доброжелательные, общительные, терпеливые красавицы с обворожительной улыбкой могут легко найти себя в карьере промомодели (promotional model ).
«Кабия » или хай фэшн модель, подписавшая контракт с одним из знаменитых дизайнеров, и ставшая лицом в доме «от кутюр», как например, Наталья Водянова, по праву считается самой успешной и привилегированной, и выходит на подиум всего несколько раз в год, чаще для презентационных показов. Она может сочетать в себе функции, как бельевой, так и подиумной модели.

« » — такие модели чаще всего рекламируют спортивные товары или нижнее белье. Отличительной чертой таких парней и девушек является атлетическое телосложение и здоровый внешний вид. Чаще всего фитнес-моделями становятся бывшие спортсмены или культуристы.

«Гламурная модель » или glamour model – фотомодель, преимущественно позирующая в обнаженном или полуобнаженном виде для мужских журналов или рекламы элитных автомобилей, чаще всего в дорогом нижнем белье или без него. Отсутствие комплексов и раскованность– главные требования в этой индустрии, важно чувствовать себя непринужденно и свободно, будучи обнаженной перед фотокамерой.
«Бельевая модель » (lingerie model) – это красивая, девушка с аппетитными формами и возрастом от 21 года. Взять, к примеру, моделей таких известных марок нижнего белья, как Agent Provocateur, Intimissimi или Victoria’s Secret. Обладательниц таких красивых тел хочется съесть. Параметра большинства lingerie моделей далеко не соответствуют установленным параметрам 90-60-90. А кто сказал, что они идеальны? Порой идеалы так ошибочны.

Стандартные критерии «маленькой модели » — рост, не превышающий 172 сантиметров. Главным образом «маленькие модели» пользуются спросом для показа обычных повседневных товаров в магазинах. Кстати существует мнение, что такие модели – самые талантливые, пластичные и артистичные.
Огромный вклад вносят в мир моды «примерочные модели », ведь именно они затрачивают столько усилий для того, чтобы показ стал успешным. Это очень тяжелый труд, ведь стоять часами на одном месте так утомительно и сложно.

Если рассуждать о карьере модели в целом, необходимо отметить, что без качественных фотоснимков, обложек глянцевых журналов, рекламных роликов, моделям нелегко продвинутся и стать знаменитой. И как мне кажется, между обычной моделью и фотомоделью, существует колоссальная разница. Наоми Кэмпбелл, например, ставшая легендой в модельном бизнесе, сочетает в себе самые необходимые и ярко выраженные качества, которыми может обладать настоящая модель, грациозная, статная и пластичная, словно пантера.
Работа модели — невероятно яркая, насыщенная, интересная и захватывающая. Но, несмотря на многие преимущества, она в то же время напряженная и изнуряющая. Нужно просто любить эту профессию, чтобы посвятить себя полностью этому ремеслу. Не каждому хватит целеустремленности, для того чтобы часами проводить свое время в тренажерном зале, также многим моделям приходится полностью отказаться от личной жизни и семьи. Условия работы и график настолько непредсказуемы, что ни о какой семье и речи быть не может.

Важным аспектом в карьере модели является фотогеничность. Самое интересное, что модель – это не красивый человек, а неординарный. Можно быть фотогеничным на фото, а в жизни обычным и невзрачным, или, наоборот – в жизни невероятно красивым, а на фотографии совершенно неинтересным. Модель не всегда должна соответствовать четко установленным параметрам тела, но близость к идеалу все же должна присутствовать. Так, для полноватых моделей (plus size models ), рост должен составлять 172-172 см, размер одежды 43-52, для подиумных- 172 -180 см, одежда 42-44 размера, и соответственно для маленьких моделей -165-172 см, с размером 40-42. Но для того, чтобы нравиться всем, пропорции тела не являются главным фактором, важнее всего харизма и исключительная индивидуальность человека. Основа любого успешного мероприятия — это качественная реклама, и именно от фотомодели зависит дальнейшее продвижение той или иной торговой марки, чем красивей рекламное лицо, тем привлекательнее товар для покупателя.

Если вы тоже хотите попробовать себя в качестве модели, не занимайтесь самодеятельностью, а обратитесь в профессиональное для того, чтобы вам помогли определиться в каком направление вам лучше работать и к какому типу моделей вы относитесь, исходя из вашего внешнего и внутреннего потенциала.

Когда мы говорим о карьере модели, как правило, в голове сразу возникает образ красивой женщины, с сочными губами, выразительными глазами и отменной фигурой, но не стоит забывать о мужчинах, которые занимают одну из крупнейших ниш в сфере модельного бизнеса. И я хочу отметить, что мужчине, как представителю сильно пола, со своими мужскими принципами и предубеждениями, намного сложнее стать моделью, в психологическом плане, кроме того он должен быть пластичным, грациозным и обладать артистическим талантом. Главное для мужчины в этой сфере – высоко ценить свои внешние данные и не стесняться демонстрировать их, то есть полное отсутствие комплексов. Для тоже существуют определенные внешние критерии, хотя не такие строгие, как к девушкам, основным требованиям к представителям сильного пола по-прежнему является высокий рост.
Если вы новичок и хотите стать востребованным в модном мире, не забывайте о портфолио – визитной карточке, залоге успеха модели. Портфолио — это серия профессиональных фотоснимков высочайшего качества, характеризующая вас, как личность и как модель в целом. Снимки должны быть нескольких видов 2-3 портрета лица в профиль и анфас, несколько портретов до пояса и в полный рост, а также непринужденные фотографии, отображающие вас в самых выгодных ракурсах. Если вы обратитесь к фотографу — профессионалу он обязательно подчеркнет вашу индивидуальность в своих снимках, выбрав наиболее удачные. Мой совет – чаще снимайтесь у разных фотографов, потому что опыт – важнейшая составляющая любой профессии. И не забывайте, что как бы красивы, стройны, ярки и привлекательны вы не были, красота – это в первую очередь внутренний мир человека, излучая ее изнутри, вы притягиваете к себе успех и симпатии окружающих, которые могут стать вашими потенциальными работодателями. Любите себя и сове тело, следите за здоровьем и питанием, посещайте тренажерный зал, сауну, салоны красоты, делайте массаж как минимум два раза в год. Будьте выдержанным, в меру скромным, и постоянно работайте над собой как в физическом, так и в интеллектуальном плане. Постарайтесь выучить, как можно больше иностранных языков, так вам придется много путешествовать в различные страны. Ведь как сказал В.Г. Белинский: «Сколько ты знаешь языков, столько раз ты человек ». Успехов Вам и карьерного роста! Никогда не упускайте свой шанс и берите от жизни все!

Модель I Мо́дель (Model)

Вальтер (24.1.1891, Гентин, Восточная Пруссия, - 21.4.1945, близ Дуйсбурга), немецко-фашистский генерал-фельдмаршал (1944). В армии с 1909, участвовал в 1-й мировой войне 1914-18. С ноября 1940 командовал 3-й танковой дивизией, с которой участвовал в нападении фашистской Германии на СССР. С октября 1941 командир 41-го танкового корпуса, с января 1942 по ноябрь 1943 (с перерывами) командующий 9-й армией на Восточном фронте. В феврале - марте 1944 командовал группой армий «Север», в апреле - июне 1944 - группой армий «Северная Украина», в июне - августе 1944 - группой армий «Центр». Считался «мастером отступления», проводил тактику «выжженной земли», отличался особой жестокостью. В августе - сентябре 1944 командующий войсками Запада, а с сентября 1944 - группой армий «Б» (во Франции). В апреле 1945 войска М. были разгромлены в ходе Рурской операции 1945 (См. Рурская операция 1945) и 18 апреля капитулировали, после чего М. застрелился.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Модель" в других словарях:

модель - и, ж. modèle m., ит. modello, нем. Model, пол. model. 1. Образец, с которого снимается форма для отливки или воспроизведения в другом материале. БАС 1. Точить модель посуды, наводить резьбы, делать формы 15. 11. 1717. Контракт с Антонио Бонавери … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (модель совокупного спроса и совокупного предложения) макроэкономическая модель, рассматривающая макроэкономическое равновесие в условиях изменяющихся цен в краткосрочном и долгосрочном периодах … Википедия

МОДЕЛЬ [дэ], -и, ж. 1. Образец какого-н. изделия или образец для изготовления чего-н., а также предмет, с к-рого воспроизводится изображение. Новая м. платья. М. для литья. Модели для скульптур. 2. Уменьшенное (или в натуральную величину) воспроизведение или макет чего-н. М. корабля. Летающая м. самолета. 3. Тип, марка конструкции. Новая м. автомобиля. 4. Схема какого-н. физического объекта или явления (спец.). М. атома. М. искусственного языка. 5. Манекенщик или манекенщица, а также (устар.) натурщик или натурщица. * Это не модель (прост.) - так делать не годится. || прил. модельный, -ая, -ое (к 1, 2, 3 и 5 знач.).

Смотреть значение МОДЕЛЬ в других словарях

Модель — (дэ), модели, ж. (фр. modele). 1. образец, образцовый экземпляр какого-н. изделия (спец.). товара. платья. 2. Воспроизведенный, обычно в уменьшенном виде, образец какого-и. сооружения........
Толковый словарь Ушакова

Топ-модель Ж. — 1. Манекенщица самого высокого класса; супермодель.
Толковый словарь Ефремовой

Вестминстерская Модель — - одно из распространенных названий парламентской системы правления. Термин происходит от названия резиденции английского парламента (Вестминстерское аббатство).
Политический словарь

Граф-модель Объекта Прогнозирования — Прогнозная модель в виде графа.
Политический словарь

Модель — - логический аналог сущностных отношений между предметами.
Политический словарь

Модель Хоманса — - теория группового поведения, изучающая причины образования неформальных групп в рабочей обстановке. Основными элементами являются взаимодействие, чувства, действия.
Политический словарь

Прогноз, Предсказание; Предположение; Прогностическая Модель — Научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления. Примечания. 1. Когда этот объект рассматривается........
Политический словарь

Прогнозная Модель — Модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.
Политический словарь

Американская Модель Ипотеки — - так называемая двухуровневая
схема ипотечного кредитования, при которой ипотечные
кредиты, выданные на первичном ипотечном рынке, переуступаются специально........
Экономический словарь

Балансовая Модель — экономико-математическая
модель, построенная в виде уравнения или системы уравнений, представляющих балансовые соотношения и характеризующих
равенство поступившего........
Экономический словарь

Модель — [дэ́], -и; ж. [франц. modèle]
1. Образец какого-л. нового изделия, служащий наглядным примером для кого-, чего-л. Последние модели обуви. Выставка моделей детской одежды.
2.........
Толковый словарь Кузнецова

Бестарифная Модель Оплаты Труда — -
заработная плата
работника, определяемая четырьмя факторами: количеством отработанного рабочего времени, коэффициентом квалификационного уровня, коэффициентом........
Экономический словарь

Биноминальная Модель Назначения Цены Опциона — Модель назначения
цены
опциона, подразумевающая, что
активы, обеспечивающие опцион, могут принимать только два дискретных значения стоимости в следующем........
Экономический словарь

Бюджетная Модель — См. Модель бюджетная
Экономический словарь

Вероятностная Модель — математическая
модель экономического
процесса, учитывающая
факторы случайной природы.
Экономический словарь

Вестминстерская Модель — - в науке конституционного
права одно из распространенных названий парламентарной системы правления (см.
ПАРЛАМЕНТАРИЗМ)
Термин произошел от названия резиденции........
Экономический словарь

Двухфакторная Модель — Разработанная Фишером Блэком
версия модели определения стоимости
капитала при
коэффициенте "
бета", равном нулю.
Экономический словарь

Двухфакторная Модель Герцберга — - модель, согласно которой вся мотивация распадается на две большие категории: гигиенические факторы и мотивы.
Экономический словарь

Двухфакторная Модель Экономического Роста — модель
роста экономики, построенная на предположении, что только два
фактора -
капитал и
труд участвуют в создании валового национального
продукта.........
Экономический словарь

Дисконтная Дивидендная Модель — Формула оценки действительной (внутренней) стоимости компании, предполагающая вычисление текущей стоимости всех ожидаемых в будущем дивидендных выплат.
Экономический словарь

Ж-образная Модель — Модель технического
графика, отражающего
цены на
акции,
облигации или товарно-сырьевую продукцию, которая показывает, что цены достигли уровня поддержки........
Экономический словарь

Индексная Модель — Модель доходности акций, использующая для представления обыкновенных коэффициентов или коэффициентов систематического риска рыночные индексы, такие как индекс S&P 500.
Экономический словарь

Кейнсианская Модель — См.
Модель кейнсианская
Экономический словарь

Креативная Модель Экономического Поведения Предпринимателя — (от лат. creatio - созидание) - основана на новаторстве, использовании нововедений.
Экономический словарь

По способу отображения действительности различают три ос­новных вида моделей - эвристические, физические и матема­тиче­ские.

Эвристические модели , как правило, представляют собой об­разы, рисуемые в воображении человека. Их описание ве­дется словами естественного языка и, обычно, неоднозначно и субъек­тивно. Эти модели неформализуемы, т. е. не описыва­ются фор­мально-логическими и математическими выраже­ниями, хотя и рождаются на основе представления реальных процессов и явле­ний. Эвристическое моделирование - основное средство вырвать­ся за рамки обыденного и устоявшегося. Но способность к такому моделированию зависит, прежде всего, от богатства фантазии че­ловека, его опыта и эрудиции. Эвристиче­ские модели используют­ся на начальных этапах проектирова­ния (или других видов дея­тельности), когда сведения о разраба­тываемом объекте еще скуд­ны. На последующих этапах проек­тирования эти модели заменя­ются на более конкретные и точ­ные.

Физические модели - материальны, но могут отличаться от реального объекта или его части размерами, числом и материа­лом элементов. Выбор размеров ведется с соблюдениемтеории подобия. К физическим моделям относятся реальные изделия, образцы, экспериментальные и натурные модели.

Физические модели подразделяются на объемные (модели и ма­кеты) и плоские (тремплеты).

Под моделью понимают изделие, являющееся упрощенным по­добием исследуемого объекта.

Под тремплетом понимают изделие, являющееся плоским мас­штабным отображением объекта в виде упрощенной ортого­нальной проекции или его контурным очертанием. Тремплеты вырезают из пленки, картона и т. п. и применяют при исследова­нии и проектировании зданий, установок, сооружений.

Под макетом понимают изделие, собранное из моделей или тремплетов.

Физическое моделирование - основа наших знаний и средство проверки наших гипотез и результатов расчетов. Такая модель позволяет охватить явление или процесс во всемих многообра­зии, наиболее адекватна и точна, но достаточно дорога, трудо­емка и менее универсальна. В том или ином виде с физическими моделя­ми работают на всех этапах проектирования.

Математические модели - формализуемые, т. е. представля­ют собой совокупность взаимосвязанных математических и фор­мально-логических выражений, как правило, отображающих ре­альные процессы и явления (физические, психические, социаль­ные и т. д.). Модели по форме представления могут быть:

Аналитические, их решения ищутся в замкнутом виде, в виде функциональных зависимостей. Удобны, при анализе сущности описываемого явления или процесса, но отыскание их решений бывает весьма затруднено;

Численные, их решения - дискретный ряд чисел (таблицы). Модели универсальны, удобны для решения сложных задач, но не наглядны и трудоемки при анализе и установлении взаимо­связей между параметрами. В настоящее время такие модели реализуют в виде программных комплексов - пакетов программ для расчета на компьютере. Программные ком­плексы бывают прикладные, привязанные к предметной об­ласти и конкретной системе, явлению, процессу, и общие, реализующие универ­сальные математические соотношения (например, расчет сис­темы алгебраических уравнений).

Построение математических моделей возможно следующими способами:

Аналитическим путем, т. е. выводом из физических законов, математических аксиом или теорем;

Экспериментальным путем, т. е. посредством обработки ре­зультатов эксперимента и подбора аппроксимирующих (при­ближенно совпадающих) зависимостей.

Математические модели более универсальны, дешевы, позво­ляют поставить "чистый" эксперимент (т. е. в пределах точности модели исследовать влияние какого-то отдельного фактора при постоянстве других), прогнозировать развитие явления или про­цесса. Математические модели - основа построения компьютер­ных моделей и применения вычислительной техники. Резуль­таты математического моделирования нуждаются в обязатель­ном со­поставлении с данными физического моделирования - с целью проверки полученных данных и для уточнения самой мо­дели.

К промежуточным между эвристическими и математическими моделями можно отнести графические модели , представляю­щие различные изображения - схемы, графики, чертежи. Так, эскизу (упрощенному изображению) некоторого объекта в зна­чительной степени присущи эвристические черты, а в чертеже уже конкрети­зируются внутренние и внешние связи моделируе­мого объекта.

Промежуточными также являются и аналоговые модели . Они позволяют исследовать одни физические явления или математи­че­ские выражения посредством изучения других физических явле­ний, имеющих аналогичные математические модели.

Выбор типа модели зависит от объема и характера исходной информации о рассматриваемом объекте и возможностей проек­тировщика, исследователя. По возрастанию степени соответст­вия реальности модели можно расположить в следующий ряд: эври­стические (образные) - математические - физические (экс­пери­ментальные).

Технические системы различаются по назначению, устрой­ст­ву и условиям функционирования. Следовательно, можно и нужно вносить соответствующие различия и в их модели.

В зависимости от целей исследования выделяют следующие модели:

Функциональные, предназначенные для изучения функцио­нального назначения элементов системы, внутренних связей и связей с другими системами;

Функционально-физические, предназначенные для изучения сущности и назначения физических явлений, используемых в системе, их взаимосвязей;

Модели процессов и явлений, таких как кинематические, проч­ностные, динамические и другие, предназначенные для иссле­дования тех или иных характеристик системы, обеспечиваю­щих ее эффективное функционирование.

Модели также подразделяют на простые и сложные, однород­ные и неоднородные, открытые и закрытые, статические и дина­мические, вероятностные и детерминированные.

Часто говорят о технической системе как простой или слож­ной, закрытой или открытой и т. п. В действительности же под­ра­зумевается не сама система, а возможный вид ее модели, ак­центи­руется особенность ее устройства или условий работы.

Четкого правила разделения систем на сложные ипростые не существует. Обычно признаком сложных систем служит много­об­разие выполняемых функций, большое число составных час­тей, разветвленный характер связей, тесная взаимосвязь с внеш­ней средой, наличие элементов случайности, изменчивость во времени и другие. Понятие сложности системы - субъективно и определя­ется необходимыми для ее исследования затратами времени и средств, потребным уровнем квалификации, т. е. за­висит от кон­кретного случая и конкретного специалиста.

Подразделение систем на однородные и неоднородные произ­водится в соответствии с заранее выбранным призна­ком: исполь­зуемые физические явления, материалы, формы и т. д. При этом одна и та же система при разных подходах может быть и однород­ной, и неоднородной. Так, велосипед - однородная механическая система, поскольку использует механические способы передачи движения, но неоднородная по типам материалов, из которых из­готовлены отдельные части (резиновая шина, стальная рама, ко­жаное седло).

Все системы взаимодействуют с внешней средой, обменива­ются с нею сигналами, энергией, веществом. Системы относят к открытым , если их влиянием на окружающую среду или воз­дей­ствием внешних условий на их состояние и качество функ­циони­рования пренебречь нельзя. В противном случае системы рассмат­ривают какзакрытые , изолированные.

Динамические системы , в отличие отстатических , нахо­дятся в постоянном развитии, их состояние и характеристики изменяют­ся в процессе работы и с течением времени.

Характеристики вероятностных (иными словами,стохас­ти­ческих) систем случайным образом распределяются в про­странст­ве или меняются во времени. Это является следствием как случай­но, о распределения свойств материалов, геометриче­ских размеров и форм объекта, так и случайного характера воз­действия на него внешних нагрузок и условий. Характеристикидетерминирован­ных систем заранее известны и точно предска­зуемы.

Знание этих особенностей облегчает процесс моделирова­ния, так как позволяет выбрать вид модели, наилучшим образом соот­ветствующей заданным условиям.

Выбор модели того или иного вида основывается на выделе­нии в системе существенных и отбрасывании второстепенных факторов и должен подтверждаться исследованиями или пред­ше­ствующим опытом. Наиболее часто в процессе моделирова­ния ориентируются на создание простой модели, поскольку это позво­ляет сэкономить время и средства на ее разработку. Од­нако повы­шение точности модели, как правило, связано с рос­том ее сложно­сти, так как необходимо учитывать большое число факторов и связей. Разумное сочетание простоты и по­требной точности и ука­зывает на предпочтительный вид мо­дели.

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод сочетает в себе достоинства, как теории, так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в системах передачи и обработки информации, к сокращению сроков исследования и разработки новых телекоммуникационных систем и сетей.

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

МОДЕЛЬ ("модель" от лат. "modelus", что означает "мера") - мысленно предста-вимая или материально реализованная система, которая, отражая и воспроиз-водя объ-ект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изуче-ние ее дает новую информацию об этом объекте . М. в самом широком смысле - это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала).

Таким образом , под моделью мы будем понимать совокупность объектов (понятий, свойств, признаков, знаков, геометрических элементов, материальных предметов) и отношений между ними (называемых моделирующими), которые выражают существенные с точки зрения цели моделирования стороны изучаемого объекта, явления или процесса . Короче, модель - это некоторое упрощённое подобие реального объекта, процесса или явления.

М. строится для достижения определенной цели, однако для одного и того же объ-екта можно построить, преследуя одну и ту же цель, разные модели. Поэтому можно считать, что М. некоторого объекта А (оригинала, прототипа) - это объект В, в каком-то отноше-нии подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него, вы-бранный или по-строенный, по крайней мере, для одной из следующих целей:

1) замена оригинала А моделью B в некотором реальном или воображаемом дейст-вии, ис-ходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (т.н. называемая модель-заместитель );

2) создание наглядного представления об объекте А (реально существующем или вообра-жаемом) с помощью объекта В (т.н. называемая модель-представление );

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (т.н. называемая мо-дель-ин-терпретация );

4) исследование (изучение) объекта А посредством изучения объекта В (т.н. назы-ваемая исследовательская модель).

Пример.1 . В курсе математики представлены все перечис-ленные виды мо-делей. Так, уравне-ние, со-ставленное по условию текстовой задачи, вы-сту-пает как модель-заместитель исходной задачи; чер-теж некоторого геометрического объекта, построенный для доказательства утверждения, в кото-ром идет речь в этом утверждении, яв-ляется моде-лью-представлением рассматриваемого объекта; урав-нение (x -a ) 2 + (y - b ) 2 = R 2 является моделью-интерпретацией окружности.

М. обычно обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Например, модель-заместитель может использоваться и как модель-представ-ление, и как мо-дель-интерпретация, и как исследовательская модель. Так, модель-ин-терпретация окружно-сти вполне пригодна для исследования свойств окружности, а, значит, она является и моде-лью исследовательской.

По способу построения модели бывают материальные и идеальные . В качестве ма-тери-альных моделей могут выступать копии оригинала (уменьшенные или увеличен-ные), причем они могут быть динамические и статические ; в качестве идеальных - изображения, описа-ния, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, компью-тер-ные программы и т.д.

Пример 2. В медицине многие лекарственные препараты, разрабатывае-мые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели че-ловека; моделью некоторой местности может служить географическая карта, пользуясь которой, мы получаем нужную нам информацию об этой местности; моделью прямолиней-ного равномерного движения служит уравнение s = v 0 +vt , исследование ко-торого дает воз-можность устанавливать ос-новные закономерности данного вида движения; моделью неко-торого предмета, явления, процесса или ситуации (как реальных, так и «вирту-альных») могут служить компьютерные программы, пре-доставляющие в распоряжение ис-следователя прак-тически неограниченные возможности для их изу-чения и прогнозирования развития; и т.п.

М. всегда является лишь ото-бражением оригинала, и она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и по-зволяет перенести по-лученные при этом знания на исходный объект. Например, когда в начальных школе учитель намеревается более наглядно продемонстрировать способ сложения нату-ральных чисел, то он использует для этого различные модели этих чи-сел: реальные пред-меты или их изображения, абак, русские счеты, и др. Многие дет-ские игрушки, пред-ставляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, по-ездов, животных и т.п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окру-жающих его предметов.

М. строится с тем расчетом, чтобы охватить только те свойства ориги-нала, которые существенны в данной ситуации и являются объектом изучения. Например, сущест-вует разнообразные модели обучения математике; одни из них позволяют исследо-вать сте-пень усвоения материала, другие - познавательную активность, третьи - твор-ческую матема-тическую деятельность, и т.д. Для изучения поведения проектируемого самолета в воздухе строят уменьшенную во много раз его модель и помещают ее в аэродинамическую трубу. Затем по поведению этой модели в различных воздушных потоках, создаваемых в трубе, судят о том, как будет вести себя в полете настоящий самолет.

М., полностью воспроизводящая оригинал, перестает быть моделью.

Существует ряд общих требований к моделям:

1. Адекватность - достаточно точное отображение свойств объекта;

2. Полнота - предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3. Гибкость - возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование - это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1. Разработка модели;

2. Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

Метод моделирования во многих науках является средством, позволяющим ус-та-навли-вать более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом и способ-ным заменить эксперимент.

Целый ряд исследований вообще невозможен без моде-лирования, по-тому, что:

а) эксперименты могут проводиться лишь на ныне существующих объектах, т.к. невоз-можно распространить эксперимент в область прошлого;

б) вмешательство в некоторые системы иногда имеет такой характер, что невоз-можно ус-тановить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим при-чинам);

в) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низ-кого уровня развития экспериментальной техники или ее высокой стоимости;

г) большую группу экспериментов, связанных с человеком, сле-дует отклонить по мо-рально-этическим соображениям.

Однако М. находит широкое применение не только из-за того, что может за-менить эксперимент.

Оно имеет большое самостоятельное значение и свои преимущества:

1. С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разрабо-тать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явле-ние, и вы-брать наи-более плодотворную из них для теоретического истолкования.

2. В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к иссле-дуемой ги-потезе и получить ее упрощение.

3. В случае сложных моделей можно применять компьютерную технику.

4. Существует возможность проведения модельных экспериментов. И др.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием.

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений - эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования.

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1. Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2. Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - приближенное описание ка-кого-либо явле-ния внешнего мира, выраженное с помощью математической сим-волики . Ма-тематиче-ские модели описываются с помощью средств самой математики: языка , понятий , отно-шений , теорий . В отличие от есте-ственнонауч-ных и гуманитарных дисциплин М.м. обычно не требует создания ма-териали-зованных объектов. Кроме то-го, если все дру-гие науки изу-чают модели, то ма-тематика изучает «модели моделей ». Потому ее мате-риал в наилуч-шей степени соответствует задаче овладения методом моделиро-вания.

Примером М.м. достаточно сложно-го оригинала служит система уравне-ний (и не-равенств) в самом широком понимании. Система может содержать обыкновен-ные дифферен-циальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, алгебраи-ческие и трансцендентные уравнения (и неравенства), набор ве-роятностно-статистических данных и т.д. К математическим моделям относят и про-граммы, составленные для ком-пьютеров, которые моделирую (отражают) оп-ределен-ные процессы, описанные средст-вами математики, положенными в основу ал-горит-мов.

Пример 3. Развитие ЭВМ и методологии системного анализа дало возможность для изуче-ния широкомас-штабных социальных процессов. Возникло так называемое глобальное моде-лирование и на его основе - прогно-зирование мировых социальных явлений.

Основоположником и «идейным отцом» такого рода исследований считается Дж. Форре-стер . В своей ра-боте “Мировая динамика” (1971 г.) он сделал успешную попытку использо-вать математиче-ские методы и ЭВМ для создания варианта модели экономического развития общества с учетом двух важнейших факторов - числен-ности населения и загрязнения окру-жающей среды. Расчеты показали, что при сохранении тенденций развития общества неиз-бежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот кризис объяс-няется проти-воречием между ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригод-ных для сельскохо-зяйст-венной обработки площадей и все рас-тущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост насе-ления, промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению окру-жающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основа-нии анализа этих результатов де-лается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материаль-ного по-требления.

В 80-х годах XX века появляются оригинальные работы в области глобального модели-рования в Советском Союзе. Группой ученых под руководством академика Н.Н. Моисеева в Вычисли-тельном Центре АН СССР была сделана попытка проанализировать математиче-скими мето-дами структуру международной конфликтной ситуа-ции. Основной вывод, кото-рый сле-довал из анализа составлен-ной модели, состоял в следующем. Несмотря на сложную зависи-мость целевой функции, общей для всех партнеров (функции риска ядерной войны), в дейст-виях участников конфликта, в такой сверх-сложной и сверхопасной ситуации, какой является гонка ядерных воо-ружений, существует взаимо-выгодный и эффективный компромисс.

М.м. отдельного элемента относительно проще - она может ока-заться геометриче-ским образом, функцией или ее графиком, вектором, матрицей, числовой табли-цей, скалярной величиной или даже конкретным чис-лом.

Построение мо-дели, адекватно отра-жающей объект, - дело непростое и требует специ-альных знаний и хорошей математиче-ской подготовки.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ сводит исследование внешнего мира к мате-ма-тическим задачам.

Процесс математического моделирования состоит из четырех эта-пов:

1) формализации , т. е. перехода от реальной практической задачи (исследуемой си-туа-ции) к по-строению аде-к-ватной математической модели и формулировки на ее ос-нове абст-рактной математической задачи;

2) решения задачи путем преоб-разования модели (проведение математического иссле-дования ), т.е. получение в результате анализа и исследования модели выходных данных (теоретических сведений);

3) интерпретации полученного результата , когда решение формальной математи-че-ской задачи исследуется на предмет его соответствия с исходной ситуацией, истол-ковыва-ется в терминах исходной ситуации и применяется к ней;

4) модернизации модели , т.е. построение новой более совершенной модели в связи с на-коплением данных об изучаемом объекте или процессе.

Пример 4. Разработка модели Сол-нечной системы . Наблюдения звездного неба, начавшиеся еще в глубокой древности, при-вели к тому, что из всего многообразия небесных светил были выде-лены планеты, которые и стали объектом изучения. Следующим ша-гом явилось изучение закономер-ностей их дви-жений, т.е. построение моделей и получение конкретных резуль-татов. Модели Солнеч-ной системы в процессе своего развития прошли через ряд усовершенствований по мере накоп-ления экспе-риментальных данных и развития науки. Первой была модель Птолемея, создан-ная во II веке нашей эры, исходила из положения, что планеты и Солнце совершают движе-ния вокруг Земли (т.н. геоцентриче-ская модель).

В XVI веке появилась модель Н. Коперника , принципи-ально отличающаяся от предыдущей, пола-гающая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружности (т.н. гелиоцен-три-ческая модель). Затем появи-лась модели И. Кеплера (начало XVII века), И. Ньютона (вторая поло-вина XVII века), описывающие движения пла-нет на ма-тематическом языке. Модель Ньютона , осно-ванная на законе всемирного тяготения, вполне удовлетворительно описывала движение известных планет и давала возможность вы-чис-лять их положение на небо-своде.

Но вот к 40-м годам XIX в. не-которые результаты этой мо-дели стали тоже не согласовываться с экспе-риментальными данными: наблюдаемое движе-ние Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. Французский ученый-ас-троном У. Леверье расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической плане-той (он на-звал ее Нептуном) и, пользуясь новой математической моделью, определил все ос-нов-ные па-раметры этой планеты. В указанное время и на предсказанном им месте в 1846 году астро-номы убедились в реальном существовании еще одной планеты Солнечной сис-темы. По-добные вычисле-ния, сделанные П. Лоуэлом, при-вели в 1930 году к открытию де-вятой пла-неты, получившей название Плутон.

В ходе многовекового исторического развития математики сконст-руированы осо-бые мо-дели количественных отношений и пространственных форм ок-ружаю-щего мира. Это такие математические понятия, как число, функция, уравнение, гео-метриче-ская фигура и др. Хотя математическая модель и создается человеческим разумом, в даль-нейшем она во многих случаях становится предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реаль-но-стей, т.е. абст-рактные математические открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира.

Например, представле-ние, что числа бывают только, скажем, до миллиарда (а дальше чисел нет!) прямым наблюдением вряд ли может быть опро-вергнуто. Только создание мате-матиками древности такого понятия нату-рального числа (такой модели), при ко-тором нату-ральных чисел оказывалось беско-нечно много, позволяет это сделать. С помощью модели геометрии Лобачевского че-ловечество пришло к пониманию искрив-ленности пространства, абстрактные функ-циональные зависимости дают возможность пред-сказывать развитие тех или иных процессов, модели геометрических тел позволяют на прак-тике определять количе-ст-венные характеристики окружающих нас предметов и т.д.

Для исследования существующих и построения новых моделей в математике раз-рабо-таны специальные методы. Среди них методы теории графов, теории вероятно-стей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, ак-сио-матический метод, методы иссле-дования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. Так, идеи метода моделирования находят свое примене-ние при решении тексто-вых задач: во-первых, само понятие текстовой задачи можно ввести, пользуясь поня-тием «модель», во-вторых, понятия мо-дели позволяет строго определить понятия «метода решения» и «способа решения» тексто-вой задачи.

В математике разработаны и особые методики использования на практике матема-тиче-ских моде-лей, например, приемы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, изучение различных явлений и процессов с помощью исследования соот-ветствующих функ-ций, графов, геометрических фигур и т.д.

Пример 5. Общеизвестно, что, разрезая конус плоскостями, не проходящими через его вершину, мы полу-чаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы (рис. 4.7). Их называют коническими сече-ниями . Еще древнегреческие ученые начали зани-маться изучением этих кривых, т.к. они встречаются в различ-ных явлениях природы и в че-ловече-ской деятельности (в астро-номии, в во-енном деле, в физики и т.п.). Однако лишь, ко-гда поя-вились уравнения конических сечений, полу-ченные методом координат, изучение этих кри-вых значительно продвинулось вперед, и были ре-шены многие задачи, связанные с ними. Так, И. Кеплер (1609 г.) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (1687 г.) теоретически обосно-вал, что планеты и кометы Солнечной сис-темы движутся по этим кривым.

Заметим, что уравнения x 2 + y 2 = r 2 , y = kx 2 и выступают в каче-стве мо-делей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, соответственно, а эти кривые в свою очередь можно рас-сматривать как геометрические модели указанных уравнений.

ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ . Большую роль в современной науке (т.е. не только в ма-тематике) играют знаковые мо-дели . Они позволяют в виде выражений, формул, урав-нений и т.п. отображать различные процессы и существенные отношения между изу-чаемыми предметами и явлениями, с помощью термина (слова) или знака - вводить новое понятие. Например, вы-ражение a +b служит моделью суммы двух чисел; фор-мула m =2k , где k ÎN , задает четные на-туральные числа; уравнения Zn - 2e = Zn 2+ и 2H + + 2e = H 2 описывают реакции с отдачей и приемом электронов. Каждому образо-ванному человеку не составляет труда понять, что вы-ражают формулы H 2 O, H 2 SO 4 , E =mc 2 , a 2 + b 2 = c 2 , S = a·b , и знаки «=», «+», «sin», «+», «g », «», «e », «p» соответст-венно в химии, фи-зике и математике.

Часто одна и та же знаковая модель описывает различные объекты или процессы. На-пример, знаковая модель «A » может отображать точку, множество, высказывание, объект; модель «y = k·x » - зависимость между ценой, стоимостью и количеством то-вара; или между работой, производительностью труда и временем выполнения ра-боты и др. С другой сто-роны, один и тот же процесс можно описать разными моде-лями. Например, реакцию взаимо-действия цинка с уксусной кислотой в молекуляр-ном виде задают уравнением Zn + 2CH 3 COOH = Zn(CH 3 COO) 2 + H 2 , в молекулярно-ионном - уравнением Zn+2CH 3 COOH = Zn 2+ + 2CH 3 COO - + H 2 .

З.м. понятия «число» . Понятие числа явля-ется одним из важнейших в математике и центральным понятием курса математики в на-чальной. Появившись в простейшем виде еще в первобытном об-ществе из потребностей счета, понятие числа совершенст-вова-лось на протяжении всего последующего развития человеческой цивилизации. В вузе сту-денты, в силу выбранной профессии, изучают большинство известных число-вых множеств, и они знают, что развитие понятия числа происходило под влиянием двух факторов: прак-тиче-ской деятельности человека и внутренних потребностей ма-тематики. В процессе обучения у них формируется представление о том, что бывают порядковые числа, ко-личественные числа, числа как меры величин и числа как ком-понент вычислений.

Однако многие из них не видят разницы между понятием числа и его названием (за-писью), для большинства из них эти понятия тождественны. На во-прос: «Какие числа называются натуральными?», - обычно следует ошибочный ответ: «1, 2, 3 и т.д. - это натуральные числа». Ответ неправильный, по-тому что студенты в данной ситуации подменяют само понятие его обозначением: 1, 2, 3 и т.д. - это не на-туральные числа, а их обозначения, их символы, их знаковые модели . Понятие числа, возникшее как ма-тематическая модель операции пересчета предметов, само стано-вится основой для построения новых математических моделей.

Системы счисления и нумерации - это способы знаково-сим-воличе-ского модели-рования натуральных чисел. Например, любое натуральное число s в десятич-ной сис-теме счисления можно представить в виде:

s = a n 10 n + a n -1 10 n -1 + a 1 10 1 + a 0 = a n a n -1 a 1 a 0 , где a i < 10, i = 0,1,2, n , a n ≠ 0.

Числа a i называются однозначными числами , а их обозначения (символы 1, 2, 3, 9, т.е. знаковые модели) называются цифрами . Следовательно, и запись a n a n -1 . a 1 a 0 есть знаковая модель числа s . Другими знаковыми моделями натуральных чисел яв-ляются их представле-ния цифрами римской нумерации, старославянской нумерации и др.

Большое разнообразие знаковых моделей представляют в наше распоряжение ра-цио-нальные числа, которые можно записать в виде:

а) обыкновенной дроби, например, 12/7, 2/3;

б) десятичной конечной или десятичной бесконечной периодической дроби, на-пример, 3,5; 2,(36); 12,17(3);

в) конечной непрерывной (или цепной дроби), например,

г) систематической дроби, например,

В зависимости от целей, которые стоят перед исследователем, используется та или иная знаковая модель рационального числа. Так, при проведении теоретических ис-следований предпочтении отдают непрерывным дробям, при выполнении практиче-ских вычислений - десятичным и обыкновенным, и т.д.

Универсальной моделью действительного числа является бесконечная десятичная дробь. При этом, если эта дробь периодическая, то изображаемое ею действительное число является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то изображаемое ею действительное число является иррациональным. Другими знаковыми моделями действительных чисел яв-ляются непрерывные дроби (конечные и бесконечные), ир-рациональные числа, которые изо-бражаются с помощью знаков корней (, , и др.), трансцендентные числа (p = 3,141592, e = 2,718281 и др.).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МОДЕЛИРОВАНИЕ . Особая роль принад-лежит модели-рованию в установлении истинности той или иной формы теоретиче-ского знания (ак-сиоматической теории, гипотезы и т.д.). Модель здесь можно рас-сматривать как ору-дие проверки того, действительно ли существуют такие связи, от-ношения, структуры, закономерности, которые формулируются в данной теории и выполняются в модели, а ус-пешная работа модели - это практическое доказательство истинно-сти теории, т.е. это часть экспериментального доказательства истинности этой теории.

Сформулировав основные по-нятия (объекты и отношения), а так же ак-сиомы неко-торой теории, мы имеем лишь ло-ги-че-скую схему , в кото-рой все понятия счита-ются «пустыми» (не имеющими конкретный смысл). Требование только одно: данные по-ня-тия должны формально удовлетворять аксиомам. Ос-тальные свой-ства этих и новых понятий (т.е. тех, которые будут введены в дальнейшем) должны быть ло-гически вы-ведены из ак-сиом.

Придав основным объектам и отношениям аксиоматики конкретный смысл, мы по-лучим ее модель. Ценность моделей в этом случае заключается в том, что они дают возможность прове-рить логическую стройность аксиоматики . При этом, как только понятиям аксиоматики при-дан конкретный смысл, ее ак-сиомы становятся теоремами , которые уже нужно доказы-вать.

Так, моделями булевой алгебры являются алгебра множеств и ал-гебра вы-сказыва-ний, моделью числового поля - множество действительных чисел с заданными на нем операциями сложения и умножения. Интересные модели предоставляют в наше рас-поряжение аксиоматики евклидовой гео-метрии и геомет-рии Лобачевского.

Пример 6 . Модель №1 евклидовой геометрии. Условимся под словами «точка», «прямая» и т.д. подразуме-вать следующее (другими словами, придадим конкретный смысл основным понятиям). «Точка » - любая точка обыкновенной плоскости, кроме одной точки O ; «прямая » - окружность в широком смысле, проходящая через точку O , т.е. любая окруж-ность или прямая, проходящая через точку O (можно считать, что обыкновенная прямая - это окружность с бесконечно большим радиу-сом.); «принадлежит » - в обычном смысле. Чтобы не услож-нять пример, истолкование других слов («между », «конгруэнтен » и т.д.) приводить не бу-дем.

Можно показать, что для таких «точек» и «прямых» выпол-няются все ак-сиомы евклидо-вой гео-метрии. Например, аксиома «Через две раз-личные точки проходит одна и толь-ко одна пря-мая » ста-новится в на-шей модели теоремой «Через три точки проходит единствен-ная ок-ружность в широ-ком смысле ». Дока-жем ее. Пусть «точки» B и C (рис. 4.8) таковы, что точка O не лежит на пря-мой BC .

Из планиметрии Евк-лида известно, что через три точки (B , C и O ), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если же «точки» B и C таковы, что BC проходит через O , то B и C определяют единст-венную прямую, прохо-дя-щую через O . Что и требовалось доказать.

Пример 7 . Модель №2 евклидовой геометрии. Введем словарь по-нятий. «Точка » - всякая упо-рядоченная пара чисел (х,у) ; «прямая » - множе-ство точек, координаты которых удовле-творяют урав-не-нию вида

Ax + By + С = 0; «при-надле-жит » - «точка» (x 0 ,y 0) лежит на «пря-мой» Ax + By + С = 0, если Ax 0 + By 0 + С = 0; «между» - точка B (x 2 ,y 2) лежит между A (x 1 ,y 1) и C (x 3 ,y 3), если выполняется хотя бы одно из сле-дующих отношений: x 1 <x 2 <x 3 , x 3 <x 2 <x 1 , y 1 <y 2 <y 3 или y 3 <y 2 <y 1 ; «конгруэнтен» (для отрезков) - отрезок A (x 1 ,y 1)B (x 2 ,y 2) кон-груэнтен от-резку C (x 3 ,y 3)D (x 4 ,y 4), если (x 1 -x 2) 2 + (y 1 -y 2) 2 = (x 3 -x 4) 2 + (y 3 -y 4) 2 и т.д.

Геометрия Лобачевского, не получившая признания при жизни ее автора, стала из-вест-ной только после того, как появилась ее первая модель.

Пример 8. Модель Кели-Клейна геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Плос-кость » - фик-си-рованный круг; «точка » - обычная точка, находящаяся внутри круга, «пря-мая » - хорда окружнос-ти (без концов); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, истолкование дру-гих слов приводить не будем.

Можно показать, что на этой модели выполняются все аксиомы геометрии Евклида кроме ак-сиомы IV о па-раллельных. Вместо нее выполняется аксиома Лобачевского: «Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную». На рис 9а через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , параллельные «прямой» a .

Пример 9 . Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Точка » - обыч-ная точка, находящаяся в верхней полуплоскости (x >0), «пря-мая » - луч, перпендику-лярный оси X, а также полуокружности, опирающиеся на ось X (см. рис. 9б); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, ис-толкование других слов при-водить не будем. На рис. 9б через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , парал-лельные «прямой» a .

Наличие моделей доказывает, что сис-тема ак-сиом Лобачевского является непро-тиворечивой.

Построение моделей геометрий Евклида и Лобачевского позволило решить про-блему 2000-летней дав-ности: можно ли доказать аксиому о параллельных, т.е. вы-вести ее из дру-гих аксиом? Те-перь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома не зави-сит от остальных ак-сиом. Независи-мость вытекает из того факта, что после замены аксио-мы параллельности Евклида на ак-сиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую си-стему аксиом.

Открытие неевклидовой геометрии показывает, что появление новых математиче-ских мо-делей нередко означает не только принципиальный поворот в развитии самой математики, но и меняет существующие знания об окружающем нас мире.

МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ. Модели помимо всего прочего являются тем учебным средством, без кото-рого невоз-можно полно-цен-ное обучение. На уроках математике в начальной школе находят применение как материальные, так и идеальные модели. К ним относятся, например, наглядные пособия, которые воспроизводят реальные и идеальные объекты, передают их структуру, существенные свойства, связи и от-ноше-ния, допуская при этом уменьшение или увеличение раз-мера, схематическое изобра-же-ние. По способу предъявления учащимся такие модели делятся на демонстрацион-ные и раз-даточные (индивидуальные ).