Формула пика для нахождения площади многоугольника. Научная работа "формула пика"

Библиографическое описание: Татьяненко А. А., Татьяненко С. А. Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге // Юный ученый. 2016. №3..03.2019).

При подготовке к основному государственному экзамену я встретился с заданиями, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь. Если фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник, то здесь необходимо использовать особые приемы. Меня заинтересовала данная тема. И естественно возникли вопросы: где в повседневной жизни могут возникнуть задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге? В чем особенность таких задач? Существуют ли другие методы или же универсальная формула для вычисления площадей геометрических фигур, изображенных на клетчатой бумаге?

Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика. Однако, в рамках школьной программы данная формула не рассматривается, несмотря на свою простоту в применении и получении результата. Более того, мною проведен опрос друзей и одноклассников (в двух формах: при личной беседе и в социальных сетях), в котором приняли участие 43 учащихся школ города Тобольска. Данный опрос показал, что всего один человек (учащийся 11 класса) знаком с формулой Пика для вычисления площадей.

Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.

1. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:

1) подсчитывая клеточки нужно найти высоту, диагонали или стороны, которые требуются для вычисления площади;

2) подставить найденные величины в формулу площади.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 1 с размером клетки 1см на 1 см.

Рис. 1. Треугольник

Решение. Подсчитываем клеточки и находим: . По формуле получаем: .

2 Фигура представляет собой многоугольник

Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.

Метод разбиения:

1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники;

2) вычислить площади полученных фигур;

3) найти сумму всех площадей полученных фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом разбиения.

Рис. 2. Многоугольник

Решение. Способов разбиения существует множество. Мы разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Многоугольник. Метод разбиения

Площади треугольников равны: , , , площадь прямоугольника - . Складывая площади всех фигур получим:

Метод дополнительного построения

1) достроить фигуру до прямоугольника

2) найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника

3) из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см методом дополнительного построения.

Решение. Достроим нашу фигуру до прямоугольника как показано на рисунке 4.

Рис. 4. Многоугольник. Метод дополнения

Площадь большого прямоугольника равна , прямоугольника, расположенного внутри - , площади «лишних» треугольников - , , тогда площадь искомой фигуры .

При вычислении площадей многоугольников на клетчатой бумаге возможно использовать еще один метод, который носит название формула Пика по фамилии ученого ее открывшего.

Формула Пика

Пусть у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге только целочисленные вершины. Точки у которых обе координаты целые называются узлами решетки. Причем, многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где B - количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке 5.

Рис. 5. Узлы в формуле Пика

Например, требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 2 с размером клетки 1см на 1 см по формуле Пика.

Рис. 6. Многоугольник. Формула Пика

Решение. По рисунку 6: В=9, Г=10, тогда по формуле Пика имеем:

Ниже приведены примеры некоторых задач, разработанных автором на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

1. В детском саду дети сделали аппликации родителям в подарок (рис.7). Найдите площадь аппликации. Размер каждой клетки равен 1см 1см.

Рис. 7. Условие задачи 1

2. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых - до 35 т, вяза - до 43 т, дуба - до 50 т. бука - до 68 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет. План ельника изображен на рисунке 8 (масштаб 1 см. - 200 м.).

Рис. 8. Условие задачи 2

3. В орнаментах хантов и манси, преобладают геометрические мотивы. Часто встречаются стилизованные изображения животных. На рисунке 9 изображен фрагмент мансийского орнамента «Заячьи ушки». Вычислите площадь закрашенной части орнамента.

Рис. 9. Условие задачи 3

4. Требуется покрасить стену заводского здания (рис. 10). Рассчитайте требуемое количество водоэмульсионной краски (в литрах). Расход краски: 1 литр на 7 кв. метров Масштаб 1см - 5м.

Рис. 10. Условие задачи 4

5. Звездчатый многоугольник - плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения. Особого внимания заслуживает пятиконечная звезда - пентаграмма. Пентаграмма - это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Это простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Нарисуйте пятиконечную звездочку не отрывая карандаша от листа клетчатой бумаги, так, чтобы все углы получившегося многоугольника находились в узлах клетки. Вычислите площадь полученной фигуры.

Проанализировав математическую литературу и разобрав большое количество примеров по теме исследования, я пришел к выводу, что выбор метода вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге зависит от формы фигуры. Если фигура представляет собой треугольник, прямоугольник, параллелограмм или трапецию, то удобно воспользоваться всем известными формулами для вычисления площадей. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и дополнения (в большинстве случаях удобнее - метод дополнения). Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применить формулу Пика.

Поскольку формула Пика является универсальной формулой для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах решетки), то ее можно использовать для любой фигуры. Однако, если многоугольник занимает достаточно большую площадь (или клетки мелкие), то велика вероятность допустить ошибку в подсчетах узлов решетки. Вообще, в ходе исследования, я пришел к выводу, что при решении подобных задач в ОГЭ лучше воспользоваться традиционными методами (разбиения или дополнения), а результат проверить по формуле Пика.

Литература:

Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с.
Васильев И. Н. Вокруг формулы Пика// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1974. - № 12. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
Жарковская Н., Рисс Е. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. // Первое сентября. Математика. - 2009. -№ 23. - с.24,25.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Руководители:

Могутова Татьяна Михайловна
Дерюшкина Оксана Валерьевна

Девиз проекта:

“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя.

Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на “клеточках” очень интересная тема.

Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.

Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили много литературы и к нашей огромной радости нашли еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный! Вычисление площади, используя формулу, выведенную австрийским ученым – математиком Георгом Пиком.

Мы решили изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождении площади очень легко!

Цель исследования

1. Изучение формулы Пика.

2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию

3. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

4. Сделать выводы по результатам работы.

5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:

1. Моделирование

2. Построение

3. Анализ и классификация информации

4. Сравнение, обобщение

5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Георг Пик – австрийский ученый – математик. Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.

Широко известная Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.

Формула Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г: 2 + В – 1

Г – число узлов решетки на границе многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Первым делом мы поставили задачу: изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.

Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.

В данном случае Г= 15, В = 35

Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18, узлов внутри 20, В = 20.

И еще один пример. Дан произвольный многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14. Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.

С первой задачей мы справились!

Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49

Пример №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Пример №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Пример №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19

Пример №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34

На рассмотрение пяти примеров мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

Но перед нами встал очень серьезный вопрос:

Можно ли доверять теореме Пика?

Получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

Найдем площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты мы получили:

Пример №1.

Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика:

Подсчитаем количество узлов на границе и внутри. Г = 3, В = 6.

Вычислим площадь: S = 6 + - 1 = 6,5

Достроим многоугольник до прямоугольника. Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат одинаковый.

Пример №2.

Г = 4, В = 9, S = 9 + - 1 = 10

Достроим до прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,

S = = 2 , S = = 1,5, S = = 2,5

Площадь прямоугольника равна

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

Пример №3

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 5, В = 6, S = 6 + - 1 = 7,5

Вычислим площадь, используя способ достроения.

Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20

S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Результат одинаковый.

В презентации мы рассмотрели три примера, но на самом деле мы рассмотрели очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.

Мы довольны!

И еще один вопрос встал перед нами: какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно использовать всю предыдущую работу. Но рассмотрим еще три примера, которые окончательно позволят получить ответ на наш вопрос.

Пример №2

Пример №3

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Рассмотрим пример:

Вывод однозначный: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Предлагаем каждому из вас вычислить площадь многоугольника, используя формулу Пика:

Вычислите количество узлов на границе. Они изображены желтым цветом.

Вычислите количество узлов внутри, красный цвет.

Подставьте в формулу, назовите результат. Вы за одну минуту вычислили площадь.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

S = Г:2 + В - 1.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в применении.

Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Применяя формулу Пика легко выполнять задание ЕГЭ и ОГЭ.

Приведем несколько примеров вычисления площади из вариантов ЕГЭ – 2015.

Мы решили научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели фестиваль “Формула Пика”.

Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией, научились пользоваться формулой Пика.

За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку “Формула Пика”.

Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!

Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся 9–11 классом.

Задали следующие вопросы:

Вопрос №1:

Формула Пика – это рациональный способ вычисления площади многоугольника?

“Да” - 100% учащихся.

Вопрос №2:

Вы пользуетесь формулой Пика?

“Да” – 100% учащихся

Наша работа не прошла даром! Мы довольны!

Презентацию нашего проекта мы разместили в сети Интернет. Много просмотров и скачиваний нашей работы.

Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им постоянно, особенно первое время, пользовались учащиеся нашей школы.

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования.

Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула Пика”, научили их находить площадь, использую эту формулу. Подобрали много интересных примеров.
Создали электронную презентацию в помощь своим ровесникам.
Оформили альбом “Формула Пика”, который постоянно используют учащиеся школы.

Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы убедились в рациональности нашей работы.

Спасибо за внимания!

Урок геометрии в 8 классе по теме «Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.»

Цели урока:

Образовательные: повторение формул нахождения площадей, продолжение формирования навыков вычисления площадей, применение формул при решении задач разной сложности, изучение формулы Пика.

Развивающие: развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий, развивать умение обосновывать свое решение.

Воспитательные: развивать умение вести самостоятельный поиск решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи, учить трудолюбию, аккуратности, внимательности.

Тип урока: комбинированный урок.

Методы обучения: репродуктивный, словесно-наглядный, частично-поисковый.

Формы организации: общеклассная, индивидуальная.

Оборудование урока: мультимедийные средства обучения, лист с печатной основой у каждого учащегося (задачи на готовых чертежах, самостоятельная работа).

Ход урока.

I Организация начала урока (слайд 1)

На вашем столе лежат карточки для работы на уроке. Что вы видите на них?

(Различные многоугольники)

Какие фигуры вам знакомы?

Что мы учились находить у этих фигур? (Площади)

Что общего на этих рисунках? (Изображены на клетчатой бумаге).

Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Сегодня на уроке мы будем вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге).

А ещё мы с вами познакомимся с одной очень интересной формулой, которая позволит нам очень быстро вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Итак тема урока… Слайд 1.

II Актуализация знаний и способов деятельности

Повторим основные формулы нахождения площадей, которые нам пригодятся на сегодняшнем уроке. «Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…» Марков А. А.

Выполняем тест. (слайды 3-8 )

Нахождение площади многоугольника, «нарисованного на клеточках», очень интересная тема. Такие задачи встречаются в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

(слайды 9 - 10)

III Закрепление знаний и способов деятельности.

А как поступим в этом случае?

Найти площади фигур, используя один из двух способов:

разбить фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты

попробовать дополнить наш многоугольник до “хорошего”, нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

(слады 11-14) (приложение 1 )

А всегда ли удобно таким способом находить площади фигур?

IV Усвоение новых знаний и способов деятельности. Формула Пика

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…(слайд 17)

а) Биография

Герг Алекса́ндр Пик - . Родился 10 августа 1859 года в Вене в еврейской семье. Мать - Йозефа Шляйзингер, отец - Адольф Йозеф Пик.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в . В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 г. защитил докторскую диссертацию. В 1885 г. уехал в Прагу и стал преподавать в Немецком университете.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии профессором в университет. Пик и физик были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области и , и абелевых функций, теории и , всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену - город, в котором он родился. Однако в 1938 году он снова вернулся в Прагу.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии , где умер две недели спустя в возрасте 82 лет. (слайд 17)

б) Формула Пика

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна
В + Г/2 − 1 , где В - есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника. (слайд 18)

Первым делом разберемся, что значит целочисленные точки внутри треугольника и на границе треугольника и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.

в) Решение задач ( слайды 20-22) (приложение 2)

А можно ли доверять теореме Пика? Получатся ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

V Первичная проверка усвоения

Самостоятельная работа: решить задачи двумя способами. ( слайды 23-27) (приложение 3)

VI Подведение итогов, инструктаж по домашнему заданию.

Домашнее задание: на листочках. (слайд 28) (приложение 4)

Литература и интернет – ресурсы:

ЕГЭ. Математика. Тематическая рабочая тетрадь/ И.В.Ященко, С.А. Шестаков и др.- М: «Экзамен», 201

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

Приложение 1

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я, ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С. Минаева и другие.

Наибольшее мое внимание привлекли темы «Площади фигур», « Составление формул». Я заметил, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызывало у меня затруднений.

Заинтересовавшись этой темой, я начал искать дополнительный материал в Интернете. В результате поисков я натолкнулся на формулу Пика- это формула для вычисления площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Вычисление площади по этой формуле мне показалось доступным любому ученику. Именно поэтому я решил провести исследовательскую работу.

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.

Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Цель работы:

Ознакомиться с формулой Пика.

Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.

Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.

Задачи исследования:

Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.

Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.

Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Основная часть

1.1. Историческая справка

Георг Алекса́ндр Пик - австрийский математик, родился 10 августа 1859 года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.

Георг Пик получил образование в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско- Фердинандском университете в Праге. Там же он стал преподавателем. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а затем вернулся в Вену.

Пик возглавлял комитет в немецком университете Праги, который назначил Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.2. Исследование и доказательство

Свою исследовательскую работу я начал с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Составить формулу для вычисления площади различных треугольников и четырехугольников я мог. А как же быть с пяти-, шести-, и вообще с многоугольниками?

В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так:S=B+Г/2-1 , где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него,через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°. Т.

Теперь найдем сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2.180°, т.е. общая сумма углов равна 360°. В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г- n)180 °, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г- 2)180 °. Таким образом, Т= 2.180°. В+(Г-n)180 °+(n-2)180 °. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.

2. Практическая часть

Эту формулу решил проверить на заданиях из сборника ОГЭ-2017. Взял задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника и пятиугольника. Решил сравнить ответы, решая двумя способами: 1) дополнил фигуры до прямоугольника и из площади полученного прямоугольника вычел площадь прямоугольных треугольников; 2) применил формулу Пика.

S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 и S = 43+14/2-1 = 49

Сравнив полученное, делаю вывод, что обе формулы дают один и тот же ответ. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. Легкость решения и экономия времени на вычислениях мне пригодятся в будущем при сдаче ОГЭ.

Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Заключение

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Я уверен, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения. Ведь я уже знаком с формулой Пика.

Список литературы

Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3-е изд.-М.: Просвещение, 2014.- 223, с. : ил. - (Сферы).

Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебн. для общеобразоват. организаций-5-е изд.-М.: Просвещение, 2016.-240с. : ил.- (Сферы).

Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика. //Квант.- 1974.-№2. -с.39-43

Рассолов В.В. Задачи по планиметрии. / 5- изд.,испр. И доп. - М.: 2006.-640с.

И.В. Ященко.ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов - М.: Издательство «Национальное образование», 2017. -240 с. - (ОГЭ. ФИПИ- школе).

«Решу ОГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата обращения 02.04.2017)

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

(Д. Пойя).

Австрийский математик,

родился в еврейской семье.

Мать Йозефа Шляйзингер,

отец Адольф Йозеф Пик.

Пик Георг

10.08.1859 - 13.07.1942

Биографическая справка

Георг Александр Пик

был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 19001901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика Неванлинны, лемма Шварца Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.