Геометрический смысл матрицы. Основные свойства определителей и их геометрический смысл

1) Транспонированная матрица. При транспонировании определитель не меняется: = .

2) Если А, В две квадратные матрицы, то .

Рассмотрим доказательство для n=2.

, .

Произведение матриц:

= , её определитель:

полностью вычитаются 1-е и 5-е слагаемое, а также 2-е и 8-е.

В то же время, произведение определителей равно

= .

То есть это то же самое выражение.

3) Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то .

Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.

4) Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличится в с раз.

Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки.

Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.

Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объём вырастет в раз. Для матриц получается

Следствие: 4а) .

5) Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.

Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.

6) Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .

Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = , то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .

Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то объём 0.

7) Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).

Чтобы легче запомнилось, покажем на примере произвольных матриц 2-го порядка.

действительно: = = .

Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.

8). Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.

Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:

= + тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.

Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.

Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент .

Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:

Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.

Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.

Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 4). Это совершенно разные операции, не надо их путать.

Вычислить приведением к треугольной форме.

Заметили, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, домноженную на 2. То есть, вычитать надо строку (2 6).

Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то .

Доказательство: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.

Пример (метод Гаусса, приведение к треугольной форме).

Применим свойство 8 к вычислению такого определителя: .

Постараемся обнулить все элементы ниже, чем .

Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = .

Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет .

Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится . А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2.

Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.

§ 3. Обратная матрица.

Определение вырожденной матрицы (), невырожденной матрицы ().

Определение обратной матрицы. Пусть - квадратные матрицы. Если то называется обратной матрицей для матрицы .

Обозначение: Обратная матрица обозначается .

Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например , .

Итак, . Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.

Лемма. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

Для доказательства рассмотрим . Если то , то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M ij .

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1) i+ j , где i,j - номера строки и столбца.

Получатся алгебраические дополнения A ij .

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Пример. = ?

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: . Матрица из алг. дополнений: . Транспонируем её: . Делим её на определитель, и записываем ответ: = .

Можно сделать проверку: = .

Пример. Найти обратную матрицу:

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Обозначается . Примеры:

Матрица размера ранга 2. . Здесь есть невырожденный минор порядка 2,

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден.

Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, . Цветом закрашен базисный минор.

Ранг прямоугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й.

Матрица А является матрицей ранга 0 она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).

1. Рассмотрим произвольные векторы . Допустим сначала, что эти векторы линейно независимы. В этом случае определитель Грама, составленный для любых из этих векторов, будет отличен от нуля. Тогда, полагая согласно (22)

(23)

и перемножая почленно эти неравенства и неравенство

, (24)

.

Таким образом, определитель Грама для линейно независимых векторов положителен, для линейно зависимых равен нулю. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

Обозначим для сокращения . Тогда из (23) и (24)

где – площадь параллелограмма, построенного на и . Далее,

,

где – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Продолжая далее, найдем:

,

и, наконец,

. (25)

Естественно назвать объемом -мерного параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.

Обозначим через , координаты вектора в некотором ортонормированном базисе в , и пусть

Тогда на основании (14)

и потому [см. формулу (25)]

. (26)

Это равенство имеет следующий геометрический смысл:

Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные -мерные подпространства. В частности, при из (26) следует:

. (26)

При помощи формул (20), (21), (22), (26), (26") решается ряд основных метрических задач -мерной унитарной и евклидовой аналитической геометрии.

2. Вернемся к разложению (15). Из него непосредственно следует:

что в сочетании с (22) дает неравенство (для произвольных векторов )

при этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда вектор ортогонален к векторам .

Отсюда нетрудно получить так называемое неравенство Адамара

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны. Неравенство (29) выражает собой следующий геометрически очевидный факт:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер и равен этому произведению лишь тогда, когда параллелепипед прямоугольный.

Неравенству Адамара можно придать его обычный вид, полагая в (28) и вводя в рассмотрение определитель , составленный из координат векторов , в некотором ортонормированном базисе:

.

Тогда из (26") и (28) следует

. (28)

3. Установим теперь обобщенное неравенство Адамара, охватывающее как неравенство (27), так и неравенство (28):

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда каждый из векторов ортогонален к любому из векторов либо один из определителей , равен нулю.

Неравенство (28") имеет следующий геометрический смысл:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения объемов двух дополнительных граней и равен этому произведению в том и только в том случае, когда эти грани взаимно ортогональны либо хотя бы одна из них имеет нулевой объем.

Справедливость неравенства (29) установим индуктивно относительно числа векторов . Неравенство справедливо, когда это число равно 1 [см. формулу (27)].

Введем в рассмотрение два подпространства и соответственно с базисами и . Очевидно, . Рассмотрим ортогональные разложения

.

Заменяя квадрат объема параллелепипеда произведением квадрата объема основания на квадрат высоты [см. формулу (22)], найдем

При этом из разложения вектора следует:

, (31)

причем здесь знак имеет место, лишь когда .

Используя теперь соотношения (30), (30"), (31) и предположение индукции, получим:

Мы получили неравенство (29). Переходя к выяснению, когда в этом неравенстве имеет место знак , примем, что и . Тогда согласно (30") также и . Коль скоро в соотношениях (32) всюду имеет место знак равенства, то и, кроме того, по предположению индукции, каждый из векторов ортогонален к каждому из векторов . Этим свойством обладает, очевидно, и вектор

Таким образом, обобщенное неравенство Адамара установлено полностью.

4. Обобщённому неравенству Адамара (29) можно придать и аналитическую форму.

Пусть – произвольная положительно определенная эрмитова форма. Рассматривая как координаты вектора в -мерном пространстве при базисе , примем форму за основную метрическую форму в (см. стр. 224). Тогда станет унитарным пространством. Применим обобщенное неравенство Адамара к базисным векторам : - вещественная матрица коэффициентов положительно определенной квадратичной формы между векторами и , определив его из соотношения

.

Из неравенства Буняковского следует, что имеет вещественное значение.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы - самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно - потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных - опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос - что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель - это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? - тогда читаем дальше...

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель - это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что "площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами - сторонами параллелограмма ". Говоря простым языком, если матрица - это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура - это отрезок; если двумерное - то фигура - параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель - это длина отрезка, для плоскости - площадь фигуры, для трёхмерной фигуры - её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы - это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной - возможно, транспонирование - это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица - это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом - но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, - тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте - а поймёте потом» - не для меня, копаю в глубь веков (точнее - читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писа ть. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Свойство 2.7. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i -ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i -ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k =1, то - квадрат длины вектора. Если k >1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k =2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. рис. 1). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k =3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.8 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k -мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.

Покажем теперь неравенство Адамара.

Теорема 2.4.

Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор является ортогональной составляющей вектора на линейную оболочку векторов , и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2.2). Далее, , что и требовалось доказать.

Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.

Следствие 2.5 Справедливы неравенства и .

Доказательство. В n -мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара . Поскольку , то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .