Характеристический многочлен квадратной матрицы. Характеристическое уравнение матрицы

Определение

Для данной матрицы , , где Е - единичная матрица , является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Связанные определения

Свойства

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Характеристическая кривая задания
• Харальд III (король Норвегии)

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

Характеристический многочлен - В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН - матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

Минимальный многочлен матрицы - У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Лямбда-матрицы - Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

СПЕКТР МАТРИЦЫ - совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Характеристическое число матрицы - Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Подобные матрицы - Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристическая матрица

Характеристическое уравнение - Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона - Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия

Пусть дана квадратная матрица порядка n . Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу

= с переменной λ, принимающей любые числовые значения.

Определитель ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> матрицы является многочленом n -й степени от λ. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А , уравнение =0 – её характеристическим уравнением, а его корни https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> называется всякий ненулевой вектор Х , удовлетворяющий условию https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – число.

Число называется собственным значением преобразования https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75">(*)

Если известно собственное значение λ , то все собственные векторы матрицы А , принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А–λЕ имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю и λ принадлежит рассматриваемому полю Р . Но это означает, что λ является корнем характеристического многочлена и принадлежит полю Р . Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, и только они, являются её собственными значениями. Для отыскания всех собственных значений матрицы А нужно найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р , а для отыскания всех собственных векторов матрицы А нужно найти все ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении λ матрицы А .

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы .

Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (1)-м столбцом) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(домножим (1)-й столбец на число (-1) и сложим с (3)-м столбцом) ==(домножим (1)-ю строку на число (2) и сложим со (2)-й строкой) ==(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (3)-м столбцом) =
.

Таким образом, характеристический многочлен имеет корни λ1=6, λ2=λ3= – 3. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А .

При λ=6 система (А–λЕ)Х=0 имеет вид https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src=">.

Её общим решением является Х =https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, оно даёт общий вид собственных векторов матрицы А , принадлежащих собственному значению λ= – 3.

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель . Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно, является функцией, ставящей в соответствие оператору A скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение .Скаляр l называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n -мерном векторном пространстве L , если

Рассматривая как вектор , любой вектор , , коллинеарный x, будет собственным вектором с собственным числом l . Если собственному значению l соответствует два вектора, x и y , то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множество M всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения l называется размерность подпространства M ; собственное значение l называется простым , если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого - О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n -мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператора A, соответствующих аналогичному семейству собственных значений , , линейно независимо.

Доказательство . Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при , теорема верна, но неверна при . Тогда, если система векторов , , …, , будет линейно зависимой, то есть существуют числа , , не все равные 0, например, , что выполняется

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и ,но, по предположению, , тогда , но тогда , что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообраз x – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный p , мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n -мерном действительном линейном пространстве L и пусть , , некоторый базис, наконец – матрица оператора A в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица , то есть . Отсюда заключаем, что кратность l совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать , что

то есть тогда и только тогда, когда , где . Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно замены A на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

,

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от l . Максимальная степень l входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L .

Для того, чтобы число было собственным значением оператора A необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?

Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Примеры:

1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не константа, если, то. Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от многочленов нулевой степени.

2. Оператор А, действующий в пространстве V 2 – радиус-векторов и осуществляющий поворот на каждого из векторов на некоторый угол, отличный от p, против часовой стрелки не имеет собственных векторов.

Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора.

Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения l линейного оператора, .

Пусть l – собственное значение, соответствующее собственному вектору.

По определению, собственный вектор отличен от, тогда из равенства (1) следует, что оператор – вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы l поля Р, для которых оператор – вырожден.

Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица, т.е. тогда, когда (2).

В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от 0.

Теорема 10: Числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f.

Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.

Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением: , Q – невырожденная матрица, тогда:

Т.о. числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Рассмотрим оператор, и в X задан базис, в котором матрица оператора А выглядит следующим образом: .

является многочленом степени m относительно l, т.е. можно записать: .

Легко видеть, что наивысшая степень l достигается только при умножении элементов главной диагонали, откуда видно, что коэффициент при равен 1.

Определение: Функция (3) называется характеристическим многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является характеристическим многочленом некоторого оператора.

Рассмотрим – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем.

Для того, чтобы элемент l поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению: (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень.

Пример: в поле R корней не имеет.

Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А , т.е. все матрицы видаА*= Т -1 АТ , гдеТ – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем| A |=| A *|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

,

которая образована из А заменой диагональных элементовa ij элементами
, где– произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент приравен (-1) n). Многочлен
называется характеристическим многочленом матрицыА .

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , гдеА*=Т -1 АТ .

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т -1 ЕТ . Тогда, заменяя в матрице
матрицыА* иЕ соответственно наТ -1 АТ иТ -1 ЕТ , получаем:

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен
.

Алгебраическое уравнение n -й степени
называется характеристическим уравнением матрицыА , а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – следk -го порядка матрицыА .

Следом k -го порядканазывается сумма возможных
главных миноровk -ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней
. Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А :

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А :

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов
характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный операторзадан матрицейА . Тогда коэффициентывычисляются по следующей схеме:

Пример. Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда– собственные значения линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Элементами матрицы В являются многочлены отстепени не выше (n -1 ). Поэтому матрицуВ можно представить в следующем виде:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на
и сложим полученные результаты:

откуда следует, что
. Теорема доказана.

Пример. Линейный операторзадан матрицей

.

Найти
и показать, что
.

Решение. Составим матрицу

Многочлен
имеет вид

.

6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора

Пусть в пространстве задан линейный оператор.

Определение. Ненулевой вектор
, удовлетворяющий соотношению
, называется собственным вектором, а соответствующее число– собственным значением оператора.

Из данного определения следует, что образом собственного вектора является коллинеарный ему вектор
.

Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора .

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору операторасоответствуют два собственных числа
. Это значит, что

,

.

Но отсюда следует, что

Так как по условию – ненулевой вектор, то
.

2. Если и– собственные векторы операторас одним и тем же собственным числом, то их сумма
также является собственным вектором операторас собственным числом. Действительно, так как
и
, то

3. Если – собственный вектор операторас собственным числом, то любой вектор
, коллинеарный вектору, также является собственным вектором операторас тем же самым собственным числом.

Действительно,

Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора, соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства.

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема. В комплексном линейном пространствекаждый линейный операторимеет, по крайней мере, один собственный вектор.

Доказательство. Пусть – линейный оператор, заданный в пространстве, а–собственный вектор этого оператора с собственным числом, т.е.
. Выберем произвольный базис
и обозначим координаты векторав этом базисе через
. Тогда, если
– матрица операторав базисе
, то, записывая соотношение в матричной форме, получим

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда
. Отсюда следует, что собственное число линейного оператораявляется его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного оператора и соответствующего ему собственного векторасводится к решению характеристического уравнения
. Пусть
– различные корни характеристического уравнения. Подставив какой-нибудь кореньв систему (6.3.2), найдем все ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу. Если ранг матрицы
равенr иr < n , то существуетk = n - r линейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.

Пример. Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

,

или
откуда
.

Подставляем корни
в систему (6.3.1). Найдем собственные векторы оператора.

При
имеем

.

Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид
. Найдем два линейно независимых решения:

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям
, имеют вид

,

где с – произвольное действительное число, отличное от нуля.

При
имеем

.

Общее решение данной системы имеет вид

Собственный вектор, соответствующий собственному значению
, равен

.

Теорема. Пусть собственные значения
операторапопарно различны. Тогда отвечающие им собственные векторы
линейно независимы.

Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как– ненулевой вектор, то приp =1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m < p векторов
. Присоединим к этим векторам вектор
и допустим, что имеет место равенство

Так как
, -собственные векторы, то
и поэтому равенство (6.3.4) можно переписать следующим образом:

По условию все
, различны, поэтому
. Система векторов
– линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что. Тогда из (6.3.3) и из условия, что
– собственный вектор (
), получаем
. Это означает, что
– система линейно независимых векторов. Индукция проведена. Теорема доказана.

Следствие: если все собственные значения
попарно различны, то отвечающие им собственные векторы
образуют базис пространства.

Теорема. Если в качестве базиса пространствапринятьn линейно независимых собственных векторов, то операторув этом базисе соответствует диагональная матрица

.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор
и базис, составленный из собственных векторов
этого пространства. Тогда, где
– координаты векторав базисе
.

Применяя к вектору оператор, получим
или
.

Так как
, – собственный вектор, то
.

Из (6.3.7) имеем

Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора в базисе
имеет вид

.

Теорема доказана.

Определение. Линейный операторв пространствеR n называется оператором простой структуры, если он имеетn линейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.