Колебания бесконечной струны формула даламбера. Метод распространяющихся волн

Рассмотрим уравнение

Где функция определена на .

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t > 0 .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t = 0 :

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Идея получения решения

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье. Обобщенная формула Кирхгофа имеет следующий вид:

.

В случае, если в волновом уравнении имеется правая часть f , в правой части формулы появится слагаемое:

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t = 0 на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .

Вне отрезка времени , где , функция u (x 0 , t ) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона -Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны

с начальными условиями

задаётся формулой:

.

Формула Д"Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

(функция f (x ,t ) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д"Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u (x ,t ) = f (x + a t ) + g (x − a t ) , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x ≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д"Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: u (x ,t ) = A (x ,t ) + B (x ,t ) + C (x ,t ) , которые удовлетворяют следующим условиям:

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть . Тогда, сделав замену ξ = x + 3y − 2z , уравнение для задачи "С" примет вид:

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д"Аламбера:

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t > 0 .

Литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. - М.: МФТИ, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Формула Пуассона - Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… … Википедия

Д"АЛАМБЕРА ФОРМУЛА - формула, выражающая решение задачи Коши для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Пусть заданные функции j(х), y(х)принадлежат соответственно пространствам и, a f(t, х)непрерывна вместе с первой производной по хв… … Математическая энциклопедия

Принцип Д’Аламбера - Д’Аламбера принцип в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится… … Википедия

ПУАССОНА ФОРМУЛА - 1) То же, что Пуассона интеграл.2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве: и имеющая вид (1) где среднее значение функции j на сфере Sat в пространстве (х, у, z) радиуса at с… … Математическая энциклопедия

КИРХГОФА ФОРМУЛА - ф ла, выражающая регулярное решение и (х, t)неоднородного волнового уравнения в трёхмерном пространстве через нач. данные задачи Коши и (х,0)= (х), ut (х,0) = = (ас)и объёмный запаздывающий потенциал (х, t) с плотностью f(y, t) … Физическая энциклопедия

Волновое уравнение - в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно… … Википедия

Уравнение колебаний струны

Уравнение колебания струны - Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, мы рассмотрим более простую задачу - о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.

Рассматривая свободные колебания, мы должны, таким образом, решить однородное уравнение

при начальных условиях

где функции заданы на всей числовой оси. Никакие краевые условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Метод решения ее, который мы сейчас изложим, называется методом Даламбера или методом бегущих волн.

Прежде всего покажем, что общее решение уравнения (2.1), т. е. решение, зависящее от двух произвольных функций (см. введение), имеет вид

где функции предполагаются дважды дифференцируемыми.

Действительно, последовательно дифференцируя, находим:

Отсюда ясно, что

т. е. что равенство (2.1) соблюдается.

Наша задача состоит теперь в том, чтобы, пользуясь начальными условиями (2.2), определить неизвестные функции . Полагая в (2.3) и подсгавляя выражение для в первое из условий (2.2), получим

Полагая теперь в выражении для и пользуясь вторым условием (2.2), придем к уравнению

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до получим соотношение

которое приведем к виду

где - некоторая постоянная величина.

Из системы уравнений (2.4) и (2.6) находим искомые функции

Заменяя в формулах (2.7) аргумент соответственно на и подставляя полученные выражения в формулу (2.3), найдем функцию

Замечая, что

придадим решению следующий вид:

Формула (2.8) называется решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний струны.

Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что найденная функция действительно удовлетворяет как уравнению (2.1), так и условиям (2.2).

Для того чтобы выяснить физический смысл полученного решения, рассмотрим прежде всего в отдельности функции, входящие в общее выражение (2.3) для . Начнем с функции и построим графики этой функции при возрастающих значениях и т. д. (на рис. 5 они расположены сверху вниз).

Второй график будет сдвинут относительно первого на величину третий - на величину и т. д. Если по очереди проектировать эти рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов.) При этом, если мысленно перемещаться вправо вдоль струны с постоянной скоростью а, то отклонение струны будет казаться все время постоянным.

Действительно, начав движение, скажем, в точке и переместившись за время t в точку х, будем иметь

В этой лекции решение задачи Коши для волнового уравнения

Шаг 1. Заменим переменные (x, t) новыми переменными (ξ,η) , в которых волновое уравнение примет другой вид: Такая замена выполняется по формулам

Проверим это:

После подстановки этих производных в волновое уравнение, получим:

Что и требовалось доказать.

Шаг 2. Преобразованное уравнение легко решается двумя последовательными интегрированиями (сначала по переменной η , а затем по ξ ):

где C 1 (η) – произвольная функция от η . Так как C(ξ) – произвольная функция, то и – также произвольная функция.

Окончательно, общее решение U(ξ,η) имеет вид

Шаг 3. Для нахождения общего решения первоначального уравнения подставим в (25) вместо ξ и η выражения (24):

Шаг 4. Определим функции C 1 и C 2 , используя начальные условия из (23). После подстановки первого условия получим

Найдем производную функции U в (26) по переменной t и подставим второе условие:

В результате будем иметь систему уравнений

Если проинтегрировать второе уравнение системы (27) по x в пределах от x o до х , то получим следующую систему:

При сложении этих уравнений получим

Если из первого уравнения системы вычесть второе уравнение, то будем иметь

Подставим теперь полученные функции в общее решение (26):

Поменяем местами пределы интегрирования во втором интеграле, стоящем в скобках в (28). В результате получим решение исходной задачи Коши

Формула (29) называется формулой Даламбера.

Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера

При исследовании формулы Даламбера будем исходить из физического смысла волнового уравнения. Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны

И начальные условия

Такая задача Коши с помощью замены независимой переменной сводится к задаче (23):

Решение преобразованной задачи имеет вид (см. формулу Даламбера (29):

Если теперь в эту формулу вместо τ подставить at , то получится решение исходной задачи

Прежде, чем перейти к физической интерпретации этой формулы, сделаем следующее замечание.

Замечание. Рассмотрим в отдельности функции C 1 (x-at) и C 2 (x-at) , входящие в общее решение (26) (коэффициент а в них появился потому, что нас сейчас интересует более общее уравнение (30)). Начнем с функции C 1 (x-at) и построим графики этой функции при возрастающих значениях t : t=t o , t=t 1 , t=t 2 и т.д. (см. рис. 8).

Рис. 8

Если по очереди проецировать эти картинки на экран (как в мультфильмах), то они «побегут» вправо. Процесс передвижения отклонения по струне называется волной. При этом коэффициент а является скоростью распространения волны. В самом деле, предположим, что параллельно оси х движется наблюдатель со скоростью а . Пусть в некоторый момент t o он находился в точке x o . Тогда за промежуток наблюдатель сместится вправо на величину и окажется в точке Если в точке x o наблюдатель видел отклонение струны на величину то в момент t величина отклонения – будет точно такой же! То есть наблюдатель будет видеть форму струны не изменяющейся.

Вторая функция C 2 (x-at) тоже представляет собой волну, но только она будет распространяться со скоростью а влево. Часто функции C 1 (x-at) и C 2 (x-at) называют, соответственно, прямой и обратной волной. Таким образом, общее решение U(x,t) (формула (26)) волнового уравнения является суперпозицией прямой и обратной волны.

Теперь дадим интерпретацию формулы Даламбера для двух частных случаев.

СЛУЧАЙ 1. Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля, а начальная скорость равна нулю. Это означает, что начальные условия имеют вид

При таких начальных условиях получается решение задачи Коши, которое называется волной отклонения. Уравнение волны отклонения определяется формулой Даламбера

то есть решение U в некоторой точке x o в момент времени t o зависит от значений начальной функции φ в двух точках на оси х : в точке (x o - at o) и в точке (x o + at o) (см. рис. 9).

Рис. 9

Значение U равно среднему арифметическому значений начальной функции φ в точках (x o - at o) и (x o + at o) . На рис. 9 изображена плоскость xOt , которая называется фазовой плоскостью. На оси х указаны точки (x o - at o , 0) и (x o + at o , 0) , в которых начальные отклонения струны определяют величину отклонения струны в точке x o в момент времени t o . Эти точки являются точками пересечения прямых x - at = x o - at o и x + at = x o + at o с осью х . Указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения. Треугольник с вершиной в точке (х o , t o) и основанием, которое получается при пересечении характеристик с осью х (см. рис. 9), называется характеристическим треугольником.

Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, изобразим фазовую картину решения следующей задачи:

Замечание. На самом деле начальные отклонения струны не могут быть разрывными в точках х = -1 и х = 1 , ведь струна не разрывается. Однако мы не слишком сильно погрешим против истинной картины распространения колебаний, если будем считать их кусочно постоянными. Дело в том, что, во-первых, рассматриваются очень малые колебания струны, и, во-вторых, малые изменения начальных значений незначительно влияют на решение задачи.

На рисунке 10 изображена фазовая плоскость x0t . Решение U(x,t) задачи отлично от нуля только в заштрихованных областях, причем начальное отклонение распространяется с одинаковой скоростью в двух противоположных направлениях – возникает прямая и обратная волны. Границы этих областей – это характеристики волнового уравнения: x - at = -1, x - at = 1, x + at = -1, x + at = 1.

Рис. 10

Если рассмотреть процесс колебания некоторой фиксированной точки струны x = x o , то нетрудно заметить, что она колеблется только в конечный промежуток времени: от момента до момента , то есть В остальное время точка x o находится в покое. Говорят, что в момент t 1 через точку x = x o проходит передний фронт волны, а в момент t 2 - задний фронт волны. Вообще, фронтом волны называется граница между возмущенной (колеблющейся) и невозмущенной областями среды (точками струны). Для прямой волны уравнение переднего фронта x - at = 1 , а заднего фронта x - at = -1 . Для обратной волны, соответственно, x + at = -1 - уравнение переднего фронта, а x + at = 1 - заднего фронта.

Рассмотрим теперь

СЛУЧАЙ 2. Пусть начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость отлична от нуля. Это означает, что начальные условия имеют вид

В этом случае решение задачи Коши называют волной импульса. Оно имеет вид (см. формулу Даламбера)

то есть решение U в некоторой точке x o в момент времени t o зависит от начальных скоростей ψ во всех точках отрезка [x o - at o , x o + at o ] (см. рис 11). Значение U равно (интегральному) среднему значению начальной скорости на отрезке [x o - at o , x o + at o ], умноженному на промежуток времени t .

Рис. 11

На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t . Точки (x o - at o , 0) и (x o + at o , 0) являются точками пересечения характеристик x - at = x o - at o и x + at = x o + at o с осью х . В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:

Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1. В этом случае вся верхняя половина фазовой плоскости характеристиками разбивается на шесть областей. В каждой из этих областей решение U(x,t) легко находится по формуле Даламбера: