Критическая температура вещества. Температура тела: пониженная, нормальная и высокая

Определение

Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

\ \

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается

Для математического маятника выполняются некоторые законы:

1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..

Давайте выведем формулу периода математического маятника.

На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:

С проецируем все на ось ОХ:

При малых углах

Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период математического маятника будет равен:

Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p

Так же есть:

Период пружинного маятника

Период физического маятника

Период крутильного маятника

Что собой представляет математический маятник?

Из предыдущих уроков вы уже должны знать, что под маятником, как правило, подразумевают тело, которое совершает колебания под действием гравитационного взаимодействия. То есть, можно сказать, что в физике, под этим понятием, принято считать твердое тело, которое под действием силы тяжести совершает колебательные движения, которые происходят вокруг неподвижной точки или оси.

Принцип действия математического маятника

А теперь давайте рассмотрим принцип действия математического маятника и узнаем, в чем он заключается.

Принципом действия математического маятника является то, что при отклонении от положения равновесия материальной точки на незначительный угол a, то есть такой угол, при котором бы выполнялось условие sina=a, то на тело будет действовать сила F = -mgsina = -mga.

Мы с вами видим, что сила F имеет отрицательный показатель, а из этого следует, что знак минус говорит нам о том, что данная сила направлена в ту сторону, которая является противоположной смещению. А так как сила F пропорциональна смещению S, то из этого следует, что под действием такой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания.

Свойства маятника

Если взять любой другой маятник, то у него период колебаний зависит от очень многих факторов. К таким факторам можно отнести:

Во-первых, размер и форму тела;
Во-вторых, расстояние, которое существует между точкой подвеса и центром тяжести;
В-третьих, также и распределение массы тела относительно данной точки.

Вот в связи с этими различными обстоятельствами маятников, определить период висящего тела, довольно таки сложно.

А если брать математический маятник, то он обладает всеми теми свойствами, которые можно доказать с помощью известных физических законов и его период можно легко рассчитать с помощью формулы.

Проведя много различных наблюдений над такими механическими системами, физикам удалось определить такие закономерности, как:

Во-первых, период маятника не зависит от массы груза. То есть, если при одинаковой длине маятника, мы будем к нему подвешивать грузы, которые имеют разную массу, то период их колебаний все равно получится одинаковым, даже если их массы будут иметь довольно таки разительные отличия.

Во-вторых, если мы будем при запуске системы отклонять маятник на небольшие, но при этом разные углы, то его колебания будут иметь одинаковый период, но амплитуды будут разными. При небольших отклонениях от центра равновесия, колебания по своей форме будут иметь почти гармонический характер. То есть, можно сказать, что период такого маятника не зависит от амплитуды колебаний. В переводе с греческого языка такое свойство этой механической системы носит название изохронизма, где «изос» обозначает равный, ну, а «хронос» - это время.

Практическое использование колебаний маятника

Математический маятник для различных исследований используют физики, астрономы, геодезисты и другие научные работники. С помощью такого маятника занимаются поиском полезных ископаемых. Наблюдая за ускорением математического маятника и подсчитав число его колебаний можно найти залежи каменного угля и руды в недрах нашей Земли.

К. Фламмарион, знаменитый французский астроном и естествоиспытатель, утверждал, что с помощью математического маятника ему удалось совершить много важных открытий, среди которых появление Тунгусского метеорита и открытие новой планеты.

В наше время многие экстрасенсы и оккультисты используют такую механическую систему для поиска пропавших людей и пророческих предсказаний.

Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки; поэтому вычисление периода подвешенного тела -довольно сложная задача. Проще обстоит дело для математического маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы.

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческих слов «изос» - равный, «хронос» - время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.

Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге (рис. 16, а) под действием возвращающей силы , которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.

Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного - по-прежнему в плоскости рисунка и другого - в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения - обращения маятника по конусу - будет тот же, что и период качания водной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому - вращение по конусу.

Но период обращения «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила направлена по радиусу окружности , т. е, равна центростремительной силе:

С другой стороны, из подобия треугольников и следует, что . Так как , то отсюда

Приравняв оба выражения друг другу, мы получаем для скорости обращения

Наконец, подставив это в выражение периода , находим

Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника , т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен .

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника и определив из большого числа колебаний период , мы можем вычислить с помощью полученной формулы . Этот способ широко используется на практике.

Известно (см. том I, §53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе , а на экваторе ). Наблюдения над периодом качаний некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение ускорение свободного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели значения в разных точках земной поверхности различно. Эти аномалии в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучении распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых. Обширные гравиметрические изменения, позволившие судить о залегании плотных масс, были выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руководством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении с данными об аномалии земного магнитного поля эти гравиметрические данные позволили установить распределение залегания железных масс, обусловливающих Курскую магнитную и гравитационную аномалии.