Момент электрического диполя находится по формуле. Физические основы электрографии

ДИПОЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ, в простейшем случае система из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, находящихся на некотором расстоянии l друг от друга. Основной характеристикой диполя электрического является дипольный момент р - вектор, направленный от отрицательного заряда -q к положительному +q и численно равный произведению ql. В случае произвольной системы точечных зарядов дипольный момент получается суммированием по всем зарядам произведений заряда на его радиус-вектор. Если система электронейтральна, т. е. её суммарный электрический заряд равен нулю, то дипольный момент не зависит от того, в какой точке пространства помещено начало отсчёта системы координат. В этом случае отличие дипольного момента от нуля указывает на то, что заряды в системе распределены несферически-симметрично: есть области пространства с преобладанием отрицательных зарядов и области пространства с преобладанием положительных зарядов. Когда система зарядов не электронейтральна, электрический дипольный момент зависит от выбора начала отсчёта системы координат и уже не служит показателем меры отклонения распределения зарядов от сферически-симметричного. В этом случае существует точка пространства, поместив в которую начало отсчёта системы координат, можно обратить в нуль электрический дипольный момент, это так называемый центр заряда.

Поле диполя электрического на расстояниях, больших по сравнению с линейными размерами занятой зарядами области, с ростом расстояния R убывает обратно пропорционально R 3 . В специально выбранных координатах компоненты напряжённости поля Е вдоль оси диполя электрического (Е р) и в перпендикулярном направлении (Е ⊥) (рис.) пропорциональны р и в гауссовой системе единиц равны:

где ϑ - угол между р и радиус-вектором R.

Во внешнем электрическом поле на диполь электрический действует вращательный момент сил, стремящийся повернуть вектор дипольного момента вдоль вектора внешнего поля. Если внешнее поле неоднородно, т. е. его напряжённость различна в разных точках системы зарядов, то на диполь действует ещё и сила, стремящаяся переместить его в область более сильного поля. Действие внешнего электрического поля на диполь также пропорционально р. Многие молекулы имеют отличный от нуля электрический дипольный момент. Именно в результате взаимодействия дипольных моментов молекул вещества и образуются молекулярные кристаллы.

Во многих случаях диполь электрический является хорошим приближением для описания любой электронейтральной в целом системы на расстояниях, значительно превышающих размеры системы. Например, полярные молекулы можно приближённо рассматривать как диполь электрический. Атомы, неполярные молекулы и ионы в электрическом поле приобретают дипольный момент, так как составляющие их частицы несколько смещаются под действием внешнего поля.

Диполь электрический с изменяющимся во времени дипольным моментом излучает электромагнитные волны (смотри Дипольное излучение).

Лит.: Тамм И. Е. Основы теории электричества. 10-е изд. М., 1989.

Диполь есть система, состоящая из двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов. Вектор I, проведенный от отрицательного к положительному заряду, называется плечом диполя.

Электрический момент диполя

где – заряд диполя.

Электрический дипольный момент молекулы принято выражать в единицах атомного масштаба – дебай (D) = 3,33∙10 -30 Кл∙м.

Диполь называется точечным, если расстояние rот центра диполя до точки, в которой рассматривается действие диполя, много больше плеча диполя.

Напряженность поля точечного диполя:

а) на оси диполя

, или
;

б) на перпендикуляре к оси диполя

, или
;

в) в общем случае

, или
,

где
─ угол между радиусом-векторомrи электрическим дипольным моментомр (рис. 2.1).

Потенциал поля диполя

.

Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле

Механический момент, действующий на диполь с электрическим дипольным моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью,

или
,

где
– угол между направлением векторови.

Сила F, действующая на диполь в неоднородном электростатическом поле, обладающем осевой (вдоль осих) симметрией,

,

где ─ величина, характеризующая степень неоднородности электростатического поля вдоль оси х;– угол между векторамии.

Примеры решения задач

Пример 1. Диполь с электрическим моментом

. Вектор электрического моментасоставляет угол
с направлением силовых линий поля. Определить работуA внешних сил, совершенную при повороте диполя на угол
.

Решение . Из исходного положения (рис. 2.2, а ) диполь можно повернуть на угол
, вращая его по часовой стрелкедо угла (рис. 2.2, б ), или против часовой стрелки до угла (рис. 2.2,в ).

В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил и работа внешних сил при этом положительна.

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

а б в

1-й способ . Элементарная работа при повороте диполя на угол
:

а полная работа при повороте на угол от до
:

.

Произведя интегрирование, получим

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

против часовой стрелки

2-й способ . Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии
соотношением

,

где
─ потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой
,то

что совпадает с формулой (2.1), полученной первым способом.

Пример 2. Три точечных заряда ,
,
, образуют электрически нейтральную систему, причем
. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности
и потенциала
поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии
от центра треугольника, длина стороны которого
.

Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов и
лежит на середине отрезка прямой, соединяющей эти заряды (рис. 2.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд
. А так как система зарядов нейтральная (
), то

Так как расстояние между зарядами Q 3 и Q много меньше расстояния r (рис. 2.4), то систему этих двух зарядов можно считать диполем с электрическим моментом
,где
─ плечо диполя. Электрическиймомент диполя

.

Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех зарядов представим как два диполя с электрическими моментами (рис. 2.5), равными по модулю:
;
. Электрический момент системы зарядов найдем как векторную суммуи, и
.Как это следует из рис. 2.5, имеем
.Так как

,то

,

что совпадает с найденным ранее значением.

Напряженность и потенциалполя диполя выражаются формулами

;
,

где
─ угол между радиусом-вектороми электрическим дипольным моментом (рис. 2.1).

Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при
= 0, следовательно,

;
.

Так как
,то

;
.

Вычисления дают следующие значения:

;
.

Задачи

201. Вычислить электрический момент р диполя, если его заряд
,
. (Ответ:50 нКл∙м).

202. Расстояние между зарядами
и
диполя равно 12 см. Найти напряженность Е и потенциалполя, созданного диполем в точке, удаленной на
как от первого, так и от второго заряда.(Ответ:
;
).

203. Диполь с электрическим моментом
образован двумя точечными зарядами
и
. Найти напряженностьE и потенциал электрического поля в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

204. Электрический момент диполя
поля, созданного в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

205. Определить напряженность E и потенциал
на расстоянии

с вектором электрического момента.(Ответ:
;
).

206. Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с частотой
относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Точка С находится на расстоянии
от центра диполя и лежит в плоскости вращения диполя. Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в точке С. Принять, что в начальный момент времени потенциал в точке С
. Построить график зависимости
. (Ответ:
;
;
).

207. Диполь с электрическим моментом

относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергию
заряда
, находящегося на расстоянии
и лежащего в плоскости вращения, завремя, равное полупериоду (от
до
). В начальный момент времени считать
. (Ответ:).

208. Два диполя с электрическими моментами
и
находятся на расстоянии
друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой. (Ответ:
).

209. Два диполя с электрическими моментами
и
находятся на расстоянии
друг от друга, так что оси диполей лежат на одной прямой. Вычислить взаимную потенциальную энергию диполей, соответствующую их устойчивому равновесию. (Ответ:
).

210. Диполь с электрическим моментом
прикреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряженностью
, перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на угол
. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ:
).

211. Диполь с электрическим моментом
прикреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поленапряженностью
, перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на малый угол
. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ: ).

212. Диполь с электрическим моментом
находится в однородном электрическом поле напряженностью
. Вектор электрического момента составляет угол
с линиями поля. Какова потенциальная энергия П поля? Считать
, когда вектор электрического момента диполя перпендикулярен линиям поля. (Ответ: ).

213. Диполь с электрическим моментом
свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью

. (Ответ: ).

214. Диполь с электрическим моментом



. (Ответ: ).

215. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим моментом
возбуждено однородное электрическое поле напряженностью
. Под действием сил поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Найти угловую скорость
диполя в момент прохождения им положения равновесия. Момент инерции диполя относительно оси, перпендикулярной плечу ипроходящей через его центр. (Ответ:
;
).

216. Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью
. Диполь повернули на малый угол и предоставили самому себе. Определить частоту собственных колебаний диполя в электрическом поле. Момент инерции диполя относительно оси, проходящей через его центр
. (Ответ:
).

217. Диполь с электрическим моментом
находится в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности поля характеризуется величиной
, взятой в направлении оси диполя. Вычислить силуF, действующую на диполь в этом направлении. (Ответ: ).

218. Диполь с электрическим моментом
установился вдоль силовой линии в поле точечного заряда
на расстоянии
от него. Определить для этой точки величину
, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь. (Ответ:
;
).

219. Диполь с электрическим моментом
установился вдоль силовой линии в поле, созданном бесконечной прямой нитью, заряженной бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью
на расстоянии
от нее. Определить в этой точке величину
, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь.(Ответ:
;
).

220. Диполь с электрическим моментом
образован двумя точечными зарядами
и
. Найти напряженность Е и потенциалэлектрического поля в точке В (рис. 2.6), находящихся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

221. Электрический момент диполя
. Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точке В (рис. 3.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

222. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом
на расстоянии
от центра диполя, в направлении, составляющем угол
с вектором электрического момента. (Ответ:
;
).

223. Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с угловой скоростью
относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергию
заряда
, находящегося на расстоянии
и лежащего в плоскости вращения, в течение времени
.В начальный момент времени считать
. (Ответ:
).

224. Диполь с электрическим моментом
свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью
. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол
. (Ответ:
).

225. Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью
. Определить изменение потенциальной энергии
диполя при повороте его на угол
. (Ответ: ).

226. Молекула HF обладает электрическим моментом
. Межъядерное расстояние
. Найти заряд такого диполя и объяснить, почему найденное значениесущественно отличается от значения элементарного заряда
. (Ответ:
).

227. Точечный заряд
находится на расстоянии

. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на оси диполя. (Ответ:
;
).

228. Точечный заряд
находится на расстоянии
от точечного диполя с электрическим моментом
. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на перпендикуляре к оси диполя. (Ответ:
;
).

229. Два диполя (рис. 2.8) с электрическими моментами
находятся на расстоянии
друг от друга (
─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П взаимодействия диполей. (Ответ:
).

230. Два одинаково ориентированных диполя (рис. 2.9) с электрическими моментами
находятся на расстоянии
друг от друга (
─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П и силуF взаимодействия диполей. (Ответ:
;
).

Диполь. Диполь в электрическом поле.

Дипо́ль - идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого вообще говоря более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение , выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя , основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка . Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;

член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;

в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя - два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Электрический диполь - идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов называется дипольным моментом:

Во внешнем электрическом поле на электрический диполь действует момент сил который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием как то есть быстрее, чем у точечного заряда ().

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении ) может рассматриваться как электрический диполь с моментом где - заряд -го элемента, - его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.
 Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (рис. 285).

Рис. 285
 Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A , находящейся на расстоянии r , значительно превышающем l , все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q , величина которого равна сумме зарядов исходной системы

 Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , так как при l << r , изменение положения в пределах малой области незначительно повлияет на изменение поля в рассматриваемой точке.
 В рамках такого приближения напряженность и потенциал электрического поля определяются по известным формулам

 Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.
 Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.
Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.
 Рассчитаем характеристики электрического поля, создаваемого диполем, состоящего из двух точечных зарядов +q и −q , расположенных на расстоянии a друг от друга (рис. 286).

рис. 286
 Сначала найдем потенциал и напряженность электрического поля диполя на его оси, то есть на прямой, проходящей через оба заряда. Пусть точка A , находится на расстоянии r от центра диполя, причем будем считать, что r >> a . В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в данной точке описывается выражением

На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной (a/2) 2 по сравнению с r 2 . Величину вектора напряженности электрического поля также можно вычислить на основании принципа суперпозиции

Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля E x = −Δφ/Δx . В данном случае вектор напряженности направлен вдоль оси диполя, поэтому его модуль рассчитывается следующим образом


Обратите внимание, что поле диполя ослабевает быстрее поля точечного заряда, так потенциал поля диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а напряженность поля − обратно пропорционально кубу расстояния.
 Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (рис. 287).

рис. 287
 По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен

Учитывая, что r >> a , формулу (6) можно упростить с помощью приближений

в этом случае получаем

 Вектор напряженности электрического поля E удобно разложить на две составляющие: радиальную E r , направленную вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром диполя, и перпендикулярную ей E θ (рис. 288).

рис. 288
 При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.
 Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (рис. 289).

рис. 289
Радиальная составляющая тогда выразится соотношением


 Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом Δl = rΔθ.
Поэтому величина этой компоненты поля равна


 При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ :
sinΔθ ≈ Δθ.
 Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 290).

рис. 290
 Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента , величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя

где a − вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя 1 . Такая характеристика диполя весьма удобна и позволяет во многих случая упрощать формулы, придавая им векторный вид. Так, например, потенциал поля диполя в произвольной точке, описываемый формулой (6), может быть записан в векторной форме

 После введения векторной характеристики диполя, его дипольного момента, появляется возможность использовать еще одну упрощающую модель − точечный диполь: систему зарядов, геометрическими размерами которой можно пренебречь, но обладающей дипольным моментом 2 .
Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле.

рис. 291
 Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE , равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен

где α − угол меду вектором напряженности поля и вектором дипольного момента. Наличие момента силы, приводит к тому, что дипольный момент системы стремится повернуться по направлению вектора напряженности электрического поля.
 Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0 , так и против него α = π , однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.
Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.
 Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось x системы координат с направлением вектора напряженности (рис. 292).

рис. 292
 Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,

 Здесь E(x) − напряженность поля в точке расположения отрицательного заряда, E(x + a) − напряженность в точке положительного заряда. Так как расстояние между зарядами мало, разность напряженностей представлена как произведение скорости изменения напряженности на размер диполя. Таким образом, в неоднородном поле, на диполь действует сила, направлена в сторону возрастания поля, или диполь втягивается в область более сильного поля.
 В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (рис. 293),

рис. 293
может быть записан в виде

Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид

где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов

 Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (рис. 294).

рис. 294
 Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.

 Задания для самостоятельной работы.
 1. Докажите, что для произвольной системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, дипольный момент, определяемый по формуле (11), не зависит от выбора системы отсчета.
 2. Определите «центры» положительных и отрицательных зарядов системы, по формулам аналогичным, формулам для координат центра масс системы. Если все положительный и все отрицательные заряды собрать в своих «центрах», то получим диполь, состоящий из двух зарядов. Покажите, что его дипольный момент совпадает с дипольным моментом, рассчитанным по формуле (11).
 3. Получите двумя способами формулу, выражающую силу взаимодействия точечного диполя и точечного заряда, находящегося на оси диполя: во-первых, найдите силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя; во-вторых, найдите силу, действующую на диполь со стороны точечного заряда; в-третьих, убедитесь, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

1 Направление вектора дипольного момента, в принципе можно задать и противоположным, но исторически сложилось задание направления дипольного момента от отрицательного к положительному заряду. При таком определении силовые линии как бы являются продолжением вектора дипольного момента.
  2 Очередная, абсурдная на первый взгляд, но удобная абстракция − материальная точка, имеющая два заряда, разнесенных в пространстве.

Чтобы понять механизм поведения диэлектриков в поле на микроскопическом уровне, нам надо сначала объяснить, как может электрически нейтральная система реагировать на внешнее электрическое поле. Простейший случай - полное отсутствие зарядов - нас не интересует. Мы знаем наверняка, что в диэлектрике имеются электрические заряды - в составе атомов, молекул, ионов кристаллической решетки и т. д. Поэтому мы рассмотрим следующую по простоте конструкции электронейтральную систему - два равных по величине и противоположных по знаку точечных заряда +q и –q , находящихся на расстоянии l друг от друга. Такая система называется электрическим диполем .

Рис. 3.6. Электрический диполь

Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности электрического диполя выглядят следующим образом (рис. 3.7, 3.8, 3.9)

Рис. 3.7. Линии напряженности электрического поля электрического диполя

Рис. 3.8. Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Рис. 3.9. Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности

Основной характеристикой диполя является . Введем вектор l , направленный от отрицательного заряда (–q ) к положительному (+q ), тогда вектор р , называемый электрическим моментом диполя или просто дипольным моментом , определяется как

Рассмотрим поведение «жесткого» диполя - то есть расстояние которого не меняется - во внешнем поле Е (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Силы, действующие на электрический диполь, помещенный во внешнее поле

Пусть направление дипольного момента составляет с вектором Е угол . На положительный заряд диполя действует сила, совпадающая по направлению с Е и равная F 1 = +qE , а на отрицательный - противоположно направленная и равная F 2 = –qE . Вращающий момент этой пары сил равен

Так как ql = р , то М = рЕ sin или в векторных обозначениях

(Напомним, что символ

означает векторное произведение векторов а и b .) Таким образом, при неизменном дипольном моменте молекулы () механический момент, действующий на нее, пропорционален напряженности Е внешнего электрического поля и зависит от угла между векторами р и E .

Под действием момента сил М диполь поворачивается, при этом совершается работа

которая идет на увеличение его потенциальной энергии. Отсюда получаем потенциальную энергию диполя в электрическом поле

если положить const = 0.

Из рисунка видно, что внешнее электрическое поле стремится повернуть диполь таким образом, чтобы вектор его электрического момента р совпал по направлению с вектором Е . В этом случае , а, следовательно, и М = 0. С другой стороны, при потенциальная энергия диполя во внешнем поле принимает минимальное значение , что соответствует положению устойчивого равновесия. При отклонении диполя от этого положения снова возникает механический момент, который возвращает диполь в первоначальное положение. Другое положение равновесия, когда дипольный момент направлен против поля является неустойчивым . Потенциальная энергия в этом случае принимает максимальное значение и при небольших отклонениях от такого положения возникающие силы не возвращают диполь назад, а еще больше отклоняют его.

На рис. 3.11 показан опыт, иллюстрирующий возникновение момента электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле. На удлиненный диэлектрический образец, расположенный под некоторым углом к силовым линиям электростатического поля, действует момент сил, стремящийся развернуть этот образец вдоль поля. Диэлектрическая палочка, подвешенная за середину внутри плоского конденсатора, разворачивается перпендикулярно его пластинам после подачи на них высокого напряжения от электростатической машины. Появление вращающего момента обусловлено взаимодействием поляризовавшейся палочки с электрическим полем конденсатора.

Рис. 3.11. Момент электрических сил, действующих на диэлектрик в электрическом поле

В случае неоднородного поля на рассматриваемый диполь будет действовать еще и равнодействующая сила F paвн, стремящаяся его сдвинуть. Мы рассмотрим здесь частный случай. Направим ось х вдоль поля Е . Пусть диполь под действием поля уже повернулся вдоль силовой линии, так что отрицательный заряд находится в точке с координатой x , а положительный заряд расположен в точке с координатой х + l . Представим себе, что величина напряженности поля зависит от координаты х . Тогда равнодействующая сила F paвн равна

Такой же результат может быть получен из общего соотношения

где энергия П определена в (3.8). Если Е увеличивается с ростом x , то

и проекция равнодействующей силы положительна. Это значит, что она стремиться втянуть диполь в область, где напряженность поля больше. Этим объясняется известный эффект, когда нейтральные кусочки бумаги притягиваются к наэлектризованной расческе. В плоском конденсаторе с однородным полем они остались бы неподвижными.

Рассмотрим несколько опытов, иллюстрирующих возникновение силы, действующей на диэлектрик, помещенный в неоднородное электрическое поле.

На рис. 3.12 показано втягивание диэлектрика в пространство между обкладками плоского конденсатора. В неоднородном электростатическом поле на диэлектрик действуют силы, втягивающие его в область более сильного поля.

Рис. 3.12. Втягивание жидкого диэлектрика в плоский конденсатор

Это демонстрируется при помощи прозрачного сосуда, в который помещен плоский конденсатор, и налито некоторое количество жидкого диэлектрика - керосина (рис.3.13). Конденсатор присоединен к высоковольтному источнику питания - электростатической машине. При ее работе на нижнем краю конденсатора, в области неоднородного поля, на керосин действует сила, втягивающая его в пространство между пластинами. Поэтому уровень керосина внутри конденсатора устанавливается выше, чем снаружи. После выключения поля уровень керосина между пластинами падает до его уровня в сосуде.

Рис. 3.13. Втягивание керосина в пространство между обкладками плоского конденсатора

В реальных веществах нечасто встречаются диполи, образованные только двумя зарядами. Обычно мы имеем дело с более сложными системами. Но понятие электрического дипольного момента применимо и к системам со многими зарядами. В этом случае дипольный момент определяется как

где , - величина заряда с номером i и радиус-вектор, определяющий его местоположение, соответственно. В случае двух зарядов мы приходим к прежнему выражению

Пусть наша система зарядов электрически нейтральна. В ней есть положительные заряды, величины которых и местоположения мы обозначим индексом «+». Индексом «–» мы снабдим абсолютные величины отрицательных зарядов и их радиус-векторы. Тогда выражение (3.10) может быть записано в виде

В (3.11) в первом слагаемом суммирование ведется по всем положительным зарядам, а во втором - по всем отрицательным зарядам системы.

Выражения (3.13) аналогичны формулам для центра масс в механике, и потому мы назвали их центрами положительных и отрицательных зарядов, соответственно. С этими обозначениями и с учетом соотношения (3.12) мы записываем электрический дипольный момент (3.11) системы зарядов в виде

где l -вектор, проведенный из центра отрицательных зарядов в центр положительных зарядов. Смысл нашего упражнения заключается в демонстрации, что любую электрически нейтральную систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь.