Название чисел. Перевод из одной единицы измерения в другую

Единицы измерения

Я уже не раз говорил, что число, само по себе, - это ничего не значащая бессмыслица. Иногда это становится особенно очевидно. Допустим, мы зашли в ювелирный магазин и увидели там красивый камушек.

Сколько он стоит? - хотим мы знать.

Пятьдесят, - отвечают нам.

Удовлетворил ли такой ответ наше любопытство? - Нет, потому что «пятьдесят» бывают разные, например:

50 копеек,

50 рублей,

50 тысяч рублей.

Пояснительные слова (такие как копейки , рубли , тысячи рублей ), стоящие при числах и придающие им смысл, называются единицами измерения или же просто единицами . Число вместе с сопутствующей ему единицей измерения называется величиной . При решении практических задач, опускать единицы измерения допустимо только в том случае, если мы заранее договоримся, какие именно единицы мы используем. Например, мы могли бы спросить:

Сколько рублей стоит этот камушек?

Тогда ответ: «Пятьдесят», - оказался бы вполне осмысленным и исчерпывающим.

Рассмотрим такую задачу. У Дениса в одном кармане - 1,5 тысяч рублей, а в другом - еще 300 рублей. Спрашивается, сколько всего у Дениса денег? Очевидно, содержимое обоих карманов надо сложить, и чисто формально решение задачи можно записать так:

1,5 тыс. руб. + 300 руб.

С практической точки зрения, однако, подобное решение является неудовлетворительным. Допустим, мы хотим проделать вычисления с помощью калькулятора. В калькулятор нельзя ввести никаких единиц измерения, а только «голые» числа. Как тут быть? Очевидно, единицы измерения придется просто отбросить. Но не так:

потому что в этом случае получается полная чушь. Нам нужно, прежде всего, договориться об общей единице измерения для обоих слагаемых. Пусть это будет, например, рубль. Мы знаем, что

тыс. руб. = 1000 руб.

Поэтому, сделав подстановку, мы можем переписать нашу сумму в таком виде:

1,5 тыс. руб. + 300 руб. =

1,5 ∙ 1000 руб. + 300 руб. =

1500 руб. + 300 руб .

Таким образом, мы выразили все слагаемые в одинаковых единицах измерения, а именно - в рублях. Теперь эти единицы измерения позволительно отбросить, чтобы проделать вычисления на калькуляторе:

1500 + 300 = 1800.

Получив численный ответ, мы восстанавливаем отброшенную ранее единицу измерения и получаем окончательно

1800 руб.

Подобным же образом задачу можно решить, проделав вычисления в тысячах рублей:

1,5 тыс. руб. + 300 руб . = (делаем подстановку) =

1,5 тыс. руб. + 300 ∙ 0,001 тыс. руб. = (упрощаем) =

1,5 тыс. руб. + 0,3 тыс. руб. = (отбрасываем ед. измерения) =

1,5 + 0,3 = (считаем на калькуляторе) =

1,8 = (восстанавливаем ед. измерения) =

1,8 тыс. руб.

Или же в копейках:

1,5 тыс. руб. + 300 руб. =

1,5 ∙ 100000 коп. + 300 ∙ 100 коп. =

150000 коп. + 30000 коп. =

150000 + 30000 =

180000 коп.

Ответ мы во всех случаях получили одинаковый, потому что

1800 руб. = 1,8 тыс. руб. = 180000 коп.

На этих примерах мы видим, что

единицы измерения ведут себя как параметры, которые принимают разные числовые значения в зависимости от того, какую единицу измерения мы используем в численных расчетах.

Если мы проводим расчеты в рублях, тогда

руб. = 1,

тыс. руб. = 1000.

Если мы проводим расчеты в тысячах рублей, тогда

руб. = 0,001,

тыс. руб. = 1.

А если расчеты проводить в копейках, то

коп. = 1,

руб. = 100,

тыс. руб. = 100000.

Это наблюдение имеет первостепенную важность, потому что оно дает нам возможность обращаться с единицами измерения так, как если бы они были числами. Например, обретает смысл выражение

3 руб. ∙ 5.

Действительно, если мы условимся проводить вычисления в рублях, то руб. = 1, и тогда

3 руб. ∙ 5 = 3 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 = 15 = 15 руб.

Теперь мы, наконец, можем во всех случаях с полным правом пользоваться коммутативностью (перестановочностью) умножения:

ab = ba ,

не заботясь о том, что именно подразумевается под параметрами a и b : разы, рубли, люди, поросята или что-то еще.

Более того, на единицы измерения можно делить. Допустим, мы купили 5 кг картошки, уплатив за покупку 100 руб. Тогда цена картошки равна

то есть двадцать рублей за килограмм. Теперь мы можем, например, рассчитать, сколько денег придется уплатить за 10 кг картошки:

20 руб. ∙ 10 = 200 руб.

В ходе этих вычислений мы сократили дробь на «кг », как это мы раньше проделывали с обычными числами и параметрами.

Перевод из одной единицы измерения в другую

Допустим, к нам в гости приехал иностранец, и он плохо представляет себе, что означает, что цена картошки равна 20 руб. /кг . Он просит нас перевести эту цену в евро за центнер (€/ц). При этом известно, что

1 € = 50 руб. ,

1 ц = 100 кг .

Просьбу нашего гостя можно исполнить двумя способами.

Первый способ - подстановка. Мы, собственно, этим способом уже пользовались раньше. Сперва мы должны выразить рубли через евро, а килограммы - через центнеры:

1 руб. = (1/50) € = 0,02 € ,

1 кг = (1/100) ц = 0,01 ц .

Выполняем подстановку и получаем:

Второй способ является несколько более интеллектуальным, так как надо еще сообразить, в каком виде записать единицы, чтобы «лишние» единицы измерения благополучно сократились.

Размерность

Размерность численной величины - это фактически то же самое, что и единица измерения. Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что они употребляются в разных ситуациях.

Допустим, цена картошки в ближайшем магазине равна 20 руб. /кг , а в каком-нибудь американском супермаркете картошку продают по цене 0,5 долларов за фунт ($/ф .) Тогда мы говорим, что цена картошки выражена в разных единицах . Это различие вызвано тем, что мы пока не договорились с американцами о том, чтобы использовать одинаковые единицы измерения для количества денег и веса картошки.

Но допустим, что такой договор был достигнут, и для удобства российских туристов цена на картошку в американском супермаркете стала указываться как 40 руб. /кг . Побывав в этом супермаркете, покупатель может, например, купить 3 кг картошки, заплатив за покупку 120 руб. Выпишем приведенные числа еще раз:

Цена картошки: 40 руб. /кг .

Вес картошки: 3 кг .

Количество денег: 120 руб.

Принято говорить, что перечисленные величины имеют разный смысл и разные размерности . Действительно, руб. /кг ≠ кг ≠ руб. Если размерности не совпадают, то их невозможно сделать одинаковыми никакими договорами, никакими переводами из одних единиц измерения в другие. Числа, имеющие разные размерности, нельзя складывать ни при каких обстоятельствах. Например, следующие суммы представляют из себя полный абсурд:

3 кг + 120 руб. ,

40 руб. /кг + 3 кг .

Спрашивается: а можно ли сказать, что «120 рублей» и «3 доллара» имеют одинаковую размерность? Нет, так говорить было бы неправильно, потому что понятием «размерность» можно пользоваться лишь после того, как мы договоримся применять одинаковые единицы измерения всегда, когда это только возможно.

Представление о размерности оказывается чрезвычайно полезным при решении задач. Например, нас спрашивают: сколько картошки можно купить на 100 руб. , если она стоит 20 руб. /кг ? Допустим, мы вообще не поняли смысла задачи. Тем не менее, мы запросто можем написать правильный ответ. В самом деле: нам даны два числа: 100 руб. и 20 руб. /кг . Поскольку размерности у них разные, мы не можем ни складывать их, ни вычитать друг из друга. Остается только умножать или делить. Попробуем для начала умножить:

5 кг .

На этот раз размерность получилась подходящей. В чем же еще измерять количество картошки, как не в килограммах! Теперь у нас есть все основания полагать, что решение, которое мы подобрали, - правильное. Конечно, для полной уверенности лучше разобраться в сути задачи. Однако же, и подсказками, которые дают нам размерности, пренебрегать ни в коем случае не следует.

Безразмерные величины

Допустим, мы хотим знать, во сколько раз цена картошки в американском супермаркете больше, чем в ближайшем магазине. Это находится таким образом:

Здесь размерности (руб. /кг ) в числителе и в знаменателе сократились, и в результате мы получили безразмерную величину . Мы говорим, однако: цена картошки в одном магазине в 2 раза больше, чем в другом. Что же это за размерность такая - разы , и откуда она взялась, если в формуле, по которой мы нашли ответ, ее не было? Это противоречие легко разрешить, заметив что

Действительно, при переходе к расчетам на калькуляроре, «раз» всегда заменяется на «1», какими бы единицами измерения мы ни пользовались для других величин. Таким образом, всякая величина, которая измеряется в разах , является безразмерной. Тут уместно, пожалуй, вспомнить, как русскоязычные люди пересчитывают предметы:

Раз , два, три, четыре, пять...

Вообще, все численные величины, которые являются результатом подобного простого пересчета, являются безразмерными, например:

10 человек,

15 поросят

Причина этому всё та же: ведя расчеты на калькуляторе, мы всегда заменяем «штуку», «человека» и «поросенка» на «1». И всё-таки даже такие «безразмерные единицы измерения» лучше по возможности, не опускать, потому что они придают числам осмысленность.

Рассмотрим такую задачу. Имеется 5 коробок с шоколадными конфетами по 20 конфет в каждой. Сколько всего конфет? Поскольку число коробок и число конфет являются величинами безразмерными, не будет ошибкой, если представить решение в следующем виде:

Но гораздо лучше написать так:

5 кор. ∙ 20 конф. /кор. = 100 конф.

Любое измерение связано с нахождением численных значений физических величин , при помощи их определяются закономерности явлений, которые исследуются.

Понятие физических величин , например, силы, веса и др., - это отображение объективно существующих, присущих материальным объектам характеристик инертности, протяженности и так далее. Эти характеристики существуют вне и независимо от нашего сознания, не завися от человека, качества средств и методов, которые используются при измерениях.

Физические величины, которые характеризуют материальный объект в заданных условиях, не создаются измерениями, а всего лишь определяются при помощи их. Измерить любую величину это означает определить ее численное соотношение с какой-либо другой однородной величиной, которая принята за единицу измерений.

Исходя из этого, измерением называется процесс сравнения заданной величины с некоторым ее значением, которое принято за единицу измерений .

Формула связи между величиной, для которой устанавливается производная единица и величинами А, В, С, ... единицы измерения у них установлены независимо, общий вид:

где k - числовой коэффициент (в заданном случае k=1 ).

Формула для связи производной единицы с основными или остальными единицами, зовется формулой размерности , а показатели степени размерностями Для удобства при практическом использовании единиц ввели такие понятия как кратные и дольные единицы.

Кратная единица - единица, которая в целое количество раз больше системной либо внесистемной единицы. Кратная единица образуется посредством умножения основной либо производной единицы на число 10 в соответствующей положительной степени.

Дольная единица - единица, которая в целое число раз меньше системной либо внесистемной единицы. Дольная единица образуется посредством умножения основной либо производной единицы на число 10 в соответствующей отрицательной степени.

Определение термина “единица измерения“.

Унификацией единицы измерения занимается наука, которая называется метрология. В точном переводе - это наука об измерениях.

Заглянув в Международный словарь по метрологии мы выясняем, что единица измерения - это действительная скалярная величина, которая определена и принята по соглашению, с которой легко сравнить всякую другую величину одного рода и выразить их отношение при помощи числа.

Единица измерения может рассматриваться и как физическая величина. Однако, между физической величиной и единицей измерения есть очень важная разница: у единицы измерения есть фиксированное принятое по соглашению численное значение. Значит, единицы измерения для одной и той же физической величины возможны разные.

Например, вес может иметь следующие единицы: килограмм, грамм, фунт, пуд, центнер. Разница между ними понятна каждому.

Числовое значение физической величины представляют при помощи отношения измеренного значения к стандартному значению, которое и есть единицей измерения . Число, у которого указана единица измерения есть именованное число .

Существуют основные и производные единицы.

Основные единицы устанавливают для таких физических величин, которые отобраны в качестве основных в конкретной системе физических величин.

Таким образом, Международная система единиц (СИ) основывается на Международной системе величин, в ней основные величины это семь величин: длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, количество вещества и сила света. Значит, в СИ основные единицы это единицы величин, которые указаны выше.

Размер основных единиц устанавливают по соглашению в рамках конкретной системы единиц и фиксируются или при помощи эталонов (прототипов), или методом фиксации числовых значений фундаментальных физических постоянных.

Производные единицы определяют через основные методом использования тех связей между физическими величинами, которые установлены в системе физических величин.

Есть огромное число разных систем единиц. Они различаются как системами величин, на которых они основываются, так и выбором основных единиц.

Обычно государство при помощи законов устанавливает определенную систему единиц предпочтительной либо обязательной для использования в стране. В РФ основными являются единицы величин системы СИ.

Системы единиц измерения.

Метрические системы.

• МКГСС,

Системы естественных единиц измерения.

• Атомная система единиц,
• Планковские единицы,
• Геометризованная система единиц,
• Единицы Лоренца — Хевисайда.

Традиционные системы мер.

• Русская система мер,
• Английская система мер,
• Французская система мер,
• Китайская система мер,
• Японская система мер,
• Уже устаревшие (древнегреческая, древнеримская, древнеегипетская, древневавилонская, древнееврейская).

Единицы измерения, сгруппированные по физическим величинам.

• Единицы измерения массы (масса),
• Единицы измерения температуры (температура),
• Единицы измерения расстояния (расстояние),
• Единицы измерения площади (площадь),
• Единицы измерения объёма (объём),
• Единицы измерения информации (информация),
• Единицы измерения времени (время),
• Единицы измерения давления (давление),
• Единицы измерения потока тепла (поток тепла).

В названиях арабских чисел каждая цифра принадлежит своему разряду, а каждые три цифры образуют класс. Таким образом, последняя цифра в числе обозначает количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая, вторая с конца, цифра обозначает десятки (разряд десятков), и третья с конца цифра указывает на количество сотен в числе – разряд сотен. Дальше разряды точно также по очереди повторяются в каждом классе, обозначая уже единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и так далее. Если число небольшое и в нем нет цифры десятков или сотен, принято принимать их за ноль. Классы группируют цифры в числах по три, нередко в вычислительных приборах или записях между классами ставится точка или пробел, чтобы визуально разделить их. Это сделано для упрощения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое название: первые три цифры – это класс единиц, далее идет класс тысяч, затем миллионов, миллиардов (или биллионов) и так далее.

Поскольку мы пользуемся десятичной системой исчисления, то основная единица измерения количества – это десяток, или 10 1 . Соответственно с увеличением количества цифр в числе, увеличивается и количество десятков 10 2 ,10 3 ,10 4 и т.д. Зная количество десятков можно легко определить класс и разряд числа, например, 10 16 – это десятки квадриллионов, а 3×10 16 – это три десятка квадриллионов. Разложение чисел на десятичные компоненты происходит следующий образом – каждая цифра выводится в отдельное слагаемое, умножаясь на требуемый коэффициент 10 n , где n – положение цифры по счет слева направо.
Например: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

Также степень числа 10 используется и в написании десятичных дробей : 10 (-1) – это 0,1 или одна десятая. Аналогичным образом с предыдущим пунктом, можно разложить и десятичное число, n в таком случае будет обозначать положение цифры от запятой справа налево, например: 0,347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6)

Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последнему разряду цифр после запятой, например 0,325 – триста двадцать пять тысячных, где тысячные – это разряд последней цифры 5 .

Таблица названий больших чисел, разрядов и классов

Величина - это то, что можно измерить. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д. называют величинами. Величина является результатом измерения , она определяется числом, выраженным в определённых единицах. Единицы, в которых измеряется величина, называют единицами измерения .

Для обозначения величины пишут число, а рядом название единицы, в которой она измерялась. Например, 5 см, 10 кг, 12 км, 5 мин. Каждая величина имеет бесчисленное множество значений, например длина может быть равна: 1 см, 2 см, 3 см и т. д.

Одна и та же величина может быть выражена в разных единицах, например килограмм, грамм и тонна - это единицы измерения веса. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например, 5 см = 50 мм (длина), 1 ч = 60 мин (время), 2 кг = 2000 г (вес).

Измерить какую-нибудь величину - значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения.

Например, мы хотим узнать точную длину какой-нибудь комнаты. Значит нам нужно измерить эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно 7 раз, то длина её равна 7 метрам.

В результате измерения величины получается или именованное число , например 12 метров, или несколько именованных чисел, например 5 метров 7 сантиметров, совокупность которых называется составным именованным числом .

Меры

В каждом государстве правительство установило определённые единицы измерения для различных величин. Точно рассчитанная единица измерения, принятая в качестве образца, называется эталоном или образцовой единицей . Сделаны образцовые единицы метра, килограмма, сантиметра и т. п., по которым изготавливают единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление и утверждённые государством, называются мерами .

Меры называются однородными , если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм - меры однородные, так как они служат для измерения веса.

Единицы измерения

Ниже представлены единицы измерения различных величин, которые часто встречаются в задачах по математике:

Меры веса/массы

• 1 тонна = 10 центнеров
• 1 центнер = 100 килограмм
• 1 килограмм = 1000 грамм
• 1 грамм = 1000 миллиграмм

• 1 километр = 1000 метров
• 1 метр = 10 дециметров
• 1 дециметр = 10 сантиметров
• 1 сантиметр = 10 миллиметров

• 1 кв. километр = 100 гектарам
• 1 гектар = 10000 кв. метрам
• 1 кв. метр = 10000 кв. сантиметров
• 1 кв. сантиметр = 100 кв. миллиметрам

• 1 куб. метр = 1000 куб. дециметров
• 1 куб. дециметр = 1000 куб. сантиметров
• 1 куб. сантиметр = 1000 куб. миллиметров

Рассмотрим ещё такую величину как литр . Для измерения вместимости сосудов употребляется литр. Литр является объёмом, который равен одному кубическому дециметру (1 литр = 1 куб. дециметру).

Меры времени

• 1 век (столетие) = 100 годам
• 1 год = 12 месяцам
• 1 месяц = 30 суткам
• 1 неделя = 7 суткам
• 1 сутки = 24 часам
• 1 час = 60 минутам
• 1 минута = 60 секундам
• 1 секунда = 1000 миллисекундам

Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как квартал и декада.

• квартал - 3 месяца
• декада - 10 суток

Месяц принимается за 30 дней, если не требуется определить число и название месяца. Январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь - 31 день. Февраль в простом году - 28 дней, февраль в високосном году - 29 дней. Апрель, июнь, сентябрь, ноябрь - 30 дней.

Год представляет собой (приблизительно) то время, в течении которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые три последовательных года по 365 дней, а следующий за ними четвёртый - в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, называется високосным , а годы, содержащие по 365 дней - простыми . К четвёртому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4 истинных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвёртому году добавляют одни сутки (29 февраля).

Об остальных видах величин вы узнаете по мере дальнейшего изучения различных наук.

Сокращённые наименования мер

Сокращённые наименования мер принято записывать без точки:

Измерительные приборы

Для измерения различных величин используются специальные измерительные приборы. Одни из них очень просты и предназначены для простых измерений. К таким приборам можно отнести измерительную линейку, рулетку, измерительный цилиндр и др. Другие измерительные приборы более сложные. К таким приборам можно отнести секундомеры, термометры, электронные весы и др.

Измерительные приборы, как правило, имеют измерительную шкалу (или кратко шкалу). Это значит, что на приборе нанесены штриховые деления, и рядом с каждым штриховым делением написано соответствующее значение величины. Расстояние между двумя штрихами, возле которых написано значение величины, может быть дополнительно разделено ещё на несколько более малых делений, эти деления чаще всего не обозначены числами.

Определить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление, не трудно. Так, например, на рисунке ниже изображена измерительная линейка:

Цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д. обозначены расстояния между штрихами, которые разделены на 10 одинаковых делений. Следовательно, каждое деление (расстояние между ближайшими штрихами) соответствует 1 мм. Эта величина называется ценой деления шкалы измерительного прибора.

Перед тем как приступить к измерению величины, следует определить цену деления шкалы используемого прибора.

Для того чтобы определить цену деления, необходимо:

1. Найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины.
2. Вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.

В качестве примера определим цену деления шкалы термометра, изображённого на рисунке слева.

Возьмём два штриха, около которых нанесены числовые значения измеряемой величины (температуры).

Например, штрихи с обозначениями 20 °С и 30 °С. Расстояние между этими штрихами разделено на 10 делений. Таким образом, цена каждого деления будет равна:

(30 °С - 20 °С) : 10 = 1 °С

Следовательно, термометр показывает 47 °С.

Измерять различные величины в повседневной жизни приходится постоянно каждому из нас. Например, чтобы прийти вовремя в школу или на работу, приходится измерять время, которое будет потрачено на дорогу. Метеорологи для предсказания погоды измеряют температуру, атмосферное давление, скорость ветра и т. д.