Непрерывные функции в точке. Непрерывность функции

«Физика - 10 класс»

Какую физическую величину называют сопротивлением
От чего и как зависит сопротивление металлического проводника?

Различные вещества имеют разные удельные сопротивления. Зависит ли сопротивление от состояния проводника? от его температуры? Ответ должен дать опыт.

Если пропустить ток от аккумулятора через стальную спираль, а затем начать нагревать её в пламени горелки, то амперметр покажет уменьшение силы тока. Это означает, что с изменением температуры сопротивление проводника меняется.

Если при температуре, равной 0 °С, сопротивление проводника равно R 0 , а при температуре t оно равно R, то относительное изменение сопротивления, как показывает опыт, прямо пропорционально изменению температуры t:

Коэффициент пропорциональности α называют температурным коэффициентом сопротивления.

Температурный коэффициент сопротивления - величина, равная отношению относительного изменения сопротивления проводника к изменению его температуры.

Он характеризует зависимость сопротивления вещества от температуры.

Температурный коэффициент сопротивления численно равен относительному изменению сопротивления проводника при нагревании на 1 К (на 1 °С).

Для всех металлических проводников коэффициент α > 0 и незначительно меняется с изменением температуры. Если интервал изменения температуры невелик, то температурный коэффициент можно считать постоянным и равным его среднему значению на этом интервале температур. У чистых металлов

У растворов электролитов сопротивление с ростом температуры не увеличивается, а уменьшается. Для них α < 0. Например, для 10%-ного раствора поваренной соли α = -0,02 К -1 .

При нагревании проводника его геометрические размеры меняются незначительно. Сопротивление проводника меняется в основном за счёт изменения его удельного сопротивления. Можно найти зависимость этого удельного сопротивления от температуры, если в формулу (16.1) подставить значения Вычисления приводят к следующему результату:

ρ = ρ 0 (1 + αt), или ρ = ρ 0 (1 + αΔТ), (16.2)

где ΔТ - изменение абсолютной температуры.

Так как а мало меняется при изменении температуры проводника, то можно считать, что удельное сопротивление проводника линейно зависит от температуры (рис. 16.2).

Увеличение сопротивления можно объяснить тем, что при повышении температуры увеличивается амплитуда колебаний ионов в узлах кристаллической решётки, поэтому свободные электроны сталкиваются с ними чаще, теряя при этом направленность движения. Хотя коэффициент а довольно мал, учёт зависимости сопротивления от температуры при расчёте параметров нагревательных приборов совершенно необходим. Так, сопротивление вольфрамовой нити лампы накаливания увеличивается при прохождении по ней тока за счёт нагревания более чем в 10 раз.

У некоторых сплавов, например у сплава меди с никелем (Константин), температурный коэффициент сопротивления очень мал: α ≈ 10 -5 К -1 ; удельное сопротивление Константина велико: ρ ≈ 10 -6 Ом м. Такие сплавы используют для изготовления эталонных резисторов и добавочных резисторов к измерительным приборам, т. е. в тех случаях, когда требуется, чтобы сопротивление заметно не менялось при колебаниях температуры.

Существуют и такие металлы, например никель, олово, платина и др., температурный коэффициент которых существенно больше: α ≈ 10 -3 К -1 . Зависимость их сопротивления от температуры можно использовать для измерения самой температуры, что и осуществляется в термометрах сопротивления .

На зависимости сопротивления от температуры основаны и приборы, изготовленные из полупроводниковых материалов, - термисторы . Для них характерны большой температурный коэффициент сопротивления (в десятки раз превышающий этот коэффициент у металлов), стабильность характеристик во времени. Номинальное сопротивление термисторов значительно выше, чем у металлических термометров сопротивления, оно обычно составляет 1, 2, 5, 10, 15 и 30 кОм.

Обычно в качестве основного рабочего элемента термометра сопротивления берут платиновую проволоку, зависимость сопротивления которой от температуры хорошо известна. Об изменениях температуры судят по изменению сопротивления проволоки, которое можно измерить.Такие термометры позволяют измерять очень низкие и очень высокие температуры, когда обычные жидкостные термометры непригодны.

Сверхпроводимость.

Сопротивление металлов уменьшается с уменьшением температуры. Что произойдёт при стремлении температуры к абсолютному нулю?

В 1911 г. голландский физик X. Камерлинг-Оннес открыл замечательное явление - сверхпроводимость . Он обнаружил, что при охлаждении ртути в жидком гелии её сопротивление сначала меняется постепенно, а затем при температуре 4,1 К очень резко падает до нуля (рис. 16.3).

Явление падения до нуля сопротивления проводника при критической температуре называется сверхпроводимостью .

Открытие Камерлинг-Оннеса, за которое в 1913 г. ему была присуждена Нобелевская премия, повлекло за собой исследования свойств веществ при низких температурах. Позже было открыто много других сверхпроводников.

Сверхпроводимость многих металлов и сплавов наблюдается при очень низких температурах - начиная примерно с 25 К. В справочных таблицах приводятся температуры перехода в сверхпроводящее состояние некоторых веществ.

Температура при которой вещество переходит в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой .

Критическая температура зависит не только от химического состава вещества, но и от структуры самого кристалла. Например, серое олово имеет структуру алмаза с кубической кристаллической решёткой и является полупроводником, а белое олово обладает тетрагональной элементарной ячейкой и является серебристо-белым, мягким, пластичным металлом, способным при температуре, равной 3,72 К, переходить в сверхпроводящее состояние.

У веществ в сверхпроводящем состоянии были отмечены резкие аномалии магнитных, тепловых и ряда других свойств, так что правильнее говорить не о сверхпроводящем состоянии, а об особом, наблюдаемом при низких температурах состоянии вещества.

Если в кольцевом проводнике, находящемся в сверхпроводящем состоянии, создать ток, а затем удалить источник тока, то сила этого тока не меняется сколь угодно долго. В обычном же (несверхпроводящем) проводнике электрический ток в этом случае прекращается.

Сверхпроводники находят широкое применение. Так, сооружают мощные электромагниты со сверхпроводящей обмоткой, которые создают магнитное поле на протяжении длительных интервалов времени без затрат энергии. Ведь выделения тепла в сверхпроводящей обмотке не происходит .

Однако получить сколь угодно сильное магнитное поле с помощью сверхпроводящего магнита нельзя. Очень сильное магнитное поле разрушает сверхпроводящее состояние. Такое поле может быть создано и током в самом сверхпроводнике Поэтому для каждого проводника в сверхпроводящем состоянии существует критическое значение силы тока, превысить которое, не нарушая сверхпроводящего состояния, нельзя.

Сверхпроводящие магниты используются в ускорителях элементарных частиц, магнитогидродинамических генераторах, преобразующих механическую энергию струи раскалённого ионизованного газа, движущегося в магнитном поле, в электрическую энергию.

Объяснение сверхпроводимости возможно только на основе квантовой теории. Оно было дано лишь в 1957 г. американскими учёными Дж. Бардиным, Л. Купером, Дж. Шриффером и советским учёным, академиком Н. Н. Боголюбовым.

В 1986 г. была открыта высокотемпературная сверхпроводимость. Получены сложные оксидные соединения лантана, бария и других элементов (керамики) с температурой перехода в сверхпроводящее состояние около 100 К. Это выше температуры кипения жидкого азота при атмосферном давлении (77 К).

Высокотемпературная сверхпроводимость в недалёком будущем приведёт наверняка к новой технической революции во всей электротехнике, радиотехнике, конструировании ЭВМ. Сейчас прогресс в этой области тормозится необходимостью охлаждения проводников до температур кипения дорогого газа - гелия.

Физический механизм сверхпроводимости довольно сложен. Очень упрощённо его можно объяснить так: электроны объединяются в правильную шеренгу и движутся, не сталкиваясь с кристаллической решёткой, состоящей из ионов. Это движение существенно отличается от обычного теплового движения, при котором свободный электрон движется хаотично.

Надо надеяться, что удастся создать сверхпроводники и при комнатной температуре. Генераторы и электродвигатели станут исключительно компактными (уменьшатся в несколько раз) и экономичными. Электроэнергию можно будет передавать на любые расстояния без потерь и аккумулировать в простых устройствах.

Многие металлы, например, такие как медь, алюминий, серебро обладают свойством проводимости электрического тока за счет наличия в их структуре свободных электронов. Также, металлы имеют некоторое сопротивление току, и у каждого оно свое. Сопротивление металла сильно зависит от его температуры.

Понять, как зависит сопротивление металла от температуры можно, если увеличивать температуру проводника, к примеру, на участке от 0 до t2 °С. С увеличением температуры проводника, его сопротивление также увеличивается. Причем эта зависимость имеет практически линейный характер.

С физической точки зрения увеличение сопротивления с ростом температуры можно объяснить увеличением амплитуды колебаний узлов кристаллической решетки, что в свою очередь затрудняет прохождение электронов, то есть увеличивается сопротивление электрическому току.

Глядя на график можно увидеть, что при t1 металл имеет сопротивление намного меньше, чем, например при t2. При дальнейшем снижении температуры можно прийти в точку t0, где сопротивление проводника будет практически равно нулю. Конечно, его сопротивление равно нулю быть не может, а лишь стремится к нему. В этой точке проводник становится сверхпроводником. Сверхпроводники используются в сильных магнитах в качестве обмотки. На практике данная точка лежит намного дальше, в районе абсолютного нуля, и определить её по данному графику невозможно.

Для данного графика можно записать уравнение

Воспользовавшись данным уравнением можно найти сопротивление проводника при любой температуре. Здесь нам понадобиться точка t0 полученная ранее на графике. Зная значение температуры в этой точке для конкретного материала, и температуры t1 и t2 можем найти сопротивления.

Изменение сопротивления с температурой используется в любой электрической машине, где прямой доступ к обмотке невозможен. К примеру, в асинхронном двигателе достаточно знать сопротивление статора в начальный момент времени и в момент, когда двигатель работает. Путём несложных расчётов, можно определить температуру двигателя, что на производстве делается в автоматическом режиме.

Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x 0 равен значению функции в x 0 :
.

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне , можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке .

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений . Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x 0 , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0 равен значению функции в x 0 :
.

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Тогда существует такая окрестность U(x 0) , на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в точке .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций ».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при , и он равен :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает) , то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей - .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = a x , с основанием a > 0 - это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x :
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;
при .

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = log a x , с основанием a - это функция, обратная к показательной функции с основанием a .

Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a , y = log a x , имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a , которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e :
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e - натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х »,
«Натуральный логарифм, функция ln x »

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики ».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tg x ) и котангенс (ctg x

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x ), арккосинус (arccos x ), арктангенс (arctg x ) и арккотангенс (arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .

Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :

Так как , то мы можем записать

Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.

Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:

А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:

Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).

Непрерывность основных элементарных функций

1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.

Сначала рассмотрим функцию f(x)=x . По первому определению предела функции в точке a возьмем любую последовательность {x n } , сходящуюся к a , тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n } также будет сходиться к a , то есть , то есть функция f(x)=x непрерывная в любой точек числовой прямой.

Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.

2) Показательная функция.

Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.

Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:

3) Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0 при a>1 и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0 при 0, причем

4) Гиперболические функции.

Гиперболическими функциями называются следующие функции:

Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .

Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).

5) Степенная функция

Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .

6) Тригонометрические функции.

Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .

7) Обратные тригонометрические функции.

Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.

Два замечательных предела

Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.

Этот предел называется первым замечательным пределом .

Доказательство . При 0 справедливы неравенства 0<\sin x. Разделим эти неравенства на sin x , тогда получим

Эти неравенства справедливы также и для значений x , удовлетворяющих условиям -π/2. Это следует из того, что cos x=cos(-x) и . Так как cos x - непрерывная функция, то . Таким образом, для функций cos x , 1 и в некоторой δ -окрестности точки x=0 выполняются все условия теорем. Следовательно, .

Теорема . Предел функции при x → ∞ существует и равен числу e :

Этот предел называется вторым замечательным пределом .

Замечание . Верно также, что

Непрерывность сложной функции

Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .

Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).