Нов алексей нижегородский государственный технический университет. Файловый архив нгту

Между параметрами состояния идеального газа существует связь, называемая уравнением состояния. Французский инженер Б. Клапейрон (1799–1864) обобщил экспериментальные газовые законы и установил связь между параметрами (уравнение Клапейрона ):

Русский ученый Д.И. Менделеев (1834–1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Согласно закону Авогадро , при одинаковых и моль любого газа занимает одинаковый молярный объем , поэтому Менделеев сделал вывод, что постоянная в правой части равенства будет одинакова для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается и называется универсальной газовой постоянной .

Числовое значение можно определить, подставив в формулу значения параметров при НУ . Согласно расчетам, .

Перейдем к произвольной массе газа . При тех же условиях она будет занимать объем . Тогда

Это уравнение является уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона – Менделеева ).

Введем постоянную , называемую постоянной Больцмана . Тогда

где концентрация молекул. Следовательно, из 7.4.2 следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул, а плотность обратно пропорциональна температуре.

В системе СИ давление измеряется в Паскалях . Кроме того, для измерения давления используется ряд величин:

Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта: .

Пример 7.4.1. В баллоне объемом находится гелий под давлением и при температуре . После того, как из баллона было взято гелия, температура в баллоне понизилась до . Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Решение:

Для начального состояния уравнение Менделеева – Клапейрона имеет вид:. Поскольку объем гелия в конечном состоянии будет таким же (ограничен объемом сосуда), то для конечного состояния . Из этих уравнений найдем массы: и .

Учитывая, что , получим .

Выразим искомое давление:

Ответ: .

Пример 7.4.2. Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит (по массе) из одной части кислорода и трех частей азота.

Решение:

Свойствами идеального газа могут обладать не только химически однородные газы, но и газовые смеси. Чтобы применить уравнение состояния для газовой смеси, ей необходимо приписать некоторую, хотя и лишенную химического смысла, молярную массу . Величину выбирают такой, чтобы она удовлетворяла уравнению состояния идеального газа, записанному для смеси: . Откуда давление смеси.

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для каждой из компонент смеси: и . Выразим парциальные давления газов, входящих в смесь: и . По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме

их парциальных давлений: . Следовательно, .

Учитывая, что масса смеси , получим .

Искомая молярная масса смеси равна

Ответ: .

Пример 7.4.3. Плотность смеси азота и водорода при температуре и давлении равна . Найти концентрацию молекул азота и водорода в смеси.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа для смеси газов: . Учтем, что молярная масса смеси (см. пример 7.4.2), поскольку и , то .

Подставим значения молярной массы смеси в уравнение Клапейрона – Менделеева.

Тогда или (1), где – плотность смеси .

С другой стороны, давление смеси газов равно (2). Решая совместно (1) и (2), найдем (м -3) и (м -3).

Ответ: , .

7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Применим статистический метод для расчета давления газа на стенки сосуда, в котором он находится. Давление газа на любую стенку равно отношению силы, с которой молекулы газа действуют на эту стенку, к площади ее поверхности:

Пусть газ находится в сосуде кубической формы с ребром (рис. 7.5.1, а). Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси Ox (рис. 7.5.1, б). Найдем силу, с которой на нее будет действовать одна молекула газа. Обозначим массу одной молекулы, скорость молекулы. Молекулы газа могут менять направление скорости только при ударе о стенки (считаем, что взаимные столкновения к этому не приводят). Изменение импульса молекулы при ударе равно . С другой стороны, изменение импульса молекулы равно импульсу силы, действующей на нее со стороны стенки. Обозначим силу, действующую на стенку сосуда со стороны молекулы . Тогда по третьему закону Ньютона сила, с которой стенка будет действовать на молекулу, равна . Следовательно, , где .

Давление, производимое газом на эту стенку:

где объем сосуда.

Так как давление газа на все стенки сосуда одинаково (закон Паскаля), то

С учетом того, что , (суммарная кинетическая энергия молекул газа),

Это уравнение называется основным уравнением МКТ : произведение давления идеального газа на его объем равно двум третьим величины кинетической энергии поступательного движения всех его молекул.

Глава 8. Статистические распределения

В этом разделе мы знакомимся с уравнением состояния идеального газа.

Эксперименты показали, что при условиях не слишком отличающихся от нормальных (температура порядка сотен кельвинов, давление порядка одной атмосферы) свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа.

Пример. На примере водяного пара покажем, что при обычных условиях свойства реальных газов близки к свойствам идеального. По таблице Менделеева можно определить массу моля Н 2 0 :

Плотность воды в жидком состоянии

Отсюда можно найти объем одного моля воды:

Один моль любого вещества содержит одно и то же число молекул (число Авогадро):

Получаем отсюда объем V 1 , приходящийся на одну молекулу воды:

В конденсированном состоянии молекулы располагаются вплотную друг к другу, то есть в сущности V 1 есть объем молекулы воды, откуда следует оценка ее линейного размера (диаметра):

С другой стороны, известно, что объем V m одного моля любого газа при нормальных условиях равен

Поэтому на одну молекулу водяного пара приходится объем

Это значит, что газ можно нарезать мысленно на кубики с длиной ребра

и в каждом таком кубике окажется одна молекула. Иными словами, L - среднее расстояние между молекулами водяного пара. Мы видим, что L на порядок превосходит размер D молекулы. Аналогичные оценки получаются и для других газов, так что с хорошей точностью можно считать, что молекулы не взаимодействуют друг с другом, и при нормальных условиях газ идеален.

Как уже говорилось, уравнение состояния, имеющее вид, позволяет выразить один термодинамический параметр через два других. Конкретный вид этого уравнения зависит от того, какое вещество и в каком агрегатном состоянии рассматривается. Уравнение состояния идеального газа объединяет ряд экспериментально установленных частных газовых законов. Каждый из них описывает поведение газа при условии, что изменяются лишь два параметра.

1. Закон Бойля - Мариотта . Описывает процесс в идеальном газе при постоянной температуре.

Закон Бойля - Мариотта гласит:

Графически изотермический процесс в различных координатах изображен на рис. 1.7.

Рис.1.7. Изотермический процесс в идеальном газе: 1 - в координатах p – V ; 2 - в координатах p - T ; 3 - в координатах T – V

Показанные на рис. 1.7-1 кривые представляют собой гиперболы

располагающиеся тем выше, чем выше температура газа.

Экспериментальное исследование закона Бойля - Мариотта можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.8. В цилиндре, находящемся при постоянной температуре (что видно из показаний термометра), при перемещении поршня изменяется объем газа. Давление газа измеряется с помощью манометра. Результаты измерений давления и объема газа представляются на диаграмме p = p (V ) .

Рис. 1.8. Экспериментальное изучение изотермического процесса в газе

2. Закон Гей-Люссака. Описывает тепловое расширение идеального газа при постоянном давлении.

Закон Гей-Люссака гласит:

Графически изобарный процесс в различных координатах показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Изобарный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах V – T; 3 - в координатах P – T

Экспериментальное изучение закона Гей-Люссака можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.10. В цилиндре газ нагревается с помощью горелки. Давление газа в процессе нагревания остается неизменным, что видно из показаний манометра. Температура газа измеряется с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме V = V(Т) .

Рис. 1.10. Экспериментальное изучение изобарного процесса в газе

3. Закон Шарля. Описывает изменение давления идеального газа с ростом температуры при постоянном объеме.

Закон Шарля гласит:

Графически изохорный процесс в различных координатах показан на рис. 1.11.