Производная вычисленная в точке равна. Производная функции

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

В промежутке (а, b ), а х - является случайно выбранной точкой данного промежутка. Дадим аргументу х приращение Δх (положительное или отрицательное).

Функция у =f(x) получит приращение Δу равное:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

При бесконечно малом Δх приращение Δу тоже бесконечно мало.

Например:

Рассмотрим решение производной функции на примере свободного падения тела.

Так как t 2 = t l + Δt, то

.

Вычислив предел, найдем:

Обозначение t 1 вводится с целью подчеркивания постоянства t при вычислении предела функции. Так как t 1 является произвольным значением времени, то индекс 1 можно отбросить; тогда получаем:

Видно, что скорость v, как и путь s , есть функция времени. Вид функции v всецело зависит от вида функции s , так что функция s как бы «производит» функцию v . Отсюда название «производная функция ».

Рассмотри еще один пример .

Найти значение производной функции:

у = х 2 при х = 7 .

Решение. При х = 7 имеем у=7 2 = 49 . Дадим аргументу х приращение Δ х . Аргумент станет равным 7 + Δ х , а функция получит значение (7 + Δ х) 2 .

Первая производная Если производная функция положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Если производная функция положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Далее

Определение Кривая называется выпуклой в точке, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке Кривая называется выпуклой в точке, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке Кривая называется вогнутой в точке,если в некоторой окрестности этой точке она расположена над своей касательной в точке Кривая называется вогнутой в точке,если в некоторой окрестности этой точке она расположена над своей касательной в точке Далее

Признак вогнутости и выпуклости Если вторая производная функции в данной промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Если вторая производная функции в данной промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке. Определение

План исследования функции и построения её графика 1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются 1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются 2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют её периодичность 2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют её периодичность 3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями 3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями 4. Находят критические точки 1-рода 4. Находят критические точки 1-рода 5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции 5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции 6. Определяют промежутки выпуклости и вогнутости и находят точки перегиба 6. Определяют промежутки выпуклости и вогнутости и находят точки перегиба 7. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой 7. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой Выход

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.

Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить , а также посмотреть (но в нём краткое изложение).

Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, и 7. Получили 7 точек.

2. Прямая y = 2 параллельная оси ох y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –3; 0; 4,2; 6,9

Решите самостоятельно :

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.

2. Прямая y = 3 параллельная оси ох . Касательная будет параллельна прямой y = 3 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).

Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.

3. Прямая y = 2 параллельная оси ох . Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.