Урок "Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции y = f(x)". Что означает в математике запись у = f(x) — Гипермаркет знаний

Тема нашего урока: «Преобразование графиков игрек равно эф от ка икс».

Прежде чем приступить к изучению темы, выполните упражнения. Зная графики функций игрек равно синус икс и игрек равно косинус икс, построить графики функции: игрек равно синус икс плюс два. Игрек равно два косинус икс. Игрек равно минус три синус икс.

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся еще с одним видом преобразований графиков игрек равно эф от ка икс. Сначала рассмотрим преобразование при ка больше нуля.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус икс на два.

Если икс равно пи, то игрек равно синус пи на два и равен единице. Заметим, что одна вторая находится в промежутке от нуля до единицы.

Абсциссы точек графика функции игрек равно эф от ка икс получаются делением абсцисс соответствующих точек графика функции игрек равно эф от икс на число ка. Если ка находится в промежутке от нуля до единицы, то такое преобразование называют растяжением от оси игрек с коэффициентом ка.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус два икс. Заметим, что если икс равен пи на два, то игрек равно нулю. Если ка больше единицы, то такое преобразование называют сжатием к оси игрек с коэффициентом ка.

Рассмотрим преобразование графиков при ка меньше нуля. Построим график функции игрек равно синус минус икс. Получим, что график функции игрек равно эф от минус икс можно получить из графика функции игрек равно эф от икс с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Однако так будет не всегда. Для построения графика игрек равно эф от минус икс есть специальный алгоритм. Рассмотрим его:

Для построения графика функции игрек равно эф от минус икс надо: первое: построить график функции игрек равно эф от икс. Второе: исследовать функцию на четность и если функция четная, то график функции игрек равно эф от минус икс совпадает с графиком функции игрек равно эф от икс. Если функция нечетная, то вместо графика функции игрек равно эф от минус икс можно построить график функции игрек равно минус эф от икс.

В нашем примере была нечетная функция игрек равно синус икс, поэтому график функции построился с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Построим график функции игрек равно косинус минус два икс.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. Построим график функции игрек равно косинус два икс. Так как косинус – четная функция, то график функции игрек равно косинус минус два икс совпадает с графиком функции игрек равно косинус два икс.

Составим алгоритм построения графика функции игрек равно эф от ка икс при ка меньше нуля. Для этого надо: первое – построить график функции игрек равно эф от икс, второе – осуществить сжатие к (растяжение от) оси игрек с коэффициентом модуль ка. Третье – растянутый график подвергнуть преобразованию относительно оси игрек, если функция нечетная; и оставить без изменения, если функция четная.

Рассмотрим пример. Построить график функции игрек равно два синус икс минус пи на два. Решение. Построим график функции игрек равно синус икс. Сместим график функции вправо на пи на два и получим график функции игрек равно синус икс минус пи на два. Растянем график функции от оси икс в два раза и получим график функции игрек равно два синус икс минус пи на два.

Рассмотрим еще один пример. Построить график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. С помощью сжатия к оси игрек, построим график функции игрек равно косинус два икс. Сдвинем полученный график вправо на пи на три, получим график функции игрек равно косинус два икс плюс пи на три. Растянем график функции от оси икс в три раза и получим график функции игрек равно три косинус два икс плюс пи на три. Отобразим полученный график относительно оси икс и получим график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

На прошлом уроке, мы с вами записывали в какую точку отобразиться точка с координатами икс игрек при различных преобразованиях. Повторим это и добавим преобразование, которое мы с вами изучали сегодня.

Преобразование эф от икс плюс а отобразит нашу точку в точку с координатами икс минус а, игрек. То есть произойдет смещение графика функции по оси икс влево, если а больше нуля и вправо, если а меньше нуля.

Преобразование эф от икс плюс бэ отобразит нашу точку в точку с координатами икс, игрек плюс бэ. То есть произойдет смещение графика функции по оси игрек вверх, если бэ больше нуля и вниз, если бэ меньше нуля.

Преобразование эм умножить на эф от икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс, эм игрек. То есть ордината каждой точки увеличится в эм раз.

Преобразование эф от ка икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс деленное на ка, игрек. То есть абсцисса каждой точки уменьшиться в ка раз.

Разберем определение подробнее:

- Что значит «…зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\)…»?

Наглядный пример: предположим, вы пришли в магазин купить конфеты, которые продаются вразвес и стоят по \(100\) рублей килограмм. Вопрос – сколько денег вы заплатите? Ответ: смотря сколько конфет купим! Действительно, купим два килограмма – заплатим \(200\) рублей, купим четыре с половиной – заплатим \(450\) рублей. То есть, цена покупки зависит от количества килограмм. Или, иначе говоря, цена покупки есть функция от количества купленных килограмм.

И если количество килограмм обозначить за \(x\), а цену покупки - за \(y\), то можно записать: \(y=100x\). Фактически, эта запись и есть функция. При этом понятно, что \(x\) изменяется по нашему желанию. Поэтому:

\(x\) называется независимой (свободной) переменной или аргументом функции .

Игрек же меняется автоматически, не сам по себе, а потому что изменился \(x\). Поэтому:

\(y\) называется зависимой переменной или функцией икса.

Эту связь между иксом и игреком можно пояснить такой аналогией: игрек – это телевизор, а икс – пульт от него. И если вы хотите, например, увеличить звук - вы не лезете внутрь телевизора и не пытаетесь вручную поменять напряжение в его резисторах, а просто нажимаете кнопку на пульте – и звук меняется. То есть звук поменялся не сам по себе, а потому что вы нажали кнопку. При этом с самим телевизором вы ничего не делали.

- Что значит «…каждому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\)»?
Если мы в полученную выше функцию \(y=100x\) поставим вместо икса, например, тройку, то получим, что игрек равен \(100·3=300\). И сколько бы раз мы не подставляли вместо икса тройку – мы всегда будем получать, что игрек равен \(300\). Мы никак не сможем получить другое значение игрека, если будем подставлять один и тот же икс. В этом и заключается смысл записи «каждому значению икса – только одно значение игрека».

Отметим, что игрек может быть одинаков для нескольких иксов. Например, функция \(y=x^2-6x+9\) имеет одинаковые значения игрека для икса равного \(1\) и для икса равного \(5\).

\(x=1\) \(y=1^2-6·1+9=4\)
\(x=5\) \(y=5^2-6·5+9=4\)

Однако это никак не противоречит сказанному выше: сколько бы мы не подставляли вместо икса \(1\) или \(5\) – мы всегда будем получать только «игрек равен \(4\)».

Вообще понятие функции гораздо шире рассмотренного выше, потому что функцией можно назвать не только «вычисления по формуле», но и любую зависимость элементов. При этом обязательно должно выполняться требование «одному иксу – один игрек». Для ясности приведем еще несколько примеров из жизни.

Например, зависимость типа «человек» - «рост человека» вполне можно считать функцией, потому что для каждого «икса» (то есть каждого отдельного человека) есть свой «игрек» (рост этого человека). Причем значение игрека (роста) определяется тем, какой икс (то есть какого именно человека) мы взяли, и это значение - только одно.

А вот зависимость типа «человек» - «хобби человека» уже не функция! Потому что требование «одному иксу – один игрек» здесь не выполняется, ведь у человека (икса) может быть и два, и три, и десять разных хобби (игреков).

Еще пример: вы шли по улице и нашли \(100\) рублей. Значит ли это, что пройдя по этой улице \(10\) раз, вы найдете \(1000\) рублей? Нет, не значит, потому что здесь нет зависимости между прогулкой и найденной суммой. Это случайность, а не функция.

Способы задания функции

Функция может задаваться:
- аналитически (в виде «формулы»):
например , \(y=100x\) или \(y=x^2-6x+9\)

- таблично (таблица значений «икса» и соответствующих ему значений «игрека»):

- графически (в виде графика):
например ,

Зачастую одну и ту же функцию можно задать разными способами. Например, при мы как раз функцию, заданную аналитически, представляем в графическом виде.

Обратите внимание: на график функции требование «одному иксу – один игрек» также распространяется!

Виды функций

В школьном курсе подробно изучаются следующие виды функций:

- (имеет график - прямая) - все функции, приводимые к виду \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) – числа. В этих функциях икс только в первой степени и нет переменных в знаменателях.
- (график - парабола) – функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\). Здесь обязательно есть икс в квадрате. А вот икс в первой степени или свободные члены \(c\) – могут отсутствовать.
Обратной пропорциональности (график - гипербола) – задается формулой \(y=\) \(\frac{k}{x}\) , причем \(k≠0\).		\(y=\)\(\frac{3}{x}\)

В старших классах также изучается степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции.

Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.

Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.

Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.

Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.

Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.

Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.

Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.

Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.

После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству - непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.

Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.

И, наконец, рассматривается шестое свойство - периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Первое свойство, которое мы рассмотрим -монотонность.

Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое - подмножество области определения функции.

Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках

от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечностивозрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.

Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.

Если икс первое меньше икс второе, то используя свойства числовых неравенств, имеем

Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля, игрек равен икс в кубе.

Второе свойство - ограниченность.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.

Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

По графику функции легко можно определить ее ограниченность.

Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее. .

Игрик является наибольшим если:

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;

Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.

Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;

Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции

Полезно запомнить:

Если у функции существует наименьшее значение., то она ограничена снизу.

Если у функции существует наибольшее значение, то она ограничена сверху.

Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции

Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.

Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка, то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка, то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.

четвертое свойство: непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

пятое свойство: четность, нечетность.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

шестое свойство: периодичность

примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем

Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое - период функции игрек равно эф от икс

все тригонометрические функции периодические.

ФУНКЦИЯ - F(X) y=f(x).

Что такое функция f(х)?
Как бывший школьный учитель математики напоминаю тем, кто забыл.
Y – функция, Х-аргумент, f- закон, по которому находим Y.
Пример:
Поезд идет со средней скоростью 30 км. в час. Два часа в пути – 60 км прошел. 4 часа в пути – 120 км. и т.д. Чем больше времени поезд в пути, тем большее расстояние он проходит. Х и Y –переменные величины, и функция y =f(x) ,где Y – расстояние, a X – время в пути, и есть необходимый закон.
Вспомнили? Я тоже вспомнил, нo другое.
По окончании физмата Хабаровского пединститута меня направили на работу в Биробиджан, в школу номер 6, которая располагалась в поселке Сопка, за рекой, где стоял военный гарнизон, довольно многочисленный, со своим госпиталем, Домом офицеров, мастерскими по ремонту танков, деревянными двухэтажными домами, где жили семьи военослужащих.
Школа имела два здания: большое, кирпичное, двухэтажное, и маленькое, деревянное, одноэтажное, где располагались классы начальной школы – с 1-го по 4-й. В ней меня и поселили. В маленьком угловом классе я жил с бабушкой, которая поехала со мной, зная мою житейскую неприспособленность. Она мне варила, стирала, сидела рядом, когда я проверял тетради, защищала от работников местного КЭЧ, которые сильно хотели забрать наши две кровати, числящиеся у них на учете.
Зарплата была минимальная для учителя. 18 рабочих часов в неделю, три 5-х класса, самый трудный для учителя возраст. Денег нехватало даже на еду, и бабушка отказалась от мяса, ела картошку, так как считала, что мясо стоит слишком дорого. Хорошо, что не нужно было платить за свет, печное отопление и канализацию, которой не было. Кроме того, в классе, в котором я был классным руководителем, учились дети высокопоставленных офицеров гарнизона: сын командира части полковника Андронова, сын начальника госпиталя подполковника мед, службы Заровняева, дочь начмеда Жекова, дети врачей госпиталя и офицеров. Контроль за моей деятельностью, как воспитателя, был постоянный. Надо сказать, что дети этих высоких чинов были исключительно дисциплинированными, все они учились только на отлично, с ними было приятно работать. Мне был 21 год, я играл с ними в баскетбол, футбол, но, к сожалению, это не прибавляло денег в мой кошелек. К тому же, в классе учились и другие дети, которые резко отличались по уровню развития от детей военных.
Но мне, случайно, улыбнулась удача. Моя коллега сообщила мне, что требуется, временно, преподаватель математики в «Школу паровозных машинистов», которая существовала в то время в Биробиджане.
Это был хороший приработок. Меня приняли преподавателем по совместительству.
Известно, что на тепловозную тягу Дальний Восток перешел последним на Транссибе.
Студентами «Школы" были мужики, все старше меня: демобилизованные солдаты, бывшие заключенные, которых на Дальнем Востоке всегда было много, бывшие деревенские жители, часто малограмотные, хотя принимали в школу только закончивших семилетку. Школа давала им шанс хорошего заработка, и они «грызли гранит науки» очень добросовестно, хотя многим было трудно.

Однажды, когда я проверял тетради, бабушка привела посетителя, который искал в здании средней школы «Владимира Давидовича». Оказалось – курсант «Школы» по имени Вася Дорошенко, бывший деревенский житель из пригородного совхоза. Поставил на стол чемоданчик, открыл. Там – бутылка водки с закуской: деревенская колбаса, копченое мясо, деревенский хлеб. Я – опешил.
Васю я приметил давно, Он ничего не понимал из моих обьяснений, от опросов уклонялся, контрольные списывал.
-Что тебя привело ко мне?
-Владимир Давидович, я все понимаю, что Вы обьясняете, но функция F(X) ! Что это?
Мы с бабушкой еле-еле заставили Васю сложить все принесенное обратно в чемодан, я отставил в сторону тетради, и мы начали занятия. К своему ужасу, я обнаружил, что Вася не знает таблицы умножения. Дла меня это был шок. Теперь, с высоты своих лет и опыта я понимаю всю нищету моих тогдашних понятий. В дальнейшей своей жизни мне встретились и директор музыкальной школы, который всегда ходил с карандашом, на котором была таблица умножения, и жена моего друга, русского писателя Эдуарда П…… Наталия К........., - бывший преподаватель МАИ - профессор математики, которая сама мне сказала, что таблицу не знает до сих пор.
Но тогда, в далекой молодости, мне это казалось невероятным, отбивало охоту что-то обьяснять. Я сосредоточился на функции
F(x). Долго обьяснял, приводил примеры, что-то получилось. Вася встал удовлетворенный. Опять открыл чемодан, предложил выпить и закусить. Для меня выпивка - острый нож в сердце. Душа не приемлет, возможно, на генетическом уровне, хотя мой отец вернулся с фронта с большим пристрастием к водке.
Ах, водка! Сколько раз мне пришлось ее выливать незаметно, заменять, отдавать, когда участвовал в застольях, как гармонист, затем, баянист! Ведь на Руси всегда первый стакан – гармонисту!
Наконец, мы убедили Васю снова собрать все в чемоданчик. Он сказал, что идет в туалет и больше не вернулся. Чемоданчик остался на столе.
Я боялся, что его примеру последуют и другие курсанты, имеющие с математикой проблемы, но обошлось. Очевидно, сработал слух, что я не пью.
Вася «Школу» закончил. Я уже там в это время не работал, вернулась прежняя преподавательница, которая была в декрете. Скоро «Школу» закрыли. Дорога переходила на тепловозную тягу, значит снова Васе учиться. Мне, наконец, дали две небольшие комнаты в «коммуналке» и мои родители, жившие в городке Пограничный, возле Уссурийска, все бросили и приехали ко мне.
А Вася? Думаю, что стал достойным железнодорожником и без функции Y = F(X).
А эта функция, как маленький золотой ключик, открывает потайную дверь в ту область знаний, которая приучает человека мыслить отвлеченно, абстрактно и которая на всех великих языках называется почти одинаково – МАТЕМАТИКА.
P.S.
|Эти дети, у которых я был классным руководителем в 5,6,7,8 классах, были моими первыми учениками в моей учительской карьере, я их запомнил навсегда. Они – на 10 лет младше меня, сегодня им – по 68. Некоторые из них стали очень известными людьми в России и Израиле.

Рецензии

Здравствуйте, Владимир! С удовольствием и интересом прочитал Ваш рассказ. Должен сказать, что к старости пропадает желание читать выдуманные истории, даже если написано хорошим языком и, с художественной точки зрения, правдиво. Не знаю, хорошо это или плохо. ...А математику я люблю. Как и Вы. С уважением, Юрий.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Понятия переменной величины и функции фактически в неявном виде использовались в математике задолго до появления работ французских математиков П. Ферма (1601 - 1665) и Р. Декарта (1596 - 1650), в которых они ввели метод координат. Этот метод использовали для графического исследования свойств функции и графического решения уравнений. Термин "функция" ввел немецкий математик Г. Лейбниц (1646 - 1716). У него функция связывалась с графиком.

Под влиянием Л Эйлера (1707 - 1783) И. Бернулли (1667 - 1748) функцию стали понимать как аналитическое выражение, т. е. выражение, состоящее из переменных, чисел и знаков действий. У Л Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах Н.И. Лобачевского (1792 - 1856) и немецкого математика Дирихле (1805 - 1859). Примерно с этого момента функцию стали понимать как соответствие между числовыми множествами, которое могло быть установлено различными способами (таблицей, графиком, формулой, описанием).

Функция.

Самым общим (и, безусловно, основным) является в математике следующее определение понятия функции.

Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее определение.

Пример 1. Обозначим через А множество всех треугольников на плоскости, а через В - множество всех окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем считать областью определения, а множество В - областью значений (той функции, которую мы определяем). Наконец, каждому треугольнику поставим в соответствие окружность, вписанную в этот треугольник. Это есть вполне определенное правило, которое каждому элементу, взятому из области определения (т. е. треугольнику), ставит в соответствие некоторый элемент из области значений (т. е. окружность).

Пример 2. Сохраним те же самые множества А и В , что и в примере 1, т. е. по-прежнему будем считать областью определения множество всех треугольников на плоскости, а областью значений - множество всех окружностей. Далее, каждому треугольнику поставим в соответствие его описанную окружность. Мы получаем функцию с той же областью определения А и той же областью значений В . Но это уже другая функция, так как окружность сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.

Пример 3. Обозначим через К множество всех кругов на плоскости, а через D - множество исех действительных чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и каждому элементу множества К .(т. е. кругу) поставим в соответствие число, равное площади этого крута. Мы получаем функцию с областью определения K и областью значений D .

Пример 4. Обозначим через N множество всех натуральных чисел, а через R - множество всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа a и r и каждому натуральному числу n поставим в соответствие действительное число, равное n -му члену арифметической прогрессии с первым членом а и разностью r (т. е. натуральному числу n поставим в соответствие действительное число а + (n - 1)r. Мы получаем функцию с областью определения N и областью значений R .

Пример 5. Теперь мы примем и в качестве области определения, и в качестве области значений множество R всех действительных чисел. Далее, выберем два действительных числа а и r и каждому действительному числу х поставим в соответствие число а + (х - 1)r . Мы получаем функцию с областью определения R и областью значений R . Заметим, что в примерах 4 и 5 одинакова область значений R и одинаково правило соответствия: формулы a + (n - 1)r и а + (х - 1)r показывают, что в обоих случаях надо над выбранным числом (n или х ) проделать одни и те же действия, чтобы узнать, какое число поставлено ему в соответствие. Однако области определения этих двух функций различны, и потому мы имеем в примерах 4 и 5 разные функции. Таким образом, для задания функции мало указать правило соответствия, а надо еще обязательно указать область определения и область значений.

Для обoзначения функций обычно пользуются буквами. Одна буква (чаще всего х ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области определения функции. Эта буква называется аргументом. Таким образом, если сказано, что х - аргумент некоторой функции, то вместо х мы можем подставить любой элемент, принадлежащий области определения этой функции. Далее, другая буква (чаще всего у ) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области значений. Эта буква называется функцией (и это второе значение слова «функция»). Наконец, третья буква (чаще всего f используется для обозначения правила соответствия. Это значит, что если а - произвольное значение аргумента (т. е. произвольный элемент, взятый из области определения функции), то элемент, поставленный ему в соответствие, обозначается через f(a) . Элемент у = f(a) называется значением рассматриваемой функции при х = а. Все три буквы х, у, f объединяются одной записью: y = f{x) . («игрек равен эф от икс»), которая и означает, что х - аргумент, y - функция, f -правило соответствия. Иногда букву y или выражение f(х) также называют функцией (и это - уже третье значение слова «функция»).

Пример 6. Обратимся снова к функции, рассмотренной в примере 4. Аргумент обозначим через n , функцию - через у, а правило соответствия - через f . Таким образом, мы запишем эту функцию в виде y = f(n) . Вот несколько значений этой функции:

f(1) = а 1 , f(2) = а 2 , где a 2 = a 1 + r и т. д.

Пример 7. Рассмотрим функцию у = q(х) , у которой областью определения и областью значений является множество R всех действительных чисел, а правило соответствия имеет - следующий вид:

Вот несколько значений этой функции: q(-15) = 0, q(-23) = 0, q(-1) = 0, q(0) = 0, q(1) = 1, q(3) = 3, q(14) = 14, q(107) = 107, ...

Разумеется, вместо букв х, у, f можно использовать и другие буквы. Например, запись s = p(t) означает, что s есть функция аргумента t (или короче: s есть функция от t ), причем правило соответствия обозначается буквой р .

Следует подчеркнуть, что область значений функции представляет собой множество элементов (или чисел), среди которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой функции. Однако в области значений могут содержаться и «лишние» элементы, не являющиеся значениями функции. Иными словами, множество значений функции обязательно содержится в области значений, но не обязательно совпадает с ней. Так, в примере 3 значениями функции являются лишь положительные числа, тогда как область значений есть множество всех действительных чисел. Несовпадение множества значений функции и области значений можно видеть также в примерах 4 и 7.

В заключение рассмотрим еще одно (четвертое!) понимание слово «функция», являющееся для школьного курса математики наиболее важным. Именно, функцией называют произвольное выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действий и числа.

Например, функциями (в этом смысле) являются

y = x 2 + 2 (2),

(3),

y = | 7x - 3 | (4),

Почему же такие формулы называют «функциями» и не противоречит ли это понимание функции сказанному выше?

Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться:

Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х или другую букву, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать:
1) что за область значений принимается все множество R действительных чисел;
2) за область определения принимается множество всех тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия, указанные в правой части;
3) если число а принадлежит области определения, то значение функции при х = а равно числу, получающемуся, если в правую часть подставить х = а и произвести указанные действия.
Итак, задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия.

Пример 8 . y = x 2 + 3.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указан действия возведение в степень и сложение, они выполнимы при любом действительном значении х, т. е. областью определения функции является все множество D действительных чисел (или, иначе, бесконечный интервал

Пример 9. Найти область определения функции.

В выражении, стоящем в правой части равенства, указаны действия: возведение в степень, умножение, сложение, извлечение квадратного корня и деление. Первые три действия всегда выполнимы. Извлечь квадратный корень можно лишь тогда, когда x 2 - 90, а деление возможно, если x - 50. Так как x 2 - 90,
при x(-; -3]}