বর্গমূল. উদাহরণ সহ বিস্তারিত তত্ত্ব

ঘটনা ১.
\(\bullet\) কিছু নন-নেগেটিভ নম্বর নিন \(a\) (যেমন \(a\geqslant 0\))। তারপর (পাটিগণিত) বর্গমূল\(a\) সংখ্যা থেকে এমন একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যাকে \(b\) বলা হয়, এটিকে বর্গ করলে আমরা \(a\) সংখ্যাটি পাই : \[\sqrt a=b\quad \text(same as)\quad a=b^2\]এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). এই সীমাবদ্ধতাগুলি বর্গমূলের অস্তিত্বের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত এবং মনে রাখা উচিত!
মনে রাখবেন যে কোনো সংখ্যা যখন বর্গ করা হয় তখন একটি অ-নেতিবাচক ফলাফল দেয়। অর্থাৎ, \(100^2=10000\geqslant 0\) এবং \((-100)^2=10000\geqslant 0\)।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) কি? আমরা জানি যে \(5^2=25\) এবং \(-5)^2=25\)। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, \(-5\) উপযুক্ত নয়, তাই \(\sqrt(25)=5\) (যেহেতু \(25=5^2\))।
\(\sqrt a\) মান বের করাকে \(a\) সংখ্যাটির বর্গমূল নেওয়া বলা হয়, এবং সংখ্যা \(a\)টিকে মূল রাশি বলা হয়।
\(\bullet\) সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, অভিব্যক্তি \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ইত্যাদি। কোন মানে নেই

ঘটনা 2।
দ্রুত গণনার জন্য, \(1\) থেকে \(20\) পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সারণী শেখা উপযোগী হবে : \[\begin(অ্যারে)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ hলাইন \শেষ(অ্যারে)\]

ঘটনা 3।
বর্গমূল দিয়ে কি করা যায়?
\(\ বুলেট\) বর্গমূলের যোগফল বা পার্থক্য যোগফল বা পার্থক্যের বর্গমূলের সমান নয়, যেমন \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]এইভাবে, যদি আপনার গণনা করতে হয়, উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\), তাহলে প্রাথমিকভাবে আপনাকে অবশ্যই \(\sqrt(25)\) এবং \(\sqrt) মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে (49)\ ) এবং তারপর তাদের যোগ করুন। তাই, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] যদি \(\sqrt a+\sqrt b\) যোগ করার সময় \(\sqrt a\) বা \(\sqrt b\) মানগুলি পাওয়া না যায়, তাহলে এই ধরনের অভিব্যক্তিটি আর রূপান্তরিত হয় না এবং এটি যেমন আছে তেমনই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যোগফল \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) আমরা খুঁজে পেতে পারি \(\sqrt(49)\) - এটি \(7\), কিন্তু \(\sqrt 2\) হতে পারে না যে কোন উপায়ে রূপান্তরিত, সেজন্য \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). উপরন্তু, এই অভিব্যক্তি, দুর্ভাগ্যবশত, কোন উপায়ে সরলীকৃত করা যাবে না.\(\bullet\) বর্গমূলের গুণফল/ভাগফল গুণফল/ভাগফলের বর্গমূলের সমান, যেমন \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (যদি সমতার উভয় অংশই বোধগম্য হয়)
উদাহরণ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, বৃহৎ সংখ্যার বর্গমূলগুলিকে ফ্যাক্টর করে খুঁজে বের করা সুবিধাজনক।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। খুঁজুন \(\sqrt(44100)\)। যেহেতু \(44100:100=441\), তারপর \(44100=100\cdot 441\)। বিভাজ্যতার মাপকাঠি অনুসারে, সংখ্যা \(441\) \(9\) দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু এটির অঙ্কের যোগফল 9 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য), তাই, \(441:9=49\) , অর্থাৎ, \(441=9\ cdot 49\)।
এইভাবে, আমরা পেয়েছি: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) এক্সপ্রেশন \(5\sqrt2\) (অভিব্যক্তিটির জন্য সংক্ষিপ্ত \(5\cdot \sqrt2\)) এর উদাহরণ ব্যবহার করে বর্গমূল চিহ্নের নীচে সংখ্যাগুলি কীভাবে লিখতে হয় তা দেখাই। যেহেতু \(5=\sqrt(25)\), তারপর \ এছাড়াও মনে রাখবেন যে, উদাহরণস্বরূপ,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)।

কেন এমন হল? উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক 1)। আপনি ইতিমধ্যেই বুঝতে পেরেছেন, আমরা কোনভাবে সংখ্যাটিকে রূপান্তর করতে পারি না \(\sqrt2\)। কল্পনা করুন যে \(\sqrt2\) কিছু সংখ্যা \(a\)। তদনুসারে, \(\sqrt2+3\sqrt2\) রাশিটি \(a+3a\) (একটি সংখ্যা \(a\) এবং একই সংখ্যার আরও তিনটি \(a\) ) ছাড়া আর কিছুই নয়। এবং আমরা জানি যে এটি চারটি সংখ্যার সমান \(a\), অর্থাৎ, \(4\sqrt2\)।

ঘটনা 4।
\(\bullet\) কিছু সংখ্যার মান খুঁজে বের করার সময় মূলের (আমূল) চিহ্ন \(\sqrt () \\) থেকে পরিত্রাণ পাওয়া সম্ভব না হলে এটি প্রায়শই বলা হয় "মূল বের করা যায় না"। উদাহরণস্বরূপ, আপনি \(16\) সংখ্যাটিকে রুট করতে পারেন কারণ \(16=4^2\), তাই \(\sqrt(16)=4\)। কিন্তু সংখ্যা \(3\) থেকে মূল বের করা, অর্থাৎ \(\sqrt3\) খুঁজে বের করা অসম্ভব, কারণ বর্গ দিয়ে \(3\) দেবে এমন কোন সংখ্যা নেই।
এই ধরনের সংখ্যা (বা এই ধরনের সংখ্যা সহ অভিব্যক্তি) অযৌক্তিক। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)এবং তাই অযৌক্তিক
এছাড়াও অমূলদ সংখ্যাগুলি \(\pi\) (সংখ্যা "pi", প্রায় \(3,14\) এর সমান), \(e\) (এই সংখ্যাটিকে অয়লার সংখ্যা বলা হয়, প্রায় \(2 এর সমান) ,7\)) ইত্যাদি।
\(\bullet\) অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে কোন সংখ্যাই হয় মূলদ বা অমূলদ হবে। এবং সমস্ত মূলদ এবং সমস্ত অমূলদ সংখ্যা মিলে একটি সেট গঠন করে যাকে বলা হয় বাস্তব (বাস্তব) সংখ্যার সেট।এই সেটটিকে \(\mathbb(R)\) অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
এর মানে হল যে সমস্ত সংখ্যা আমরা বর্তমানে জানি বাস্তব সংখ্যা বলা হয়.

ঘটনা 5।
\(\bullet\) একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাস \(a\) একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা \(|a|\) বিন্দু থেকে \(0\) পর্যন্ত দূরত্বের সমান লাইন উদাহরণস্বরূপ, \(|3|\) এবং \(|-3|\) 3 এর সমান, যেহেতু বিন্দু থেকে দূরত্ব \(3\) এবং \(-3\) থেকে \(0\) একই এবং সমান \(3 \)।
\(\bullet\) যদি \(a\) একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=a\)।
উদাহরণ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)। \(\bullet\) যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=-a\)।
উদাহরণ: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
তারা বলে যে নেতিবাচক সংখ্যার জন্য, মডিউলটি বিয়োগ "খায়" এবং ধনাত্মক সংখ্যা, সেইসাথে সংখ্যা \(0\) , মডিউলটি অপরিবর্তিত থাকে।
কিন্তুএই নিয়ম শুধুমাত্র সংখ্যা প্রযোজ্য. আপনার যদি মডিউল চিহ্নের নীচে একটি অজানা \(x\) (বা অন্য কিছু অজানা) থাকে, উদাহরণস্বরূপ, \(|x|\), যার সম্পর্কে আমরা জানি না যে এটি ধনাত্মক, শূন্যের সমান নাকি নেতিবাচক, তাহলে আমরা পারি না মডিউল পরিত্রাণ পেতে. এই ক্ষেত্রে, এই অভিব্যক্তিটি তাই থাকে: \(|x|\)। \(\bullet\) নিম্নলিখিত সূত্র ধরে: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( provide ) a\geqslant 0\]নিম্নলিখিত ভুল প্রায়ই করা হয়: তারা বলে যে \(\sqrt(a^2)\) এবং \((\sqrt a)^2\) একই জিনিস। এটি তখনই সত্য যখন \(a\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হয়। কিন্তু যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি সত্য নয়। এই ধরনের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যথেষ্ট। \(a\) এর পরিবর্তে \(-1\) সংখ্যাটি নেওয়া যাক। তারপর \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\), কিন্তু অভিব্যক্তি \((\sqrt (-1))^2\) মোটেই বিদ্যমান নেই (কারণ এটি অসম্ভব রুট চিহ্নের নিচে নেতিবাচক সংখ্যা রাখুন!)
অতএব, আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) এর সমান নয়!উদাহরণ: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), কারণ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\)। \(\bullet\) যেহেতু \(\sqrt(a^2)=|a|\), তারপর \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (অভিব্যক্তি \(2n\) একটি জোড় সংখ্যা নির্দেশ করে)
অর্থাৎ, কিছু ডিগ্রীতে থাকা সংখ্যা থেকে মূল বের করার সময় এই ডিগ্রী অর্ধেক হয়ে যায়।
উদাহরণ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (উল্লেখ্য যে যদি মডিউল সেট করা না থাকে, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে সংখ্যাটির মূলটি \(-25) এর সমান \) ; কিন্তু আমরা মনে রাখি যে, মূলের সংজ্ঞা অনুসারে, এটি হতে পারে না: মূল বের করার সময়, আমাদের সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য পাওয়া উচিত)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (যেহেতু একটি জোড় ঘাতের যেকোনো সংখ্যা অ-ঋণাত্মক)

ঘটনা 6।
কিভাবে দুটি বর্গমূল তুলনা?
\(\bullet\) বর্গমূলের জন্য সত্য: যদি \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aউদাহরণ:
1) তুলনা করুন \(\sqrt(50)\) এবং \(6\sqrt2\)। প্রথমত, আমরা দ্বিতীয় অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করি \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). এইভাবে, যেহেতু \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) কোন পূর্ণসংখ্যার মধ্যে \(\sqrt(50)\)?
যেহেতু \(\sqrt(49)=7\), \(\sqrt(64)=8\), এবং \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) তুলনা করুন \(\sqrt 2-1\) এবং \(0,5\)। ধরুন \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \\big| +1\quad \text((উভয় পাশে একটি যোগ করুন))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((বর্গক্ষেত্র উভয় অংশ))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(সারিবদ্ধ)\]আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমরা একটি ভুল বৈষম্য পেয়েছি। অতএব, আমাদের অনুমান ভুল ছিল এবং \(\sqrt 2-1<0,5\) .
মনে রাখবেন যে অসমতার উভয় পাশে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না। একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা অসমতার উভয় অংশকে গুণ/ভাগ করলেও এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না, কিন্তু একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি বিপরীত হয়!
একটি সমীকরণ/বৈষম্যের উভয় দিকই বর্গ করা যাবে শুধুমাত্র যদি উভয় পক্ষই অ-ঋণাত্মক হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে অসমতায়, আপনি উভয় পক্ষকে বর্গ করতে পারেন, অসমতায় \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\বুলেট\) নোট করুন যে \[\শুরু(সারিবদ্ধ) &\sqrt 2\আনুমানিক 1,4\\ &\sqrt 3\আনুমানিক 1,7 \শেষ(সারিবদ্ধ)\]সংখ্যার তুলনা করার সময় এই সংখ্যাগুলির আনুমানিক অর্থ জানা আপনাকে সাহায্য করবে! \(\bullet\) বর্গের সারণীতে নেই এমন কিছু বড় সংখ্যা থেকে মূল (যদি বের করা হয়) বের করার জন্য, আপনাকে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে এটি কোন "শত" এর মধ্যে, তারপর কোন "দশ" এর মধ্যে, এবং তারপর এই সংখ্যার শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করুন। আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই কিভাবে এটি কাজ করে।
নিন \(\sqrt(28224)\)। আমরা জানি যে \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ইত্যাদি। মনে রাখবেন \(28224\) \(10\,000\) এবং \(40\,000\) এর মধ্যে। অতএব, \(\sqrt(28224)\) হল \(100\) এবং \(200\) এর মধ্যে।
এখন আসুন নির্ধারণ করি কোন "দশ" এর মধ্যে আমাদের সংখ্যা (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, \(120\) এবং \(130\) এর মধ্যে)। আমরা বর্গক্ষেত্রের সারণী থেকেও জানি যে \(11^2=121\), \(12^2=144\) ইত্যাদি, তারপর \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \(28224\) \(160^2\) এবং \(170^2\) এর মধ্যে রয়েছে। অতএব, সংখ্যা \(\sqrt(28224)\) \(160\) এবং \(170\) এর মধ্যে।
শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করার চেষ্টা করা যাক. আসুন মনে রাখি কোন একক-সংখ্যা সংখ্যা যখন বর্গ করার শেষে \ (4 \) দেয়? এগুলি হল \(2^2\) এবং \(8^2\)। অতএব, \(\sqrt(28224)\) 2 বা 8 এর মধ্যে শেষ হবে। আসুন এটি পরীক্ষা করি। খুঁজুন \(162^2\) এবং \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)।
তাই \(\sqrt(28224)=168\)। ভয়লা !

গণিতে পরীক্ষাটি পর্যাপ্তভাবে সমাধান করার জন্য, প্রথমত, তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করা প্রয়োজন, যা অসংখ্য উপপাদ্য, সূত্র, অ্যালগরিদম ইত্যাদির পরিচয় দেয়। প্রথম নজরে মনে হতে পারে যে এটি বেশ সহজ। যাইহোক, এমন একটি উত্স সন্ধান করা যেখানে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য তত্ত্বটি যেকোন স্তরের প্রশিক্ষণ সহ শিক্ষার্থীদের জন্য সহজে এবং বোধগম্যভাবে উপস্থাপন করা হয়, আসলে একটি বরং কঠিন কাজ। স্কুলের পাঠ্যবই সবসময় হাতে রাখা যায় না। এবং গণিতে পরীক্ষার প্রাথমিক সূত্রগুলি খুঁজে পাওয়া এমনকি ইন্টারনেটেও কঠিন হতে পারে।

গণিতে তত্ত্ব অধ্যয়ন করা কেন এত গুরুত্বপূর্ণ, শুধুমাত্র যারা পরীক্ষা দেয় তাদের জন্য নয়?

1. কারণ এটি আপনার দিগন্তকে প্রশস্ত করে. গণিতের তাত্ত্বিক উপাদানের অধ্যয়ন যে কেউ বিশ্বের জ্ঞান সম্পর্কিত বিস্তৃত প্রশ্নের উত্তর পেতে চায় তার জন্য দরকারী। প্রকৃতির সবকিছুই সুশৃঙ্খল এবং সুস্পষ্ট যুক্তিযুক্ত। এটি বিজ্ঞানে প্রতিফলিত হয়, যার মাধ্যমে বিশ্বকে বোঝা সম্ভব।
2. কারণ এতে বুদ্ধির বিকাশ ঘটে. গণিতে পরীক্ষার জন্য রেফারেন্স উপকরণগুলি অধ্যয়ন করার পাশাপাশি বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য, একজন ব্যক্তি যুক্তিযুক্তভাবে চিন্তা করতে এবং যুক্তি দিতে, চিন্তাগুলি সঠিকভাবে এবং স্পষ্টভাবে গঠন করতে শেখে। তিনি বিশ্লেষণ, সাধারণীকরণ, সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করেন।

আমরা আপনাকে শিক্ষাগত উপকরণগুলির পদ্ধতিগতকরণ এবং উপস্থাপনার জন্য আমাদের পদ্ধতির সমস্ত সুবিধাগুলি ব্যক্তিগতভাবে মূল্যায়ন করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

একটি সংখ্যার বর্গমূল এক্সএকটি নম্বর কল ক, যা নিজে নিজে গুণ করার প্রক্রিয়ায় ( A*A) নম্বর দিতে পারেন এক্স.
সেগুলো. A * A = A 2 = X, এবং √X = A.

বর্গমূলের উপরে ( √x), অন্যান্য সংখ্যার মতো, আপনি বিয়োগ এবং যোগের মতো গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন। বিয়োগ এবং শিকড় যোগ করতে, তাদের অবশ্যই এই ক্রিয়াগুলির সাথে সম্পর্কিত চিহ্ন ব্যবহার করে সংযুক্ত করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ √x- √y ).
এবং তারপরে শিকড়গুলিকে তাদের সহজতম আকারে আনুন - যদি তাদের মধ্যে একই রকম থাকে তবে আপনাকে একটি কাস্ট করতে হবে। এটির মধ্যে রয়েছে যে অনুরূপ পদগুলির সহগগুলি সংশ্লিষ্ট পদগুলির চিহ্নগুলির সাথে নেওয়া হয়, তারপরে সেগুলি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে এবং সাধারণ মূলটি গুণক বন্ধনীর বাইরে প্রদর্শিত হয়। আমরা যে সহগটি পেয়েছি তা স্বাভাবিক নিয়ম অনুসারে সরলীকৃত।

ধাপ 1. বর্গমূল বের করা

প্রথমত, বর্গমূল যোগ করতে, আপনাকে প্রথমে এই শিকড়গুলি বের করতে হবে। এটি করা যেতে পারে যদি মূল চিহ্নের নীচের সংখ্যাগুলি নিখুঁত বর্গ হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত অভিব্যক্তি নিন √4 + √9 . প্রথম সংখ্যা 4 সংখ্যার বর্গ 2 . দ্বিতীয় সংখ্যা 9 সংখ্যার বর্গ 3 . সুতরাং, নিম্নলিখিত সমতা প্রাপ্ত করা যেতে পারে: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
সবকিছু, উদাহরণ সমাধান করা হয়. কিন্তু এটা সবসময় সেভাবে ঘটে না।

ধাপ 2. মূলের নিচ থেকে সংখ্যার গুণক বের করা

যদি মূল চিহ্নের নীচে কোনও পূর্ণ বর্গ না থাকে, আপনি মূল চিহ্নের নীচে থেকে সংখ্যাটির গুণক বের করার চেষ্টা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি নিন √24 + √54 .

আসুন সংখ্যাগুলি ফ্যাক্টরাইজ করি:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

মধ্যে 24 আমাদের একটি গুণক আছে 4 , এটি বর্গমূল চিহ্নের নীচে থেকে নেওয়া যেতে পারে। মধ্যে 54 আমাদের একটি গুণক আছে 9 .

আমরা সমতা পাই:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

এই উদাহরণটি বিবেচনা করে, আমরা মূল চিহ্নের নীচে থেকে ফ্যাক্টরটি অপসারণ পাই, যার ফলে প্রদত্ত অভিব্যক্তিটি সরল হয়।

ধাপ 3. হর হ্রাস করা

নিম্নলিখিত পরিস্থিতি বিবেচনা করুন: দুটি বর্গমূলের যোগফল একটি ভগ্নাংশের হর, উদাহরণস্বরূপ, A / (√a + √b).
এখন আমরা "হরের অযৌক্তিকতা থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার" কাজের সম্মুখীন হচ্ছি।
আসুন নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করি: রাশি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করুন √a - √b.

আমরা এখন হর-এ সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র পাই:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

একইভাবে, যদি হরটিতে মূলের পার্থক্য থাকে: √a - √b, ভগ্নাংশের লব এবং হরকে রাশি দ্বারা গুণ করা হয় √a + √b.

উদাহরণ হিসাবে একটি ভগ্নাংশ নেওয়া যাক:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

জটিল হর হ্রাসের একটি উদাহরণ

এখন আমরা হর এর অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ পাওয়ার একটি বরং জটিল উদাহরণ বিবেচনা করব।

উদাহরণ হিসাবে একটি ভগ্নাংশ নেওয়া যাক: 12 / (√2 + √3 + √5) .
আপনাকে এর লব এবং হর নিতে হবে এবং রাশি দ্বারা গুণ করতে হবে √2 + √3 - √5 .

আমরা পেতে:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

ধাপ 4. ক্যালকুলেটরে আনুমানিক মান গণনা করুন

যদি আপনার শুধুমাত্র একটি আনুমানিক মান প্রয়োজন হয়, তাহলে এটি বর্গমূলের মান গণনা করে একটি ক্যালকুলেটরে করা যেতে পারে। পৃথকভাবে, প্রতিটি সংখ্যার জন্য, মান গণনা করা হয় এবং প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে রেকর্ড করা হয়, যা দশমিক স্থানের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। আরও, সমস্ত প্রয়োজনীয় ক্রিয়াকলাপগুলি সাধারণ সংখ্যার মতোই সঞ্চালিত হয়।

আনুমানিক গণনার উদাহরণ

এই অভিব্যক্তির আনুমানিক মান গণনা করা প্রয়োজন √7 + √5 .

ফলস্বরূপ, আমরা পাই:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: কোনো অবস্থাতেই বর্গমূলকে মৌলিক সংখ্যা হিসেবে যোগ করা উচিত নয়, এটি সম্পূর্ণরূপে অগ্রহণযোগ্য। অর্থাৎ পাঁচ ও তিনের বর্গমূল যোগ করলে আমরা আটের বর্গমূল পাব না।

দরকারী পরামর্শ: আপনি যদি একটি সংখ্যাকে ফ্যাক্টরাইজ করার সিদ্ধান্ত নেন, মূল চিহ্নের নিচ থেকে একটি বর্গ বের করার জন্য, আপনাকে একটি বিপরীত চেক করতে হবে, অর্থাৎ, গণনার ফলে যে সমস্ত ফ্যাক্টরগুলি হয়েছে, এবং এর চূড়ান্ত ফলাফল গাণিতিক গণনা আমাদের প্রাথমিকভাবে দেওয়া সংখ্যা হওয়া উচিত।

তত্ত্ব

সূচনামূলক গণিত কোর্সে মূলের যোগ ও বিয়োগ অধ্যয়ন করা হয়। আমরা ধরে নেব যে পাঠক ডিগ্রির ধারণাটি জানেন।

সংজ্ঞা 1

একটি বাস্তব সংখ্যা $a$ এর $n$ মূল হল একটি বাস্তব সংখ্যা $b$ যার $n$th শক্তি সমান $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ এখানে $a$ - রুট এক্সপ্রেশন, $n$ - রুট এক্সপোনেন্ট, $b$ - রুট মান। মূল চিহ্নটিকে র্যাডিকাল বলা হয়।

মূল নিষ্কাশনের বিপরীত হল সূচক।

পাটিগণিত শিকড় সহ মৌলিক ক্রিয়াকলাপ:

চিত্র 1. গাণিতিক মূল সহ মৌলিক ক্রিয়াকলাপ। Author24 - শিক্ষার্থীদের কাগজপত্রের অনলাইন বিনিময়

আমরা দেখতে পাচ্ছি, তালিকাভুক্ত ক্রিয়াগুলিতে যোগ এবং বিয়োগের জন্য কোনও সূত্র নেই। শিকড় সহ এই ক্রিয়াগুলি রূপান্তর আকারে সঞ্চালিত হয়। এই রূপান্তরের জন্য, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করা উচিত:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b)।$

এটা লক্ষণীয় যে যোগ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপগুলি অযৌক্তিক অভিব্যক্তির উদাহরণগুলিতে পাওয়া যায়: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

উদাহরণ

আসুন উদাহরণ দিয়ে বিবেচনা করি যখন হর-এ অযৌক্তিকতার "ধ্বংস" প্রযোজ্য। যখন, রূপান্তরের ফলস্বরূপ, লব এবং হর উভয় ক্ষেত্রেই একটি অযৌক্তিক অভিব্যক্তি পাওয়া যায়, তখন হর-এর অযৌক্তিকতাকে "ধ্বংস" করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6) )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

এই উদাহরণে, আমরা একটি ভগ্নাংশের লব এবং হরকে হর এর সংযোজন দ্বারা গুণ করেছি। এইভাবে, বর্গের সূত্রের পার্থক্য দ্বারা হর রূপান্তরিত হয়।

একটি সংখ্যার বর্গমূল নিষ্কাশন করা একমাত্র অপারেশন নয় যা এই গাণিতিক ঘটনাটি দিয়ে করা যেতে পারে। সাধারণ সংখ্যার মতোই বর্গমূল যোগ ও বিয়োগ করা যায়।

বর্গমূল যোগ ও বিয়োগ করার নিয়ম

বর্গমূল যোগ এবং বিয়োগের মতো ক্রিয়াগুলি কেবল তখনই সম্ভব যদি মূল অভিব্যক্তি একই হয়।

উদাহরণ 1

আপনি এক্সপ্রেশন যোগ বা বিয়োগ করতে পারেন 2 3 এবং 6 3, কিন্তু 5 6 নয় এবং 9 4। যদি অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা সম্ভব হয় এবং একই মূল সংখ্যা দিয়ে শিকড়ে নিয়ে আসে, তাহলে সরলীকরণ করুন এবং তারপর যোগ বা বিয়োগ করুন।

রুট অ্যাকশন: মৌলিক

6 50 - 2 8 + 5 12

অ্যাকশন অ্যালগরিদম:

1. মূল অভিব্যক্তি সরলীকরণ. এটি করার জন্য, মূল অভিব্যক্তিটিকে 2টি ফ্যাক্টরে বিভক্ত করা প্রয়োজন, যার মধ্যে একটি হল একটি বর্গ সংখ্যা (যে সংখ্যা থেকে পুরো বর্গমূলটি বের করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, 25 বা 9)।
2. তারপর আপনাকে বর্গ সংখ্যার রুট নিতে হবেএবং মূল চিহ্নের আগে ফলিত মান লিখুন। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি মূল চিহ্নের নীচে প্রবেশ করানো হয়েছে।
3. সরলীকরণ প্রক্রিয়ার পরে, একই র্যাডিকাল অভিব্যক্তি সহ শিকড়গুলিকে আন্ডারলাইন করা প্রয়োজন - শুধুমাত্র সেগুলি যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে।
4. একই র্যাডিকেল অভিব্যক্তি সহ শিকড়গুলির জন্য, মূল চিহ্নের পূর্বে থাকা কারণগুলি যোগ বা বিয়োগ করা প্রয়োজন। মূল অভিব্যক্তি অপরিবর্তিত থাকে। মূল সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করবেন না!

টিপ 1

যদি আপনার কাছে অনেকগুলি অভিন্ন র‌্যাডিকাল অভিব্যক্তি সহ একটি উদাহরণ থাকে, তাহলে গণনা প্রক্রিয়াটি সহজ করার জন্য একক, দ্বিগুণ এবং ট্রিপল লাইন দিয়ে এই জাতীয় অভিব্যক্তিগুলিকে আন্ডারলাইন করুন।

উদাহরণ 3

এই উদাহরণ চেষ্টা করা যাক:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2। প্রথমে আপনাকে 50 কে 2টি গুণনীয়ক 25 এবং 2 তে পচতে হবে, তারপর 25 এর রুট নিতে হবে, যা 5, এবং মূলের নিচ থেকে 5টি বের করতে হবে। এর পরে, আপনাকে 5 কে 6 দ্বারা গুন করতে হবে (মূলে গুণক) এবং 30 2 পেতে হবে।

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2। প্রথমে, আপনাকে 8টি 2টি ফ্যাক্টরগুলিতে পচতে হবে: 4 এবং 2। তারপর, 4 থেকে, মূলটি বের করুন, যা 2 এর সমান, এবং মূলের নীচে থেকে 2টি বের করুন। এর পরে, আপনাকে 2 কে 2 দ্বারা গুণ করতে হবে (মূলের গুণনীয়ক) এবং 4 2 পেতে হবে।

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3। প্রথমে, আপনাকে 12 টিকে 2টি ফ্যাক্টরে বিভক্ত করতে হবে: 4 এবং 3। তারপর 4 থেকে মূলটি বের করুন, যা 2, এবং এটিকে মূলের নিচ থেকে বের করুন। এর পরে, আপনাকে 2 কে 5 দ্বারা গুণ করতে হবে (মূলের গুণনীয়ক) এবং 10 3 পেতে হবে।

সরলীকরণ ফলাফল: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

ফলস্বরূপ, আমরা এই উদাহরণে কতগুলি অভিন্ন র্যাডিকেল অভিব্যক্তি রয়েছে তা দেখেছি। এখন অন্যান্য উদাহরণ দিয়ে অনুশীলন করা যাক।

উদাহরণ 4

• সরলীকরণ (45)। আমরা ফ্যাক্টরাইজ করি 45: (45) = (9 × 5);
• আমরা মূলের নিচ থেকে 3 বের করি (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• আমরা মূলে গুণনীয়ক যোগ করি: 3 5 + 4 5 = 7 5।

উদাহরণ 5

6 40 - 3 10 + 5:

• সরলীকরণ 6 40। আমরা 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• আমরা মূলের নিচ থেকে 2 বের করি (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• আমরা মূলের সামনে থাকা ফ্যাক্টরগুলিকে গুণ করি: 12 10;
• আমরা একটি সরলীকৃত আকারে অভিব্যক্তি লিখি: 12 10 - 3 10 + 5;
• যেহেতু প্রথম দুটি পদের একই মূল সংখ্যা রয়েছে, তাই আমরা তাদের বিয়োগ করতে পারি: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5।

উদাহরণ 6

আমরা দেখতে পাচ্ছি, র্যাডিকাল সংখ্যাগুলিকে সরলীকরণ করা সম্ভব নয়, তাই, উদাহরণে, আমরা একই মৌলিক সংখ্যার সদস্যদের সন্ধান করি, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ (যোগ, বিয়োগ, ইত্যাদি) সঞ্চালন করি এবং ফলাফল লিখি:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

পরামর্শ:

• যোগ বা বিয়োগ করার আগে, মৌলিক অভিব্যক্তিগুলিকে (যদি সম্ভব হয়) সরলীকরণ করা অপরিহার্য।
• বিভিন্ন রুট এক্সপ্রেশনের সাথে শিকড় যোগ করা এবং বিয়োগ করা কঠোরভাবে নিষিদ্ধ।
• একটি পূর্ণসংখ্যা বা বর্গমূল যোগ বা বিয়োগ করবেন না: 3 + (2 x) 1 / 2।
• ভগ্নাংশের সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করার সময়, আপনাকে একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা প্রতিটি হর দ্বারা বিভাজ্য, তারপর ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ আনুন, তারপর লব যোগ করুন এবং হরগুলি অপরিবর্তিত রাখুন।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

হ্যালো kitties! শেষবার আমরা শিকড়গুলি কী তা বিশদভাবে বিশ্লেষণ করেছি (যদি আপনার মনে না থাকে তবে আমি পড়ার পরামর্শ দিই)। সেই পাঠের মূল উপসংহার: শিকড়ের শুধুমাত্র একটি সার্বজনীন সংজ্ঞা আছে, যা আপনাকে জানতে হবে। বাকিটা ফালতু এবং সময় নষ্ট।

আজ আমরা আরও এগিয়ে যাই। আমরা শিকড়কে গুণ করতে শিখব, আমরা গুণনের সাথে যুক্ত কিছু সমস্যা অধ্যয়ন করব (যদি এই সমস্যাগুলি সমাধান না করা হয়, তবে তারা পরীক্ষায় মারাত্মক হতে পারে) এবং আমরা সঠিকভাবে অনুশীলন করব। তাই পপকর্ন স্টক করুন, নিজেকে আরামদায়ক করুন - এবং আমরা শুরু করব। :)

আপনি এখনও ধূমপান করেননি, তাই না?

পাঠটি বেশ বড় হয়ে উঠেছে, তাই আমি এটি দুটি ভাগে বিভক্ত করেছি:

1. প্রথমত, আমরা গুণের নিয়মগুলি দেখব। ক্যাপটি ইঙ্গিত করছে বলে মনে হচ্ছে: এটি যখন দুটি শিকড় থাকে, তাদের মধ্যে একটি "গুণ" চিহ্ন থাকে - এবং আমরা এটির সাথে কিছু করতে চাই।
2. তারপরে আমরা বিপরীত পরিস্থিতি বিশ্লেষণ করব: একটি বড় মূল রয়েছে এবং আমরা এটিকে আরও সহজ উপায়ে দুটি শিকড়ের পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করতে অধৈর্য ছিলাম। কি ভয়ের সাথে এটি প্রয়োজনীয় একটি পৃথক প্রশ্ন। আমরা শুধুমাত্র অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করব।

যারা সরাসরি পার্ট 2 এ যাওয়ার জন্য অপেক্ষা করতে পারছেন না তাদের জন্য আপনাকে স্বাগতম। এর ক্রমানুসারে বাকি সঙ্গে শুরু করা যাক.

মৌলিক গুণের নিয়ম

এর সহজতম - ক্লাসিক্যাল বর্গমূল দিয়ে শুরু করা যাক। $\sqrt(a)$ এবং $\sqrt(b)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তাদের জন্য, সবকিছু সাধারণত পরিষ্কার:

গুণের নিয়ম। একটি বর্গমূলকে অন্য দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে কেবল তাদের র্যাডিকাল অভিব্যক্তিকে গুণ করতে হবে এবং সাধারণ র্যাডিকেলের অধীনে ফলাফলটি লিখতে হবে:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

ডান বা বাম দিকের সংখ্যাগুলিতে কোনও অতিরিক্ত বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না: যদি গুণক শিকড় বিদ্যমান থাকে, তবে পণ্যটিও বিদ্যমান।

উদাহরণ। একবারে সংখ্যা সহ চারটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই নিয়মের মূল অর্থ হল অযৌক্তিক অভিব্যক্তিকে সরল করা। এবং যদি প্রথম উদাহরণে আমরা কোন নতুন নিয়ম ছাড়াই 25 এবং 4 থেকে শিকড় বের করতাম, তাহলে টিন শুরু হয়: $\sqrt(32)$ এবং $\sqrt(2)$ নিজেদের দ্বারা গণনা করা হয় না, কিন্তু তাদের গুণফলটি একটি সঠিক বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়, তাই এর মূল একটি মূলদ সংখ্যার সমান.

আলাদাভাবে, আমি শেষ লাইনটি নোট করতে চাই। সেখানে, উভয় মৌলিক অভিব্যক্তি ভগ্নাংশ। পণ্যের জন্য ধন্যবাদ, অনেক কারণ বাতিল হয়ে যায় এবং পুরো অভিব্যক্তিটি পর্যাপ্ত সংখ্যায় পরিণত হয়।

অবশ্যই, সবকিছু সবসময় এত সুন্দর হবে না। কখনও কখনও শিকড়ের নীচে সম্পূর্ণ বাজে জিনিস থাকবে - এটির সাথে কী করতে হবে এবং গুণনের পরে কীভাবে রূপান্তরিত হবে তা স্পষ্ট নয়। একটু পরে, আপনি যখন অযৌক্তিক সমীকরণ এবং অসমতা অধ্যয়ন শুরু করবেন, তখন সাধারণভাবে সব ধরণের ভেরিয়েবল এবং ফাংশন থাকবে। এবং প্রায়শই, সমস্যাগুলির কম্পাইলাররা কেবলমাত্র এই সত্যটির উপর নির্ভর করে যে আপনি কিছু চুক্তির শর্তাবলী বা কারণগুলি পাবেন, যার পরে কাজটি ব্যাপকভাবে সরলীকৃত হবে।

উপরন্তু, এটা ঠিক দুটি শিকড় গুণ করা প্রয়োজন হয় না। আপনি একবারে তিন গুণ করতে পারেন, চার - হ্যাঁ এমনকি দশ! এই নিয়ম পরিবর্তন হবে না. এক নজর দেখে নাও:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এবং আবার দ্বিতীয় উদাহরণ একটি ছোট মন্তব্য. আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তৃতীয় গুণকটিতে, মূলের নীচে একটি দশমিক ভগ্নাংশ রয়েছে - গণনার প্রক্রিয়াতে, আমরা এটিকে একটি নিয়মিত দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, যার পরে সবকিছু সহজেই হ্রাস পায়। তাই: আমি যেকোন অযৌক্তিক অভিব্যক্তিতে দশমিক ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার সুপারিশ করছি (অর্থাৎ অন্তত একটি র্যাডিকাল আইকন রয়েছে)। এটি ভবিষ্যতে আপনার অনেক সময় এবং স্নায়ু সংরক্ষণ করবে।

কিন্তু এটি একটি গীতিমূলক ডিগ্রেশন ছিল। এখন আরো একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক - যখন মূল সূচকটিতে একটি নির্বিচারী সংখ্যা $n$ থাকে, এবং শুধুমাত্র "শাস্ত্রীয়" দুটি নয়।

একটি নির্বিচারে নির্দেশকের ক্ষেত্রে

সুতরাং, আমরা বর্গমূল বের করেছি। এবং কিউব সঙ্গে কি করতে হবে? অথবা সাধারণভাবে নির্বিচারে ডিগ্রী $n$ এর শিকড় দিয়ে? হ্যাঁ, সবকিছু একই। নিয়ম একই থাকে:

ডিগ্রী $n$ এর দুটি শিকড়কে গুণ করার জন্য, তাদের র্যাডিকাল অভিব্যক্তিকে গুণ করা যথেষ্ট, যার পরে ফলাফলটি একটি র্যাডিকেলের অধীনে লেখা হয়।

সাধারণভাবে, কিছুই জটিল নয়। যতক্ষণ না আয়তনের হিসাব বেশি হতে পারে। আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ। পণ্য গণনা করুন:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এবং আবার মনোযোগ দ্বিতীয় অভিব্যক্তি. আমরা কিউব শিকড়কে গুণ করি, দশমিক ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই, এবং ফলস্বরূপ আমরা হর-এ 625 এবং 25 সংখ্যার গুণফল পাই। এটি একটি বরং বড় সংখ্যা - ব্যক্তিগতভাবে, আমি অবিলম্বে গণনা করব না এটি কী সমান। প্রতি.

অতএব, আমরা সহজভাবে লব এবং হর-এ সঠিক ঘনকটি নির্বাচন করেছি এবং তারপর $n$th ডিগ্রির মূলের মূল বৈশিষ্ট্যগুলির একটি (বা, যদি আপনি চান, সংজ্ঞা) ব্যবহার করেছি:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right| \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই ধরনের "স্ক্যাম" পরীক্ষা বা পরীক্ষায় আপনার অনেক সময় বাঁচাতে পারে, তাই মনে রাখবেন:

আমূল অভিব্যক্তিতে সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না। প্রথমত, পরীক্ষা করে দেখুন: কোন এক্সপ্রেশনের সঠিক মাত্রা সেখানে "এনক্রিপ্ট করা" হলে কী হবে?

এই মন্তব্যের সমস্ত স্পষ্টতার সাথে, আমাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে বেশিরভাগ অপ্রস্তুত ছাত্ররা সঠিক ডিগ্রী দেখতে পায় না। পরিবর্তে, তারা সবকিছুকে এগিয়ে নিয়ে যায়, এবং তারপরে আশ্চর্য হয়: কেন তারা এমন নৃশংস সংখ্যা পেল? :)

যাইহোক, আমরা এখন যা অধ্যয়ন করব তার তুলনায় এগুলি সবই শিশুর খেলা।

বিভিন্ন সূচক সহ মূলের গুণন

ঠিক আছে, এখন আমরা একই সূচক দিয়ে মূলকে গুণ করতে পারি। স্কোর ভিন্ন হলে কি হবে? বলুন, আপনি কিভাবে একটি সাধারণ $\sqrt(2)$ কে $\sqrt(23)$ এর মত কিছু ফালতু দিয়ে গুণ করবেন? এটা এমনকি এটা করা সম্ভব?

হ্যাঁ, অবশ্যই আপনি পারবেন. সবকিছু এই সূত্র অনুযায়ী করা হয়:

মূল গুণের নিয়ম। $\sqrt[n](a)$ কে $\sqrt[p](b)$ দ্বারা গুণ করতে, শুধুমাত্র নিম্নলিখিত রূপান্তরটি করুন:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))\]

যাইহোক, এই সূত্র শুধুমাত্র কাজ করে যদি মৌলবাদী অভিব্যক্তি অ-নেতিবাচক. এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য, যা আমরা একটু পরে ফিরে আসব।

আপাতত, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot (3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছুই জটিল নয়। এখন অ-নেতিবাচকতার প্রয়োজনীয়তা কোথা থেকে এসেছে তা খুঁজে বের করা যাক এবং আমরা এটি লঙ্ঘন করলে কী হবে। :)

কেন মৌলবাদী অভিব্যক্তি অ নেতিবাচক হতে হবে?

অবশ্যই, আপনি স্কুল শিক্ষকদের মতো হয়ে উঠতে পারেন এবং একটি স্মার্ট চেহারা সহ একটি পাঠ্যপুস্তক উদ্ধৃত করতে পারেন:

অ-নেতিবাচকতার প্রয়োজনীয়তা জোড় এবং বিজোড় ডিগ্রির মূলের বিভিন্ন সংজ্ঞার সাথে যুক্ত (যথাক্রমে, তাদের সংজ্ঞার ডোমেনগুলিও আলাদা)।

আচ্ছা, এটা পরিষ্কার হয়ে গেল? ব্যক্তিগতভাবে, যখন আমি 8 ম শ্রেণীতে এই বাজে কথাটি পড়ি, তখন আমি নিজের জন্য এইরকম কিছু বুঝেছিলাম: "অ-নেতিবাচকতার প্রয়োজনীয়তা *#&^@(*#@^#)~%" এর সাথে জড়িত - সংক্ষেপে, আমি তখন বুঝতাম না। :)

তাই এখন আমি স্বাভাবিক ভাবে সবকিছু ব্যাখ্যা করব।

প্রথমে, উপরের গুণের সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে তা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমি আপনাকে মূলের একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তির কথা মনে করিয়ে দিই:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

অন্য কথায়, আমরা নিরাপদে রুট এক্সপ্রেশনকে যেকোনো প্রাকৃতিক শক্তি $k$-এ বাড়াতে পারি - এই ক্ষেত্রে, রুট সূচকটিকে একই শক্তি দিয়ে গুণ করতে হবে। অতএব, আমরা সহজেই যেকোনো শিকড়কে একটি সাধারণ সূচকে কমাতে পারি, যার পরে আমরা গুণ করি। এখানেই গুণন সূত্রটি আসে:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

তবে একটি সমস্যা রয়েছে যা এই সমস্ত সূত্রের প্রয়োগকে মারাত্মকভাবে সীমিত করে। এই সংখ্যা বিবেচনা করুন:

এইমাত্র দেওয়া সূত্র অনুসারে, আমরা যে কোনও ডিগ্রি যোগ করতে পারি। আসুন $k=2$ যোগ করার চেষ্টা করি:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

আমরা সুনির্দিষ্টভাবে বিয়োগটি সরিয়ে দিয়েছি কারণ বর্গক্ষেত্রটি বিয়োগ পোড়ায় (যেমন অন্য যেকোনো জোড় ডিগ্রি)। এবং এখন এর বিপরীত রূপান্তরটি সম্পাদন করা যাক: সূচক এবং ডিগ্রি দুটিকে "কমিয়ে দিন"। সর্বোপরি, যেকোনো সমতা বাম-থেকে-ডান এবং ডান-থেকে-বামে উভয়ই পড়া যায়:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ক); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

কিন্তু তারপর পাগল কিছু ঘটে:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

এটি হতে পারে না কারণ $\sqrt(-5) \lt 0$ এবং $\sqrt(5) \gt 0$। এর মানে হল যে এমনকি শক্তি এবং ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য, আমাদের সূত্র আর কাজ করে না। এর পরে আমাদের কাছে দুটি বিকল্প রয়েছে:

1. প্রাচীরের সাথে লড়াই করা যে গণিত একটি বোকা বিজ্ঞান, যেখানে "কিছু নিয়ম আছে, কিন্তু এটি ভুল";
2. অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা প্রবর্তন করুন যার অধীনে সূত্রটি 100% কাজ করবে।

প্রথম বিকল্পে, আমাদের ক্রমাগত "অ-কার্যকর" কেস ধরতে হবে - এটি কঠিন, দীর্ঘ এবং সাধারণত ফু। অতএব, গণিতবিদরা দ্বিতীয় বিকল্প পছন্দ করেছেন। :)

কিন্তু চিন্তা করবেন না! অনুশীলনে, এই বিধিনিষেধটি কোনওভাবেই গণনাকে প্রভাবিত করে না, কারণ সমস্ত বর্ণিত সমস্যাগুলি কেবলমাত্র একটি বিজোড় ডিগ্রির শিকড়কে উদ্বিগ্ন করে এবং তাদের থেকে বিয়োগগুলি বের করা যেতে পারে।

অতএব, আমরা অন্য একটি নিয়ম প্রণয়ন করি যা শিকড় সহ সমস্ত কর্মের জন্য সাধারণভাবে প্রযোজ্য:

শিকড় গুন করার আগে, নিশ্চিত করুন যে র্যাডিক্যাল এক্সপ্রেশনগুলি অ-নেতিবাচক।

উদাহরণ। $\sqrt(-5)$ নম্বরটিতে, আপনি মূল চিহ্নের নীচে থেকে বিয়োগটি বের করতে পারেন - তাহলে সবকিছু ঠিক হয়ে যাবে:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(সারিবদ্ধ)\]

পার্থক্য অনুভব? যদি আপনি মূলের নীচে একটি বিয়োগ রেখে যান, তবে যখন র্যাডিক্যাল অভিব্যক্তিটি বর্গক্ষেত্র হয়, তখন এটি অদৃশ্য হয়ে যাবে এবং বাজে কথা শুরু হবে। এবং যদি আপনি প্রথমে একটি বিয়োগ বের করেন, তবে আপনি মুখের নীল না হওয়া পর্যন্ত আপনি একটি বর্গক্ষেত্র বাড়াতে / সরাতে পারেন - সংখ্যাটি নেতিবাচক থাকবে। :)

সুতরাং, শিকড়গুলিকে গুণ করার সবচেয়ে সঠিক এবং সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য উপায় হল:

1. র্যাডিকেলের নীচে থেকে সমস্ত বিয়োগ দূর করুন। বিয়োগগুলি শুধুমাত্র বিজোড় গুণের মূলে থাকে - এগুলি মূলের সামনে স্থাপন করা যেতে পারে এবং প্রয়োজনে হ্রাস করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি এই দুটি বিয়োগ থাকে)।
2. আজকের পাঠে উপরে আলোচিত নিয়ম অনুযায়ী গুণন সম্পাদন করুন। যদি শিকড়ের সূচকগুলি একই হয় তবে কেবলমাত্র মূল অভিব্যক্তিগুলিকে গুণ করুন। এবং যদি তারা ভিন্ন হয়, আমরা মন্দ সূত্র ব্যবহার করি \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\]।
3. 3. আমরা ফলাফল এবং ভাল গ্রেড উপভোগ করি। :)

আমরা হব? আমরা কি অনুশীলন করব?

উদাহরণ 1. অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এটি হল সবচেয়ে সহজ বিকল্প: শিকড়গুলির সূচকগুলি একই এবং বিজোড়, সমস্যাটি শুধুমাত্র দ্বিতীয় গুণকের বিয়োগে। আমরা এই বিয়োগ নাফিগ সহ্য করি, যার পরে সবকিছু সহজেই বিবেচনা করা হয়।

উদাহরণ 2. অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( সারিবদ্ধ)\]

এখানে, অনেকেই বিভ্রান্ত হবেন যে আউটপুটটি একটি অমূলদ সংখ্যা হয়ে উঠেছে। হ্যাঁ, এটি ঘটে: আমরা সম্পূর্ণরূপে মূল থেকে পরিত্রাণ পেতে পারিনি, তবে অন্তত আমরা অভিব্যক্তিটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরলীকৃত করেছি।

উদাহরণ 3. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

এই আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই কি. এখানে দুটি পয়েন্ট আছে:

1. মূলের অধীনে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বা ডিগ্রি নয়, কিন্তু পরিবর্তনশীল $a$। প্রথম নজরে, এটি কিছুটা অস্বাভাবিক, তবে বাস্তবে, গাণিতিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আপনাকে প্রায়শই ভেরিয়েবলগুলির সাথে মোকাবিলা করতে হবে।
2. শেষ পর্যন্ত, আমরা র‌্যাডিকাল এক্সপ্রেশনে রুট এক্সপোনেন্ট এবং ডিগ্রী "হ্রাস" করতে পেরেছি। এই বেশ প্রায়ই ঘটে. এবং এর মানে হল যে আপনি যদি মূল সূত্রটি ব্যবহার না করেন তবে গণনাগুলিকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করা সম্ভব ছিল।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি এটি করতে পারেন:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8)) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \ শেষ (সারিবদ্ধ)\]

প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত রূপান্তর শুধুমাত্র দ্বিতীয় র্যাডিকেলের সাথে সঞ্চালিত হয়েছিল। এবং যদি আপনি সমস্ত মধ্যবর্তী ধাপগুলি বিস্তারিতভাবে আঁকেন না, তবে শেষ পর্যন্ত গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পাবে।

প্রকৃতপক্ষে, $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ উদাহরণটি সমাধান করার সময় আমরা ইতিমধ্যে উপরে একটি অনুরূপ কাজের সম্মুখীন হয়েছি। এখন এটি আরও সহজে লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75)। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

ঠিক আছে, আমরা শিকড়ের গুন বের করেছি। এখন বিপরীত অপারেশন বিবেচনা করুন: মূলের নীচে একটি কাজ থাকলে কী করবেন?