লিম এক্স প্রবণতা 3 এক্স. সীমা
প্রাথমিক ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ।
প্রধান প্রাথমিক ফাংশনগুলি হল: পাওয়ার ফাংশন, সূচকীয় ফাংশন, লগারিদমিক ফাংশন, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সেইসাথে একটি বহুপদ এবং একটি মূলদ ফাংশন, যা দুটি বহুপদীর অনুপাত।
প্রাথমিক ফাংশনগুলি সেই ফাংশনগুলিকেও অন্তর্ভুক্ত করে যেগুলি প্রাথমিক থেকে প্রাপ্ত হয় মৌলিক চারটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ করে এবং একটি জটিল ফাংশন গঠন করে।
প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ
| সোজা লাইন- একটি রৈখিক ফাংশনের গ্রাফ y = ax + b. y ফাংশন একঘেয়েভাবে a > 0 এর জন্য বৃদ্ধি পায় এবং a এর জন্য হ্রাস পায়< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
 | পরাবৃত্ত- দ্বিঘাত ত্রিনামিক ফাংশনের গ্রাফ y = ax 2 + bx + c. এটির প্রতিসাম্যের একটি উল্লম্ব অক্ষ রয়েছে। যদি a > 0, ন্যূনতম থাকে যদি a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c = 0 |
 | অধিবৃত্ত- ফাংশনের গ্রাফ। যখন a > O এটি I এবং III কোয়ার্টারে অবস্থিত, যখন a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) বা y - - x(a< 0). |
 | ব্যাখ্যামূলক কাজ. প্রদর্শক(বেস e থেকে সূচকীয় ফাংশন) y = e x. (আরেকটি বানান y = exp(x)) অ্যাসিম্পটোট হল অ্যাবসিসা অক্ষ। |
 | লগারিদমিক ফাংশন y = লগ a x(a > 0) |
 | y = sinx. সাইন ওয়েভ- পিরিয়ড T = 2π সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন |
ফাংশন সীমা।
y=f(x) ফাংশনটিতে একটি সংখ্যা A আছে যেমন x একটি সীমার দিকে থাকে, যদি কোনো সংখ্যার জন্য ε › 0 থাকে তাহলে একটি সংখ্যা δ › 0 যেমন | y – A | ‹ ε যদি |x - a| ‹ δ,
বা lim y = A
ফাংশনের ধারাবাহিকতা।
ফাংশন y=f(x) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে x = a if lim f(x) = f(a), i.e.
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা x = a একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের মানের সমান।
ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করা।
ফাংশনের সীমার উপর মৌলিক উপপাদ্য।
1. একটি ধ্রুবক মানের সীমা এই ধ্রুবক মানের সমান:
2. একটি বীজগণিতীয় যোগফলের সীমা এই ফাংশনের সীমার বীজগণিতীয় যোগফলের সমান:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. বেশ কয়েকটি ফাংশনের গুণফলের সীমা এই ফাংশনের সীমার গুণফলের সমান:
lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. দুটি ফাংশনের ভাগফলের সীমা এই ফাংশনের সীমার ভাগফলের সমান যদি হরটির সীমা 0 এর সমান না হয়:
লিম ------- = ----------
প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা: লিম --------- = 1
দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা: লিম (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করার উদাহরণ।
5.1। উদাহরণ:
যেকোনো সীমা তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত:
1) সুপরিচিত সীমা আইকন।
2) সীমা আইকনের অধীনে এন্ট্রি। এন্ট্রিতে লেখা আছে "এক্স একের দিকে ঝোঁক।" প্রায়শই এটি x হয়, যদিও "x" এর পরিবর্তে অন্য কোনো পরিবর্তনশীল হতে পারে। একটির জায়গায় একেবারে যে কোনো সংখ্যা থাকতে পারে, সেইসাথে অসীম 0 বা .
3) সীমা চিহ্নের অধীনে ফাংশন, এই ক্ষেত্রে।
রেকর্ডিং নিজেই এটির মতো পড়ে: "x হিসাবে একটি ফাংশনের সীমা একতার দিকে ঝোঁক।"
একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন - অভিব্যক্তি "x" মানে কি? চেষ্টা করেএকজনের প্রতি"? অভিব্যক্তি "x" চেষ্টা করেএকটি থেকে"কে নিম্নরূপ বোঝা উচিত: "x" ধারাবাহিকভাবে মান গ্রহণ করে যা একতাকে অসীমভাবে বন্ধ করে এবং কার্যত এর সাথে মিলে যায়।
উপরের উদাহরণটি কীভাবে সমাধান করবেন? উপরের উপর ভিত্তি করে, আপনাকে সীমা চিহ্নের অধীনে ফাংশনে একটি প্রতিস্থাপন করতে হবে:
তাই প্রথম নিয়ম : একটি সীমা দেওয়া হলে, আপনি প্রথমে ফাংশনে নম্বরটি প্লাগ করুন৷
5.2। অসীম সহ উদাহরণ:
চলুন চিন্তা করা যাক এটা কি? এটি যখন সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায় তখন এটি হয়।
তাই যদি , তারপর ফাংশন বিয়োগ অসীম প্রবণতা:
আমাদের প্রথম নিয়ম অনুসারে, "X" এর পরিবর্তে আমরা ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি অনন্ত এবং আমরা উত্তর পেতে.
5.3। অসীম সহ আরেকটি উদাহরণ:
আবার আমরা অসীম বাড়াতে শুরু করি, এবং ফাংশনের আচরণের দিকে তাকাই।
উপসংহার: ফাংশন সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়
5.4। উদাহরণের একটি সিরিজ:
মানসিকভাবে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি নিজে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করুন এবং সবচেয়ে সহজ প্রকারের সীমাগুলি সমাধান করুন:
, , , , 
, , , , 
,
আপনি কি মনে রাখা এবং উপরোক্ত থেকে বুঝতে প্রয়োজন?
কোন সীমা দেওয়া হলে, প্রথমে ফাংশনে নম্বরটি প্লাগ করুন। একই সময়ে, আপনাকে অবশ্যই বুঝতে হবে এবং অবিলম্বে সহজতম সীমাগুলি সমাধান করতে হবে, যেমন 
,
,
ইত্যাদি
6. প্রকারের অনিশ্চয়তার সাথে সীমা এবং তাদের সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি।
এখন আমরা সীমার গ্রুপ বিবেচনা করব যখন , এবং ফাংশনটি একটি ভগ্নাংশ যার লব এবং হর বহুপদী ধারণ করে।
6.1। উদাহরণ:
সীমা গণনা করুন 
আমাদের নিয়ম অনুসারে, আমরা ফাংশনে অনন্তকে প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি। আমরা শীর্ষে কি পেতে পারি? অনন্ত। এবং নীচে কি হবে? এছাড়াও অনন্ত। সুতরাং, আমাদের কাছে প্রজাতির অনিশ্চয়তা রয়েছে। কেউ ভাবতে পারে যে = 1, এবং উত্তর প্রস্তুত, কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে এটি একেবারেই নয়, এবং আপনাকে কিছু সমাধান কৌশল প্রয়োগ করতে হবে, যা আমরা এখন বিবেচনা করব।
এই ধরনের সীমা সমাধান কিভাবে?
প্রথমে আমরা লবটি দেখি এবং সর্বোচ্চ শক্তি খুঁজে পাই: 
লবটিতে অগ্রণী শক্তি দুটি।
এখন আমরা হরকে দেখি এবং এটিকে সর্বোচ্চ শক্তিতেও খুঁজে পাই: 
হর এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী হল দুটি।
তারপর আমরা লব এবং হর এর সর্বোচ্চ শক্তি নির্বাচন করি: এই উদাহরণে, তারা একই এবং দুটি সমান।
সুতরাং, সমাধান পদ্ধতি নিম্নরূপ: অনিশ্চয়তা প্রকাশ করতে আপনাকে লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করতে হবে সিনিয়র ডিগ্রিতে।
সুতরাং, উত্তর 1 নয়।
উদাহরণ
সীমা খুঁজুন 
আবার লব এবং হর-এ আমরা সর্বোচ্চ ডিগ্রীতে পাই: 
সংখ্যায় সর্বোচ্চ ডিগ্রি: 3
হর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 4
পছন্দ করা সর্বশ্রেষ্ঠমান, এই ক্ষেত্রে চার.
আমাদের অ্যালগরিদম অনুসারে, অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, আমরা লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করি।
উদাহরণ
সীমা খুঁজুন 
সংখ্যায় "X" এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 2
হর-এ "X" এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 1 (এভাবে লেখা যেতে পারে)
অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন। চূড়ান্ত সমাধান এই মত দেখতে পারে:
লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করুন
যারা সীমা খুঁজে পেতে শিখতে চান তাদের জন্য, এই নিবন্ধে আমরা আপনাকে এটি সম্পর্কে বলব। আমরা তত্ত্বটি নিয়ে আলোচনা করব না; শিক্ষকরা সাধারণত বক্তৃতায় এটি দেন। সুতরাং "বিরক্তিকর তত্ত্ব" আপনার নোটবুকে লেখা উচিত। যদি এটি না হয় তবে আপনি শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের লাইব্রেরি বা অন্যান্য ইন্টারনেট সংস্থান থেকে নেওয়া পাঠ্যপুস্তকগুলি পড়তে পারেন।
সুতরাং, উচ্চতর গণিতের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে সীমার ধারণাটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষ করে যখন আপনি অখণ্ড ক্যালকুলাসে আসেন এবং সীমা এবং অখণ্ডের মধ্যে সংযোগ বুঝতে পারেন। বর্তমান উপাদান সহজ উদাহরণ, সেইসাথে তাদের সমাধান করার উপায় দেখবে।
সমাধানের উদাহরণ
| উদাহরণ 1 |
| গণনা করুন a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| সমাধান |
|
ক) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ লোকেরা প্রায়শই এই সীমাগুলি সমাধান করতে সহায়তা করার অনুরোধ সহ আমাদের পাঠায়। আমরা সেগুলিকে একটি পৃথক উদাহরণ হিসাবে হাইলাইট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি এবং ব্যাখ্যা করেছি যে এই সীমাগুলি কেবল একটি নিয়ম হিসাবে মনে রাখা দরকার। আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে আমাদের কাছে পাঠান। আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে! |
| উত্তর |
| $$ \text(a) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
ফর্মের অনিশ্চয়তা নিয়ে কী করবেন: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| উদাহরণ 3 |
| সমাধান করুন $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| সমাধান |
|
বরাবরের মতো, আমরা $ x $ মানটিকে সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করে শুরু করি। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ এখন পরবর্তী কি? শেষ পর্যন্ত কি হওয়া উচিত? যেহেতু এটি অনিশ্চয়তা, এটি এখনও একটি উত্তর নয় এবং আমরা গণনা চালিয়ে যাচ্ছি। যেহেতু আমাদের সংখ্যায় একটি বহুপদী আছে, তাই আমরা এটিকে ফ্যাক্টরাইজ করব যে সূত্রটি স্কুল থেকে সবার কাছে পরিচিত $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$। মনে আছে? দারুণ! এখন এগিয়ে যান এবং গানের সাথে এটি ব্যবহার করুন :) আমরা দেখতে পাই যে লব $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ আমরা উপরোক্ত রূপান্তর বিবেচনা করে সমাধান করতে থাকি: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| উত্তর |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
শেষ দুটি উদাহরণে সীমাটিকে অনন্তে ঠেলে দেওয়া যাক এবং অনিশ্চয়তা বিবেচনা করুন: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| উদাহরণ 5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ গণনা করুন |
| সমাধান |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ কি করো? আমার কি করা উচিৎ? আতঙ্কিত হবেন না, কারণ অসম্ভব সম্ভব। লব এবং হর উভয় ক্ষেত্রেই x বের করতে হবে এবং তারপরে এটি হ্রাস করতে হবে। এর পরে, সীমা গণনা করার চেষ্টা করুন। আসুন চেষ্টা করি... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))(1+\frac(1)(x))) = $$ উদাহরণ 2 থেকে সংজ্ঞা ব্যবহার করে এবং x এর জন্য অসীম প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: $$ = frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))(1+\frac(1)(\infty))) = frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| উত্তর |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
সীমা গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম
সুতরাং, আসুন সংক্ষিপ্তভাবে উদাহরণগুলি সংক্ষিপ্ত করি এবং সীমা সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করি:
- সীমা চিহ্ন অনুসরণ করে এক্সপ্রেশনে বিন্দু x প্রতিস্থাপন করুন। যদি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বা অসীম প্রাপ্ত হয়, তাহলে সীমা সম্পূর্ণরূপে সমাধান করা হয়। অন্যথায়, আমাদের অনিশ্চয়তা রয়েছে: "শূন্য দ্বারা বিভক্ত শূন্য" বা "অসীম দ্বারা বিভক্ত অসীম" এবং নির্দেশাবলীর পরবর্তী ধাপে যান।
- "শূন্য দ্বারা বিভক্ত শূন্য" এর অনিশ্চয়তা দূর করতে, আপনাকে লব এবং হরকে গুণিত করতে হবে। অনুরূপ বেশী হ্রাস. সীমা চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিতে বিন্দু x প্রতিস্থাপন করুন।
- যদি অনিশ্চয়তা হয় "অনন্ত দ্বারা বিভক্ত অসীমতা" তাহলে আমরা লব এবং হর x উভয়কেই সর্বাধিক মাত্রায় নিয়ে যাই। আমরা X এর সংক্ষিপ্ত. আমরা x এর মানগুলিকে সীমার নীচে থেকে অবশিষ্ট রাশিতে প্রতিস্থাপন করি।
এই নিবন্ধে, আপনি সীমা সমাধানের প্রাথমিক বিষয়গুলি শিখেছেন, যা প্রায়শই ক্যালকুলাস কোর্সে ব্যবহৃত হয়। অবশ্যই, এগুলি পরীক্ষকদের দ্বারা দেওয়া সমস্ত ধরণের সমস্যা নয়, তবে কেবলমাত্র সহজ সীমা। আমরা ভবিষ্যতের নিবন্ধগুলিতে অন্যান্য ধরণের অ্যাসাইনমেন্ট সম্পর্কে কথা বলব, তবে এগিয়ে যাওয়ার জন্য প্রথমে আপনাকে এই পাঠটি শিখতে হবে। শিকড়, ডিগ্রী, অধ্যয়ন অসীম সমতুল্য ফাংশন, উল্লেখযোগ্য সীমা, L'Hopital এর নিয়ম থাকলে কি করতে হবে তা নিয়ে আলোচনা করা যাক।
আপনি যদি নিজের সীমা নির্ধারণ করতে না পারেন তবে আতঙ্কিত হবেন না। আমরা সবসময় সাহায্য করতে খুশি!
ফাংশন y = f (এক্স)একটি আইন (নিয়ম) যা অনুসারে X সেটের প্রতিটি উপাদান x এক এবং শুধুমাত্র Y সেটের একটি উপাদান y এর সাথে যুক্ত।
মৌল x ∈ এক্সডাকা ফাংশন যুক্তিবা স্বাধীন চলক.
উপাদান y ∈ Yডাকা ফাংশন মানবা নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল.
সেট X বলা হয় ফাংশনের ডোমেইন.
উপাদানের সেট y ∈ Y, যা X সেটে প্রিইমেজ আছে, বলা হয় এলাকা বা ফাংশন মান সেট.
প্রকৃত ফাংশন বলা হয় উপরে থেকে সীমিত (নীচ থেকে), যদি এমন একটি সংখ্যা M থাকে যাতে অসমতা সবার জন্য থাকে:
.
সংখ্যা ফাংশন বলা হয় সীমিত, যদি এমন একটি সংখ্যা M থাকে যা সবার জন্য:
.
উপরের প্রান্তবা সঠিক উপরের সীমানাএকটি বাস্তব ফাংশনকে বলা হয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা উপরে থেকে এর মানগুলির পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে। অর্থাৎ, এটি একটি সংখ্যা s যার জন্য, প্রত্যেকের জন্য এবং যে কোনও জন্য, একটি যুক্তি রয়েছে যার ফাংশনের মান s′ ছাড়িয়ে গেছে: .
একটি ফাংশনের উপরের সীমাটি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা যেতে পারে:
.
যথাক্রমে নীচের প্রান্তবা সঠিক নিম্ন সীমাএকটি বাস্তব ফাংশনকে সবচেয়ে বড় সংখ্যা বলা হয় যা নীচের থেকে এর মানগুলির পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে। অর্থাৎ, এটি এমন একটি সংখ্যা i যার জন্য, প্রত্যেকের জন্য এবং যে কোনও জন্য, একটি যুক্তি রয়েছে যার ফাংশনের মান i′ থেকে কম: .
একটি ফাংশনের ইনফিমাম নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে:
.
একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করা
Cauchy অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ
শেষ বিন্দুতে ফাংশনের সীমাবদ্ধ সীমা
ফাংশনটিকে শেষ বিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক, বিন্দু নিজেই বাদ দিয়ে। একটি বিন্দুতে যদি কারো জন্য এমন একটি জিনিস থাকে, যার উপর নির্ভর করে, যে সমস্ত x এর জন্য, অসমতা ধারণ করে
.
একটি ফাংশনের সীমা নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:
.
অথবা এ.
অস্তিত্ব এবং সার্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে, একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.
একতরফা সীমা।
একটি বিন্দুতে বাম সীমা (বাম দিকের সীমা):
.
একটি বিন্দুতে ডান সীমা (ডান হাতের সীমা):
.
বাম এবং ডান সীমাগুলি প্রায়শই নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:
;
.
অসীম বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধ সীমা
অসীম বিন্দুতে সীমা একইভাবে নির্ধারিত হয়।
.
.
.
তারা প্রায়ই হিসাবে উল্লেখ করা হয়:
;
;
.
একটি বিন্দুর প্রতিবেশী ধারণা ব্যবহার করে
যদি আমরা একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশের ধারণাটি প্রবর্তন করি, তাহলে আমরা সসীম এবং অসীম দূরবর্তী বিন্দুতে একটি ফাংশনের সসীম সীমার একটি ঐক্যবদ্ধ সংজ্ঞা দিতে পারি:
.
এখানে শেষ পয়েন্ট জন্য
;
;
.
অসীম বিন্দুর যেকোন আশেপাশের এলাকা পাংচার করা হয়:
;
;
.
অসীম ফাংশন সীমা
সংজ্ঞা
ফাংশনটিকে একটি বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক (সসীম বা অসীমে)। ফাংশনের সীমা চ (এক্স) x → x হিসাবে 0
অসীম সমান, যদি কোন ইচ্ছাকৃতভাবে বড় সংখ্যার জন্য এম > 0
, একটি সংখ্যা আছে δ M > 0
, M-এর উপর নির্ভর করে, যে সমস্ত x-এর জন্য খোঁচা δ M - বিন্দুর প্রতিবেশী: , নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে:
.
অসীম সীমা নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:
.
অথবা এ.
অস্তিত্ব এবং সর্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে, একটি ফাংশনের অসীম সীমার সংজ্ঞা নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.
আপনি নির্দিষ্ট চিহ্নের অসীম সীমার সংজ্ঞাও প্রবর্তন করতে পারেন এবং এর সমান:
.
.
একটি ফাংশনের সীমার সর্বজনীন সংজ্ঞা
একটি বিন্দুর আশেপাশের ধারণাটি ব্যবহার করে, আমরা একটি ফাংশনের সসীম এবং অসীম সীমার একটি সর্বজনীন সংজ্ঞা দিতে পারি, যা সসীম (দ্বিমুখী এবং একতরফা) এবং অসীম দূরবর্তী বিন্দু উভয়ের জন্যই প্রযোজ্য:
.
Heine অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ
কিছু সেটে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক X:.
a সংখ্যাটিকে ফাংশনের সীমা বলা হয়বিন্দুতে:
,
যদি x-এ রূপান্তরিত কোনো ক্রম-এর জন্য 0
:
,
যার উপাদানগুলি X সেটের অন্তর্গত: ,
.
আসুন আমরা অস্তিত্ব এবং সর্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে এই সংজ্ঞাটি লিখি:
.
যদি আমরা বিন্দু x এর বাম-পার্শ্বযুক্ত আশেপাশের স্থানটিকে একটি সেট X হিসাবে নিই 0 , তারপর আমরা বাম সীমার সংজ্ঞা পাই। যদি এটি ডানহাতি হয়, তবে আমরা সঠিক সীমার সংজ্ঞা পাই। আমরা যদি অসীমতার একটি বিন্দুর প্রতিবেশকে একটি সেট X হিসাবে নিই, আমরা অসীমে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা পাই।
উপপাদ্য
একটি ফাংশনের সীমার Cauchy এবং Heine সংজ্ঞা সমতুল্য।
প্রমাণ
একটি ফাংশনের সীমার বৈশিষ্ট্য এবং উপপাদ্য
আরও, আমরা অনুমান করি যে বিবেচনাধীন ফাংশনগুলি বিন্দুর সংশ্লিষ্ট আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা একটি সসীম সংখ্যা বা প্রতীকগুলির মধ্যে একটি: . এটি একটি একতরফা সীমা বিন্দুও হতে পারে, অর্থাৎ ফর্ম আছে বা। আশেপাশের এলাকাটি দ্বিমুখী সীমার জন্য দ্বিমুখী এবং একতরফা সীমার জন্য একতরফা।
মৌলিক বৈশিষ্ট্য
যদি ফাংশনের মান f (এক্স)একটি সীমিত সংখ্যক পয়েন্ট x পরিবর্তন করুন (বা অনির্ধারিত করুন) 1, x 2, x 3, ... x n, তাহলে এই পরিবর্তনটি একটি নির্বিচারে বিন্দু x এ ফাংশনের সীমার অস্তিত্ব এবং মানকে প্রভাবিত করবে না 0 .
যদি একটি সসীম সীমা থাকে, তাহলে x বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ রয়েছে 0
, যার উপর ফাংশন f (এক্স)সীমিত:
.
ফাংশনটি x বিন্দুতে থাকুক 0
সীমিত অ-শূন্য সীমা:
.
তারপর, ব্যবধান থেকে c সংখ্যার জন্য, x বিন্দুর এমন একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ রয়েছে 0
কি জন্য,
, যদি;
, যদি.
যদি, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, , একটি ধ্রুবক হয়, তাহলে।
যদি সীমিত সীমা থাকে এবং এবং x বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে থাকে 0
,
যে.
যদি, এবং বিন্দু কিছু আশেপাশে
,
যে.
বিশেষ করে, যদি একটি বিন্দু কিছু আশেপাশে
,
তারপর যদি, তারপর এবং;
যদি , তারপর এবং .
যদি একটি বিন্দু x এর কিছু punctured আশেপাশের উপর 0
:
,
এবং সীমাবদ্ধ (বা একটি নির্দিষ্ট চিহ্নের অসীম) সমান সীমা রয়েছে:
, যে
.
মূল বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ পৃষ্ঠায় দেওয়া হয়
"একটি ফাংশনের সীমার মৌলিক বৈশিষ্ট্য।"
একটি ফাংশনের সীমার গাণিতিক বৈশিষ্ট্য
ফাংশন এবং বিন্দু কিছু punctured আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক. এবং সীমাবদ্ধ সীমা থাকতে দিন:
এবং .
এবং C একটি ধ্রুবক, যে, একটি প্রদত্ত সংখ্যা. তারপর
;
;
;
, যদি.
যদি, তাহলে।
পৃষ্ঠায় গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ দেওয়া হয়
"একটি ফাংশনের সীমার গাণিতিক বৈশিষ্ট্য"।
একটি ফাংশনের সীমার অস্তিত্বের জন্য কচি মানদণ্ড
উপপাদ্য
সসীম বা অসীম বিন্দু x-এর কিছু ছিদ্রযুক্ত পাড়ায় সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনের জন্য 0
, এই মুহুর্তে একটি সীমাবদ্ধ সীমা ছিল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে কোনও ε এর জন্য > 0
বিন্দু x এর এমন একটি ছিদ্রযুক্ত এলাকা ছিল 0
, যে কোনো পয়েন্টের জন্য এবং এই প্রতিবেশী থেকে, নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে:
.
একটি জটিল ফাংশনের সীমা
একটি জটিল ফাংশনের সীমার উপর উপপাদ্য
ফাংশনের একটি সীমা থাকতে দিন এবং একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত আশেপাশের একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত আশেপাশের উপর ম্যাপ করুন৷ ফাংশন এই আশেপাশের উপর সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং এটি একটি সীমা আছে.
এখানে চূড়ান্ত বা অসীম দূরবর্তী পয়েন্ট: . আশেপাশের এলাকা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সীমা দুই-তরফা বা একতরফা হতে পারে।
তারপরে একটি জটিল ফাংশনের একটি সীমা রয়েছে এবং এটি সমান:
.
একটি জটিল ফাংশনের সীমা উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয় যখন ফাংশনটি একটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না বা সীমা থেকে ভিন্ন একটি মান থাকে। এই উপপাদ্যটি প্রয়োগ করার জন্য, বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ থাকতে হবে যেখানে ফাংশনের মানগুলির সেটটিতে বিন্দুটি থাকে না:
.
যদি ফাংশনটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন থাকে, তাহলে সীমা চিহ্নটি ধারাবাহিক ফাংশনের যুক্তিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে:
.
নিম্নলিখিত এই ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট একটি উপপাদ্য.
একটি ফাংশনের ক্রমাগত ফাংশনের সীমার উপর উপপাদ্য
ফাংশনের একটি সীমা থাকুক (টি) t → t হিসাবে 0
, এবং এটি x এর সমান 0
:
.
এখানে পয়েন্ট টি 0
সসীম বা অসীম দূরত্ব হতে পারে:
এবং ফাংশন চ দিন (এক্স) x বিন্দুতে একটানা থাকে 0
.
তারপর জটিল ফাংশনের একটি সীমা আছে (g(t)), এবং এটি f এর সমান (x0):
.
পৃষ্ঠায় উপপাদ্যের প্রমাণ দেওয়া আছে
"একটি জটিল ফাংশনের সীমা এবং ধারাবাহিকতা"।
অসীম এবং অসীম বড় ফাংশন
অসীম ফাংশন
সংজ্ঞা
একটি ফাংশন বলা হয় infinitesimal যদি
.
যোগফল, পার্থক্য এবং পণ্যএকটি অসীম সংখ্যক অসীম ফাংশন-এ একটি অসীম ফাংশন।
সীমাবদ্ধ একটি ফাংশনের পণ্যবিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, একটি অসীম-এ-এ একটি অসীম ফাংশন।
একটি ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট
,
যেখানে একটি অসীম ফাংশন এ.
"অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য"।
অসীম বড় ফাংশন
সংজ্ঞা
একটি ফাংশন অসীম বড় যদি বলা হয়
.
একটি আবদ্ধ ফাংশনের যোগফল বা পার্থক্য, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশে, এবং একটি অসীম বৃহৎ ফাংশন এ একটি অসীম বড় ফাংশন।
যদি ফাংশনটি সীমাহীনভাবে বড় হয়, এবং ফাংশনটি বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে আবদ্ধ থাকে, তাহলে
.
যদি ফাংশন , বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, অসমতাকে সন্তুষ্ট করে:
,
এবং ফাংশনটি এখানে অসীম:
, এবং (বিন্দুর কিছু punctured আশেপাশে), তারপর
.
সম্পত্তির প্রমাণ বিভাগে উপস্থাপন করা হয়
"অসীমভাবে বড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য"।
অসীম বড় এবং অসীম ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক
পূর্ববর্তী দুটি বৈশিষ্ট্য থেকে অসীম বড় এবং অসীম ফাংশনের মধ্যে সংযোগ অনুসরণ করে।
যদি একটি ফাংশন অসীমভাবে বড় হয়, তাহলে ফাংশনটি অসীম হয়।
যদি একটি ফাংশন , এবং এর জন্য অসীম হয়, তাহলে ফাংশনটি সীমাহীনভাবে বড়।
একটি অসীম এবং একটি অসীম বৃহৎ ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক প্রতীকীভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
,
.
যদি একটি অসীম ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন থাকে, অর্থাৎ, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে এটি ধনাত্মক (বা ঋণাত্মক) হয়, তাহলে এই সত্যটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে:
.
একইভাবে, যদি একটি অসীম বৃহৎ ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন থাকে, তাহলে তারা লিখবে:
.
তারপর অসীম ছোট এবং অসীম বৃহৎ ফাংশনের মধ্যে প্রতীকী সংযোগ নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলির সাথে সম্পূরক হতে পারে:
,
,
,
.
পৃষ্ঠায় অসীম প্রতীক সম্পর্কিত অতিরিক্ত সূত্র পাওয়া যাবে
"অনন্তে পয়েন্ট এবং তাদের বৈশিষ্ট্য।"
একঘেয়ে ফাংশন সীমা
সংজ্ঞা
বাস্তব সংখ্যা X এর কিছু সেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন বলা হয় কঠোরভাবে বাড়ছে, যদি সকলের জন্য নিম্নোক্ত অসমতা থাকে:
.
সেই অনুযায়ী, জন্য কঠোরভাবে কমছেনিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে কাজ করে:
.
জন্য অ-হ্রাস:
.
জন্য অ বৃদ্ধি:
.
এটি অনুসরণ করে যে একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশনও কমছে না। একটি কঠোরভাবে হ্রাস ফাংশন এছাড়াও অ বৃদ্ধি.
ফাংশন বলা হয় একঘেয়ে, যদি এটি অ-হ্রাস বা অ-বর্ধিত হয়।
উপপাদ্য
যেখানে ব্যবধানে ফাংশনটি কমে না যায়।
যদি এটি উপরে M সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ হয়: তাহলে একটি সীমাবদ্ধ সীমা আছে। উপর থেকে সীমাবদ্ধ না হলে, তারপর.
যদি এটি নীচে থেকে m সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ হয়: তাহলে একটি সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে। নীচে থেকে সীমাবদ্ধ না হলে, তারপর.
যদি বিন্দু a এবং b অসীমতায় থাকে, তবে অভিব্যক্তিতে সীমা চিহ্নের অর্থ হল।
এই উপপাদ্য আরো কম্প্যাক্টভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে।
যেখানে ব্যবধানে ফাংশনটি কমে না যায়। তারপর a এবং b বিন্দুতে একতরফা সীমা রয়েছে:
;
.
একটি অ-বর্ধিত ফাংশনের জন্য একটি অনুরূপ উপপাদ্য।
যেখানে ব্যবধানে ফাংশন বাড়বে না। তারপর একতরফা সীমা আছে:
;
.
উপপাদ্যের প্রমাণ পৃষ্ঠায় উপস্থাপন করা হয়েছে
"একঘেয়ে ফাংশনের সীমা"।
তথ্যসূত্র:
এল.ডি. কুদ্র্যাভতসেভ। গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স। ভলিউম 1. মস্কো, 2003।
সেমি. নিকোলস্কি। গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স। ভলিউম 1. মস্কো, 1983।
ক্রম এবং ফাংশনের সীমার ধারণা। যখন একটি অনুক্রমের সীমা খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়, তখন এটি নিম্নরূপ লেখা হয়: lim xn=a। অনুক্রমের এই ধরনের ক্রমানুসারে, xn একটি এবং n অসীমের দিকে ঝোঁক। ক্রমটি সাধারণত একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, উদাহরণস্বরূপ:
x1, x2, x3...,xm,...,xn...।
ক্রম বৃদ্ধি এবং হ্রাস বিভক্ত করা হয়. উদাহরণ স্বরূপ:
xn=n^2 - ক্রমবর্ধমান
yn=1/n - ক্রম
সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, অনুক্রমের সীমা xn=1/n^ :
লিম 1/n^2=0
x→∞
এই সীমাটি শূন্যের সমান, যেহেতু n→∞, এবং ক্রম 1/n^2 শূন্যের দিকে থাকে।
সাধারণত, একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণ x একটি সসীম সীমার দিকে ঝোঁক, এবং x ক্রমাগত a-এর কাছে আসছে, এবং পরিমাণ a ধ্রুবক। এটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: limx =a, যখন n শূন্য বা অসীমও হতে পারে। অসীম ফাংশন আছে, যার জন্য সীমা অসীম হতে থাকে। অন্যান্য ক্ষেত্রে, যখন, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি একটি ট্রেনের গতি কমিয়ে দেয়, তখন এটি শূন্যের দিকে ঝোঁক সীমা সম্পর্কে সম্ভব।
সীমার বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সাধারণত, যে কোনো ফাংশনের একটি মাত্র সীমা থাকে। এটি সীমার প্রধান সম্পত্তি। অন্যান্য নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়:
* পরিমাণের সীমা সীমার যোগফলের সমান:
lim(x+y)=lim x+lim y
* পণ্যের সীমা সীমার পণ্যের সমান:
lim(xy)=lim x*lim y
* ভাগফলের সীমা সীমার ভাগফলের সমান:
lim(x/y)=lim x/lim y
* ধ্রুবক ফ্যাক্টর সীমা চিহ্নের বাইরে নেওয়া হয়:
lim(Cx)=C লিম x
একটি ফাংশন 1 /x দেওয়া হয়েছে যেখানে x →∞, এর সীমা শূন্য। x→0 হলে, এই ধরনের ফাংশনের সীমা হল ∞।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন জন্য এই নিয়ম কিছু আছে. যেহেতু sin x ফাংশনটি যখন শূন্যের কাছাকাছি চলে আসে তখন সর্বদা একতার দিকে ঝোঁক থাকে, তাই পরিচয়টি এটির জন্য ধারণ করে:
লিম সিন x/x=1
বেশ কয়েকটি ফাংশনে ফাংশন রয়েছে, সীমা গণনা করার সময় যার অনিশ্চয়তা দেখা দেয় - এমন একটি পরিস্থিতি যেখানে সীমা গণনা করা যায় না। এই পরিস্থিতি থেকে বেরিয়ে আসার একমাত্র উপায় হল L'Hopital। দুই ধরনের অনিশ্চয়তা আছে:
* ফর্ম 0/0 এর অনিশ্চয়তা
* ফর্মের অনিশ্চয়তা ∞/∞
উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত ফর্মের একটি সীমা দেওয়া হয়েছে: lim f(x)/l(x), এবং f(x0)=l(x0)=0। এই ক্ষেত্রে, 0/0 ফর্মের একটি অনিশ্চয়তা দেখা দেয়। এই জাতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য, উভয় ফাংশন আলাদা করা হয়, যার পরে ফলাফলের সীমা পাওয়া যায়। 0/0 প্রকারের অনিশ্চয়তার জন্য, সীমা হল:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (এ x→0)
একই নিয়ম ∞/∞ প্রকারের অনিশ্চয়তার ক্ষেত্রেও সত্য। কিন্তু এই ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত সমতা সত্য: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital এর নিয়ম ব্যবহার করে, আপনি যে কোনো সীমার মান খুঁজে পেতে পারেন যেখানে অনিশ্চয়তা দেখা যায়। জন্য একটি পূর্বশর্ত
ভলিউম - ডেরিভেটিভস খোঁজার সময় কোন ত্রুটি নেই। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের ডেরিভেটিভ (x^2)" 2x এর সমান। এখান থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি:
f"(x)=nx^(n-1)
সীমা তত্ত্ব গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি শাখা। সীমা সমাধানের প্রশ্নটি বেশ বিস্তৃত, যেহেতু বিভিন্ন ধরণের সীমা সমাধানের জন্য কয়েক ডজন পদ্ধতি রয়েছে। কয়েক ডজন সূক্ষ্মতা এবং কৌশল রয়েছে যা আপনাকে এই বা সেই সীমাটি সমাধান করতে দেয়। তবুও, আমরা এখনও অনুশীলনে প্রায়শই সম্মুখীন হওয়া প্রধান ধরণের সীমাগুলি বোঝার চেষ্টা করব।
চলুন শুরু করা যাক একটি সীমার ধারণা দিয়ে। তবে প্রথমে একটি সংক্ষিপ্ত ঐতিহাসিক পটভূমি। 19 শতকে সেখানে বাস করতেন একজন ফরাসী, অগাস্টিন লুই কাউচি, যিনি গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন এবং কঠোর সংজ্ঞা দিয়েছেন, বিশেষ করে সীমার সংজ্ঞা। এটা অবশ্যই বলা উচিত যে এই একই কচি পদার্থবিদ্যা এবং গণিতের সমস্ত ছাত্রদের দুঃস্বপ্নের মধ্যে ছিলেন, আছেন এবং থাকবেন, যেহেতু তিনি গাণিতিক বিশ্লেষণের বিপুল সংখ্যক উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন এবং প্রতিটি উপপাদ্য অন্যটির চেয়ে বেশি ঘৃণ্য। এই বিষয়ে, আমরা সীমার একটি কঠোর সংজ্ঞা বিবেচনা করব না, তবে দুটি জিনিস করার চেষ্টা করব:
1. একটি সীমা কি বুঝুন.
2. প্রধান ধরনের সীমা সমাধান করতে শিখুন।
আমি কিছু অবৈজ্ঞানিক ব্যাখ্যার জন্য ক্ষমাপ্রার্থী, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে উপাদানটি একটি চা-পানির কাছেও বোধগম্য, যা আসলে প্রকল্পের কাজ।
তাই সীমা কি?
এবং কেন এলোমেলো দাদির শুধু একটি উদাহরণ....
যেকোনো সীমা তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত:
1) সুপরিচিত সীমা আইকন।
2) সীমা আইকনের অধীনে এন্ট্রি, এই ক্ষেত্রে। এন্ট্রিতে লেখা আছে "এক্স একের দিকে ঝোঁক।" প্রায়শই - ঠিক, যদিও অনুশীলনে "X" এর পরিবর্তে অন্যান্য ভেরিয়েবল রয়েছে। ব্যবহারিক কাজে, একজনের স্থান একেবারে যেকোনো সংখ্যার পাশাপাশি অসীম () হতে পারে।
3) সীমা চিহ্নের অধীনে ফাংশন, এই ক্ষেত্রে।
রেকর্ডিং নিজেই 
এটির মতো পড়ে: "x হিসাবে একটি ফাংশনের সীমা একতার দিকে ঝোঁক।"
আসুন পরবর্তী গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নটি দেখি - "x" অভিব্যক্তিটির অর্থ কী? চেষ্টা করেএকজনের প্রতি"? এবং এমনকি "প্রচেষ্টা" মানে কি?
একটি সীমা ধারণা একটি ধারণা, তাই কথা বলতে, গতিশীল. আসুন একটি ক্রম তৈরি করি: প্রথমে , তারপর , , …, 
, ….
যে, অভিব্যক্তি "x চেষ্টা করেএকটি থেকে"কে নিম্নরূপ বোঝা উচিত: "x" ধারাবাহিকভাবে মান গ্রহণ করে যা একতাকে অসীমভাবে বন্ধ করে এবং কার্যত এর সাথে মিলে যায়.
উপরের উদাহরণটি কীভাবে সমাধান করবেন? উপরের উপর ভিত্তি করে, আপনাকে সীমা চিহ্নের অধীনে ফাংশনে একটি প্রতিস্থাপন করতে হবে:
সুতরাং, প্রথম নিয়ম: কোন সীমা দেওয়া হলে, প্রথমে আমরা ফাংশনে নম্বরটি প্লাগ করার চেষ্টা করি.
আমরা সহজতম সীমা বিবেচনা করেছি, তবে এগুলি অনুশীলনেও ঘটে এবং খুব কমই নয়!
অসীম সহ উদাহরণ:
চলুন চিন্তা করা যাক এটা কি? এটি এমন হয় যখন এটি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ: প্রথম, তারপর, তারপর, তারপর, এবং তাই বিজ্ঞাপন অসীম।
এই সময়ে ফাংশন কি হবে?
, , 
, …
সুতরাং: যদি , তাহলে ফাংশনটি বিয়োগ অসীম হতে থাকে:
মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমাদের প্রথম নিয়ম অনুসারে, "X" এর পরিবর্তে আমরা ফাংশনে অসীম প্রতিস্থাপন করি এবং উত্তর পাই।
অসীম সহ আরেকটি উদাহরণ:
আবার আমরা অসীম বাড়াতে শুরু করি, এবং ফাংশনের আচরণের দিকে তাকাই: 
উপসংহার: যখন ফাংশন সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়:
এবং উদাহরণের আরেকটি সিরিজ:
দয়া করে নিজের জন্য নিম্নলিখিতগুলি মানসিকভাবে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করুন এবং সবচেয়ে সহজ প্রকারের সীমাগুলি মনে রাখবেন:
, , , , 
, , , , 
,
আপনার যদি কোথাও সন্দেহ থাকে, আপনি একটি ক্যালকুলেটর নিতে পারেন এবং একটু অনুশীলন করতে পারেন।
ইভেন্টে যে ক্রমটি নির্মাণ করার চেষ্টা করুন , , . যদি, তাহলে,,।
দ্রষ্টব্য: কঠোরভাবে বলতে গেলে, বেশ কয়েকটি সংখ্যার ক্রম নির্মাণের এই পদ্ধতিটি ভুল, তবে সহজ উদাহরণগুলি বোঝার জন্য এটি বেশ উপযুক্ত।
এছাড়াও নিম্নলিখিত বিষয়গুলিতে মনোযোগ দিন। এমনকি যদি শীর্ষে একটি বড় সংখ্যার সাথে একটি সীমা দেওয়া হয়, বা এমনকি এক মিলিয়ন দিয়েও: , তবে এটি একই 
, যেহেতু শীঘ্রই বা পরে "X" এমন বিশাল মান গ্রহণ করবে যে তাদের তুলনায় এক মিলিয়ন একটি বাস্তব জীবাণু হবে।
আপনি কি মনে রাখা এবং উপরোক্ত থেকে বুঝতে প্রয়োজন?
1) কোন সীমা দেওয়া হলে, প্রথমে আমরা ফাংশনে সংখ্যাটি প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি।
2) আপনাকে অবশ্যই বুঝতে হবে এবং অবিলম্বে সহজতম সীমাগুলি সমাধান করতে হবে, যেমন 
, , ইত্যাদি
এখন আমরা সীমার গ্রুপ বিবেচনা করব যখন , এবং ফাংশনটি একটি ভগ্নাংশ যার লব এবং হর বহুপদী ধারণ করে
উদাহরণ:
সীমা গণনা করুন 
আমাদের নিয়ম অনুসারে, আমরা ফাংশনে অসীম প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করব। আমরা শীর্ষে কি পেতে পারি? অনন্ত। এবং নীচে কি হবে? এছাড়াও অনন্ত। সুতরাং, আমাদের কাছে প্রজাতির অনিশ্চয়তা রয়েছে। কেউ ভাবতে পারে যে , এবং উত্তর প্রস্তুত, কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে এটি একেবারেই নয়, এবং কিছু সমাধান কৌশল প্রয়োগ করা প্রয়োজন, যা আমরা এখন বিবেচনা করব।
এই ধরনের সীমা সমাধান কিভাবে?
প্রথমে আমরা লবটি দেখি এবং সর্বোচ্চ শক্তি খুঁজে পাই: 
লবটিতে অগ্রণী শক্তি দুটি।
এখন আমরা হরকে দেখি এবং এটিকে সর্বোচ্চ শক্তিতেও খুঁজে পাই: 
হর এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী হল দুটি।
তারপর আমরা লব এবং হর এর সর্বোচ্চ শক্তি নির্বাচন করি: এই উদাহরণে, তারা একই এবং দুটি সমান।
সুতরাং, সমাধান পদ্ধতিটি নিম্নরূপ: অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, লব এবং হরকে সর্বোচ্চ শক্তি দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন।
এখানে এটি, উত্তর, এবং মোটেও অসীম নয়।
একটি সিদ্ধান্ত নকশা মৌলিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ কি?
প্রথমত, আমরা অনিশ্চয়তা নির্দেশ করি, যদি থাকে।
দ্বিতীয়ত, মধ্যবর্তী ব্যাখ্যার জন্য সমাধানে বাধা দেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়। আমি সাধারণত চিহ্নটি ব্যবহার করি, এটির কোন গাণিতিক অর্থ নেই, তবে এর মানে হল একটি মধ্যবর্তী ব্যাখ্যার জন্য সমাধানটি বাধাগ্রস্ত হয়েছে।
তৃতীয়ত, সীমার মধ্যে কী কোথায় যাচ্ছে তা চিহ্নিত করার পরামর্শ দেওয়া হয়। যখন কাজটি হাতে আঁকা হয়, তখন এটি এইভাবে করা আরও সুবিধাজনক: 
নোটের জন্য একটি সাধারণ পেন্সিল ব্যবহার করা ভাল।
অবশ্যই, আপনাকে এর কোনটি করতে হবে না, তবে তারপরে, সম্ভবত, শিক্ষক সমাধানের ত্রুটিগুলি নির্দেশ করবেন বা অ্যাসাইনমেন্ট সম্পর্কে অতিরিক্ত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে শুরু করবেন। তোমার এটা দরকার?
উদাহরণ 2
সীমা খুঁজুন 
আবার লব এবং হর-এ আমরা সর্বোচ্চ ডিগ্রীতে পাই: 
সংখ্যায় সর্বোচ্চ ডিগ্রি: 3
হর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 4
পছন্দ করা সর্বশ্রেষ্ঠমান, এই ক্ষেত্রে চার.
আমাদের অ্যালগরিদম অনুসারে, অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, আমরা লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করি।
সম্পূর্ণ অ্যাসাইনমেন্ট এই মত দেখতে পারে:
লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করুন
উদাহরণ 3
সীমা খুঁজুন 
সংখ্যায় "X" এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 2
হর-এ "X" এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী: 1 (এভাবে লেখা যেতে পারে)
অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন। চূড়ান্ত সমাধান এই মত দেখতে পারে:
লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করুন
স্বরলিপি মানে শূন্য দ্বারা বিভাজন নয় (আপনি শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না), তবে একটি অসীম সংখ্যা দ্বারা বিভাজন।
এইভাবে, প্রজাতির অনিশ্চয়তা উন্মোচন করে, আমরা সক্ষম হতে পারি চূড়ান্ত সংখ্যা, শূন্য বা অসীম।
তাদের সমাধানের জন্য প্রকার এবং পদ্ধতির অনিশ্চয়তার সাথে সীমা
সীমার পরবর্তী গ্রুপটি এইমাত্র বিবেচনা করা সীমার সাথে কিছুটা মিল: লব এবং হর বহুপদী ধারণ করে, কিন্তু "x" আর অসীমের দিকে ঝোঁক না, বরং সসীম সংখ্যা.
উদাহরণ 4
সীমা সমাধান করুন 
প্রথমে, আসুন ভগ্নাংশে -1 প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি: 
এই ক্ষেত্রে, তথাকথিত অনিশ্চয়তা প্রাপ্ত হয়।
সাধারণ নিয়ম: যদি লব এবং হরে বহুপদ থাকে এবং ফর্মের অনিশ্চয়তা থাকে, তাহলে তা প্রকাশ করতে আপনাকে লব এবং হরকে গুণনীয়ক করতে হবে.
এটি করার জন্য, প্রায়শই আপনাকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হবে এবং/অথবা সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করতে হবে। যদি এই জিনিসগুলি ভুলে গিয়ে থাকেন, তাহলে পেইজে ঘুরে আসুন গাণিতিক সূত্র এবং টেবিলএবং শিক্ষণীয় উপাদান পড়ুন স্কুল গণিত কোর্সের জন্য গরম সূত্র. যাইহোক, এটি মুদ্রণ করা ভাল; এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয় এবং কাগজ থেকে তথ্য আরও ভালভাবে শোষিত হয়।
তাই, আমাদের সীমা সমাধান করা যাক 
লব এবং হর গুণনীয়ক
লব গুণনীয়ক করার জন্য, আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে: 
প্রথমে আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
এবং এর বর্গমূল: .
যদি বৈষম্যকারীটি বড় হয়, উদাহরণস্বরূপ 361, আমরা একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করি; বর্গমূল বের করার কাজটি সবচেয়ে সহজ ক্যালকুলেটরে।
! যদি মূলটি সম্পূর্ণরূপে নিষ্কাশন করা না হয় (কমা সহ একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা প্রাপ্ত হয়), তবে এটি খুব সম্ভবত যে বৈষম্যকারীটি ভুলভাবে গণনা করা হয়েছিল বা কাজটিতে একটি টাইপো ছিল।
এরপরে আমরা শিকড় খুঁজে পাই: 
এইভাবে:
সব লব গুণনীয়ক হয়।
হর. হরটি ইতিমধ্যেই সবচেয়ে সরল ফ্যাক্টর, এবং এটিকে সরল করার কোন উপায় নেই।
স্পষ্টতই, এটি সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:
এখন আমরা সীমা চিহ্নের অধীনে থাকা অভিব্যক্তিতে -1 প্রতিস্থাপন করি:
স্বাভাবিকভাবেই, একটি পরীক্ষা, পরীক্ষা বা পরীক্ষায় সমাধানটি কখনই এত বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয় না। চূড়ান্ত সংস্করণে, নকশাটি এইরকম হওয়া উচিত:
লব গুণনীয়ক করা যাক। 
উদাহরণ 5
সীমা গণনা করুন 
প্রথমত, সমাধানের "সমাপ্ত" সংস্করণ
লব এবং হরকে গুণনীয়ক করা যাক।
অংক:
হর: 
, 
এই উদাহরণে গুরুত্বপূর্ণ কি?
প্রথমত, লবটি কীভাবে প্রকাশ করা হয় সে সম্পর্কে আপনার অবশ্যই ভাল ধারণা থাকতে হবে, প্রথমে আমরা বন্ধনী থেকে 2টি নিয়েছি এবং তারপর বর্গের পার্থক্যের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করেছি। এই সূত্রটি আপনাকে জানতে এবং দেখতে হবে।
