Что такое спектральная плотность напряженности. Спектральная плотность сигналов

Пусть интервал разложения сигнала (см. рис. 2.1) стремится к бесконечности. При его увеличении частота = 2п/Т уменьшается до бесконечно малой величины:

Расстояние между спектральными компонентами при этом уменьшается до бесконечно малой величины, а значения превращаются в текущие значения частоты со (см. рис. 2.2). Интервал разложения стремится к бесконечной величине. Это позволяет при вычислении предела ряда Фурье в комплексной форме заменить знак суммы знаком интеграла, основную частоту О)! = 2п/Т - на?/со, а кратную частоту к(о { заменить текущей частотой со:

Интеграл, который записан в скобках выражения (2.13), обозначим

Тогда выражение (2.13) запишется более компактно:

Выражения (2.14) и (2.15) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Функция 5(/со) называется

спектральной плотностью. Она является комплексной и имеет размерность [В/Гц], если размерность сигнала и{Р) [В].

Преобразование Фурье (2.14) может быть вычислено на основе общих правил интегрирования, если сигнал удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости:

Это условие означает, что преобразование (2.14) существует для тех сигналов, площадь под кривой |м(?)| которых ограничена.

К этому классу не относятся, например, периодические сигналы, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. Однако это не означает, что для периодических сигналов спектральная плотность не может быть вычислена. Методы вычислений, специально разработанные для этих целей, используют так называемые обобщенные функции. Примером обобщенной функции является дельта-функция. Некоторые свойства дельта-функции приведены в приложении 1.

Преобразуем спектральную плотность сигналов, которые удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. Такие сигналы ограничены во времени.

С учетом формулы Эйлера перепишем выражение (2.14): где

Модуль |5(/со)| называется спектральной плотностью амплитуд сигнала или амплитудно-частотной характеристикой

(АЧХ) спектральной плотности сигнала. Функция ср(со) определяет фазо-частотную характеристику (ФЧХ) спектральной плотности сигнала. АЧХ и ФЧХ спектральной плотности являются непрерывными функциями частоты.

Перейдем к анализу спектральной плотности сигналов, не удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости. Такие сигналы не ограничены во времени и имеют бесконечно большую энергию.

На основе сигнала Ц)(?), удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости, построим периодически повторяющийся сигнал

и вычислим его спектральную плотность:
где

Размерность спектральной плотности периодически повторяющегося сигнала определяется размерностью спектральной плотности непериодического сигнала, из которого формируется периодически повторяющийся сигнал, т.е. [В/Гц].

Первый сомножитель полученного выражения в равенстве (2.16) определяет спектральную плотность ограниченного во времени сигнала и 0 (?), второй - спектральную плотность периодически повторяющейся дельта-функции

Убедимся в этом, вычислив указанную плотность:

При вычислении интеграла использовано фильтрующее свойство дельта-функции (см. приложение 1).

Если периодически повторяющуюся дельта-функцию разложить в ряд Фурье в комплексной форме, то се спектральную плотность можно выразить иначе:

При выводе последней формулы использовано выражение дельта-функции в частотной области. Приравнивая выражения спектральных плотностей, получим

Эта функция равна нулю, если со Ф к(х) ь и равна если со = к(о { . Подставим в (2.16) новое выражение 5 ф (/со):

Спектральная плотность периодически повторяющегося сигнала определяется значениями спектральной плотности ограниченного во времени сигнала г/ 0 (?), отсчитанными через интервал, равный со^ = 2л /Т.

Вычислим значение спектральной плотности ограниченного отрезком времени Т сигнала:

Умножим левую и правую части равенства на коэффициент 2/Т:

где а(/&а>1) - спектр ограниченного во времени сигнала в базисе экспоненциальных функций.

С учетом последней формулы спектральную плотность периодически повторяющегося сигнала запишем в виде

где модуль спектра определяется в базисе экспоненциальных функций формулой (2.9), а спектр фаз - формулой (2.10).

Значения АЧХ и ФЧХ спектральной плотности ограниченного во времени сигнала г/о(0> отсчитанные через интервал (щ = 2п/Т в точках частотной оси кщ, к = 0, ±1, ±2,..., определяют АЧХ и ФЧХ спектральной плотности этого периодического сигнала.

Рассмотрим некоторые свойства спектральной плотности сигнала, удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости.

• 1. Спектральная плотность (2.14) - это комплексная и непрерывная функция частоты со, определенная в бесконечном интервале частот.
• 2. АЧХ и ФЧХ спектральной плотности удовлетворяют уравнениям

где +(л)? - выбранные значения частот.

3. Преобразования Фурье (2.14), (2.15) являются линейными преобразованиями. Поэтому спектральная плотность суммы сигналов равна сумме спектральных плотностей этих сигналов, а сумма сигналов определяется обратным преобразованием Фурье от суммы их спектральных плотностей:

где Uj(t) - i- й сигнал; б’/О"оз) - спектральная плотность г-го сигнала.

4. Спектральная плотность сигнала, ограниченная бесконечно малыми интервалами 2лА/(рис. 2.3) вблизи, например, частот -со 0 , со (), определяет гармонический сигнал с бесконечно малой амплитудой.

Убедимся в этом, считая, что из-за малости А/ значения спектральной плотности около частот -ю () , (н () равны соответственно S (-jco 0) = |А(70) 0)| _ - /

Рис. 2.3.

Поскольку в бесконечно малых интервалах спектральная плотность остается постоянной, можно вынести за знак интегралов выражения |50"со 0)|е;ф(10о) и |50"м 0)|е - - ,ф(а)о) :

Как следует из полученной формулы, амплитуда полученного сигнала определяется значением спектральной плотности, функцией (бшл -)/^ и весьма малым диапазоном частот А/. При стремлении Д/ к нулю функция (81 пх)/х стремится к единице, а амплитуда становится равной нулю.

5. Если все составляющие спектральной плотности ограниченного во времени сигнала сдвигаются по фазе на +(л)?о> то этот сиг- нал сдвигается во времени на величину +? 0 . Действительно:

6. При передаче ограниченного во времени сигнала через линейный четырехполюсник, АЧХ которого в полосе пропускания равна постоянной величине К 0 , а фазовая характеристика ср(со) = = -а)? 0 > форма этого сигнала остается неизменной, а сигнал запаздывает во времени на величину? 0:

Решение. Спектральная плотность задержанного на время? 0 импульса равна

где м(?) - импульс, который расположен в начале координат;

Вычисления дают следующий результат:

Запишем эту плотность в виде где

Последнее выражение определяет спектральную плотность сигнала и(?). В диапазоне частот спектральная плотность является положительной величиной, д(со) = = 1. Поэтому в этом диапазоне фазовая характеристика ф(со) = 0, так как (о)) = = со8ф(со) + ^ з1п ср(со).

В диапазоне частот спектральная плотность является отрицательной величиной. Фазовая характеристика в этом диапазоне равна ср(со) = я, так как

АЧХ спектральной плотности задержанного импульса совпадает с АЧХ спектральной плотности сигнала «(?), а ФЧХ определяется выражением

Спектральная плотность прямоугольного импульса г/(?), АЧХ и ФЧХ этой плотности изображены на рис. 2.4.

Рис. 2.4.

Пример 2.3. Вычислить спектральную плотность кодированного сигнала

где ак - элементы кодового слова, равные -1 или 1, т.е. = +1, и 0 (0 - прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью т и.

Решение. Применим формулу (2.14):

После замены переменной , получим

Пример 2.4. Вычислить спектральную плотность периодического сигнала, записанного в виде ряда Фурье в тригонометрической форме [см. формулу (2.11)]. Записать выражения АЧХ и ФЧХ постоянной, синусной и косинусной составляющих этого ряда.

Решение. Функции, определяющие формулу (2.11), - периодические, за исключением постоянной составляющей. Эту составляющую аппроксимируем периодической косинусной функцией с частотой, которая стремится к нулю:

Вычислим спектральную плотность периодического сигнала u(t ) = = a cos fit, записав его в виде

Значение первого слагаемого, стоящего в скобках выражения, равно 1, если со = -Q, и равно 0 для других дискретных значений частоты со = kfl, k = 0, 1, ±2, ±3, ±4, .... Значение второго слагаемого равно 1, если со = Q, и равно 0 для других дискретных значений частоты to = kQ, k = 0, -1, ±2, ±3, ±4, .... Учитывая это, найдем спектральную плотность, АЧХ и ФЧХ спектральной плотности периодического сигнала u(t ) = a cos Q?:

Значения АЧХ спектральной плотности в точках частотной оси со = +?2 равны паТ/(2п) = аТ/2.

Значения ФЧХ спектральной плотности гармонического сигнала в точках частотной оси со = равны 0.

По формуле спектральной плотности косинусоидального сигнала можно найти спектральную плотность постоянной составляющей:

АЧХ спектральной плотности постоянной составляющей определяется значением

Вычисление спектральной плотности синусоидального сигнала аналогично вычислению спектральной плотности косинусоидального сигнала.

Запишем периодический сигнал u(t) = bsinQ? в виде

где

Спектральная плотность сигнала и 0 (О:

По найденному выражению найдем спектральную плотность периодического сигнала u(t ) = b sin Qt:

АЧХ спектральной плотности этого сигнала в точках частотной оси со = +П:

Значения ФЧХ спектральной плотности сигнала в точках частотной оси со = +П равны -я/2, п/ 2.

Полученные формулы для спектральных плотностей гармонических сигналов позволяют найти спектральную плотность суммы этих сигналов:

где - модуль спектра, равный амплитуде гармонического

сигнала; ф(П) = -экЛ%(Ь/а) - значение фазы спектра, равное значению начальной фазы этого сигнала.

Ряд Фурье в тригонометрической форме (2.11) содержит бесконечно большое число сумм гармонических сигналов:

Спектральная плотность этой суммы находится по последнему выражению спектральной плотности заменой П = ко)^. Используя эту формулу и формулу спектральной плотности постоянной составляющей, получим выражение спектральной плотности сигнала, записанного в виде ряда Фурье в тригонометрической форме:

где - модуль спектра; ф^о^) = - значение фазы спектра, равное значению начальной фазы гармонического сигнала.

Для периодической последовательности импульсов, приведенной на рис. 2.1,

Спектральная плотность

Вычисленная спектральная плотность является математической моделью периодически повторяющегося видеоимпульса прямоугольной формы в частотной области. График спектральной плотности показан на рис. 2.5. Дельта-функции на этом рисунке условно изображены стрелками.

Рис. 2.5.

импульсов

График содержит информацию о постоянной составляющей и гармонических сигналах, входящих в ряд Фурье в тригонометрической форме.

Пример 2.5. По спектральной плотности, вид которой приведен на рис. 2.6, вычислить выражение для сигнала «(?)

Рис. 2.6.

Решение. Спектральная плотность сигнала ограничена значениями частоты, равными -со в, со в. Найдем сигнал.

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении s T (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным .

При предельном переходе в случае Т => , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S"(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s"(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S"(f) и s"(t) по их дискретным отсчетам соответствие S"(f) = S(f) и s"(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).

Пример: На интервале Т= , N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехи

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

Классификация помех:

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо просто шумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называют мультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления как замирания .

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

• Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

• Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

Величина, характеризующая распределение энергии по спектру сигнала и называемая энергетической спектральной плотностью, существует лишь для сигналов, У которых энергия за бесконечный интервал времени конечна и, следовательно, к ним применимо преобразование Фурье.

Для незатухающих во времени сигналов энергия бесконечно велика и интеграл (1.54) расходится. Задание спектра амплитуд невозможно. Однако средняя мощность Рср, определяемая соотношением

оказывается конечной. Поэтому применяется более широкое понятие "спектральная плотность мощности". Определим ее как производную средней мощности сигнала по частоте и обозначим Сk(щ):

Индексом k подчеркивается, что здесь мы рассматриваем спектральную плотность мощности как характеристику детерминированной функции u(t), описывающей реализацию сигнала.

Эта характеристика сигнала менее содержательна, чем спектральная плотность амплитуд, так как лишена фазовой информации [см. (1.38)]. Поэтому однозначно восстановить по ней исходную реализацию сигнала невозможно. Однако отсутствие фазовой информации позволяет применить это понятие к сигналам, у которых фаза не определена.

Для установления связи между спектральной плотностью Сk(щ) и спектром амплитуд воспользуемся сигналом u(t), существующим на ограниченном интервале времени (-T<. t

где - спектральная плотность мощности сигнала, ограниченного во времени.

В дальнейшем будет показано (см. § 1.11), что, усредняя эту характеристику по множеству реализаций, можно получить спектральную плотность мощности для большого класса случайных процессов.

Функция автокорреляции детерминированного сигнала

Теперь в частотной области имеется две характеристики: спектральная характеристика и спектральная плотность мощности. Спектральной характеристике, содержащей полную информацию о сигнале u(t), соответствует преобразование Фурье в виде временной функции. Выясним, чему соответствует во временной области спектральная плотность мощности, лишенная фазовой информации.

Следует предположить, что одной и той же спектральной плотности мощности соответствует множество временных функций, различающихся фазами. Советским ученым Л.Я. Хинчиным и американским ученым Н. Винером практически одновременно было найдено обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности:

Обобщенную временную функцию r(), не содержащую фазовой информации, назовем временной автокорреляционной функцией. Она показывает степень связи значений функции u(t), разделенных интервалом времени, и может быть получена из статистической теории путем развития понятия коэффициента корреляции. Отметим, что во временной функции корреляции усреднение проводится по времени в пределах одной реализации достаточно большой продолжительности.

Для полноты мы кратко обсудим ниже понятия спектра и спектральной плотности. Применение этих важных понятий более подробно описано в . Мы не используем их для анализа временных рядов в этой книге, поэтому при первом чтении этот раздел можно опустить.

Выборочный спектр . При определении периодограммы (2.2.5) предполагается, что частоты являются гармониками основной частоты . Вводя спектр, мы ослабляем это предположение и позволяем частоте изменяется непрерывно в диапазоне 0-0,5 Гц. Определение периодограммы может быть изменено следующим образом:

, , (2.2.7)

где называется выборочным спектром . Подобно периодограмме, он может быть использован для обнаружения и оценки амплитуд синусоидальной компоненты неизвестной частоты , скрытой в шуме, и действительно это даже удобнее, если только не известно, что частота связана гармонически с длинной ряда, т. е. . Более того, он является отправным пунктом для теории спектрального анализа, использующей важное соотношение, приведенное в приложении П2.1. Это соотношение устанавливает связь выборочного анализа спектра и оценок автоковариационной функции:

. (2.2.8)

Таким образом, выборочный спектр - это косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Спектр . Периодограмма и выборочный спектр – удобные понятия анализа временных рядов, образованных смесью синусоид косинусоид с постоянными частотами, скрытыми в шуме. Однако стационарные временные ряды такого типа, как описанные в разд. 2.1, характеризуются случайными изменениями частоты, амплитуды и фазы. Для таких рядов выборочный спектр сильно флуктуирует и не допускает какой-либо разумной интерпретации .

Предположим, однако, что выборочный спектр был вычислен для временного ряда из наблюдений, являющегося реализацией стационарного нормального процесса. Как уже говорилось выше, такой процесс не имеет никаких детерминированных синусоидальных или косинусоидальных компонент, но мы можем формально провести анализ Фурье и получить значения , для любой частоты . Если повторные реализации наблюдений порождены стохастическим процессом, мы можем собрать популяцию значений и . Тогда мы можем найти среднее значение по повторным реализациям длины , а именно

. (2.2.9)

Для больших значений можно показать (см., например, ), что среднее значение автоковариации в повторных реализациях стремиться к теоретической автоковариации, т.е.

Переходя к пределу в (2.2.9) для , определяем спектра мощности как

, . (2.2.10)

Отметим, что так как

то для сходимости спектра должно убывать с ростом настолько быстро, что обеспечивать сходимость ряда (2.2.11). Так как спектр мощности это косинус – преобразования Фурье автоковариационной функции, знание автоковариационной функции математически эквивалентно знанию спектра мощности и наоборот. Далее мы будем называть спектр мощности просто спектром.

Интегрируя (2.2.10) в пределах от 0 да 1/2 , найдем дисперсию процесса

. (2.2.12)

Следовательно, так же как периодограмма показывает, каким образом дисперсия (2.2.6) ряда, состоящего из смеси синусоид и косинусоид, распределена между различными гармоническими компонентами, спектр показывает, как дисперсия стохастического процесса распределена в непрерывном диапазоне частот. Можно интерпретировать как приближенное значение дисперсии процесса в частотном диапазоне от до .

Нормированный спектр . Иногда более удобно определять спектр (2.2.10) при помощи автокорреляций , а не автоковариаций . Результирующая функция

, (2.2.13). Однако можно показать (см. ), что выборочный спектр стационарного временного ряда сильно флуктуирует вокруг теоретического спектра. Интуитивное объяснение этого факта заключается в том, что выборочный спектр соответствует использованию слишком узкого интервала в частотной области. Это аналогично использованию слишком узкого интервала группирования для гистограммы при оценке обычного распределения вероятностей, используя модифицированную, или сглаженную, оценку

, (2.2.14)

где - специально подобранные весы, называемые корреляционным окном, можно увеличить «ширину полосы» оценки и получит сглаженную оценку спектра.

На рис. 2.8 показана выборочная оценка спектра данных о партиях продукта. Видно, что дисперсия ряда сконцентрирована в основном на высоких частотах. Это вызвано быстрыми осцилляциями исходно ряда, показанного на рис. 2.1.