چگونه یک مثلث مربع را فاکتورسازی کنیم. فاکتورگیری یک چند جمله ای فاکتورگیری یک چند جمله ای درجه دوم

او یک مربع دارد و از سه جمله () تشکیل شده است. بنابراین به نظر می رسد - یک مثلث مربع.

مثال ها نهسه جمله ای مربع:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - چهارتایی مکعبی
\(2x+1\) - دو جمله ای خطی

ریشه سه جمله ای مربع:

مثال:
مثلث \(x^2-2x+1\) ریشه \(1\) دارد، زیرا \(1^2-2 1+1=0\)
سه جمله ای \(x^2+2x-3\) دارای ریشه های \(1\) و \(-3\) است، زیرا \(1^2+2-3=0\) و \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

مثلا:اگر باید ریشه های مربع مثلثی \(x^2-2x+1\) را پیدا کنید، آن را با صفر برابر می کنیم و معادله \(x^2-2x+1=0\) را حل می کنیم.

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

آماده. ریشه \(1\) است.

تجزیه یک مثلث مربع به:

مثلث مربع \(ax^2+bx+c\) را می توان به صورت \(a(x-x_1)(x-x_2)\) بسط داد اگر معادلات \(ax^2+bx+c=0\) باشد بزرگتر از صفر \ (x_1\) و \(x_2\) ریشه های همان معادله هستند.

مثلا، سه جمله ای \(3x^2+13x-10\) را در نظر بگیرید.
معادله درجه دوم \(3x^2+13x-10=0\) دارای ممیز برابر با 289 (بزرگتر از صفر) است و ریشه ها برابر با \(-5\) و \(\frac(2)(3 هستند. )\). بنابراین \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). به راحتی می توان صحت این جمله را تأیید کرد - اگر ما , آنگاه سه جمله ای اصلی را دریافت می کنیم.

اگر ممیز معادله \(ax^2+bx+c=0\) به صورت \(a(x-x_1)^2\) نشان داده شود. برابر با صفر

اگر ممیز معادله \(ax^2+bx+c=0\) کمتر از صفر باشد، مثلث مربع \(ax^2+bx+c\) فاکتورسازی نمی‌شود.

مثلا، سه جمله های \(x^2+x+4\) و \(-5x^2+2x-1\) دارای ممیز کمتر از صفر هستند. بنابراین، تجزیه آنها به عوامل غیرممکن است.

مثال . فاکتور \(2x^2-11x+12\).
راه حل :
ریشه های معادله درجه دوم \(2x^2-11x+12=0\) را پیدا کنید

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

بنابراین \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
پاسخ : \(2(x-1.5)(x-4)\)

پاسخ دریافتی ممکن است به روش دیگری نوشته شود: \((2x-3)(x-4)\).

مثال . (تکالیف از OGE)مثلث مربع \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\) فاکتور می شود. پیدا کردن یک\).
راه حل:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
پاسخ : \(-1,6\)

در این درس یاد می گیریم که چگونه سه جمله ای های مربعی را به فاکتورهای خطی تجزیه کنیم. برای این کار لازم است قضیه ویتا و معکوس آن را یادآوری کنیم. این مهارت به ما کمک می کند تا سه جمله های مربعی را سریع و راحت به فاکتورهای خطی تجزیه کنیم و همچنین کاهش کسرهای متشکل از عبارات را ساده کنیم.

بنابراین به معادله درجه دوم برگردیم ، جایی که .

آنچه در سمت چپ داریم، مثلث مربع نامیده می شود.

قضیه درست است:اگر ریشه های یک مثلث مربع باشد، پس هویت درست است

ضریب پیشرو کجاست، ریشه های معادله هستند.

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم داریم - یک مثلث مربع، که در آن به ریشه های معادله درجه دوم، ریشه های سه جمله ای درجه دوم نیز گفته می شود. بنابراین، اگر ریشه های یک مثلث مربع را داشته باشیم، این سه جمله ای به عوامل خطی تجزیه می شود.

اثبات:

اثبات این واقعیت با استفاده از قضیه Vieta انجام می شود که در درس های قبلی در نظر گرفتیم.

بیایید آنچه را که قضیه ویتا به ما می گوید به یاد بیاوریم:

اگر ریشه های یک مثلث مربعی هستند که برای آن .

این قضیه بر این ادعا دلالت دارد که .

می بینیم که با توجه به قضیه Vieta، یعنی با جایگزینی این مقادیر در فرمول بالا، عبارت زیر را به دست می آوریم.

Q.E.D.

به یاد بیاورید که ما این قضیه را ثابت کردیم که اگر ریشه های یک مثلث مربع باشد، تجزیه معتبر است.

حال بیایید مثالی از یک معادله درجه دوم را به یاد بیاوریم که ریشه های آن را با استفاده از قضیه ویتا انتخاب کردیم. از این واقعیت می توانیم به لطف قضیه اثبات شده برابری زیر را به دست آوریم:

حال بیایید صحت این واقعیت را به سادگی با باز کردن پرانتزها بررسی کنیم:

می بینیم که به درستی فاکتور گرفتیم و هر سه جمله ای اگر ریشه داشته باشد می توان با توجه به این قضیه به عوامل خطی طبق فرمول تبدیل کرد.

با این حال، بیایید بررسی کنیم که آیا برای هر معادله ای چنین فاکتورگیری امکان پذیر است یا خیر:

به عنوان مثال معادله را در نظر می گیریم. ابتدا علامت تشخیص دهنده را بررسی می کنیم

و به یاد می آوریم که برای تحقق قضیه ای که آموخته ایم، D باید بزرگتر از 0 باشد، بنابراین در این حالت، فاکتورگیری بر اساس قضیه مورد مطالعه غیرممکن است.

بنابراین، ما یک قضیه جدید را فرموله می کنیم: اگر یک مثلث مربع بدون ریشه باشد، نمی توان آن را به عوامل خطی تجزیه کرد.

بنابراین، قضیه ویتا، امکان تجزیه یک مثلث مربع به عوامل خطی را در نظر گرفتیم و اکنون چندین مسئله را حل خواهیم کرد.

وظیفه شماره 1

در این گروه در واقع مسئله را برعکس آنچه مطرح شده حل خواهیم کرد. ما یک معادله داشتیم و ریشه های آن را در حال تجزیه به عوامل یافتیم. در اینجا ما برعکس عمل خواهیم کرد. فرض کنید ریشه های یک معادله درجه دوم را داریم

مشکل معکوس این است: یک معادله درجه دوم را طوری بنویسید که ریشه های آن باشد.

2 راه برای حل این مشکل وجود دارد.

از آنجایی که ریشه های معادله هستند، پس معادله درجه دومی است که به ریشه های آن اعداد داده می شود. حالا بیایید براکت ها را باز کنیم و بررسی کنیم:

این اولین راهی بود که ما یک معادله درجه دوم با ریشه های داده شده ایجاد کردیم که هیچ ریشه دیگری ندارد، زیرا هر معادله درجه دوم حداکثر دو ریشه دارد.

این روش شامل استفاده از قضیه معکوس Vieta است.

اگر ریشه های معادله باشند، آنگاه شرطی را برآورده می کنند که .

برای معادله درجه دوم کاهش یافته ، یعنی در این مورد و .

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم ایجاد کرده ایم که ریشه های داده شده را دارد.

وظیفه شماره 2

شما باید کسر را کاهش دهید.

ما یک مثلثی در صورت و یک مثلثی در مخرج داریم و ممکن است سه جمله ها فاکتورگیری شوند یا نباشند. اگر هم صورت و هم مخرج فاکتور شوند، ممکن است در بین آنها عوامل مساوی وجود داشته باشد که بتوان آنها را کاهش داد.

اول از همه لازم است که شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

ابتدا باید بررسی کنید که آیا این معادله قابل فاکتورسازی است یا خیر، متمایز کننده را پیدا کنید. از آنجایی که علامت به محصول بستگی دارد (باید کمتر از 0 باشد)، در این مثال، یعنی معادله داده شده دارای ریشه است.

برای حل، از قضیه Vieta استفاده می کنیم:

در این مورد، از آنجایی که ما با ریشه ها سروکار داریم، برداشتن ریشه ها به سادگی بسیار دشوار خواهد بود. اما می بینیم که ضرایب متعادل هستند، یعنی اگر این را فرض کنیم و این مقدار را جایگزین معادله کنیم، سیستم زیر به دست می آید: یعنی 5-5=0. بنابراین، یکی از ریشه های این معادله درجه دوم را انتخاب کرده ایم.

ما با جایگزین کردن آنچه قبلاً شناخته شده است در سیستم معادلات به دنبال ریشه دوم خواهیم بود، به عنوان مثال، i.e. .

بنابراین، ما هر دو ریشه معادله درجه دوم را پیدا کرده‌ایم و می‌توانیم مقادیر آنها را با معادله اصلی جایگزین کنیم تا آن را فاکتور کنیم:

مشکل اصلی را به یاد بیاورید، ما نیاز به کاهش کسر داشتیم.

بیایید سعی کنیم با جایگزین کردن عدد به جای عدد، مشکل را حل کنیم.

لازم است فراموش نکنید که در این حالت مخرج نمی تواند برابر با 0 باشد، یعنی،.

اگر این شرایط رعایت شود، کسر اصلی را به شکل کاهش می دهیم.

وظیفه شماره 3 (وظیفه با یک پارامتر)

مجموع ریشه های معادله درجه دوم در چه مقادیری از پارامتر است

اگر ریشه های این معادله وجود داشته باشد، پس ، سوال این است که چه زمانی.

این ماشین حساب آنلاین برای فاکتورسازی یک تابع طراحی شده است.

به عنوان مثال، Factorize: x 2 /3-3x+12 . بیایید آن را به صورت x^2/3-3*x+12 بنویسیم. همچنین می توانید از این سرویس استفاده کنید، جایی که تمام محاسبات در قالب Word ذخیره می شوند.

به عنوان مثال، به اصطلاح تجزیه کنید. بیایید آن را به صورت (1-x^2)/(x^3+x) بنویسیم. برای مشاهده پیشرفت راه حل، روی نمایش مراحل کلیک کنید. در صورت نیاز به دریافت نتیجه با فرمت Word از این سرویس استفاده کنید.

توجه داشته باشید: عدد پی (π) به صورت پی نوشته می شود. جذر به صورت sqrt، به عنوان مثال sqrt(3)، مماس tg به صورت tan نوشته می شود. برای پاسخ به بخش جایگزین مراجعه کنید.

1. اگر یک عبارت ساده داده شود، به عنوان مثال، 8*d+12*c*d، فاکتور کردن عبارت به معنای فاکتورگیری عبارت است. برای این کار باید عوامل مشترک را پیدا کنید. این عبارت را به صورت: 4*d*(2+3*c) می نویسیم.
2. حاصلضرب را به صورت دو جمله ای بیان کنید: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . در اینجا ما باید چندین عامل مشترک را پیدا کنیم: x(x + 7z) + 3y (x + 7z). (x+7z) را بیرون می آوریم و می گیریم: (x+7z)(x + 3y) .

همچنین به تقسیم چند جمله ای ها به یک گوشه مراجعه کنید (همه مراحل تقسیم بر یک ستون نشان داده شده است)

در یادگیری قواعد فاکتورسازی مفید هستند فرمول ضرب مختصر، که با آن نحوه باز کردن براکت ها با مربع مشخص خواهد شد:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

روش های فاکتورینگ

1. استفاده از فرمول های ضرب مختصر
2. جستجو برای یک عامل مشترک

در این درس یاد می گیریم که چگونه سه جمله ای های مربعی را به فاکتورهای خطی تجزیه کنیم. برای این کار لازم است قضیه ویتا و معکوس آن را یادآوری کنیم. این مهارت به ما کمک می کند تا سه جمله های مربعی را سریع و راحت به فاکتورهای خطی تجزیه کنیم و همچنین کاهش کسرهای متشکل از عبارات را ساده کنیم.

بنابراین به معادله درجه دوم برگردیم ، جایی که .

آنچه در سمت چپ داریم، مثلث مربع نامیده می شود.

قضیه درست است:اگر ریشه های یک مثلث مربع باشد، پس هویت درست است

ضریب پیشرو کجاست، ریشه های معادله هستند.

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم داریم - یک مثلث مربع، که در آن به ریشه های معادله درجه دوم، ریشه های سه جمله ای درجه دوم نیز گفته می شود. بنابراین، اگر ریشه های یک مثلث مربع را داشته باشیم، این سه جمله ای به عوامل خطی تجزیه می شود.

اثبات:

اثبات این واقعیت با استفاده از قضیه Vieta انجام می شود که در درس های قبلی در نظر گرفتیم.

بیایید آنچه را که قضیه ویتا به ما می گوید به یاد بیاوریم:

اگر ریشه های یک مثلث مربعی هستند که برای آن .

این قضیه بر این ادعا دلالت دارد که .

می بینیم که با توجه به قضیه Vieta، یعنی با جایگزینی این مقادیر در فرمول بالا، عبارت زیر را به دست می آوریم.

Q.E.D.

به یاد بیاورید که ما این قضیه را ثابت کردیم که اگر ریشه های یک مثلث مربع باشد، تجزیه معتبر است.

حال بیایید مثالی از یک معادله درجه دوم را به یاد بیاوریم که ریشه های آن را با استفاده از قضیه ویتا انتخاب کردیم. از این واقعیت می توانیم به لطف قضیه اثبات شده برابری زیر را به دست آوریم:

حال بیایید صحت این واقعیت را به سادگی با باز کردن پرانتزها بررسی کنیم:

می بینیم که به درستی فاکتور گرفتیم و هر سه جمله ای اگر ریشه داشته باشد می توان با توجه به این قضیه به عوامل خطی طبق فرمول تبدیل کرد.

با این حال، بیایید بررسی کنیم که آیا برای هر معادله ای چنین فاکتورگیری امکان پذیر است یا خیر:

به عنوان مثال معادله را در نظر می گیریم. ابتدا علامت تشخیص دهنده را بررسی می کنیم

و به یاد می آوریم که برای تحقق قضیه ای که آموخته ایم، D باید بزرگتر از 0 باشد، بنابراین در این حالت، فاکتورگیری بر اساس قضیه مورد مطالعه غیرممکن است.

بنابراین، ما یک قضیه جدید را فرموله می کنیم: اگر یک مثلث مربع بدون ریشه باشد، نمی توان آن را به عوامل خطی تجزیه کرد.

بنابراین، قضیه ویتا، امکان تجزیه یک مثلث مربع به عوامل خطی را در نظر گرفتیم و اکنون چندین مسئله را حل خواهیم کرد.

وظیفه شماره 1

در این گروه در واقع مسئله را برعکس آنچه مطرح شده حل خواهیم کرد. ما یک معادله داشتیم و ریشه های آن را در حال تجزیه به عوامل یافتیم. در اینجا ما برعکس عمل خواهیم کرد. فرض کنید ریشه های یک معادله درجه دوم را داریم

مشکل معکوس این است: یک معادله درجه دوم را طوری بنویسید که ریشه های آن باشد.

2 راه برای حل این مشکل وجود دارد.

از آنجایی که ریشه های معادله هستند، پس معادله درجه دومی است که به ریشه های آن اعداد داده می شود. حالا بیایید براکت ها را باز کنیم و بررسی کنیم:

این اولین راهی بود که ما یک معادله درجه دوم با ریشه های داده شده ایجاد کردیم که هیچ ریشه دیگری ندارد، زیرا هر معادله درجه دوم حداکثر دو ریشه دارد.

این روش شامل استفاده از قضیه معکوس Vieta است.

اگر ریشه های معادله باشند، آنگاه شرطی را برآورده می کنند که .

برای معادله درجه دوم کاهش یافته ، یعنی در این مورد و .

بنابراین، ما یک معادله درجه دوم ایجاد کرده ایم که ریشه های داده شده را دارد.

وظیفه شماره 2

شما باید کسر را کاهش دهید.

ما یک مثلثی در صورت و یک مثلثی در مخرج داریم و ممکن است سه جمله ها فاکتورگیری شوند یا نباشند. اگر هم صورت و هم مخرج فاکتور شوند، ممکن است در بین آنها عوامل مساوی وجود داشته باشد که بتوان آنها را کاهش داد.

اول از همه لازم است که شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

ابتدا باید بررسی کنید که آیا این معادله قابل فاکتورسازی است یا خیر، متمایز کننده را پیدا کنید. از آنجایی که علامت به محصول بستگی دارد (باید کمتر از 0 باشد)، در این مثال، یعنی معادله داده شده دارای ریشه است.

برای حل، از قضیه Vieta استفاده می کنیم:

در این مورد، از آنجایی که ما با ریشه ها سروکار داریم، برداشتن ریشه ها به سادگی بسیار دشوار خواهد بود. اما می بینیم که ضرایب متعادل هستند، یعنی اگر این را فرض کنیم و این مقدار را جایگزین معادله کنیم، سیستم زیر به دست می آید: یعنی 5-5=0. بنابراین، یکی از ریشه های این معادله درجه دوم را انتخاب کرده ایم.

ما با جایگزین کردن آنچه قبلاً شناخته شده است در سیستم معادلات به دنبال ریشه دوم خواهیم بود، به عنوان مثال، i.e. .

بنابراین، ما هر دو ریشه معادله درجه دوم را پیدا کرده‌ایم و می‌توانیم مقادیر آنها را با معادله اصلی جایگزین کنیم تا آن را فاکتور کنیم:

مشکل اصلی را به یاد بیاورید، ما نیاز به کاهش کسر داشتیم.

بیایید سعی کنیم با جایگزین کردن عدد به جای عدد، مشکل را حل کنیم.

لازم است فراموش نکنید که در این حالت مخرج نمی تواند برابر با 0 باشد، یعنی،.

اگر این شرایط رعایت شود، کسر اصلی را به شکل کاهش می دهیم.

وظیفه شماره 3 (وظیفه با یک پارامتر)

مجموع ریشه های معادله درجه دوم در چه مقادیری از پارامتر است

اگر ریشه های این معادله وجود داشته باشد، پس ، سوال این است که چه زمانی.

فاکتورسازی یک مثلث مربعمی تواند هنگام حل نابرابری های مسئله C3 یا مسئله با پارامتر C5 مفید باشد. همچنین اگر قضیه ویتا را بدانید، بسیاری از مسائل کلمه B13 خیلی سریعتر حل خواهند شد.

این قضیه را البته می توان از منظر کلاس هشتم که برای اولین بار در آن گذرانده است در نظر گرفت. اما وظیفه ما این است که به خوبی برای امتحان آماده شویم و یاد بگیریم که چگونه تکالیف امتحانی را به بهترین نحو ممکن حل کنیم. بنابراین در این درس رویکرد کمی با مدرسه متفاوت است.

فرمول ریشه های معادله طبق قضیه ویتابسیاری را می شناسید (یا حداقل دیده اید):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a)، \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a)،$$

که در آن «a، b» و «c» ضرایب مربع مثلثی «ax^2+bx+c» هستند.

برای اینکه یاد بگیریم چگونه از قضیه به راحتی استفاده کنیم، بیایید بفهمیم که از کجا آمده است (به خاطر سپردن به این روش واقعا آسان تر خواهد بود).

اجازه دهید معادله «ax^2+ bx+ c = 0» را داشته باشیم. برای راحتی بیشتر، آن را بر «a» تقسیم می کنیم و «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0» را می گیریم. چنین معادله ای معادله درجه دوم کاهش یافته نامیده می شود.

نکات مهم درسی: هر چند جمله ای مربعی که ریشه دارد را می توان به براکت تجزیه کرد.فرض کنید مال ما می تواند به صورت `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` نمایش داده شود، جایی که `k` و `l` - برخی از ثابت ها

بیایید ببینیم پرانتزها چگونه باز می شوند:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

بنابراین، `k+l = \frac(b)(a)، kl = \frac(c)(a)`.

این کمی با تفسیر کلاسیک متفاوت است قضایای ویتا- در آن ما به دنبال ریشه های معادله هستیم. من پیشنهاد می کنم به دنبال شرایط برای گسترش های براکت- بنابراین نیازی نیست که منهای فرمول را به خاطر بسپارید (به معنای `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). کافی است دو عدد از این دست را انتخاب کنید که مجموع آنها برابر با ضریب میانگین و حاصل ضرب برابر با عبارت آزاد باشد.

اگر به حل معادله نیاز داشته باشیم، واضح است: ریشه های `x=-k` یا `x=-l` (زیرا در این موارد یکی از پرانتزها صفر خواهد بود، به این معنی که کل عبارت خواهد بود برابر با صفر).

به عنوان مثال، من الگوریتم را نشان خواهم داد، چگونه یک چند جمله ای مربع را به پرانتز تجزیه کنیم.

مثال یک. الگوریتم فاکتورگیری یک مثلث مربع

مسیری که داریم، مثلث مربع «x^2+5x+4» است.

کاهش می یابد (ضریب 'x^2' برابر با یک است). او ریشه دارد. (برای اطمینان، می توانید تفکیک کننده را تخمین بزنید و مطمئن شوید که بزرگتر از صفر است.)

مراحل بعدی (با تکمیل تمام وظایف آموزشی باید یاد گرفت):

1. نماد زیر را ایجاد کنید: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ به جای نقطه فضای خالی بگذارید، اعداد و علائم مناسب را در آنجا اضافه می کنیم.
2. همه گزینه های ممکن را در نظر بگیرید که چگونه می توانید عدد "4" را به حاصل ضرب دو عدد تجزیه کنید. ما جفت "نامزد" برای ریشه های معادله دریافت می کنیم: `2, 2` و `1, 4`.
3. تخمین بزنید که از کدام جفت می توانید ضریب میانگین را بدست آورید. بدیهی است که «1، 4» است.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ را بنویسید.
5. مرحله بعدی قرار دادن علائم در مقابل اعداد درج شده است.

   چگونه بفهمیم و برای همیشه به خاطر بسپاریم که چه علائمی باید جلوی اعداد داخل پرانتز باشد؟ سعی کنید آنها را گسترش دهید (پرانتز). ضریب قبل از «x» تا توان اول «(± 4 ± 1)» خواهد بود (ما هنوز علائم را نمی دانیم - باید انتخاب کنیم)، و باید برابر با 5 باشد. بدیهی است که در اینجا دو علامت مثبت وجود خواهد داشت $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   این عملیات را چندین بار انجام دهید (سلام، وظایف آموزشی!) و دیگر هیچ مشکلی در این مورد وجود نخواهد داشت.

اگر باید معادله «x^2+5x+4» را حل کنید، اکنون حل آن دشوار نیست. ریشه های آن "-4، -1" است.

مثال دوم فاکتورسازی یک مثلث مربع با ضرایب علائم مختلف

اجازه دهید ما باید معادله "x^2-x-2=0" را حل کنیم. بدیهی است، تمایز مثبت است.

الگوریتم را دنبال می کنیم.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. فقط یک فاکتورسازی عدد صحیح از 2 وجود دارد: `2 · 1`.
3. ما از موضوع می گذریم - چیزی برای انتخاب وجود ندارد.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. حاصل ضرب اعداد ما منفی است (`-2` یک عبارت آزاد است)، به این معنی که یکی از آنها منفی و دیگری مثبت خواهد بود.
   از آنجایی که مجموع آنها برابر "-1" است (ضریب "x")، پس "2" منفی خواهد بود (توضیح شهودی - دو عدد بزرگتر از دو عدد است، بیشتر در جهت منفی "کشش" خواهد کرد). ما $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) را دریافت می کنیم.$$

مثال سوم. فاکتورسازی یک مثلث مربع

معادله "x^2+5x -84 = 0".

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. تجزیه 84 به عوامل اعداد صحیح: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. از آنجایی که ما نیاز داریم که تفاضل (یا مجموع) اعداد 5 باشد، جفت «7، 12» این کار را خواهد کرد.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

امید، تجزیه این مثلث مربع به پرانتزواضح است.

اگر به یک راه حل برای معادله نیاز دارید، در اینجا این است: «12، -7».

وظایف برای آموزش

در اینجا چند نمونه آورده شده است که به راحتی انجام می شود با استفاده از قضیه ویتا حل می شوند.(نمونه هایی از ریاضیات، 2002 گرفته شده است.)

1. "x^2+x-2=0".
2. "x^2-x-2=0".
3. «x^2+x-6=0».
4. "x^2-x-6=0".
5. `x^2+x-12=0`
6. "x^2-x-12=0".
7. «x^2+x-20=0».
8. "x^2-x-20=0".
9. `x^2+x-42=0`
10. "x^2-x-42=0".
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. «x^2+x-110=0».
16. "x^2-x-110=0".
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

چند سال پس از نگارش مقاله، مجموعه ای از 150 کار برای بسط یک چند جمله ای درجه دوم با استفاده از قضیه Vieta ظاهر شد.

لایک کنید و در نظرات سوال بپرسید!