Մատրիցա-վեկտոր բազմապատկման ալգորիթմ. Մատրիցային բազմապատկում. օրինակներ, գործողությունների ալգորիթմ, արտադրանքի հատկություններ

MatLab համակարգում բավականին պարզ է մաթեմատիկական գործողություններ կատարել մատրիցների և վեկտորների վրա: Եկեք նախ դիտարկենք մատրիցների և վեկտորների գումարման և բազմապատկման պարզ գործողություններ: Թող տրվի երկու վեկտոր

a = ; % տող վեկտոր
բ = ; %սյունակի վեկտոր

ապա այս երկու վեկտորների բազմապատկումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ

c = a * b; % c=1+2+3+4+5=16
d = b * a; % d – 5x5 տարրերի մատրիցա

Վեկտորների վրա կատարվող գործողություններին համապատասխան, տողի վեկտորը սյունակով վեկտորով բազմապատկելը տալիս է թիվ, իսկ սյունակի վեկտորը տողով վեկտորով բազմապատկումը՝ երկչափ մատրիցա, որը վերը նշված օրինակի հաշվարկների արդյունքն է, այսինքն.

Երկու վեկտորների գումարումը և հանումը գրվում է հետևյալ կերպ.

a1 =;
a2 =;
c = a1+a2; % c =;
c = a2-a1; % c = ;

Նշենք, որ գումարման և հանման գործողությունները կարող են իրականացվել երկու սյունակ վեկտորների կամ երկու տող վեկտորների միջև: Հակառակ դեպքում MatLab-ը կցուցադրի սխալի հաղորդագրություն, քանի որ Տարբեր տեսակի վեկտորներ չեն կարող ավելացվել: Այդպես է բոլոր ապօրինի թվաբանական գործողությունների դեպքում. եթե դրանք չեն կարող հաշվարկվել, MatLab-ը կհայտնի սխալի մասին, և ծրագիրը կդադարեցվի համապատասխան տողում:

Մատրիցների միջև բազմապատկման և գումարման գործողությունները կատարվում են նույն կերպ.

A = ;
B = նրանք (3);
C = A + B; Նույն չափի երկու մատրիցների % ավելացում
D = A + 5; Մատրիցայի և թվի ավելացում
E = A * B; A մատրիցի % բազմապատկում B-ով
F = B * A; B մատրիցի % բազմապատկում A-ով
G = 5 * A; % բազմապատկելով մատրիցը թվով

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու, ինչպես նաև մատրիցների և վեկտորների փոխադրման գործողությունները գրվում են հետևյալ կերպ.

a = ; % տող վեկտոր
b = a'; % սյունակի վեկտորը, որը ձևավորվել է
% տողերի վեկտորի փոխադրմամբ a.
A = ; % 3x3 տարրի մատրիցա
B = a * A; %B = – տողի վեկտոր
C = A * b; %C = – սյունակի վեկտոր
D = a * A * a '; % D = 45 – թիվ, Ա մատրիցի տարրերի գումար
E = A'; % E – փոխադրված մատրից A
F = inv (A); % F – հակադարձ մատրից A
G = A^-1; % G – հակադարձ մատրիցա A

Վերոնշյալ օրինակից պարզ է դառնում, որ մատրիցների և վեկտորների փոխադրման գործողությունը նշվում է «ապոստրոֆ» նշանով, որը տեղադրված է վեկտորի կամ մատրիցի անունից հետո։ Մատրիցի հակադարձի հաշվարկը կարելի է անել՝ կանչելով inv() ֆունկցիան կամ մատրիցը հասցնելով -1 հզորության։ Արդյունքը երկու դեպքում էլ նույնն է լինելու, և տարբեր ալգորիթմներ իրականացնելիս օգտագործման հեշտության համար հաշվարկման երկու եղանակ է կազմված։

Եթե ​​հաշվարկների ընթացքում անհրաժեշտ է բազմապատկել, բաժանել կամ բարձրացնել վեկտորի կամ մատրիցայի տարրերը տարր առ տարր, ապա դրա համար օգտագործվում են հետևյալ օպերատորները.

.* - տարրական բազմապատկում;
./ and.\ - տարր առ տարր բաժանումներ;
.^ - տարրական աստիճանականացում։

Եկեք նայենք, թե ինչպես են աշխատում այս օպերատորները՝ օգտագործելով հետևյալ օրինակը։

a = ; % տող վեկտոր
բ = ; % տող վեկտոր
c = a.*b; %c=
A = նրանք (3); % 3x3 մատրիցա, որը բաղկացած է միավորներից
B = ; % 3x3 մատրիցա
C = A. * B; % 3x3 մատրիցա, որը բաղկացած է
D = A./B; % 3x3 մատրիցա, որը բաղկացած է
E = A.\B; % 3x3 մատրիցա, որը բաղկացած է
F = A.^2; % Ա մատրիցի տարրերի քառակուսում

Այս բաժինը եզրափակելու համար մենք կքննարկենք մի քանի գործառույթներ, որոնք օգտակար են վեկտորների և մատրիցների հետ աշխատելիս:

Վեկտորային տարրի առավելագույն արժեքը գտնելու համար օգտագործեք ստանդարտ max() ֆունկցիան, որը վերադարձնում է տարրի գտնված առավելագույն արժեքը և նրա դիրքը (ինդեքսը).

a = ;
= max (a); % v = 6, i = 2;

v = max (a); % v = 6;

Վերոնշյալ օրինակը ցույց է տալիս max() ֆունկցիան կանչելու երկու տարբեր եղանակներ: Առաջին դեպքում որոշվում են և՛ տարրի առավելագույն արժեքը, և՛ նրա ինդեքսը վեկտորում, իսկ երկրորդում՝ միայն տարրի առավելագույն արժեքը։

Մատրիցների դեպքում այս ֆունկցիան որոշում է սյունակներում կանգնած առավելագույն արժեքները, ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված օրինակում.

A = ;
= max (A); %V=,I=
V = max (A); %V=

max() ֆունկցիայի ամբողջական շարահյուսությունը կարելի է գտնել MatLab հրամանի պատուհանում մուտքագրելով հրամանը:

Օգնություն<название функции>

Նմանապես աշխատում է min() ֆունկցիան, որը որոշում է վեկտորի կամ մատրիցի տարրի նվազագույն արժեքը և դրա ինդեքսը։

Մատրիցների և վեկտորների հետ աշխատելու մեկ այլ օգտակար գործառույթ է sum() ֆունկցիան, որը հաշվարկում է վեկտորի կամ մատրիցային սյունակների տարրերի արժեքների գումարը.

a = ;
s = գումար (a); % s = 3+5+4+2+1=15
A = ;
S1 = գումար (A); %S1=
S2 = գումար (գումար (A)); % S2=39

S2 գումարը հաշվարկելիս Ա մատրիցայի տարրերի արժեքների գումարը սկզբում հաշվարկվում է սյունակներով, այնուհետև՝ տողերով: Արդյունքում, S2 փոփոխականը պարունակում է A մատրիցի բոլոր տարրերի արժեքների գումարը:

Վեկտորի կամ մատրիցի տարրերի արժեքները աճման կամ նվազման կարգով դասավորելու համար օգտագործեք sort() ֆունկցիան հետևյալ կերպ.

a = ;

b1 = տեսակավորում (a); %b1=
b2 = տեսակավորում (a, «իջնել»); %b2=
b3 = տեսակավորում (a, «բարձրանալ»); %b3=

մատրիցների համար

A = ;
B1 = տեսակավորում (A); %B1=
B2 = տեսակավորում (A, «իջնել»); %B2=

Բազմաթիվ գործնական խնդիրներում հաճախ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորի կամ մատրիցի մեջ կոնկրետ տարր: Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով ստանդարտ find() ֆունկցիան, որը որպես արգումենտ ընդունում է մի պայման, ըստ որի՝ գտնվում են պահանջվող տարրերը, օրինակ՝

a = ;
b1 = գտնել (a == 2); % b1 = 4 – 2-րդ տարրի ինդեքս
b2 = գտնել (a ~= 2); % b2 = – ինդեքսներ առանց 2-ի
b3 = գտնել (a > 3); % b3 =

Բերված օրինակում «==» նշանը նշանակում է հավասարության ստուգում, իսկ «~=» նշանը ստուգում է վեկտորի a տարրերի արժեքների անհավասարությունը: Այս օպերատորներն ավելի մանրամասն կներկայացվեն «Պայմանական օպերատորներ» բաժնում:

Վեկտորների և մատրիցների հետ աշխատելու համար մեկ այլ օգտակար ֆունկցիա է միջին թվաբանականը հաշվարկելու միջին() ֆունկցիան, որն աշխատում է հետևյալ կերպ.

a = ;
m = միջին (a); % m = 3
A = ;
M1 = միջին (A); % M1 =
M2 = միջին (միջին (A)); % M2 = 4.333

Մատրիցային արտադրյալը (C = AB) գործողություն է միայն համընկնող A և B մատրիցների համար, որոնցում A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին.

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Օրինակ 1

Տրված մատրիցներ.

• A = a (i j) չափերի m × n;
• B = b (i j) չափերը p × n

C մատրիցա, որի c i j տարրերը հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով.

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . մ

Օրինակ 2

Եկեք հաշվարկենք AB=BA արտադրյալները.

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Լուծում՝ օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը.

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Գտնվում են A B և BA A արտադրյալները, բայց դրանք տարբեր չափերի մատրիցներ են. A B-ն հավասար չէ BA A-ին:

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները.

• (A B) C = A (B C) - մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն;
• A (B + C) = A B + A C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• (A + B) C = A C + B C - բազմապատկման բաշխվածություն;
• λ (A B) = (λ A) B

Ստուգենք թիվ 1 հատկությունը՝ (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100:

Օրինակ 2

Ստուգենք թիվ 2 հատկությունը՝ A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58:

Երեք մատրիցների արտադրանք

A B C երեք մատրիցների արտադրյալը հաշվարկվում է 2 եղանակով.

• գտնել A B և բազմապատկել C-ով. (A B) C;
• կամ նախ գտեք B C-ն, այնուհետև բազմապատկեք A (B C):

Մատրիցները բազմապատկեք 2 եղանակով.

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Գործողությունների ալգորիթմ.

• գտնել 2 մատրիցների արտադրյալը;
• ապա նորից գտեք 2 մատրիցների արտադրյալը:

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Մենք օգտագործում ենք A B C = (A B) C բանաձևը.

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = 2 - 14 - 1

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Պատասխան՝ 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Մատրիցը թվով բազմապատկելը

A մատրիցի արտադրյալը k թվով B = A k նույն չափի մատրիցն է, որը ստացվում է սկզբնականից՝ նրա բոլոր տարրերը բազմապատկելով տրված թվով.

b i, j = k × a i, j

Մատրիցը թվով բազմապատկելու հատկությունները.

• 1 × Ա = Ա
• 0 × A = զրոյական մատրիցա
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n Ա
• (k × n) × A = k (n × A)

Գտնենք A = 4 2 9 0 մատրիցի արտադրյալը 5-ով:

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելը

Մատրիցի և վեկտորի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել՝ օգտագործելով «տող առ սյունակ» կանոնը.

• եթե մատրիցը բազմապատկեք սյունակային վեկտորով, մատրիցի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի սյունակի վեկտորի տողերի թվին.
• Սյունակի վեկտորի բազմապատկման արդյունքը պարզապես սյունակի վեկտոր է.

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 b 1 + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 մ

• եթե մատրիցը բազմապատկեք տողով վեկտորով, ապա բազմապատկվող մատրիցը պետք է լինի բացառապես սյունակ վեկտոր, և սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի տողերի վեկտորի սյունակների թվին.

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Օրինակ 5

Գտնենք A մատրիցի և B սյունակի վեկտորի արտադրյալը.

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Օրինակ 6

Գտնենք A մատրիցի և B տողի վեկտորի արտադրյալը.

A = 3 2 0 - 1, B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Պատասխան՝ A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Յուրաքանչյուր վեկտոր կարելի է դիտարկել որպես մեկ սյունակ կամ մեկ տող մատրիցա։ Մեկ սյունակ մատրիցը մենք կանվանենք սյունակ վեկտոր, իսկ մեկ տողով մատրիցը՝ տող վեկտոր։

Եթե ​​A-ն m*n չափի մատրիցա է, ապա b սյունակի վեկտորը ունի n չափ, իսկ տողի b վեկտորը՝ m չափ:

Այսպիսով, մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու համար մենք պետք է վեկտորը դիտարկենք որպես սյունակի վեկտոր: Վեկտորը մատրիցով բազմապատկելիս այն պետք է դիտարկել որպես տողի վեկտոր:

Բազմապատկել մատրիցը

դեպի բարդ վեկտոր

Մենք ստանում ենք արդյունքը

Ինչպես տեսնում եք, եթե վեկտորի չափը անփոփոխ է, մենք կարող ենք ունենալ երկու լուծում:

Ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ առաջին և երկրորդ տարբերակների մատրիցները, չնայած նույն արժեքներին, բոլորովին տարբեր են (տարբեր չափումներ ունեն)

Առաջին դեպքում վեկտորը դիտարկվում է որպես սյունակ և այնուհետև անհրաժեշտ է բազմապատկել մատրիցը վեկտորով, իսկ երկրորդ դեպքում մենք ունենք տողի վեկտոր և հետո ունենք վեկտորի և մատրիցի արտադրյալ:

Այս բոտը նաև բազմապատկում է բարդ արժեքներ ունեցող վեկտորներն ու մատրիցները։ Ավելի ամբողջական հաշվիչի վրա հիմնված. Մատրիցային բազմապատկում բարդ արժեքներով առցանց

Մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցա

Վեկտորային սյունակ

Շարքի վեկտոր

Կամայական համար

1. Սյունակի վեկտորների գումարով մատրիցայի արտադրյալը հավասար է վեկտորներից յուրաքանչյուրի մատրիցի արտադրյալների գումարին.

2. Շարքերի վեկտորների և մատրիցայի գումարի արտադրյալը հավասար է վեկտորների և մատրիցի արտադրյալների գումարին.

3. Վեկտորի ընդհանուր գործակիցը կարելի է վերցնել մատրիցի արտադրյալից դուրս վեկտորով/վեկտորը մատրիցով

4. Շարքի վեկտորի և մատրիցի և սյունակի վեկտորի արտադրյալը համարժեք է տողի վեկտորի և մատրիցի և սյունակի վեկտորի արտադրյալին:

Դասախոսություն 6. Զուգահեռ թվային ալգորիթմներ հաշվողական մաթեմատիկայի բնորոշ խնդիրների լուծման համար. մատրիցային բազմապատկում.

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելը. Հասնելով հնարավոր ամենաբարձր կատարողականին: Միջին մակարդակի զուգահեռականության օգտագործում. Զուգահեռ հաշվարկների կազմակերպում p = n-ում: Պրոցեսորների սահմանափակ հավաքածուի օգտագործումը: Մատրիցային բազմապատկում. Խնդիրների լուծման ալգորիթմների մակրոգործառնական վերլուծություն: Տվյալների փոխանակման վրա հիմնված զուգահեռության կազմակերպում:

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելը

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդիրը սահմանվում է հարաբերություններով

Այսպիսով, ստացված վեկտորի ստացումը ներառում է մատրիցայի և վեկտորի տողերի բազմապատկման նմանատիպ գործողություններ: Յուրաքանչյուր նման գործողության ձեռքբերումը ներառում է մատրիցայի և վեկտորի շարքի տարրերի տարրական բազմապատկում և արդյունքում ստացված արտադրյալների գումարումը: Պահանջվող սկալային գործողությունների ընդհանուր թիվը գնահատվում է քանակով

Ինչպես հետևում է մատրիցը և վեկտորը բազմապատկելիս կատարված գործողություններից, խնդրի լուծման զուգահեռ մեթոդները կարող են ստացվել զուգահեռ գումարման ալգորիթմների հիման վրա (տես պարագրաֆ 4.1): Այս բաժնում զուգահեռացման մեթոդների վերլուծությունը կլրացվի զուգահեռ հաշվարկների կազմակերպման հարցերի դիտարկմամբ՝ կախված օգտագործման համար հասանելի պրոցեսորների քանակից: Բացի այդ, օգտագործելով մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդրի օրինակը, ուշադրություն կդարձվի հաշվողական համակարգի ամենահարմար տոպոլոգիայի ընտրության անհրաժեշտությանը (պրոցեսորների միջև գոյություն ունեցող կապի ուղիները)՝ միջպրոցեսորների փոխազդեցության կազմակերպման ծախսերը նվազեցնելու համար:

Հնարավոր ամենաբարձր կատարողականի ձեռքբերում ()

Եկեք վերլուծենք տեղեկատվության կախվածությունը մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման ալգորիթմում՝ զուգահեռացման հնարավոր մեթոդներ ընտրելու համար: Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկների ժամանակ կատարված մատրիցայի առանձին տողերը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունները անկախ են և կարող են կատարվել զուգահեռ.

Յուրաքանչյուր տող վեկտորով բազմապատկելը ներառում է անկախ տարրերի բազմապատկման գործողություններ և կարող է իրականացվել նաև զուգահեռ.

Մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու յուրաքանչյուր գործողության արդյունքում ստացված արտադրանքների գումարումը կարող է իրականացվել՝ օգտագործելով գումարման ալգորիթմի նախկինում դիտարկված տարբերակներից մեկը (հաջորդական ալգորիթմ, պայմանական և փոփոխված կասկադի սխեմաներ):

Այսպիսով, պրոցեսորների առավելագույն պահանջվող քանակը որոշվում է արժեքով

Նման քանակի պրոցեսորների օգտագործումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. Շատ պրոցեսորներ բաժանված են խմբերի

,

որոնցից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է պրոցեսորների մի շարք մատրիցայի առանձին տող վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը կատարելու համար: Հաշվարկների սկզբում խմբի յուրաքանչյուր պրոցեսորին ուղարկվում է մատրիցային տողի տարր և համապատասխան վեկտորային տարր: Հաջորդը, յուրաքանչյուր պրոցեսոր կատարում է բազմապատկման գործողություն: Հետագա հաշվարկներն այնուհետև կատարվում են՝ օգտագործելով կասկադի գումարման սխեմա: Պատկերազարդման համար Նկ. 6.1-ը ցույց է տալիս մատրիցային չափս ունեցող խմբի պրոցեսորների հաշվողական սխեման:

Բրինձ. 6.1. Մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու հաշվողական սխեման

Զուգահեռ ալգորիթմի կատարման ժամանակը պրոցեսորներ օգտագործելիս որոշվում է զուգահեռ բազմապատկման գործողության կատարման ժամանակով և կասկադի շղթայի կատարման ժամանակով։

Արդյունքում, ալգորիթմի արդյունավետության ցուցանիշները որոշվում են հետևյալ հարաբերություններով.

, ,

Քննարկվող մատրիցա-վեկտոր բազմապատկման խնդրի համար ամենահարմար տոպոլոգիաներն այն կառուցվածքներն են, որոնք ապահովում են տվյալների արագ փոխանցում (միավոր երկարության ուղիներ) կասկադային գումարման շղթայում (տես նկ. 4.5): Նման տոպոլոգիաները միացումների ամբողջական համակարգով կառույց են ( ամբողջական գրաֆիկ) Եվ հիպերխորանարդ. Այլ տոպոլոգիաները հանգեցնում են կապի ժամանակի ավելացման՝ տվյալների փոխանցման ավելի երկար ուղիների պատճառով: Այսպիսով, պրոցեսորների գծային կարգով միացումների համակարգով միայն մոտակա հարևանների հետ ձախ և աջ ( քանոնկամ մատանի) կասկադային սխեմայի համար յուրաքանչյուր ստացված մասնակի գումարի փոխանցման ուղու երկարությունը կրկնության ժամանակ հավասար է . Եթե ​​ենթադրենք, որ գծային կառուցվածքով տոպոլոգիաներում ուղու երկարությամբ տվյալների փոխանցումը պահանջում է տվյալների փոխանցման գործողություններ, տվյալների փոխանցման զուգահեռ գործողությունների ընդհանուր թիվը (ուղիների ընդհանուր տևողությունը) որոշվում է արժեքով.

(բացառությամբ պրոցեսորների նախնական բեռնման համար տվյալների փոխանցումների):

Ուղղանկյուն տոպոլոգիայով հաշվողական համակարգի կիրառում երկչափ վանդակավորչափը հանգեցնում է կատարվող հաշվարկների պարզ և հստակ մեկնաբանության (ցանցի կառուցվածքը համապատասխանում է մշակված տվյալների կառուցվածքին): Նման տոպոլոգիայի համար առավել նպատակահարմար է մատրիցային տողերը տեղադրել հորիզոնական ցանցերի երկայնքով. այս դեպքում վեկտորի տարրերը պետք է բաշխվեն հաշվողական համակարգի ուղղահայաց երկայնքով: Տվյալների այս դասավորությամբ հաշվարկները կարող են իրականացվել զուգահեռաբար ցանցի գծերի երկայնքով. արդյունքում տվյալների փոխանցման ընդհանուր թիվը համընկնում է քանոնի () արդյունքների հետ։

Հաղորդակցման գործողությունները, որոնք կատարվում են տվյալ առաջադրանքը լուծելիս, բաղկացած են տվյալների փոխանցումից զույգերի MCS պրոցեսորների միջև: Նման գործողությունների իրականացման տևողության մանրամասն վերլուծությունը կատարվում է 3.3 կետում:

4. Զուգահեռ ալգորիթմի իրականացման առաջարկություններ. Զուգահեռ ալգորիթմ իրականացնելիս նպատակահարմար է ընդգծել օգտագործված պրոցեսորները նախնական տվյալներով բեռնելու սկզբնական փուլը։ Պարզապես, նման սկզբնավորումը տրամադրվում է համակարգչային համակարգի տոպոլոգիայով, որն ունի ձևի տոպոլոգիա ամբողջական գրաֆիկ(ներբեռնումը տրամադրվում է տվյալների փոխանցման մեկ զուգահեռ գործողության միջոցով): Շատ պրոցեսորներ ձևով կազմակերպելիս հիպերխորանարդԿարող է օգտակար լինել bootstrap գործընթացի երկաստիճան կառավարումը, որի դեպքում կենտրոնական կառավարման պրոցեսորը երաշխավորում է, որ մատրիցային և վեկտորային տողերը ուղարկվեն պրոցեսորային խմբերի կառավարման պրոցեսորներին, որոնք, իր հերթին, ուղարկում են մատրիցայի տարրերը: և վեկտորային տողերը գործադիր պրոցեսորներին: Տոպոլոգիաների համար ձևով տիրակալներկամ մատանիներպահանջում է տվյալների փոխանցման հաջորդական գործողություններ՝ տարրերից փոխանցվող տվյալների հաջորդական նվազումով:

Օգտագործելով միջին մակարդակի զուգահեռություն ()

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Երբ օգտագործված պրոցեսորների () հասանելի թիվը նվազում է, սովորական կասկադի գումարման սխեման անկիրառելի է դառնում մատրիցային տողերի վեկտորով բազմապատկելու գործողություններ կատարելիս: Նյութի ներկայացումը պարզեցնելու համար ենթադրենք և օգտագործենք փոփոխված կասկադի սխեման: Յուրաքանչյուր պրոցեսորի սկզբնական ծանրաբեռնվածությունն այս դեպքում մեծանում է, և պրոցեսորը բեռնվում է () մատրիցայի և վեկտորի տողերի մասերով: Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու գործողության կատարման ժամանակը կարելի է գնահատել որպես

Փոփոխված կասկադի սխեմայի իրականացման համար անհրաժեշտ պրոցեսորների քանակն օգտագործելիս, այսինքն. ժամը , այս արտահայտությունը տալիս է կատարման ժամանակի գնահատականը (ժամը):

Երբ պրոցեսորների թիվը , երբ ալգորիթմի կատարման ժամանակը գնահատվում է որպես , կարող է առաջարկվել հաշվարկների զուգահեռ կատարման նոր սխեմա, որում կասկադային գումարման յուրաքանչյուր կրկնության համար պրոցեսորների ոչ համընկնող հավաքածուներ. Այս մոտեցմամբ պրոցեսորների առկա թիվը բավարար է մատրիցային տողի և վեկտորի բազմապատկման միայն մեկ գործողություն իրականացնելու համար: Բացի այդ, կասկադային գումարման հաջորդ կրկնությունն իրականացնելիս բոլոր նախորդ կրկնությունների կատարման համար պատասխանատու պրոցեսորներն ազատ են: Այնուամենայնիվ, առաջարկվող մոտեցման այս թերությունը կարող է վերածվել առավելությունի՝ օգտագործելով անգործուն պրոցեսորներ՝ մատրիցայի հաջորդ տողերը մշակելու համար: Արդյունքում կարող է ձեւավորվել հետեւյալ սխեման փոխակրիչկատարում է մատրիցային և վեկտորային բազմապատկում.

Պրոցեսորների մի շարք բաժանված են պրոցեսորային խմբերի

,

այս դեպքում խումբը , , բաղկացած է պրոցեսորներից և օգտագործվում է կասկադի ալգորիթմի կրկնություններ կատարելու համար (խումբն օգտագործվում է տարրի իմաստով բազմապատկում իրականացնելու համար); պրոցեսորների ընդհանուր քանակը;

Հաշվարկների սկզբնավորումը բաղկացած է խմբի պրոցեսորների տարր առ տարր բեռնումից՝ մատրիցայի և վեկտորի 1 տողի արժեքներով. Նախնական բեռնումից հետո կատարվում է տարր առ տարր բազմապատկման զուգահեռ գործողություն և սովորական կասկադային գումարման սխեմայի հետագա իրականացում.

Հաշվարկներ կատարելիս, ամեն անգամ տարրական բազմապատկման գործողության ավարտից հետո խմբի պրոցեսորները բեռնվում են մատրիցայի հաջորդ շարքի տարրերով և նոր բեռնված տվյալների համար սկսվում է հաշվարկման գործընթացը:

Նկարագրված ալգորիթմի կիրառման արդյունքում շատ պրոցեսորներ իրականացնում են խողովակաշար՝ մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը կատարելու համար։ Նման փոխակրիչի վրա կարող են միաժամանակ լինել մատրիցայի մի քանի առանձին շարքեր մշակման տարբեր փուլերում: Այսպիսով, օրինակ, առաջին շարքի և վեկտորի տարրերը տարրականորեն բազմապատկելուց հետո խմբի պրոցեսորները կկատարեն կասկադի ալգորիթմի առաջին կրկնությունը մատրիցայի առաջին շարքի համար, իսկ խմբի պրոցեսորները՝ կատարել մատրիցայի երկրորդ շարքի արժեքների տարրական բազմապատկում և այլն: Պատկերազարդման համար Նկ. 6.2-ը ցույց է տալիս հաշվարկային գործընթացի իրավիճակը խողովակաշարի 2 կրկնություններից հետո ժամը .

Բրինձ. 6.2. Խողովակաշարի վիճակը 2 կրկնություններից հետո մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործարկման համար

2. Ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշների գնահատում. Առաջին շարքի բազմապատկումը վեկտորով ըստ կասկադի սխեմայի կավարտվի սովորականի պես () զուգահեռ գործողությունների կատարումից հետո։ Մյուս տողերի համար՝ հաշվարկների կազմակերպման խողովակաշարի սխեմայի համաձայն, յուրաքանչյուր հաջորդ շարքի բազմապատկման արդյունքների տեսքը տեղի կունենա խողովակաշարի յուրաքանչյուր հաջորդ կրկնության ավարտից հետո: Արդյունքում, մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման գործողության ընդհանուր կատարման ժամանակը կարող է արտահայտվել որպես

Այս գնահատականը մի փոքր ավելի երկար է, քան նախորդ պարբերությունում նկարագրված զուգահեռ ալգորիթմի կատարման ժամանակը (), այնուամենայնիվ, նոր առաջարկվող մեթոդը պահանջում է ավելի քիչ փոխանցված տվյալներ (վեկտորն ուղարկվում է միայն մեկ անգամ): Բացի այդ, խողովակաշարի սխեմայի օգտագործումը հանգեցնում է որոշ հաշվարկային արդյունքների ավելի վաղ ի հայտ գալուն (որը կարող է օգտակար լինել տվյալների մշակման մի շարք իրավիճակներում):

Արդյունքում, ալգորիթմի արդյունավետության ցուցանիշները որոշվում են հետևյալ հարաբերություններով.

3. Ընտրելով հաշվողական համակարգի տոպոլոգիան. Հաշվողական համակարգի համապատասխան տոպոլոգիան ամբողջությամբ որոշվում է հաշվողական սխեմայով. սա ամբողջական է երկուական ծառբարձրությունը Նման ցանցի տոպոլոգիայով տվյալների փոխանցումների քանակը որոշվում է խողովակաշարի կողմից կատարված կրկնությունների ընդհանուր քանակով, այսինքն.

.

Հաշվարկների սկզբնավորումը սկսվում է ծառի տերևներից, ամփոփման արդյունքները կուտակվում են արմատային պրոցեսորում:

Ենթադրվում է, որ միջպրոցեսորային հաղորդակցությունների այլ տոպոլոգիաների հետ հաշվողական համակարգերի համար կատարվող կապի գործողությունների բարդության վերլուծությունը պետք է իրականացվի որպես անկախ առաջադրանք (տես նաև կետ 3.4):

Զուգահեռ հաշվարկների կազմակերպում, երբ

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու համար պրոցեսորներ օգտագործելիս կարող է օգտագործվել ձեռնարկում նախկինում քննարկված զուգահեռ տող առ տող բազմապատկման ալգորիթմը, որում մատրիցայի տողերը բաշխվում են պրոցեսորների միջև տող առ տող և յուրաքանչյուր պրոցեսոր իրականացնում է. մատրիցի ցանկացած առանձին տող վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը: Զուգահեռ հաշվարկը կազմակերպելու մեկ այլ հնարավոր միջոց կարող է լինել կառուցելը խողովակաշարի միացում մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողության համար(վեկտորների սկալյար արտադրյալ) բոլոր հասանելի պրոցեսորները դասավորելով գծային հաջորդականությամբ ( տիրակալներ).

Նման հաշվարկային սխեման կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. Եկեք պատկերացնենք պրոցեսորների հավաքածուն որպես գծային հաջորդականություն (տես նկ. 4.7):

Յուրաքանչյուր պրոցեսոր, , օգտագործվում է մատրիցային սյունակի և վեկտորի տարրի տարրերը բազմապատկելու համար։ Յուրաքանչյուր պրոցեսորի վրա կատարված հաշվարկները հետևյալն են.

Մատրիցային սյունակի հաջորդ տարրը պահանջվում է.

Տարրերը և բազմապատկվում են;

Պահանջվում է նախորդ պրոցեսորի հաշվարկների արդյունքը.

Արժեքները ավելացվում են;

Ստացված արդյունքն ուղարկվում է հաջորդ պրոցեսորին:

Բրինձ. 6.3. Գծային խողովակաշարի վիճակը երկու կրկնություններից հետո մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողության համար

Նկարագրված սխեման սկզբնավորելիս դուք պետք է կատարեք մի շարք լրացուցիչ գործողություններ.

Առաջին կրկնությունը կատարելիս յուրաքանչյուր պրոցեսոր լրացուցիչ պահանջում է վեկտորի տարր.

Հաշվարկները համաժամեցնելու համար (շղթայի հաջորդ կրկնությունը կատարելիս պահանջվում է նախորդ պրոցեսորի հաշվարկման արդյունքը) սկզբնավորման փուլում, պրոցեսորը, , կատարում է () սպասման օղակ։

Բացի այդ, առաջին պրոցեսորի համար նկարագրված սխեմայի միատարրության համար, որը չունի նախկին պրոցեսոր, նպատակահարմար է ներդնել դատարկ ավելացման գործողություն ( ).

Պատկերազարդման համար Նկ. Նկար 6.3-ը ցույց է տալիս հաշվողական գործընթացի վիճակը խողովակաշարի երկրորդ կրկնումից հետո ժամը .

2. Ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշների գնահատում. Առաջին շարքի բազմապատկումը վեկտորով ըստ նկարագրված խողովակաշարի սխեմայի կավարտվի () զուգահեռ գործողությունների կատարումից հետո։ Հետևյալ տողերի բազմապատկման արդյունքը տեղի կունենա խողովակաշարի յուրաքանչյուր հաջորդ կրկնության ավարտից հետո (հիշենք, որ յուրաքանչյուր պրոցեսորի կրկնությունը ներառում է բազմապատկման և գումարման գործողությունների կատարումը): Արդյունքում, մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման գործողության ընդհանուր կատարման ժամանակը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Այս գնահատումը նույնպես ավելի մեծ է, քան զուգահեռ ալգորիթմի նվազագույն հնարավոր կատարման ժամանակը ժամը . Խողովակաշարի հաշվողական սխեմայի օգտագործման օգտակարությունը, ինչպես նշվեց նախորդ պարբերությունում, կապված է փոխանցվող տվյալների քանակի կրճատման և որոշ հաշվարկների արդյունքների ավելի վաղ տեսքի մեջ:

Այս հաշվողական սխեմայի արդյունավետության ցուցանիշները որոշվում են հարաբերություններով.

, ,

3. Ընտրելով հաշվողական համակարգի տոպոլոգիան. Նկարագրված ալգորիթմի կատարման համար հաշվողական համակարգի անհրաժեշտ տոպոլոգիան եզակիորեն որոշվում է առաջարկվող հաշվողական սխեմայով. սա պրոցեսորների գծային կարգավորված շարք է ( քանոն).

Օգտագործելով սահմանափակ պրոցեսորների հավաքածու ()

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Պրոցեսորների թիվը հասցնելով արժեքի՝ կարելի է ձեռք բերել մատրից-վեկտոր բազմապատկման զուգահեռ հաշվարկային սխեման՝ հարմարեցնելով տող առ տող բազմապատկման ալգորիթմը։ Այս դեպքում տարրական բազմապատկման արդյունքների ամփոփման կասկադային շղթան այլասերվում է և մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու օպերացիան ամբողջությամբ կատարվում է մեկ պրոցեսորի վրա։ Այս մոտեցմամբ ստացված հաշվողական սխեման կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

Վեկտոր և մատրիցային տողեր ուղարկվում են հասանելի պրոցեսորներից յուրաքանչյուրին.

Մատրիցա-վեկտոր տողերի բազմապատկման գործողության կատարումը կատարվում է սովորական հաջորդական ալգորիթմի միջոցով:

Պետք է նշել, որ մատրիցայի չափը չի կարող լինել պրոցեսորների թվի բազմապատիկ, և այդ դեպքում մատրիցային տողերը չեն կարող հավասարապես բաժանվել պրոցեսորների միջև: Այս իրավիճակներում դուք կարող եք շեղվել պրոցեսորների միասնական բեռնման պահանջից և ավելի պարզ հաշվողական սխեմա ստանալու համար ընդունել այն կանոնը, որ տվյալները տեղադրվում են պրոցեսորների վրա միայն տող առ տող (այսինքն՝ մատրիցայի մեկ տողի տարրերը չեն կարող. բաժանել մի քանի պրոցեսորների միջև): Անհավասար թվով տողեր հանգեցնում են պրոցեսորների տարբեր հաշվարկային բեռի. Այսպիսով, հաշվարկների ավարտը (խնդիրը լուծելու ընդհանուր տևողությունը) կորոշվի առավել բեռնված պրոցեսորի գործառնական ժամանակով (այս դեպքում, այս ընդհանուր ժամանակի մի մասը, առանձին պրոցեսորները կարող են պարապ մնալ իրենց մասնաբաժնի սպառման պատճառով: հաշվարկների): Պրոցեսորների անհավասար ծանրաբեռնվածությունը նվազեցնում է MCS-ի օգտագործման արդյունավետությունը և այս օրինակը դիտարկելու արդյունքում կարող ենք եզրակացնել, որ. հավասարակշռման խնդիր

3. Ընտրելով հաշվողական համակարգի տոպոլոգիան. Առաջարկվող հաշվողական սխեմայում իրականացվող միջպրոցեսորային փոխազդեցությունների բնույթին համապատասխան՝ պրոցեսորների կազմակերպումը ձևով. աստղեր(տես նկ. 1.1): Նման տոպոլոգիայի կառավարման պրոցեսորը կարող է օգտագործվել հաշվողական պրոցեսորները նախնական տվյալներով բեռնելու և կատարված հաշվարկների արդյունքները ստանալու համար։

Մատրիցային բազմապատկում

Մատրիցա-մատրիցային բազմապատկման խնդիրը սահմանվում է հարաբերություններով

.

(ներկայացման պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բազմապատկված մատրիցները քառակուսի են և ունեն կարգ):

Այս առաջադրանքի զուգահեռ կատարման հնարավոր մեթոդների վերլուծությունը կարող է իրականացվել անալոգիայի միջոցով մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդրի դիտարկմամբ: Նման վերլուծությունը թողնելով անկախ ուսումնասիրության՝ մենք կօգտագործենք մատրիցային բազմապատկման խնդրի օրինակը՝ ցույց տալու համար մի քանի ընդհանուր մոտեցումների օգտագործումը, որոնք թույլ են տալիս ձևավորել բարդ խնդիրների լուծման զուգահեռ մեթոդներ:

Այսպիսով, նախորդ դասում մենք նայեցինք մատրիցների գումարման և հանման կանոններին: Սրանք այնքան պարզ գործողություններ են, որ ուսանողների մեծամասնությունը դրանք հասկանում է բառացիորեն անմիջապես:

Այնուամենայնիվ, դուք շուտ եք ուրախանում: Անվճարն ավարտվեց. անցնենք բազմապատկմանը: Անմիջապես կզգուշացնեմ. երկու մատրիցաների բազմապատկումն ամենևին էլ նույն կոորդինատներով բջիջներում թվերի բազմապատկում չէ, ինչպես կարող եք մտածել: Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի զվարճալի է: Եվ մենք ստիպված կլինենք սկսել նախնական սահմանումներից։

Համապատասխան մատրիցներ

Մատրիցայի ամենակարևոր բնութագրիչներից մեկը դրա չափն է: Մենք արդեն հարյուր անգամ խոսել ենք այս մասին. $A=\left[ m\times n \right]$ նշումը նշանակում է, որ մատրիցն ունի ուղիղ $m$ տողեր և $n$ սյունակներ։ Մենք նաև արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես չշփոթել տողերը սյունակների հետ։ Հիմա այլ բան է կարևոր։

Սահմանում. $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ ձևի մատրիցներ, որոնցում առաջին մատրիցում սյունակների թիվը համընկնում է տողերի քանակի հետ։ երկրորդում կոչվում են հետևողական։

Եվս մեկ անգամ. առաջին մատրիցում սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի տողերի թվին: Այստեղից մենք միանգամից երկու եզրակացություն ենք ստանում.

1. Մեզ համար կարևոր է մատրիցների հերթականությունը։ Օրինակ՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ and $B=\left[ 2\times 5 \right]$ մատրիցները համահունչ են (առաջին մատրիցում 2 սյունակ, երկրորդում՝ 2 տող) , բայց հակառակը — $B=\left[ 2\times 5 \right]$ and $A=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցներն այլևս համահունչ չեն (առաջին մատրիցի 5 սյունակները 3 տող չեն։ երկրորդում):
2. Հետևողականությունը կարելի է հեշտությամբ ստուգել՝ մեկը մյուսի հետևից գրելով բոլոր չափերը: Օգտագործելով նախորդ պարբերության օրինակը. «3 2 2 5» - մեջտեղի թվերը նույնն են, ուստի մատրիցները համահունչ են: Բայց «2 5 3 2»-ը համահունչ չեն, քանի որ մեջտեղում տարբեր թվեր կան:

Բացի այդ, Captain Obviousness-ը կարծես ակնարկում է, որ նույն չափի $\left[ n\times n \right]$ քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են:

Մաթեմատիկայի մեջ, երբ կարևոր է առարկաների թվարկման հերթականությունը (օրինակ, վերը քննարկված սահմանման մեջ կարևոր է մատրիցների հերթականությունը), մենք հաճախ խոսում ենք դասավորված զույգերի մասին։ Մենք նրանց հանդիպեցինք դեռ դպրոցում. Կարծում եմ, որ անհասկանալի է, որ $\left(1;0 \right)$ և $\left(0;1 \right)$ կոորդինատները սահմանում են հարթության տարբեր կետեր:

Այսպիսով, կոորդինատները նույնպես դասավորված զույգեր են, որոնք կազմված են թվերից: Բայց ոչինչ չի խանգարում ձեզ նման զույգ պատրաստել մատրիցներից: Այնուհետև կարող ենք ասել. «Մատրիցների դասավորված զույգը $\left(A;B \right)$ համահունչ է, եթե առաջին մատրիցում սյունակների թիվը նույնն է, ինչ երկրորդի տողերի թիվը»:

Դե, իսկ ի՞նչ:

Բազմապատկման սահմանում

Դիտարկենք երկու հետևողական մատրիցներ՝ $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$: Եվ մենք նրանց համար սահմանում ենք բազմապատկման գործողությունը։

Սահմանում. Երկու համընկնող մատրիցների արտադրյալը $A=\left[ m\times n \right]$ and $B=\left[n\times k \right]$ նոր մատրիցն է $C=\left[ m\times k \ right] $, որի տարրերը հաշվարկվում են բանաձևով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+(a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նման արտադրանքը նշվում է ստանդարտ ձևով՝ $C=A\cdot B$։

Նրանք, ովքեր առաջին անգամ են տեսնում այս սահմանումը, անմիջապես ունենում են երկու հարց.

1. Սա ի՞նչ կատաղի խաղ է։
2. Ինչու է դա այդքան դժվար:

Դե, առաջին բաները: Սկսենք առաջին հարցից. Ի՞նչ են նշանակում այս բոլոր ցուցանիշները: Իսկ ինչպե՞ս չսխալվել իրական մատրիցներով աշխատելիս։

Նախ նկատում ենք, որ $((c)_(i;j))$-ի հաշվարկի երկար տողը (ինդեքսների միջև հատուկ կետ-ստորակետ եմ դրել, որպեսզի չշփոթվեմ, բայց դրանք դնելու կարիք չկա. ընդհանուր - ես ինքս հոգնել եմ սահմանման մեջ բանաձևը մուտքագրելուց) իրականում հանգում է մի պարզ կանոնի.

1. Վերցրեք $i$th տողը առաջին մատրիցում;
2. Վերցրեք $j$th սյունակը երկրորդ մատրիցում;
3. Մենք ստանում ենք թվերի երկու հաջորդականություն. Մենք այս հաջորդականության տարրերը բազմապատկում ենք նույն թվերով, իսկ հետո ավելացնում ստացված արտադրյալները։

Այս գործընթացը հեշտ է հասկանալ նկարից.

Եվս մեկ անգամ. առաջին մատրիցում ամրագրում ենք $i$ տողը, երկրորդ մատրիցում՝ $j$ սյունակում, նույն թվերով էլեմենտները բազմապատկում ենք, այնուհետև ավելացնում ենք ստացված արտադրյալները. ստանում ենք $((c)_(ij))$։ . Եվ այսպես շարունակ բոլոր $1\le i\le m$-ի և $1\le j\le k$-ի համար: Նրանք. Նման «այլասերումներ» ընդհանուր առմամբ կլինեն $m\ անգամ k$:

Փաստորեն, դպրոցական ծրագրում մենք արդեն հանդիպել ենք մատրիցային բազմապատկման՝ միայն խիստ կրճատված տեսքով: Թող վեկտորները տրվեն.

\[\ begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \աջ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));(y)_(b));((z)_(b)) \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուհետև նրանց սկալյար արտադրյալը կլինի հենց զույգ արտադրյալների գումարը.

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(բ))+((զ)_(ա))\cdot ((զ)_(բ))\]

Հիմնականում, երբ ծառերն ավելի կանաչ էին, իսկ երկինքը՝ ավելի պայծառ, մենք պարզապես $\overrightarrow(a)$ տողի վեկտորը բազմապատկեցինք $\overrightarrow(b)$ սյունակի վեկտորով:

Այսօր ոչինչ չի փոխվել։ Պարզապես այժմ այս տողերի և սյունակների վեկտորներն ավելի շատ են:

Բայց բավական տեսություն! Դիտարկենք իրական օրինակներ։ Եվ եկեք սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ քառակուսի մատրիցներից:

Քառակուսի մատրիցային բազմապատկում

Առաջադրանք 1. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Այսպիսով, մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 2\times 2 \right]$ և $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Պարզ է, որ դրանք համահունչ են (նույն չափի քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են): Այսպիսով, մենք կատարում ենք բազմապատկում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \ սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \աջ)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ վերջ (զանգված)\աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը:

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$:

Առաջադրանք 2. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Կրկին, հետևողական մատրիցներ, ուստի մենք կատարում ենք հետևյալ գործողությունները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ ձախ(-3 \աջ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \աջ) \\ 2\cdot 9+6\cdot \ ձախ (-3 \աջ) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \աջ) \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ ] . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքը զրոներով լցված մատրից է

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \right]$:

Վերոնշյալ օրինակներից ակնհայտ է, որ մատրիցային բազմապատկումն այնքան էլ բարդ գործողություն չէ։ Առնվազն 2-ից 2 քառակուսի մատրիցների համար:

Հաշվարկների ընթացքում մենք կազմեցինք միջանկյալ մատրիցա, որտեղ մենք ուղղակիորեն նկարագրեցինք, թե որ թվերն են ներառված կոնկրետ բջիջում: Սա հենց այն է, ինչ պետք է արվի իրական խնդիրներ լուծելիս։

Մատրիցային արտադրանքի հիմնական հատկությունները

Մի խոսքով. Մատրիցային բազմապատկում.

1. Ոչ կոմուտատիվ՝ $A\cdot B\ne B\cdot A$ ընդհանուր դեպքում: Կան, իհարկե, հատուկ մատրիցներ, որոնց համար հավասարությունը $A\cdot B=B\cdot A$ (օրինակ, եթե $B=E$ նույնականացման մատրիցն է), բայց դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դա չի գործում։ ;
2. Ասոցիատիվ՝ $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$: Այստեղ տարբերակներ չկան. հարակից մատրիցները կարելի է բազմապատկել՝ առանց անհանգստանալու, թե ինչ է այս երկու մատրիցներից ձախ և աջ:
3. Բաշխված՝ $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ և $\left(A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (արտադրանքի ոչ փոխադարձության պատճառով անհրաժեշտ է առանձին նշել աջ և ձախ բաշխվածությունը:

Եվ հիմա - ամեն ինչ նույնն է, բայց ավելի մանրամասն:

Մատրիցային բազմապատկումը շատ առումներով նման է դասական թվերի բազմապատկմանը: Բայց կան տարբերություններ, որոնցից ամենակարեւորն այն է Մատրիցային բազմապատկումը, ընդհանուր առմամբ, ոչ կոմուտատիվ է.

Եկեք նորից նայենք խնդրի 1-ի մատրիցներին: Մենք արդեն գիտենք դրանց ուղղակի արտադրյալը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Բայց եթե փոխենք մատրիցները, ապա կստանանք բոլորովին այլ արդյունք.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ վերջ (մատրիցան) )\ճիշտ]\]

Ստացվում է, որ $A\cdot B\ne B\cdot A$: Բացի այդ, բազմապատկման գործողությունը սահմանված է միայն $A=\left[m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ հետևողական մատրիցների համար, բայց ոչ ոք չի երաշխավորել, որ դրանք կմնան հետևողական, եթե դրանք փոխանակվեն: Օրինակ, $\left[ 2\times 3 \right]$ և $\left[ 3\times 5 \right]$ մատրիցները բավականին համահունչ են նշված հերթականությամբ, բայց նույն մատրիցները $\left[ 3\ անգամ 5: \right] $ և $\left[ 2\ անգամ 3 \right]$-ը, որոնք գրված են հակառակ հերթականությամբ, այլևս չեն համապատասխանում: Տխուր. :(

Տրված $n$ չափի քառակուսի մատրիցների մեջ միշտ կլինեն այնպիսիք, որոնք տալիս են նույն արդյունքը և՛ ուղիղ, և՛ հակառակ հերթականությամբ բազմապատկելիս: Ինչպես նկարագրել բոլոր նման մատրիցները (և քանիսն են ընդհանրապես) առանձին դասի թեմա է: Այդ մասին այսօր չենք խոսի:)

Այնուամենայնիվ, մատրիցային բազմապատկումը ասոցիատիվ է.

\[\ ձախ (A\cdot B \աջ)\cdot C=A\cdot \ձախ (B\cdot C \աջ)\]

Հետևաբար, երբ անհրաժեշտ է միանգամից մի քանի մատրիցներ անընդմեջ բազմապատկել, ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ դա անել անմիջապես. միանգամայն հնարավոր է, որ հարակից որոշ մատրիցներ, երբ բազմապատկվեն, հետաքրքիր արդյունք տան: Օրինակ՝ զրոյական մատրիցա, ինչպես վերը քննարկված խնդիր 2-ում:

Իրական խնդիրներում ամենից հաճախ մենք պետք է բազմապատկենք քառակուսի մատրիցներ՝ $\left[ n\time n \աջ]$: Բոլոր նման մատրիցների բազմությունը նշանակվում է $((M)^(n))$-ով (այսինքն $A=\left[n\times n \right]$ և \ նիշերը նույնն են), և դա կլինի: անպայմանորեն պարունակում է $E$ մատրիցա, որը կոչվում է նույնականացման մատրիցա:

Սահմանում. $n$ չափի ինքնության մատրիցը $E$ մատրից է, որը հավասար է $A=\left[n\times n \right]$ ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար.

Նման մատրիցը միշտ նույն տեսքն ունի՝ նրա հիմնական անկյունագծում կան մեկը, իսկ մյուս բջիջներում՝ զրո:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot \ձախ (B+C \աջ)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \ձախ (A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այլ կերպ ասած, եթե ձեզ անհրաժեշտ է մեկ մատրիցը բազմապատկել մյուս երկուսի գումարով, կարող եք այն բազմապատկել այս «մյուս երկուսից» յուրաքանչյուրով և ավելացնել արդյունքները: Գործնականում մենք սովորաբար պետք է կատարենք հակառակ գործողությունը. մենք նկատում ենք նույն մատրիցը, հանում այն ​​փակագծերից, կատարում ենք գումարում և դրանով իսկ պարզեցնում ենք մեր կյանքը:

Ծանոթագրություն. բաշխվածությունը նկարագրելու համար մենք պետք է գրեինք երկու բանաձև՝ որտեղ գումարը գտնվում է երկրորդ գործոնում և որտեղ գումարը՝ առաջինում: Դա տեղի է ունենում հենց այն պատճառով, որ մատրիցային բազմապատկումը ոչ կոմուտատիվ է (և ընդհանրապես, ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվում կան շատ զվարճալի բաներ, որոնք նույնիսկ մտքով չեն անցնում սովորական թվերի հետ աշխատելիս): Իսկ եթե, օրինակ, քննության ժամանակ պետք է գրի առնել այս հատկությունը, ապա անպայման գրեք երկու բանաձեւերը, հակառակ դեպքում ուսուցիչը կարող է մի փոքր զայրանալ։

Լավ, սրանք բոլորը քառակուսի մատրիցների մասին հեքիաթներ էին: Ինչ վերաբերում է ուղղանկյուններին:

Ուղղանկյուն մատրիցների դեպք

Բայց ոչինչ, ամեն ինչ նույնն է, ինչ քառակուսիների մոտ:

Առաջադրանք 3. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \ \\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ and $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Գրենք անընդմեջ չափերը ցույց տվող թվերը.

Ինչպես տեսնում եք, կենտրոնական երկու թվերը համընկնում են։ Սա նշանակում է, որ մատրիցները համահունչ են և կարող են բազմապատկվել: Ավելին, ելքում մենք ստանում ենք $C=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցը:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ end (matrix) \\\ end (matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \աջ)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \աջ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ վերջ (զանգված) \աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ամեն ինչ պարզ է՝ վերջնական մատրիցն ունի 3 տող և 2 սյունակ։ Բավական $=\ձախ[ 3\ անգամ 2 \աջ]$։

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\վերջ (զանգված) & \ սկիզբ (մատրիցան) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ վերջ (մատրիցան) \\\ վերջ (զանգված) \աջ]$:

Հիմա եկեք տեսնենք լավագույն վերապատրաստման առաջադրանքներից մեկը նրանց համար, ովքեր նոր են սկսում աշխատել մատրիցներով: Դրանում պետք է ոչ միայն բազմապատկել մի քանի երկու տախտակ, այլ նախ որոշել՝ արդյոք նման բազմապատկումը թույլատրելի է:

Խնդիր 4. Գտեք մատրիցների բոլոր հնարավոր զույգ արտադրյալները.

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ end (matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end (matrix) \\\ end (matrix) \ right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end (matrix) \աջ]$:

Լուծում. Նախ, եկեք գրենք մատրիցների չափերը.

\;\ B = \ ձախ[ 4 \ անգամ 2 \ աջ]; \ C = \ ձախ[ 2 \ անգամ 2 \ աջ] \]

Մենք գտնում ենք, որ $A$ մատրիցը կարող է հաշտվել միայն $B$ մատրիցի հետ, քանի որ $A$-ի սյունակների թիվը 4 է, և միայն $B$-ն ունի այս թվով տողեր։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գտնել ապրանքը.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Ընթերցողին առաջարկում եմ ինքնուրույն լրացնել միջանկյալ քայլերը։ Միայն նշեմ, որ ավելի լավ է նախապես որոշել ստացված մատրիցայի չափը, նույնիսկ նախքան որևէ հաշվարկ.

\\cdot \ձախ[ 4\ անգամ 2 \աջ]=\ձախ[ 2\ անգամ 2 \աջ]\]

Այսինքն՝ մենք պարզապես հանում ենք «տարանցիկ» գործակիցները, որոնք ապահովում էին մատրիցների հետևողականությունը։

Ի՞նչ այլ տարբերակներ են հնարավոր: Իհարկե, կարելի է գտնել $B\cdot A$, քանի որ $B=\left[ 4\ անգամ 2 \right]$, $A=\left[ 2\ անգամ 4 \right]$, այնպես որ պատվիրված զույգը $\ left(B ;A \right)$-ը համահունչ է, և արտադրանքի չափը կլինի.

\\cdot \ձախ[ 2\ անգամ 4 \աջ]=\ձախ[ 4\ անգամ 4 \աջ]\]

Մի խոսքով, ելքը կլինի $\left[ 4\ անգամ 4 \right]$ մատրիցը, որի գործակիցները հեշտությամբ կարելի է հաշվարկել.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Ակնհայտորեն, դուք կարող եք նաև համաձայնել $C\cdot A$-ի և $B\cdot C$-ի հետ, և վերջ: Հետևաբար, մենք պարզապես գրում ենք ստացված արտադրանքները.

Հեշտ էր։ :)

Պատասխան՝ $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end (array) \աջ]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end (array) \աջ]$:

Ընդհանուր առմամբ, ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս այս առաջադրանքը կատարել ինքներդ: Եվ ևս մեկ նմանատիպ առաջադրանք, որը տնային աշխատանքում է: Այս պարզ թվացող մտքերը կօգնեն ձեզ կիրառել մատրիցային բազմապատկման բոլոր հիմնական փուլերը:

Բայց պատմությունն այսքանով չի ավարտվում. Անցնենք բազմապատկման հատուկ դեպքերին :)

Տողերի և սյունակների վեկտորներ

Ամենատարածված մատրիցային գործողություններից մեկը բազմապատկումն է մատրիցով, որն ունի մեկ տող կամ մեկ սյունակ:

Սահմանում. Սյունակի վեկտորը $\left[ m\times 1 \right]$ չափի մատրից է, այսինքն. բաղկացած է մի քանի տողից և միայն մեկ սյունակից:

Շարքի վեկտորը $\left[ 1\times n \right]$ չափի մատրից է, այսինքն. բաղկացած մեկ տողից և մի քանի սյունակից:

Փաստորեն, մենք արդեն հանդիպել ենք այդ օբյեկտներին։ Օրինակ՝ $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ կարծրամետրիայի սովորական եռաչափ վեկտորը ոչ այլ ինչ է, քան տողի վեկտոր։ Տեսական տեսանկյունից տողերի և սյունակների միջև տարբերություն գրեթե չկա: Դուք միայն պետք է զգույշ լինեք շրջապատող բազմապատկիչ մատրիցների հետ համակարգելիս:

Առաջադրանք 5. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Այստեղ մենք ունենք համընկնող մատրիցների արտադրյալը՝ $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$: Եկեք գտնենք այս կտորը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \աջ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \աջ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\ end(array) \right]$:

Առաջադրանք 6. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Նորից ամեն ինչ համաձայնեցված է՝ $\ ձախ[ 1\ անգամ 3 \աջ]\cdot \ձախ[ 3\ անգամ 3 \աջ]=\ձախ[ 1\անգամ 3 \աջ]$։ Մենք հաշվում ենք արտադրանքը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (ժ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( ) r)) 5 & -19 & 5 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$:

Ինչպես տեսնում եք, երբ մենք բազմապատկում ենք տողի վեկտորը և սյունակի վեկտորը քառակուսի մատրիցով, արդյունքը միշտ բերում է նույն չափի տող կամ սյունակ: Այս փաստը բազմաթիվ կիրառություններ ունի՝ սկսած գծային հավասարումների լուծումից մինչև կոորդինատների բոլոր տեսակի փոխակերպումներ (որոնք, ի վերջո, նույնպես հասնում են հավասարումների համակարգերի, բայց եկեք չխոսենք տխուր բաների մասին):

Կարծում եմ՝ այստեղ ամեն ինչ ակնհայտ էր։ Անցնենք այսօրվա դասի վերջին հատվածին։

Մատրիցայի աստիճանականացում

Բազմապատկման բոլոր գործողություններից առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի աստիճանականացումը. սա այն դեպքում, երբ մենք մի քանի անգամ բազմապատկում ենք նույն առարկան ինքն իրենով: Մատրիցները բացառություն չեն.

Նման աշխատանքները միշտ համաձայնեցվում են.

\\cdot \left[ n\times n \աջ]=\ձախ[n\ անգամ n \աջ]\]

Եվ դրանք նշանակված են ճիշտ այնպես, ինչպես սովորական աստիճանները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հայացքից ամեն ինչ պարզ է. Տեսնենք, թե ինչ տեսք ունի սա գործնականում.

Առաջադրանք 7. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորությանը.

$((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))$

Լուծում. Դե լավ, եկեք կառուցենք: Նախ եկեք քառակուսի դարձնենք այն.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(2))=\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ ( մատրիցա) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\ cdot \ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (զանգված) (*(35) (r)) 1 & 3 \\ 0 և 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը։ :)

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$:

Խնդիր 8. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորության վրա.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(10))\]

Լուծում. Պարզապես հիմա մի լացիր այն փաստի համար, որ «աստիճանը շատ մեծ է», «աշխարհն արդար չէ» և «ուսուցիչները լիովին կորցրել են իրենց ափերը»: Իրականում հեշտ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(10))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot ((\ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))\cdot ((\ ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \right]= \\ & =\left (\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ] \աջ)\cdot \ձախ (\ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ ] \աջ)= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Ուշադրություն դարձրեք, որ երկրորդ տողում մենք օգտագործել ենք բազմապատկման ասոցիատիվությունը: Իրականում, մենք այն օգտագործել ենք նախորդ առաջադրանքում, բայց դա անուղղակի էր:

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա մատրիցայի հզորության բարձրացման մեջ: Վերջին օրինակը կարելի է ամփոփել.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(n))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Այս փաստը հեշտ է ապացուցել մաթեմատիկական ինդուկցիայի կամ ուղղակի բազմապատկման միջոցով։ Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ հնարավոր է բռնել նման նախշեր, երբ բարձրանում է ուժը: Ուստի, զգույշ եղեք. հաճախ մի քանի մատրիցներ «պատահական» բազմապատկելը պարզվում է, որ ավելի հեշտ և արագ է, քան ինչ-որ օրինաչափություններ փնտրելը:

Ընդհանրապես, մի ​​փնտրեք ավելի բարձր իմաստ այնտեղ, որտեղ չկա: Եզրափակելով, եկեք դիտարկենք ավելի մեծ մատրիցի հզորությունը՝ այնքան, որքան $\ ձախ[ 3\ անգամ 3 \աջ]$:

Խնդիր 9. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորությանը.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\]

Լուծում. Եկեք չփնտրենք նախշեր: Մենք աշխատում ենք առաջ.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))=(( \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(2))\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \\աջ]\]

Նախ, եկեք քառակուսի դարձնենք այս մատրիցը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 2))=\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմա եկեք խորանարդավորենք այն.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 3))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \left[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ( զանգված)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկների ծավալն ավելի մեծ է դարձել, բայց իմաստն ընդհանրապես չի փոխվել :)

Սա ավարտում է դասը: Հաջորդ անգամ մենք կքննարկենք հակադարձ գործողությունը. օգտագործելով գոյություն ունեցող արտադրանքը, մենք կփնտրենք սկզբնական գործոնները:

Ինչպես հավանաբար արդեն կռահեցիք, մենք կխոսենք հակադարձ մատրիցայի և այն գտնելու մեթոդների մասին: