Տրվում է գագաթով աջ շրջանաձև կոն: Դաս «Կոնի ծավալը»

V մխոց = S հիմնական: ∙ժ

Օրինակ 2.Տրվում է ABC աջ շրջանաձև կոն, հավասարակողմ, BO = 10: Գտե՛ք կոնի ծավալը։

Լուծում

Գտնենք կոնի հիմքի շառավիղը։ C=60 0, B=30 0,

Թող OS = Ա, ապա BC = 2 Ա. Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Պատասխան. .

Օրինակ 3. Հաշվե՛ք նշված տողերով սահմանափակված պտտվող տարածքներով կազմված թվերի ծավալները:

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Ինտեգրման սահմանները a = 0, b = 4:

V= | =32պ

Առաջադրանքներ

Տարբերակ 1

1. Գլանի առանցքային հատվածը քառակուսի է, որի անկյունագիծը 4 դմ է։ Գտեք մխոցի ծավալը:

2. Սնամեջ գնդակի արտաքին տրամագիծը 18 սմ է, պատերի հաստությունը՝ 3 սմ Գտեք գնդակի պատերի ծավալը։

X գործիչ, որը սահմանափակված է y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2 տողերով:

Տարբերակ 2

1. Երեք գնդակների շառավիղներն են 6 սմ, 8 սմ, 10 սմ Որոշեք այն գնդակի շառավիղը, որի ծավալը հավասար է այս գնդերի ծավալների գումարին։

2. Կոնի հիմքի մակերեսը 9 սմ 2 է, ընդհանուր մակերեսի մակերեսը՝ 24 սմ 2։ Գտե՛ք կոնի ծավալը։

3. Հաշվե՛ք O առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը Xգործիչ, որը սահմանափակված է y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4 տողերով:

Վերահսկիչ հարցեր.

1. Գրի՛ր մարմինների ծավալների հատկությունները:

2. Գրի՛ր բանաձեւ Oy առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու համար:

ԴԱՍԻ ՏԵՔՍՏԻ ՏՐԱՆՍԿՐԻՊՏԸ.

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել ստերեոմետրիայի «Պտտման մարմիններ» բաժինը:

Հեղափոխության մարմինները ներառում են՝ բալոններ, կոններ, գնդիկներ:

Հիշենք սահմանումները.

Բարձրությունը գործչի կամ մարմնի վերևից մինչև գործչի (մարմնի) հիմքը հեռավորությունն է: Հակառակ դեպքում՝ գործչի գագաթն ու հիմքը կապող հատված և դրան ուղղահայաց։

Հիշեք, որ շրջանագծի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել pi-ն շառավիղի քառակուսով:

Շրջանակի մակերեսը հավասար է։

Եկեք հիշենք, թե ինչպես կարելի է գտնել շրջանագծի տարածքը, իմանալով տրամագիծը: Որովհետեւ

Դնենք այն բանաձևի մեջ.

Կոնը նաև հեղափոխության մարմին է։

Կոնը (ավելի ճիշտ՝ շրջանաձև կոն) այն մարմինն է, որը բաղկացած է շրջանից՝ կոնի հիմքից, այս շրջանագծի հարթությունում չգտնվող կետից՝ կոնի վերևից և գագաթը միացնող բոլոր հատվածներից։ կոն բազային կետերով:

Ծանոթանանք կոնի ծավալը գտնելու բանաձեւին.

Թեորեմ. Կոնի ծավալը հավասար է հիմքի և բարձրության մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին։

Եկեք ապացուցենք այս թեորեմը.

Տրված է՝ կոն, S - իր հիմքի տարածքը,

h - կոն բարձրությունը

Ապացուցել՝ V=

Ապացույց. Դիտարկենք V ծավալով կոն, հիմքի շառավղով R, բարձրություն h և գագաթ O կետում:

Եկեք ներկայացնենք Ox առանցքը OM-ի միջով - կոնի առանցքը: Օքսի առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ կոնի կամայական հատվածը կետում կենտրոն ունեցող շրջան է:

M1 - այս հարթության հատման կետը Ox առանցքի հետ: Այս շրջանագծի շառավիղը նշանակենք R1-ով, իսկ կտրվածքի մակերեսը S(x), որտեղ x-ը M1 կետի աբսցիսա է։

ОМ1A1 և ОМА ուղղանկյուն եռանկյունների նմանությունից (ے ОМ1A1 = ے ОМА - ուղիղ գծեր, ے MOA- ընդհանուր, ինչը նշանակում է, որ եռանկյունները նման են երկու անկյան տակ) հետևում է.

Նկարը ցույց է տալիս, որ OM1=x, OM=h

կամ որտեղից, ըստ համամասնության հատկության, մենք գտնում ենք R1 = .

Քանի որ խաչմերուկը շրջանագիծ է, ապա S(x)=πR12, փոխարինեք նախորդ արտահայտությունը R1-ի փոխարեն, խաչմերուկի մակերեսը հավասար է պիեր քառակուսու արտադրյալի հարաբերությանը x քառակուսու և քառակուսու հարաբերությանը: բարձրությունից:

Եկեք կիրառենք հիմնական բանաձևը

Հաշվելով մարմինների ծավալները՝ a=0, b=h-ով ստանում ենք արտահայտությունը (1)

Քանի որ կոնի հիմքը շրջանագիծ է, ապա կոնի հիմքի S մակերեսը հավասար կլինի պիեր քառակուսու

Մարմնի ծավալը հաշվարկելու բանաձևում մենք փոխարինում ենք պիեր քառակուսու արժեքը հիմքի մակերեսով և գտնում ենք, որ կոնի ծավալը հավասար է մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին։ հիմքը և բարձրությունը

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմի հետևանքը (կտրված կոնի ծավալի բանաձևը)

Կտրված կոնի V ծավալը, որի բարձրությունը h է, իսկ S և S1 հիմքերի մակերեսը, հաշվարկվում է բանաձևով.

Ve-ն հավասար է մեկ երրորդ կացին, որը բազմապատկվում է հիմքերի մակերեսների և հիմքի մակերեսների արտադրյալի քառակուսի արմատի գումարով։

Խնդրի լուծում

3 սմ և 4 սմ ոտքեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է հիպոթենուսի շուրջ: Որոշեք ստացված մարմնի ծավալը:

Երբ պտտում ենք եռանկյունին հիպոթենուսի շուրջ, ստանում ենք կոն։ Այս խնդիրը լուծելիս պետք է հասկանալ, որ հնարավոր է երկու դեպք. Նրանցից յուրաքանչյուրում մենք օգտագործում ենք կոնի ծավալը գտնելու բանաձևը. կոնի ծավալը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին։

Առաջին դեպքում գծագիրը կունենա հետևյալ տեսքը. տրված է կոն: Թող շառավիղը r = 4, բարձրությունը h = 3

Հիմքի մակերեսը հավասար է π-ի շառավիղի քառակուսին

Այնուհետև կոնի ծավալը հավասար է π-ի արտադրյալի մեկ երրորդին՝ շառավղով և բարձրությամբ։

Փոխարինենք արժեքը բանաձևով, ստացվում է, որ կոնի ծավալը 16π է։

Երկրորդ դեպքում այսպես՝ տրված է կոն։ Թող շառավիղը r = 3, բարձրությունը h = 4

Կոնի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին.

Հիմքի մակերեսը հավասար է π-ի շառավիղի քառակուսին.

Այնուհետև կոնի ծավալը հավասար է π-ի արտադրյալի մեկ երրորդին՝ շառավղով և բարձրությամբ.

Փոխարինելով արժեքը բանաձևի մեջ՝ պարզվում է, որ կոնի ծավալը 12π է։

Պատասխան՝ V կոնի ծավալը 16 π կամ 12 պ է

Խնդիր 2. Տրվում է 6 սմ շառավղով ուղիղ շրջանաձև կոն, անկյուն BCO = 45:

Գտե՛ք կոնի ծավալը։

Լուծում. Այս խնդրի համար տրված է պատրաստի գծագիր։

Գրենք կոնի ծավալը գտնելու բանաձևը.

Եկեք այն արտահայտենք R բազայի շառավղով.

Կառուցմամբ գտնում ենք h =BO՝ ուղղանկյուն, քանի որ անկյուն BOC = 90 (եռանկյան անկյունների գումարը), հիմքի անկյունները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ ΔBOC եռանկյունը հավասարաչափ է, իսկ BO = OC = 6 սմ:

Թող տրվի աջ շրջանաձև գլան, հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթությունը զուգահեռ է դրա հիմքին: Երբ մխոցը հատվում է հարթությամբ ընդհանուր դիրքով (ենթադրում ենք, որ հարթությունը չի հատում մխոցի հիմքերը), հատման գիծը էլիպս է, հատվածն ինքնին ունի էլիպսի ձև, դրա հորիզոնական պրոյեկցիան համընկնում է մխոցի հիմքի պրոյեկցիան, իսկ առջևը նույնպես էլիպսի ձև ունի։ Բայց եթե կտրվածքի հարթությունը գլանի առանցքի հետ կազմում է 45° անկյուն, ապա այն հատվածը, որն ունի էլիպսի ձև, շրջանագծով ցայտվում է ելքի հարթության վրա, որին հատվածը թեքված է նույն անկյան տակ։

Եթե ​​կտրող հարթությունը հատում է գլանի կողային մակերեսը և դրա հիմքերից մեկը (նկ. 8.6), ապա հատման գիծը թերի էլիպսի (էլիպսի մաս) տեսք ունի։ Հատվածի հորիզոնական պրոյեկցիան այս դեպքում շրջանագծի մաս է (հիմքի պրոյեկցիա), իսկ ճակատային պրոյեկցիան էլիպսի մաս է։ Հարթությունը կարող է տեղակայվել ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության վրա ուղղահայաց, այնուհետև հատվածը նախագծվելու է այս պրոյեկցիոն հարթության վրա որպես ուղիղ գիծ (հատվածի հարթության հետքի մի մասը):

Եթե ​​գլանը հատվում է գեներատրիցին զուգահեռ հարթությամբ, ապա կողային մակերեսի հետ հատման գծերը ուղիղ են, իսկ հատվածն ինքնին ունի ուղղանկյունի ձև, եթե գլանն ուղիղ է, կամ զուգահեռագիծ, եթե գլանը թեքված է։

Ինչպես հայտնի է, և՛ գլանը, և՛ կոնը ձևավորվում են կառավարվող մակերեսներով։

Կանոնավոր մակերևույթի և հարթության հատման գիծը (կտրված գիծը) ընդհանուր դեպքում որոշակի կոր է, որը կառուցված է գեներատորների հատման հարթության հետ հատման կետերից։

Թող տրվի ուղիղ շրջանաձև կոն:Երբ այն հատվում է հարթությամբ, խաչմերուկի գիծը կարող է ունենալ եռանկյունի, էլիպս, շրջան, պարաբոլա, հիպերբոլա (նկ. 8.7)՝ կախված հարթության դիրքից:

Եռանկյուն է ստացվում, երբ կտրող հարթությունը, հատելով կոնը, անցնում է նրա գագաթով։ Տվյալ դեպքում կողային մակերեսի հետ հատման գծերը կոնի գագաթին հատվող ուղիղ գծեր են, որոնք հիմքի հատման գծի հետ միասին կազմում են պրոյեկցիոն հարթությունների վրա աղավաղմամբ նախագծված եռանկյուն: Եթե ​​հարթությունը հատում է կոնի առանցքը, ապա հատվածից առաջանում է եռանկյուն, որի անկյունը կոնի գագաթին համընկնող գագաթի հետ առավելագույնը կլինի տվյալ կոնի եռանկյունի հատվածների համար։ Այս դեպքում հատվածը նախագծվում է հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթության վրա (այն զուգահեռ է իր հիմքին) ուղիղ հատվածով։

Հարթության և կոնի հատումը կլինի էլիպս, եթե հարթությունը զուգահեռ չէ կոնի գեներատորներից որևէ մեկին: Սա համարժեք է այն փաստին, որ ինքնաթիռը հատում է բոլոր գեներատորները (կոնի ողջ կողային մակերեսը): Եթե ​​կտրվածքի հարթությունը զուգահեռ է կոնի հիմքին, ապա հատման գիծը շրջանագիծ է, հատվածն ինքնին նախագծված է հորիզոնական պրոյեկցիայի հարթության վրա՝ առանց աղավաղման, իսկ ճակատային հարթության վրա՝ որպես ուղիղ գծի հատված։

Խաչմերուկի գիծը կլինի պարաբոլա, երբ կտրող հարթությունը զուգահեռ է կոնի միայն մեկ գեներատորին: Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է երկու գեներատորի միաժամանակ, ապա հատման գիծը հիպերբոլա է։

Կտրված կոն ստացվում է, եթե ուղիղ շրջանաձև կոնը հատվում է հիմքին զուգահեռ և կոնի առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ, իսկ վերին մասը դեն նետվում է։ Այն դեպքում, երբ ելուստների հորիզոնական հարթությունը զուգահեռ է կտրված կոնի հիմքերին, այդ հիմքերը նախագծվում են ելուստների հորիզոնական հարթության վրա՝ առանց համակենտրոն շրջանակների աղավաղման, իսկ ճակատային պրոյեկցիան տրապիզոիդ է։ Երբ կտրված կոնը հատվում է հարթությամբ, կախված նրա գտնվելու վայրից, կտրված գիծը կարող է ունենալ տրապեզի, էլիպսի, շրջանի, պարաբոլայի, հիպերբոլայի կամ այս կորերից մեկի մի մասի ձև, որի ծայրերը միացված են ուղիղ գիծ.

Ախտորոշիչ աշխատանքը բաղկացած է երկու մասից՝ ներառյալ 19 առաջադրանք։ Մաս 1-ը պարունակում է հիմնական դժվարության 8 առաջադրանք՝ կարճ պատասխանով: Մաս 2-ը պարունակում է բարդության բարձրացված 4 առաջադրանք՝ կարճ պատասխանով և 7 բարձրացված և բարձր բարդության առաջադրանք՝ մանրամասն պատասխանով:
Մաթեմատիկայի ախտորոշիչ աշխատանքն ավարտելու համար հատկացվում է 3 ժամ 55 րոպե (235 րոպե):
1-12 առաջադրանքների պատասխանները գրվում են որպես ամբողջ թիվ կամ վերջնական տասնորդական կոտորակ: Պատասխանների դաշտերում թվերը գրեք աշխատանքի տեքստում, այնուհետև փոխանցեք թիվ 1 պատասխանի ձևին: 13-19-րդ առաջադրանքները կատարելիս պետք է գրել ամբողջական լուծումը և պատասխանել թիվ 2 պատասխան ձևին:
Բոլոր ձևաթղթերը պետք է լրացվեն վառ սև թանաքով: Դուք կարող եք օգտագործել գել, մազանոթ կամ շատրվանային գրիչներ:
Առաջադրանքները կատարելիս կարող եք օգտագործել սևագիր: Աշխատանքը գնահատելիս նախագծում կատարված գրառումները հաշվի չեն առնվում:
Կատարված առաջադրանքների համար ստացած միավորները ամփոփված են:
Մաղթում ենք ձեզ հաջողություն!

Խնդրի պայմաններ

1. Գտեք, եթե
2. Լաբորատորիայում էկրանին լույսի լամպի ընդլայնված պատկեր ստանալու համար օգտագործվում է ոսպնյակի հիմնական կիզակետային երկարությունը = 30 սմ Հեռավորությունը ոսպնյակից մինչև լամպ կարող է տատանվել 40-ից մինչև 65 սմ, իսկ հեռավորությունը ոսպնյակից մինչև էկրան - տատանվում է 75-ից մինչև 100 սմ Էկրանի վրա պատկերը պարզ կլինի, եթե հարաբերակցությունը պահպանվի: Նշեք, թե ոսպնյակից ինչ առավելագույն հեռավորության վրա կարող է տեղադրվել լամպը, որպեսզի նրա պատկերը էկրանին պարզ լինի: Ձեր պատասխանն արտահայտեք սանտիմետրերով:
3. Շարժիչային նավը գետի երկայնքով շարժվում է մինչև իր նպատակակետը 300 կմ և կանգ առնելուց հետո վերադառնում է մեկնման կետ։ Գտե՛ք հոսանքի արագությունը, եթե անշարժ ջրում նավի արագությունը 15 կմ/ժ է, մնալը տևում է 5 ժամ, իսկ նավը վերադառնում է իր մեկնման կետը մեկնելուց 50 ժամ հետո։ Պատասխանեք կմ/ժ-ով:
4. Գտեք հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը
5. ա) Լուծե՛ք հավասարումը բ) Գտե՛ք հատվածին պատկանող այս հավասարման բոլոր արմատները
6. Տրված է գագաթով աջ շրջանաձև կոն Մ. Կոնի առանցքային հատվածը եռանկյունի է, որի գագաթին 120° անկյուն է: Մ. Կոնու գեներացիան է. Կետի միջոցով Մկոնի հատվածը գծված է գեներատորներից մեկին ուղղահայաց:
   ա) Ապացուցեք, որ ստացված եռանկյունը լայնական կտրվածքով բութ է:
   բ) Գտեք հեռավորությունը կենտրոնից ՄԱՍԻՆկոնի հիմքը դեպի հատվածի հարթությունը:
7. Լուծե՛ք հավասարումը
8. Շրջանակ կենտրոնով ՄԱՍԻՆդիպչում է կողքին ԱԲհավասարաչափ եռանկյուն ABC,կողքի երկարացում ACև հիմնադրամի շարունակությունը Արևկետում Ն. Կետ Մ- հիմքի կեսը Արև.
   ա) Ապացուցեք դա MN = AC:
   բ) Գտեք ՕՀ,եթե եռանկյան կողմերը ABCհավասար են 5-ի, 5-ի և 8-ի:
9. «Ա» բիզնես նախագիծը ենթադրում է առաջին երկու տարիների ընթացքում տարեկան 34,56%-ով, իսկ հաջորդ երկու տարիների ընթացքում տարեկան 44%-ով ավելացում: «B» նախագիծը ենթադրում է աճ հաստատուն ամբողջ թվով nտոկոս տարեկան։ Գտեք ամենափոքր արժեքը n, որում առաջին չորս տարում «B» նախագիծն ավելի շահավետ կլինի, քան «Ա» նախագիծը։
10. Գտեք պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում
11. Անյան խաղում է խաղ՝ գրատախտակին գրված են երկու տարբեր բնական թվեր իսկ , երկուսն էլ 1000-ից փոքր են։ Եթե երկուսն էլ բնական են, ապա Անյան քայլ է անում՝ նախորդները փոխարինում է այս երկու թվերով։ Եթե ​​այս թվերից գոնե մեկը բնական չէ, ապա խաղն ավարտվում է։
    ա) Կարո՞ղ է խաղը տևել ուղիղ երեք հերթափոխ:
    բ) Կա՞ն երկու սկզբնական թիվ, որ խաղը տևի առնվազն 9 քայլ:
    գ) Անյան կատարեց խաղի առաջին քայլը: Գտե՛ք ստացված երկու թվերի արտադրյալի առավելագույն հնարավոր հարաբերակցությունը արտադրյալին