Սահման x-ը ձգտում է 3 x-ի: Սահմանափակումներ

Տարրական ֆունկցիաները և դրանց գրաֆիկները:

Հիմնական տարրական ֆունկցիաներն են՝ ուժային ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ինչպես նաև բազմանդամ և ռացիոնալ ֆունկցիա, որը երկու բազմանդամների հարաբերությունն է։

Տարրական ֆունկցիաների մեջ մտնում են նաև այն ֆունկցիաները, որոնք ստացվում են տարրականներից՝ կիրառելով հիմնական չորս թվաբանական գործողությունները և կազմելով բարդ ֆունկցիա։

Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկներ

	Ուղիղ գիծ- գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ y = կացին + բ. y ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է a > 0-ի համար և նվազում է a-ի համար< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Պարաբոլա- քառակուսի եռանդամի ֆունկցիայի գրաֆիկ y = կացին 2 + bx + c. Ունի համաչափության ուղղահայաց առանցք։ Եթե a > 0, ունի նվազագույն, եթե a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения կացին 2 + bx +c =0
	Հիպերբոլա- ֆունկցիայի գրաֆիկը. Երբ a > O այն գտնվում է I և III քառորդներում, երբ ա< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) կամ y - - x(a< 0).
	Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա. Ցուցադրող(էքսպոնենցիալ ֆունկցիա e բազայի նկատմամբ) y = e x. (Մեկ այլ ուղղագրություն y = exp (x)) Ասիմպտոտը աբսցիսային առանցքն է:
	Լոգարիթմական ֆունկցիա y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Սինուսային ալիք- պարբերական ֆունկցիա T = 2π պարբերությամբ

Գործառույթների սահմանաչափ.

y=f(x) ֆունկցիան ունի A թիվ որպես սահման, քանի որ x-ը ձգտում է a-ին, եթե որեւէ ε › 0 թվի համար կա δ › 0 այնպիսի թիվ, որ | y – A | ‹ ε եթե |x - a| ‹ δ,

կամ lim y = A

Գործառույթի շարունակականություն.

y=f(x) ֆունկցիան x = a կետում շարունակական է, եթե lim f(x) = f(a), այսինքն.

ֆունկցիայի սահմանը x = a կետում հավասար է տվյալ կետի ֆունկցիայի արժեքին:

Գտեք գործառույթների սահմանները:

Հիմնական թեորեմներ ֆունկցիաների սահմանների վերաբերյալ.

1. Հաստատուն արժեքի սահմանը հավասար է այս հաստատուն արժեքին.

2. Հանրահաշվական գումարի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների հանրահաշվական գումարին.

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Մի քանի ֆունկցիաների արտադրյալի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների արտադրյալին.

lim (f * g * h) = lim f * lim g * lim h

4. Երկու ֆունկցիաների քանորդի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների քանորդին, եթե հայտարարի սահմանը հավասար չէ 0-ի.

lim------- = -----------

Առաջին ուշագրավ սահմանը՝ lim --------- = 1

Երկրորդ ուշագրավ սահմանը՝ lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281 ..)

Գործառույթների սահմանները գտնելու օրինակներ.

5.1. Օրինակ:

Ցանկացած սահմանափակում բաղկացած է երեք մասից.

1) Սահմանի հայտնի պատկերակը:

2) Սահմանի պատկերակի տակ գտնվող գրառումները: Մուտքում գրված է «X-ը հակված է մեկին»: Ամենից հաճախ դա x է, չնայած «x» - ի փոխարեն կարող է լինել որեւէ այլ փոփոխական: Մեկի փոխարեն կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած համար, ինչպես նաեւ անսահմանություն 0 կամ:

3) գործառույթները սահմանի նշանի տակ, այս դեպքում:

Ձայնագրումը ինքնին Այսպես կարդում է. «Գործառույթի սահմանը, քանի որ x- ը հակված է միասնության»:

Շատ կարեւոր հարց. Ինչ է նշանակում «x» արտահայտությունը: ձգտում էմեկին »: Արտահայտությունը "x" ձգտում էՄեկը «պետք է հասկանալ հետեւյալ կերպ.« X »- ը հետեւողականորեն ստացվում է արժեքները որոնք մոտենում են միասնությանը անսահման մոտ եւ գործնականում համընկնում դրա հետ:

Ինչպե՞ս լուծել վերը նշված օրինակը: Ելնելով վերը նշվածի վրա, պարզապես անհրաժեշտ է փոխարինել մեկ գործառույթի մեջ `սահմանի նշանի ներքո.

Այսպիսով, առաջին կանոնը Երբ սահման է տրվել, դուք առաջին հերթին պարզապես այդ թիվը միացնում եք գործառույթի մեջ:

5.2. Օրինակ, անսահմանության հետ.

Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա: Սա այն դեպքն է, երբ այն մեծանում է առանց սահմանի:

Այսպիսով, եթե , ապա ֆունկցիան Հակված է մինուս անսահմանությանը.

Ըստ մեր առաջին կանոնների, «X» - ի փոխարեն մենք փոխարինում ենք գործառույթը անսահմանություն, և մենք ստանում ենք պատասխանը.

5.3. Մեկ այլ օրինակ անսահմանության հետ.

Կրկին մենք սկսում ենք բարձրացնել անսահմանությունը եւ նայենք գործառույթի պահվածքին:
Եզրակացություն. ֆունկցիան անսահմանափակորեն մեծանում է

5.4. Մի շարք օրինակներ.

Փորձեք ինքներդ մտավոր վերլուծել հետևյալ օրինակները և լուծել սահմանների ամենապարզ տեսակները.

, , , , , , , , ,

Ի՞նչ է պետք հիշել և հասկանալ վերը նշվածից:

Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ պարզապես միացրեք համարը ֆունկցիայի մեջ: Միևնույն ժամանակ, դուք պետք է հասկանաք և անմիջապես լուծեք ամենապարզ սահմանները, ինչպիսիք են , , և այլն:

6. Սահմանափակումներ տեսակի անորոշությամբ և դրանց լուծման մեթոդ:

Այժմ մենք կդիտարկենք սահմանների խումբը, երբ , և ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ:

6.1. Օրինակ:

Հաշվարկել սահմանաչափը

Մեր կանոնի համաձայն՝ մենք փորձում ենք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Ի՞նչ ենք մենք ստանում վերևում: Անսահմանություն. Իսկ ի՞նչ է կատարվում ստորև։ Նաև անսահմանություն։ Այսպիսով, մենք ունենք այն, ինչ կոչվում է տեսակների անորոշություն: Կարելի է մտածել, որ = 1, և պատասխանը պատրաստ է, բայց ընդհանուր դեպքում դա ամենևին էլ այդպես չէ, և դուք պետք է կիրառեք լուծման որոշ տեխնիկա, որը մենք հիմա կքննարկենք:

Ինչպե՞ս լուծել այս տեսակի սահմանները:

Սկզբում մենք նայում ենք համարիչին և գտնում ենք ամենաբարձր հզորությունը.

Համարիչի առաջատար ուժը երկուսն է։

Այժմ մենք նայում ենք հայտարարին և նաև գտնում ենք այն ամենաբարձր հզորությամբ.

Հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը երկուսն է:

Այնուհետև ընտրում ենք համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր հզորությունը. այս օրինակում դրանք նույնն են և հավասար են երկուսի:

Այսպիսով, լուծման մեթոդը հետևյալն է. բացահայտել անորոշությունը դուք պետք է բաժանեք համարիչն ու հայտարարը ավագ աստիճանում։

Այսպիսով, պատասխանը 1 չէ:

Օրինակ

Գտեք սահմանը

Կրկին համարիչում և հայտարարում մենք գտնում ենք ամենաբարձր աստիճանում.

Համարիչի առավելագույն աստիճանը՝ 3

Առավելագույն աստիճանը հայտարարում` 4

Ընտրեք մեծագույնարժեքը, այս դեպքում չորս.
Մեր ալգորիթմի համաձայն՝ անորոշությունը բացահայտելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք .

Օրինակ

Գտեք սահմանը

«X»-ի առավելագույն աստիճանը համարիչում՝ 2

«X»-ի առավելագույն աստիճանը հայտարարում՝ 1 (կարելի է գրել որպես)
Անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել . Վերջնական լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես գտնել սահմաններ, այս հոդվածում մենք ձեզ կպատմենք այդ մասին: Մենք չենք խորանա տեսության մեջ, ուսուցիչները սովորաբար դա դասախոսություններ են տալիս: Այսպիսով, «ձանձրալի տեսությունը» պետք է գրանցվի ձեր նոթատետրերում: Եթե դա այդպես չէ, ապա կարող եք կարդալ ուսումնական հաստատության գրադարանից կամ այլ ինտերնետային ռեսուրսներից վերցված դասագրքեր։

Այսպիսով, սահման հասկացությունը բավականին կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մեջ, հատկապես, երբ հանդիպում ես ինտեգրալ հաշվարկի և հասկանում ես սահմանի և ինտեգրալի միջև կապը: Ներկայիս նյութը կանդրադառնա պարզ օրինակների, ինչպես նաև դրանց լուծման ուղիների վրա:

Լուծումների օրինակներ

Օրինակ 1
Հաշվեք a) $ \lim_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) $; բ)$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) $
Լուծում
ա) $$ \lim \limits_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) = \infty $$ բ)$$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Մարդիկ հաճախ մեզ ուղարկում են այս սահմանափակումները՝ խնդրելով օգնել լուծել դրանք: Մենք որոշեցինք դրանք առանձնացնել որպես առանձին օրինակ և բացատրել, որ այդ սահմանները, որպես կանոն, պարզապես պետք է հիշել։ Եթե դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում։ Դուք կկարողանաք դիտել հաշվարկի առաջընթացը և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ստանալ ձեր գնահատականը ձեր ուսուցչից:
Պատասխանել
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Ինչ անել ձևի անորոշության դեպքում. $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Օրինակ 3
Լուծել $ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Լուծում
Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք $ x $ արժեքը փոխարինելով սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտությամբ: $$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Ի՞նչ է հաջորդը հիմա: Ի՞նչ պետք է լինի ի վերջո։ Քանի որ սա անորոշություն է, սա դեռ պատասխան չէ, և մենք շարունակում ենք հաշվարկը։ Քանի որ մենք ունենք բազմանդամ համարիչներում, մենք այն կգործադրենք՝ օգտագործելով դպրոցից բոլորին ծանոթ բանաձևը $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$: Հիշում ես? Հիանալի Այժմ շարունակեք և օգտագործեք այն երգի հետ :) Մենք գտնում ենք, որ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ համարիչը Մենք շարունակում ենք լուծել՝ հաշվի առնելով վերը նշված վերափոխումը. $$ \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \սահմաններ_(x \մինչև -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Պատասխանել
$$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Եկեք վերջին երկու օրինակների սահմանը հասցնենք անսահմանության և դիտարկենք անորոշությունը՝ $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Օրինակ 5
Հաշվարկել $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Լուծում
$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ինչ անել? Ինչ պետք է անեմ? Խուճապի մի մատնվեք, քանի որ անհնարինը հնարավոր է։ Հարկավոր է հանել x-ը և՛ համարիչում, և՛ հայտարարի մեջ, ապա փոքրացնել այն։ Սրանից հետո փորձեք հաշվարկել սահմանը։ Արի փորձենք... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Օգտագործելով օրինակ 2-ի սահմանումը և անսահմանությունը փոխարինելով x-ով, մենք ստանում ենք. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Պատասխանել
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Սահմանաչափերի հաշվարկման ալգորիթմ

Այսպիսով, եկեք համառոտ ամփոփենք օրինակները և ստեղծենք սահմանները լուծելու ալգորիթմ.

X կետը փոխարինի՛ր սահմանային նշանին հաջորդող արտահայտությամբ: Եթե ստացվում է որոշակի թիվ կամ անսահմանություն, ապա սահմանն ամբողջությամբ լուծված է։ Հակառակ դեպքում մենք ունենք անորոշություն՝ «զրո բաժանված զրոյի» կամ «անսահմանությունը՝ բաժանված անսահմանության վրա» և անցնել հրահանգների հաջորդ քայլերին։
«Զրո բաժանված զրոյի» անորոշությունը վերացնելու համար պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը: Նվազեցրեք նմանատիպերը: Փոխարինեք x կետը սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտության մեջ:
Եթե անորոշությունը «անվերջությունը բաժանված է անվերջության վրա», ապա մենք հանում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը x-ի առավելագույն աստիճանով: Մենք կրճատում ենք X-երը: Սահմանի տակից x-ի արժեքները փոխարինում ենք մնացած արտահայտության մեջ:

Այս հոդվածում դուք սովորեցիք սահմանների լուծման հիմունքները, որոնք հաճախ օգտագործվում են Calculus դասընթացում: Իհարկե, սրանք բոլոր տեսակի խնդիրներ չեն, որոնք առաջարկվում են քննողների կողմից, այլ միայն ամենապարզ սահմանները: Առաջիկա հոդվածներում մենք կխոսենք այլ տեսակի առաջադրանքների մասին, բայց նախ դուք պետք է սովորեք այս դասը, որպեսզի առաջ շարժվեք: Եկեք քննարկենք, թե ինչ անել, եթե կան արմատներ, աստիճաններ, ուսումնասիրենք անվերջ փոքր համարժեք ֆունկցիաներ, ուշագրավ սահմաններ, L'Hopital-ի կանոն:

Եթե դուք ինքներդ չեք կարողանում պարզել սահմանները, խուճապի մի մատնվեք: Մենք միշտ ուրախ ենք օգնել:

Գործառույթ y = f (x)օրենք է (կանոն), ըստ որի X բազմության յուրաքանչյուր x տարր կապված է Y բազմության մեկ և միայն մեկ տարրի y-ի հետ։

X տարր ∈ Xկանչեց ֆունկցիայի փաստարկկամ անկախ փոփոխական.
Տարր y ∈ Յկանչեց ֆունկցիայի արժեքըկամ կախյալ փոփոխական.

X բազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթը.
Տարրերի բազմություն y ∈ Յ, որոնք X բազմության մեջ ունեն նախապատկերներ, կոչվում է տարածքը կամ ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն.

Փաստացի ֆունկցիան կոչվում է վերևից սահմանափակված (ներքևից), եթե կա M այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը պահպանվի բոլորի համար.
.
Թվային ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար՝
.

Վերին եզրկամ ճշգրիտ վերին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենափոքր թիվը, որը սահմանափակում է նրա արժեքների շրջանակը վերևից: Այսինքն՝ սա s թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը գերազանցում է s′-ը:
Ֆունկցիայի վերին սահմանը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Համապատասխանաբար ստորին եզրկամ ստույգ ստորին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենամեծ թիվը, որը սահմանափակում է դրա արժեքների միջակայքը ներքևից: Այսինքն՝ սա i թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը փոքր է i′-ից:
Ֆունկցիայի infimum-ը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշում

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Քոշիի

Վերջնական կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Թող ֆունկցիան սահմանվի վերջնակետի ինչ-որ հարևանությամբ, հնարավոր բացառությամբ հենց կետի: մի կետում, եթե որևէ մեկի համար կա այդպիսի բան, կախված նրանից, որ բոլոր x-ի համար, որոնց համար անհավասարությունը պահպանվում է
.
Ֆունկցիայի սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի սահմաններ.
Ձախ սահմանը մի կետում (ձախ կողմի սահման).
.
Աջ սահմանը մի կետում (աջակողմյան սահման).
.
Ձախ և աջ սահմանները հաճախ նշվում են հետևյալ կերպ.
; .

Անսահմանության կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Անսահմանության կետերի սահմանները որոշվում են նույն կերպ:
.
.
.
Դրանք հաճախ կոչվում են.
; ; .

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը

Եթե ներդնենք կետի ծակված հարևանության հասկացությունը, ապա կարող ենք վերջավոր և անսահման հեռավոր կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի միասնական սահմանում տալ.
.
Այստեղ վերջնակետերի համար
; ;
.
Անսահմանության կետերի ցանկացած հարևանություն ծակվում է.
; ; .

Անսահման ֆունկցիայի սահմաններ

Սահմանում
Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): Ֆ ֆունկցիայի սահմանը f (x)ինչպես x → x 0 հավասար է անսահմանության, եթե որևէ կամայական մեծ թվի համար Մ > 0 , կա δ Մ թիվ > 0 , կախված M-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ M - կետի հարևանությանը. , գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Անսահման սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի անսահման սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Կարող եք նաև ներկայացնել որոշակի նշանների անսահման սահմանների սահմանումներ, որոնք հավասար են և.
.
.

Ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանում

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը՝ մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի վերջավոր և անվերջ սահմանի համընդհանուր սահմանում, որը կիրառելի է ինչպես վերջավոր (երկկողմանի և միակողմանի), այնպես էլ անսահման հեռավոր կետերի համար.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Հայնեի

Թող ֆունկցիան սահմանվի X:
a թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանկետում:
,
եթե x-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են X բազմությանը.
.

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Եթե x կետի ձախակողմյան հարեւանությունը վերցնենք որպես X բազմություն 0 , ապա մենք ստանում ենք ձախ սահմանի սահմանումը: Եթե աջակողմյան է, ապա ստանում ենք ճիշտ սահմանի սահմանումը։ Եթե անսահմանության կետի հարևանությունը վերցնենք որպես X բազմություն, ապա կստանանք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը անվերջության մեջ:

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Կոշիի և Հայնեի սահմանումները համարժեք են։
Ապացույց

Ֆունկցիայի սահմանի հատկությունները և թեորեմները

Այնուհետև, մենք ենթադրում ենք, որ դիտարկվող գործառույթները սահմանված են կետի համապատասխան հարևանությամբ, որը վերջավոր թիվ է կամ նշաններից մեկը. Այն կարող է լինել նաև միակողմանի սահմանային կետ, այսինքն՝ ունենալ ձև կամ . Հարեւանությունը երկկողմանի սահմանի համար երկկողմանի է, իսկ միակողմանի սահմանի համար՝ միակողմանի։

Հիմնական հատկություններ

Եթե ֆունկցիայի արժեքները f (x)փոխել (կամ դարձնել անորոշ) x կետերի վերջավոր թիվը 1, x 2, x 3, ... x n, ապա այս փոփոխությունը չի ազդի կամայական x կետում ֆունկցիայի սահմանի գոյության և արժեքի վրա 0 .

Եթե կա վերջավոր սահման, ապա կա x կետի ծակված հարևանություն 0 , որի վրա ֆունկցիան f (x)սահմանափակ՝
.

Թող ֆունկցիան ունենա x կետում 0 վերջավոր ոչ զրոյական սահման.
.
Այնուհետև, c միջակայքից ցանկացած c թվի համար կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , ինչի համար ,
, Եթե ;
, Եթե .

Եթե կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ ,-ը հաստատուն է, ապա .

Եթե կան վերջավոր սահմաններ և և x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0
,
որ .

Եթե , և կետի ինչ-որ հարևանությամբ
,
որ .
Մասնավորապես, եթե ինչ-որ կետի հարեւանությամբ
,
ապա եթե , ապա եւ ;
եթե , ապա եւ .

Եթե x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 :
,
և կան վերջավոր (կամ որոշակի նշանի անսահման) հավասար սահմաններ.
, Դա
.

Հիմնական հատկությունների ապացույցները տրված են էջում
«Ֆունկցիայի սահմանների հիմնական հատկությունները».

Ֆունկցիայի սահմանի թվաբանական հատկությունները

Թող գործառույթները և սահմանվեն կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ: Եվ թող լինեն սահմանափակ սահմաններ.
Եվ .
Եվ թող C լինի հաստատուն, այսինքն՝ տրված թիվ։ Հետո
;
;
;
, Եթե .

Եթե, ապա.

Էջում տրված են թվաբանական հատկությունների ապացույցներ
«Ֆունկցիայի սահմանների թվաբանական հատկությունները».

Կոշիի չափանիշը ֆունկցիայի սահմանի առկայության համար

Թեորեմ
Որպեսզի սահմանվի x վերջավոր կամ անվերջության կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա սահմանված ֆունկցիա 0 , այս կետում ուներ վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացած ε > 0 x կետի նման ծակված հարևանություն կար 0 , որ ցանկացած կետի և այս հարևանության համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.

Բարդ ֆունկցիայի սահմանը

Թեորեմ բարդ ֆունկցիայի սահմանի մասին
Թող ֆունկցիան ունենա սահման, և կետի ծակված հարևանությունը գծագրվի կետի ծակված հարևանության վրա: Թող գործառույթը սահմանվի այս հարևանությամբ և սահման ունենա դրա վրա:
Ահա վերջնական կամ անսահման հեռավոր կետերը. Հարևանները և դրանց համապատասխան սահմանները կարող են լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:
Այնուհետև կա բարդ ֆունկցիայի սահման, և այն հավասար է.
.

Կոմպլեքս ֆունկցիայի սահմանային թեորեմը կիրառվում է, երբ ֆունկցիան որոշված չէ մի կետում կամ ունի սահմանից տարբերվող արժեք։ Այս թեորեմը կիրառելու համար պետք է լինի այն կետի ծակված հարևանությունը, որտեղ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը չի պարունակում կետը.
.

Եթե ֆունկցիան անընդմեջ է կետում, ապա սահմանային նշանը կարող է կիրառվել շարունակական ֆունկցիայի փաստարկի վրա.
.
Հետևյալը այս դեպքին համապատասխան թեորեմ է.

Ֆունկցիայի շարունակական ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ
Թող լինի g ֆունկցիայի սահմանը (t)ինչպես t → t 0 , և այն հավասար է x-ի 0 :
.
Ահա t կետը 0 կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման հեռավոր.
Եվ թող ֆունկցիան f (x) x կետում շարունակական է 0 .
Այնուհետև կա f կոմպլեքս ֆունկցիայի սահման (g(t)), և այն հավասար է f (x0):
.

Թեորեմների ապացույցները տրված են էջում
«Բարդ ֆունկցիայի սահմանը և շարունակականությունը».

Անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաներ

Անսահման փոքր ֆունկցիաներ

Սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր, եթե
.

Գումար, տարբերություն և արտադրանքվերջավոր թվով անվերջ փոքր ֆունկցիաների ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիա է .

Սահմանափակված ֆունկցիայի արտադրյալկետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա անվերջ փոքր-ի համար ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիան է:

Որպեսզի ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ
,
որտեղ է անվերջ փոքր ֆունկցիան:

«Անվերջ փոքր ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ գործառույթներ

Սահմանում
Ֆունկցիան համարվում է անսահման մեծ, եթե
.

Սահմանափակված ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա և անսահման մեծ ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը ժամը անսահման մեծ ֆունկցիա է:

Եթե ֆունկցիան անսահման մեծ է , և ֆունկցիան սահմանափակված է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, ապա
.

Եթե ֆունկցիան, կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, բավարարում է անհավասարությունը.
,
և ֆունկցիան անվերջ փոքր է՝
, և (կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ), ապա
.

Հատկությունների ապացույցները ներկայացված են բաժնում
«Անսահման մեծ ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը

Նախորդ երկու հատկություններից հետևում է անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը։

Եթե ֆունկցիան անսահման մեծ է ժամը , ապա ֆունկցիան անվերջ փոքր է ժամը .

Եթե ֆունկցիան անվերջ փոքր է , and-ի համար, ապա ֆունկցիան անսահման մեծ է համարի համար:

Անվերջ փոքրի և անսահման մեծ ֆունկցիայի միջև կապը կարող է արտահայտվել խորհրդանշականորեն.
, .

Եթե անվերջ փոքր ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , այսինքն՝ այն դրական է (կամ բացասական) կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, ապա այս փաստը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.
.
Նույն կերպ, եթե անսահման մեծ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , ապա գրում են.
.

Այնուհետև անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների խորհրդանշական կապը կարելի է լրացնել հետևյալ հարաբերություններով.
, ,
, .

Անսահմանության նշաններին վերաբերող լրացուցիչ բանաձևեր կարելի է գտնել էջում
«Կետերը անսահմանության վրա և դրանց հատկությունները»:

Միապաղաղ ֆունկցիաների սահմանները

Սահմանում
Կանչվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա խիստ աճող, եթե բոլորի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համապատասխանաբար, համար խիստ նվազումԳործառույթը պահպանում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համար չնվազող:
.
Համար չաճող:
.

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ .
Եթե այն վերևում սահմանափակված է M թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե վերևից չի սահմանափակվում, ապա .
Եթե ներքևից այն սահմանափակվում է m թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե չի սահմանափակվում ներքևից, ապա .

Եթե a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Թեորեմի ապացույցը ներկայացված է էջում
«Միոտոն ֆունկցիաների սահմանները».

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 1983 թ.

Հերթականությունների և ֆունկցիաների սահմանների հասկացությունները: Երբ անհրաժեշտ է գտնել հաջորդականության սահմանը, այն գրվում է հետևյալ կերպ. lim xn=a: Հերթականությունների նման հաջորդականության մեջ xn-ը հակված է a-ին, իսկ n-ը՝ դեպի անսահմանություն: Հերթականությունը սովորաբար ներկայացված է որպես շարք, օրինակ.
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Հերթականությունները բաժանվում են աճող և նվազող: Օրինակ:
xn=n^2 - աճող հաջորդականություն
yn=1/n - հաջորդականություն
Այսպիսով, օրինակ, xn=1/n^ հաջորդականության սահմանը:
lim 1/n^2=0

x→∞
Այս սահմանը հավասար է զրոյի, քանի որ n→∞, իսկ 1/n^2 հաջորդականությունը ձգտում է զրոյի։

Սովորաբար, փոփոխական x մեծությունը ձգտում է a վերջավոր սահմանին, և x-ն անընդհատ մոտենում է a-ին, իսկ a մեծությունը հաստատուն է: Սա գրված է հետևյալ կերպ. limx =a, մինչդեռ n-ը կարող է նաև ձգվել դեպի զրոյի կամ անսահմանության: Կան անսահման ֆունկցիաներ, որոնց համար սահմանը ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Այլ դեպքերում, երբ, օրինակ, ֆունկցիան դանդաղեցնում է գնացքի արագությունը, հնարավոր է սահմանը զրոյի հակված լինի:
Սահմանափակումները ունեն մի շարք հատկություններ. Որպես կանոն, ցանկացած գործառույթ ունի միայն մեկ սահմանափակում. Սա սահմանաչափի հիմնական հատկությունն է: Մյուսները թվարկված են ստորև.
* Գումարի սահմանաչափը հավասար է սահմանաչափերի գումարին.
lim(x+y)=lim x+lim y
* Արտադրանքի սահմանաչափը հավասար է սահմանների արտադրյալին.
lim(xy)=lim x*lim y
* Քվեաթերթիկի սահմանը հավասար է սահմանների քանորդին.
lim(x/y)=lim x/lim y
* Հաստատուն գործոնը վերցվում է սահմանային նշանից դուրս.
lim(Cx)=C lim x
Տրվում է 1 /x ֆունկցիա, որում x →∞, դրա սահմանը զրո է: Եթե x→0, ապա նման ֆունկցիայի սահմանը ∞ է։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար կան այս կանոններից մի քանիսը. Քանի որ sin x ֆունկցիան միշտ հակված է միասնության, երբ մոտենում է զրոյին, նույնականությունը պահպանվում է դրա համար.
lim sin x/x=1

Մի շարք գործառույթներում կան գործառույթներ, որոնց սահմանները հաշվարկելիս առաջանում է անորոշություն՝ իրավիճակ, որի դեպքում սահմանը հնարավոր չէ հաշվարկել։ Այս իրավիճակից միակ ելքը L'Hopital-ն է։ Անորոշության երկու տեսակ կա.
* 0/0 ձևի անորոշություն
* ∞/∞ ձևի անորոշություն
Օրինակ՝ տրված է հետևյալ ձևի սահմանը՝ lim f(x)/l(x), և f(x0)=l(x0)=0: Այս դեպքում առաջանում է 0/0 ձևի անորոշություն։ Նման խնդիր լուծելու համար երկու ֆունկցիաներն էլ տարբերվում են, որից հետո հայտնաբերվում է արդյունքի սահմանը։ 0/0 տիպի անորոշությունների համար սահմանը հետևյալն է.
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (at x→0)
Նույն կանոնը ճիշտ է նաև ∞/∞ տիպի անորոշությունների դեպքում: Բայց այս դեպքում ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝ f(x)=l(x)=∞
Օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը, դուք կարող եք գտնել ցանկացած սահմանների արժեքները, որոնցում հայտնվում են անորոշություններ: Նախապայման է

ծավալը - ածանցյալներ գտնելիս սխալներ չկան: Այսպիսով, օրինակ, (x^2)" ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է 2x-ի: Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ.
f"(x)=nx^(n-1)

Սահմանների տեսությունը մաթեմատիկական վերլուծության ճյուղերից մեկն է: Լուծման հարցը բավականին ընդարձակ է, քանի որ տարբեր տեսակի սահմանների լուծման համար կան տասնյակ մեթոդներ: Կան տասնյակ նրբություններ եւ հնարքներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել այս կամ այն սահմանը: Այնուամենայնիվ, մենք դեռ կփորձենք հասկանալ այն սահմանափակումների հիմնական տեսակները, որոնք ամենից հաճախ բախվում են գործնականում:

Սկսենք հենց սահմանի հայեցակարգից: Բայց նախ՝ համառոտ պատմական նախապատմություն։ 19-րդ դարում ապրում էր ֆրանսիացի Օգյուստեն Լուի Կոշին, ով դրեց մաթեմատիկական վերլուծության հիմքերը և տվեց խիստ սահմանումներ, մասնավորապես սահմանի սահմանում։ Պետք է ասել, որ այս նույն Քոշին եղել է, կա և կլինի ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի ֆակուլտետների բոլոր ուսանողների մղձավանջներում, քանի որ նա ապացուցեց մաթեմատիկական անալիզի հսկայական թվով թեորեմներ, և յուրաքանչյուր թեորեմ ավելի զզվելի է, քան մյուսը: Այս առումով մենք չենք դիտարկի սահմանի խիստ սահմանումը, այլ կփորձենք անել երկու բան.

1. Հասկացեք, թե ինչ է սահմանը:
2. Սովորեք լուծել սահմանների հիմնական տեսակները:

Ներողություն եմ խնդրում որոշ ոչ գիտական բացատրությունների համար, կարևոր է, որ նյութը հասկանալի լինի նույնիսկ թեյնիկին, ինչը, ըստ էության, նախագծի խնդիրն է։

Այսպիսով, ո՞րն է սահմանը:

Եվ միայն մի օրինակ, թե ինչու պետք է խեղճ տատիկին…

Ցանկացած սահմանափակում բաղկացած է երեք մասից:

1) Սահմանի հայտնի պատկերակը:
2) Սահմանի պատկերակի տակ գտնվող գրառումները, այս դեպքում: Մուտքում գրված է «X-ը հակված է մեկին»: Ամենից հաճախ `ճիշտ, չնայած «X»-ի փոխարեն գործնականում կան այլ փոփոխականներ: Գործնական առաջադրանքներում մեկի տեղը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած թիվ, ինչպես նաև անսահմանություն ():
3) Գործառույթները սահմանային նշանի ներքո, այս դեպքում.

Ձայնագրումը ինքնին Այսպես կարդում է. «Գործառույթի սահմանը, քանի որ x- ը հակված է միասնության»:

Դիտարկենք հաջորդ կարևոր հարցը՝ ի՞նչ է նշանակում «x» արտահայտությունը: ձգտում էմեկին»? Իսկ ի՞նչ է նույնիսկ նշանակում «ձգտել»։
Սահմանի հասկացությունը հասկացություն է, այսպես ասած, դինամիկ. Կառուցենք հաջորդականություն՝ սկզբում, հետո, ,…, , ….
Այսինքն՝ «x ձգտում էՄեկը «պետք է հասկանալ հետեւյալ կերպ.« X »- ը հետեւողականորեն ստացվում է արժեքները որոնք մոտենում են միասնությանը անսահմանորեն մոտ և գործնականում համընկնում են դրան.

Ինչպե՞ս լուծել վերը նշված օրինակը: Ելնելով վերը նշվածից, դուք պարզապես պետք է մեկը փոխարինեք սահմանային նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի մեջ.

Այսպիսով, առաջին կանոնը. Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը միացնել ֆունկցիային.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ սահմանը, բայց դրանք նույնպես տեղի են ունենում գործնականում, և ոչ այնքան հազվադեպ:

Օրինակ անսահմանության հետ.

Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա: Սա այն դեպքն է, երբ այն մեծանում է առանց սահմանի, այսինքն՝ նախ, հետո, հետո, հետո և այլն անվերջ։

Ի՞նչ է տեղի ունենում ֆունկցիայի հետ այս պահին:
, , , …

Այսպիսով, եթե , ապա ֆունկցիան հակված է մինուս անսահմանությանը:

Կոպիտ ասած, մեր առաջին կանոնի համաձայն, «X»-ի փոխարեն մենք անսահմանությունը փոխարինում ենք ֆունկցիայի մեջ և ստանում պատասխանը։

Մեկ այլ օրինակ անսահմանության հետ.

Կրկին մենք սկսում ենք աճել մինչև անսահմանություն և դիտել գործառույթի վարքագիծը.

Եզրակացություն․ երբ ֆունկցիան մեծանում է առանց սահմանի:

Եվ ևս մեկ օրինակների շարք.

Խնդրում ենք, փորձեք մտավոր վերլուծել հետևյալը ինքներդ ձեզ համար և հիշեք սահմանների ամենապարզ տեսակները.

, , , , , , , , ,
Եթե ինչ-որ տեղ կասկածներ ունեք, կարող եք վերցնել հաշվիչը և մի փոքր պարապել։
Այն դեպքում, երբ փորձեք կառուցել հաջորդականությունը , , . Եթե, ապա , , .

Նշում․ խստորեն ասած՝ մի քանի թվերի հաջորդականություն կառուցելու այս մոտեցումը սխալ է, բայց ամենապարզ օրինակները հասկանալու համար այն բավականին հարմար է։

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալին. Նույնիսկ եթե սահմանը տրված է մեծ թվով վերևում, կամ նույնիսկ միլիոնով, ապա միեւնույն է. , քանի որ վաղ թե ուշ «X»-ը կընդունի այնպիսի հսկա արժեքներ, որ նրանց համեմատ մեկ միլիոնը իսկական միկրոբ կլինի։

Ի՞նչ է պետք հիշել և հասկանալ վերը նշվածից:

1) Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ:

2) Դուք պետք է հասկանաք և անմիջապես լուծեք ամենապարզ սահմանները, ինչպիսիք են , , և այլն

Այժմ մենք կդիտարկենք սահմանների խումբը, երբ , և ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ

Օրինակ:

Հաշվարկել սահմանաչափը

Մեր կանոնի համաձայն՝ մենք կփորձենք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Ի՞նչ ենք մենք ստանում վերևում: Անսահմանություն. Իսկ ի՞նչ է կատարվում ստորև։ Նաև անսահմանություն։ Այսպիսով, մենք ունենք այն, ինչ կոչվում է տեսակների անորոշություն: Կարելի է մտածել, որ, և պատասխանը պատրաստ է, բայց ընդհանուր դեպքում դա ամենևին էլ այդպես չէ, և անհրաժեշտ է կիրառել լուծման որոշ տեխնիկա, որը մենք հիմա կքննարկենք։

Ինչպե՞ս լուծել այս տեսակի սահմանները:

Սկզբում մենք նայում ենք համարիչին և գտնում ենք ամենաբարձր հզորությունը.

Համարիչի առաջատար ուժը երկուսն է։

Այսպիսով, լուծման մեթոդը հետևյալն է՝ անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել ամենաբարձր հզորության վրա։

Ահա, պատասխանը, և ամենևին էլ ոչ անսահմանություն։

Ի՞նչն է սկզբունքորեն կարևոր որոշման ձևավորման մեջ:

Նախ, մենք նշում ենք անորոշությունը, եթե այդպիսիք կան:

Երկրորդ, նպատակահարմար է ընդհատել լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար: Ես սովորաբար օգտագործում եմ նշանը, այն ոչ մի մաթեմատիկական իմաստ չունի, այլ նշանակում է, որ լուծումն ընդհատվում է միջանկյալ բացատրության համար։

Երրորդ, սահմանի մեջ նպատակահարմար է նշել, թե ինչ է գնում: Երբ աշխատանքը կազմվում է ձեռքով, ավելի հարմար է դա անել այսպես.

Նշումների համար ավելի լավ է օգտագործել պարզ մատիտ։

Իհարկե, սրանից որևէ մեկը պետք չէ անել, բայց հետո, հավանաբար, ուսուցիչը մատնանշի լուծման թերությունները կամ կսկսի լրացուցիչ հարցեր տալ առաջադրանքի վերաբերյալ: Ձեզ դա պե՞տք է։

Օրինակ 2

Գտեք սահմանը
Կրկին համարիչում և հայտարարում մենք գտնում ենք ամենաբարձր աստիճանում.

Համարիչի առավելագույն աստիճանը՝ 3
Առավելագույն աստիճանը հայտարարում` 4
Ընտրեք մեծագույնարժեքը, այս դեպքում չորս.
Մեր ալգորիթմի համաձայն՝ անորոշությունը բացահայտելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք .
Ամբողջական առաջադրանքը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 3

Գտեք սահմանը
«X»-ի առավելագույն աստիճանը համարիչում՝ 2
«X»-ի առավելագույն աստիճանը հայտարարում՝ 1 (կարելի է գրել որպես)
Անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել . Վերջնական լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Նշումը չի նշանակում բաժանում զրոյի (չես կարող բաժանել զրոյի), այլ բաժանում անվերջ փոքր թվի վրա։

Այսպիսով, բացահայտելով տեսակների անորոշությունը, մենք կարող ենք դա անել վերջնական համարը, զրո կամ անսահմանություն։

Սահմանափակումներ՝ դրանց լուծման տեսակի և մեթոդի անորոշությամբ

Սահմանների հաջորդ խումբը որոշ չափով նման է նոր դիտարկված սահմաններին. համարիչն ու հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, բայց «x»-ն այլևս հակված չէ դեպի անվերջություն, այլ վերջավոր թիվ.

Օրինակ 4

Լուծել սահմանը
Նախ փորձենք -1-ը փոխարինել կոտորակի մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է այսպես կոչված անորոշություն։

Ընդհանուր կանոնԵթե համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, և կա ձևի անորոշություն, ապա բացահայտեք այն պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը.

Դա անելու համար ամենից հաճախ անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում և/կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Եթե այս բաները մոռացվել են, ապա այցելեք էջը Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներև կարդալ ուսումնական նյութը Թեժ բանաձևեր դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի համար. Ի դեպ, ավելի լավ է այն տպել, դա շատ հաճախ է պահանջվում, և թղթից ինֆորմացիան ավելի լավ է կլանվում։

Այսպիսով, եկեք լուծենք մեր սահմանը

Գործոնավորեք համարիչը և հայտարարը

Համարիչը գործոնավորելու համար հարկավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը.

Նախ մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Եվ դրա քառակուսի արմատը.

Եթե դիսկրիմինանտը մեծ է, օրինակ 361, մենք օգտագործում ենք հաշվիչ, քառակուսի արմատ հանելու ֆունկցիան ամենապարզ հաշվիչի վրա է:

! Եթե արմատն ամբողջությամբ չի հանվում (ստորակետով կոտորակային թիվ է ստացվում), ապա շատ հավանական է, որ դիսկրիմինանտը սխալ է հաշվարկվել կամ առաջադրանքի մեջ տառասխալ է եղել։

Հաջորդը մենք գտնում ենք արմատները.

Այսպիսով.

Բոլորը. Համարիչը գործոնացված է:

Հայտարար. Հայտարարն արդեն ամենապարզ գործոնն է, և այն պարզեցնելու տարբերակ չկա։

Ակնհայտ է, որ այն կարող է կրճատվել հետևյալ կերպ.

Այժմ մենք փոխարինում ենք -1 արտահայտության մեջ, որը մնում է սահմանային նշանի տակ.

Բնականաբար, թեստի, թեստի կամ քննության ժամանակ լուծումը երբեք այդքան մանրամասն չի նկարագրվում: Վերջնական տարբերակում դիզայնը պետք է նման լինի.

Եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը։

Օրինակ 5

Հաշվարկել սահմանաչափը

Նախ, լուծման «վերջնական» տարբերակը

Գործոնավորենք համարիչն ու հայտարարը։

Համարիչ:
Հայտարար:

,

Ի՞նչն է կարևոր այս օրինակում:
Նախ, դուք պետք է լավ հասկանաք, թե ինչպես է բացահայտվում համարիչը, նախ փակագծերից հանեցինք 2-ը, այնուհետև օգտագործեցինք քառակուսիների տարբերության բանաձևը։ Սա այն բանաձևն է, որը դուք պետք է իմանաք և տեսնեք: