Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը. Քառակուսի մատրիցների որոշիչները Մատրիցայի աստիճանի որոշում

14. Թեորեմ մատրիցների արտադրյալի որոշիչի մասին.

Թեորեմ.

Ապացույց:Թող տրվեն n կարգի քառակուսի մատրիցներ:
Եվ
. Քվազի-եռանկյուն մատրիցի որոշիչի թեորեմի հիման վրա (
) մենք ունենք:
այս մատրիցայի կարգը 2n է: Առանց որոշիչը փոխելու, մենք հաջորդաբար կատարում ենք հետևյալ փոխակերպումները 2n կարգի մատրիցի վրա. ավելացնել առաջին շարքին: Նման փոխակերպման արդյունքում առաջին շարքի առաջին n դիրքերը կլինեն բոլորը 0, իսկ երկրորդը (երկրորդ բլոկում) կլինի A մատրիցի առաջին շարքի և մատրիցայի առաջին սյունակի արտադրյալների գումարը։ B. Կատարելով նույն փոխակերպումները 2 ... n տողերով, մենք ստանում ենք հետևյալ հավասարությունը.

Ճիշտ որոշիչը քվազի-եռանկյունաձև ձևի բերելու համար մենք փոխում ենք 1 և 1+ n սյունակներ, 2 և 2+ n…n և 2 n սյունակներ: Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարություն.

Մեկնաբանություն:Պարզ է, որ թեորեմը վավեր է ցանկացած վերջավոր թվով մատրիցների համար։ Մասնավորապես
.

15. Հակադարձ մատրիցայի գոյության թեորեմ.

Սահմանում:Եթե
ասվում է, որ մատրիցը ոչ այլասերված է (ոչ եզակի): Եթե
ապա մատրիցը կոչվում է եզակի:

Դիտարկենք կամայական քառակուսի մատրից A: Այս մատրիցայի տարրերի հանրահաշվական լրացումներից մենք կազմում ենք մատրիցա և փոխադրում այն: Մենք ստանում ենք մատրիցա C.
C մատրիցը ասվում է, որ հարում է A մատրիցին: Հաշվելով A*C-ի և B*C-ի արտադրյալը՝ մենք ստանում ենք.
Ուստի
, Այսպիսով
Եթե
.

Այսպիսով, A մատրիցայի ոչ եզակիությունից հետևում է A -1-ի գոյությունը։ Մյուս կողմից, եթե A-ն ունի A -1, ապա AX = E մատրիցային հավասարումը լուծելի է: Ուստի
Եվ. Ստացված արդյունքները համադրելով՝ ստանում ենք հետևյալ հայտարարությունը.

Թեորեմ. P դաշտի վրայի քառակուսի մատրիցն ունի հակադարձ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն հատուկ չէ: Եթե ​​հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, ապա այն հայտնաբերվում է բանաձևով.
, որտեղ C-ն հարակից մատրիցն է:

Մեկնաբանություն:

16. Մատրիցային աստիճանի որոշում: Մինորի հիմքի թեորեմը և դրա հետևանքը.

Սահմանում: A մատրիցի k-րդ կարգի մինորը k-րդ կարգի որոշիչն է ցանկացած k տողի և ցանկացած k սյունակի հատման կետում գտնվող տարրերով:

Սահմանում: A մատրիցի աստիճանը ամենաբարձր կարգն է, բացի այս մատրիցի փոքրերից 0-ից: Նշվում է r(A)-ով: Մաքրել 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

Սահմանում:Մատրիցի ցանկացած ոչ 0-մինոր, որի հերթականությունը հավասար է մատրիցայի աստիճանին, կոչվում է այս մատրիցի հիմնական մինոր: Հասկանալի է, որ մատրիցը կարող է ունենալ մի քանի հիմնական մինորներ: Հիմնական փոքրերը կազմող սյունակները և տողերը կոչվում են հիմնական:

Թեորեմ.Ստացված A = (a i) m, n մատրիցում յուրաքանչյուր սյունակ հիմքի սյունակների գծային համակցությունն է, որում գտնվում է հիմնական մինորը (նույնը տողերի մասին):

Ապացույց:Թող r(A)=r. Եկեք մատրիցից ընտրենք մեկ հիմնական մինոր։ Պարզության համար ենթադրենք, որ հիմնական մինորը գտնվում է մատրիցայի վերին ձախ անկյունում, այսինքն. առաջին r տողերի և առաջին r սյունակների վրա: Այնուհետև հիմնական անչափահաս պարոնը նման կլինի.
. Մենք պետք է ապացուցենք, որ A մատրիցի յուրաքանչյուր սյունակ այս մատրիցայի առաջին սյունակների գծային համակցությունն է, որում գտնվում է հիմնական մինորը, այսինքն. անհրաժեշտ է ապացուցել, որ կան λ j այնպիսի թվեր, որ A մատրիցայի ցանկացած k-րդ սյունակի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.
…
.

Եկեք մի քանի k-րդ սյունակ և րդ տող վերագրենք հիմնական մինորին.
որովհետեւ եթե ավելացված տողը կամ

սյունակը ներառված է հիմքում, ապա որոշիչ
, որպես երկու նույնական տողերով (սյունակներով) որոշիչ։ Եթե ​​տող (սյունակ) ավելացվի, ապա
ըստ մատրիցային աստիճանի սահմանման: Ընդարձակենք որոշիչը
հիմքի տարրերի հիման վրա մենք ստանում ենք. այստեղից մենք ստանում ենք.
որտեղ λ 1 … λ r կախված չէ S թվից, քանի որ Իսկ Sj-ը կախված չեն ավելացված S-րդ շարքի տարրերից։ Հավասարությունը (1) այն հավասարությունն է, որը մեզ անհրաժեշտ է (և այլն):

Հետևանք.Եթե ​​A-ն քառակուսի մատրիցա է, իսկ որոշիչը A = 0, ապա մատրիցայի սյունակներից մեկը մնացած սյունակների գծային համակցությունն է, իսկ տողերից մեկը մնացած տողերի գծային համակցությունն է:

Ապացույց:Եթե ​​մատրիցի որոշիչըA=0, ապա այս մատրիցայի աստիճանը<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

[A] =0-ի համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ առնվազն մեկ տող (սյունակ) լինի իր մնացած տողերի (սյուների) գծային համակցությունը։

Մատրիցայի որոշիչը այն թիվն է, որը բնութագրում է A քառակուսի մատրիցը և սերտորեն կապված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման հետ: Ա մատրիցի որոշիչը նշանակվում է կամ. n կարգի A քառակուսի մատրիցա, ըստ որոշակի օրենքի, կապված է հաշվարկված թվի հետ, որը կոչվում է այս մատրիցի n-րդ կարգի որոշիչ կամ որոշիչ: Դիտարկենք երկրորդ և երրորդ կարգերի որոշիչները:

Թող մատրիցը տրվի

,

ապա նրա երկրորդ կարգի որոշիչը հաշվարկվում է բանաձևով

.

Օրինակ.Հաշվեք A մատրիցի որոշիչը.

Պատասխան. -10.

Երրորդ կարգի որոշիչը հաշվարկվում է բանաձևով

Օրինակ.Հաշվե՛ք B մատրիցի որոշիչը

.

Պատասխան. 83.

N-րդ կարգի որոշիչը հաշվարկվում է որոշիչի հատկությունների և Լապլասի հետևյալ թեորեմի հիման վրա.

Հանրահաշվական լրացումտարրը հավասար է , որտեղ է տարրի մինորը, որը ստացվում է որոշիչում i-րդ շարքը և j-րդ սյունակը հատելով:

Անչափահաս A մատրիցի տարրի կարգը (n-1)-րդ կարգի մատրիցի որոշիչն է, որը ստացվում է A մատրիցից՝ ջնջելով i-րդ շարքը և j-րդ սյունակը:

Օրինակ. Գտեք A մատրիցի բոլոր տարրերի հանրահաշվական լրացումները.

.

Պատասխան. .

Օրինակ. Հաշվեք եռանկյուն մատրիցայի մատրիցի որոշիչը.

Պատասխան. -15.

Որոշիչների հատկությունները.

1. Եթե մատրիցայի որևէ տող (սյունակ) բաղկացած է միայն զրոներից, ապա դրա որոշիչը 0 է։

2. Եթե մատրիցայի որևէ տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը բազմապատկվեն թվով, ապա դրա որոշիչը կբազմապատկվի այս թվով:

3. Մատրիցա փոխադրելիս դրա որոշիչը չի փոխվի:

4. Մատրիցի երկու տող (սյունակ) վերադասավորելիս նրա որոշիչը փոխում է հակառակ նշանը:

5. Եթե քառակուսի մատրիցը պարունակում է երկու նույնական տող (սյունակ), ապա դրա որոշիչը 0 է։

6. Եթե մատրիցայի երկու տողերի (սյունակների) տարրերը համաչափ են, ապա դրա որոշիչը 0 է։

7. Մատրիցի ցանկացած շարքի (սյունակի) տարրերի արտադրյալի գումարը այս մատրիցայի մեկ այլ տողի (սյունակի) տարրերի հանրահաշվական լրացումներով հավասար է 0-ի:

8. Մատրիցայի որոշիչը չի փոխվի, եթե մատրիցի ցանկացած տողի (սյունակի) տարրերին ավելացվեն մեկ այլ տողի (սյունակի) տարրեր, որոնք նախկինում բազմապատկվել են նույն թվով:

9. Ցանկացած տողի (սյունակի) տարրերի հանրահաշվական լրացումներով կամայական թվերի արտադրյալների գումարը հավասար է սրանից ստացված մատրիցայի որոշիչին` այս տողի (սյունակի) տարրերը թվերով փոխարինելով:

10. Երկու քառակուսի մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է դրանց որոշիչների արտադրյալին։

Հակադարձ մատրիցա.

Սահմանում.Մատրիցը կոչվում է A քառակուսի մատրիցի հակադարձ, եթե այս մատրիցով տրվածով բազմապատկելիս, ինչպես աջ, այնպես էլ ձախ կողմում, ստացվում է նույնականացման մատրիցը.

.

Սահմանումից հետևում է, որ միայն քառակուսի մատրիցն ունի հակադարձ. այս դեպքում հակադարձ մատրիցը նույնպես նույն կարգի քառակուսի է: Եթե ​​մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, ապա այդպիսի քառակուսի մատրիցը կոչվում է ոչ եզակի:

Հակադարձ մատրիցայի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայման. Հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի (և եզակի է), եթե և միայն այն դեպքում, եթե սկզբնական մատրիցը ոչ եզակի է:

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու առաջին ալգորիթմը.

1. Գտի՛ր սկզբնական մատրիցի որոշիչը: Եթե ​​որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա սկզբնական մատրիցը ոչ եզակի է, և հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի:

2. Գտե՛ք Ա-ին փոխադրված մատրիցը:

3. Գտի՛ր փոխադրված մատրիցայի տարրերի հանրահաշվական լրացումները և դրանցից կազմի՛ր կից մատրիցը:

4. Հաշվե՛ք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ .

5. Մենք ստուգում ենք հակադարձ մատրիցայի հաշվարկի ճիշտությունը՝ հիմնվելով դրա սահմանման վրա .

Օրինակ.

.

Պատասխան. .

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու երկրորդ ալգորիթմը.

Հակադարձ մատրիցը կարող է հաշվարկվել մատրիցայի տողերի վրա հետևյալ տարրական փոխակերպումների հիման վրա.

Փոխանակեք երկու տող;

Մատրիցային տողերի բազմապատկում զրոյից տարբեր թվով.

Մատրիցայի մեկ տողին ավելացնելով մեկ այլ տող, որը բազմապատկվում է զրոյից տարբեր թվով:

A մատրիցի հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կազմել մատրիցը, այնուհետև տարրական փոխակերպումների միջոցով A մատրիցը վերածել նույնական մատրիցայի E ձևի, այնուհետև նույնական մատրիցի փոխարեն ստանում ենք մատրիցը:

Օրինակ.Հաշվեք A մատրիցի հակադարձ մատրիցը.

.

Մենք կազմում ենք B մատրիցա ձևի.

.

Տարր = 1 և այս տարրը պարունակող առաջին տողը կկոչվի ուղեցույց: Կատարենք տարրական փոխակերպումներ, որոնց արդյունքում առաջին սյունակը վերածվում է միավոր սյունակի՝ առաջին շարքում մեկով։ Դա անելու համար առաջին տողը ավելացրեք երկրորդ և երրորդ տողերին՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով 1-ով և -2-ով: Այս փոխակերպումների արդյունքում մենք ստանում ենք.

.

Վերջապես մենք ստանում ենք

.

Որտեղ .

Մատրիցային աստիճան. A մատրիցի աստիճանը այս մատրիցի ոչ զրոյական փոքրերի ամենաբարձր կարգն է: A մատրիցի աստիճանը նշանակվում է rang(A) կամ r(A):

Սահմանումից հետևում է. ա) մատրիցայի աստիճանը չի գերազանցում դրա չափերից փոքրը, այսինքն. r(A)-ը փոքր է կամ հավասար է m կամ n-ի նվազագույնին. բ) r(A)=0, եթե և միայն եթե A մատրիցի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի; գ) n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցի համար r(A)=n, եթե և միայն եթե A մատրիցը ոչ եզակի է:

ՕրինակՀաշվարկել մատրիցների շարքերը.

.

Պատասխան՝ r(A)=1: Պատասխան՝ r(A)=2:

Եկեք անվանենք հետևյալ տարրական մատրիցային փոխակերպումները.

1) զրոյական շարքը (սյունակը) դեն նետելը.

2) Մատրիցայի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերի բազմապատկումը մի թվով, որը հավասար չէ զրոյի:

3) Մատրիցայի տողերի (սյունակների) հերթականության փոփոխություն.

4) Մեկ տողի (սյունակի) յուրաքանչյուր տարրին ավելացնելով մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերը` բազմապատկելով ցանկացած թվով.

5) մատրիցային տրանսպոզիցիա.

Մատրիցայի աստիճանը չի փոխվում տարրական մատրիցային փոխակերպումների ժամանակ։

ՕրինակներՀաշվարկել մատրիցը որտեղ

; ;

Պատասխան. .

ՕրինակՀաշվարկել մատրիցը , Որտեղ

; ; ; E-ն ինքնության մատրիցն է:

Պատասխան. .

ՕրինակՀաշվեք մատրիցայի որոշիչը

.

Պատասխանել: 160.

ՕրինակՈրոշեք, թե արդյոք A մատրիցն ունի հակադարձ, և եթե այո, ապա հաշվարկեք այն.

.

Պատասխանել: .

ՕրինակԳտեք մատրիցայի աստիճանը

.

Պատասխանել: 2.

2.4.2. Գծային հավասարումների համակարգեր.

m գծային հավասարումների համակարգը n փոփոխականով ունի ձև.

,

որտեղ , կամայական թվերն են, որոնք կոչվում են համապատասխանաբար փոփոխականների գործակիցներ և հավասարումների ազատ անդամներ։ Հավասարումների համակարգի լուծումը n թվերի հավաքածու է (), որոնց փոխարինելուց համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում վերածվում է իսկական հավասարության։

Հավասարումների համակարգը կոչվում է հետևողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում, և անհամապատասխան, եթե լուծումներ չունի: Հավասարումների համաժամանակյա համակարգը կոչվում է որոշակի, եթե ունի եզակի լուծում, և անորոշ, եթե ունի մեկից ավելի լուծում:

Կրամերի թեորեմ.Թող լինի A մատրիցի որոշիչը՝ կազմված «x» փոփոխականների գործակիցներից, և թող լինի A մատրիցից ստացված մատրիցի որոշիչը՝ այս մատրիցի j-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով: Ապա, եթե , ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, որը որոշվում է բանաձևերով. (j=1, 2, …, n): Այս հավասարումները կոչվում են Կրամերի բանաձևեր։

Օրինակ.Լուծեք հավասարումների համակարգեր՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը.

Պատասխանները: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Գաուսի մեթոդՓոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդն այն է, որ տարրական փոխակերպումների օգնությամբ հավասարումների համակարգը վերածվում է քայլային (կամ եռանկյունաձև) ձևի համարժեք համակարգի, որտեղից հաջորդաբար գտնվում են բոլոր մյուս փոփոխականները՝ սկսած վերջինից։ փոփոխականներ ըստ թվերի.

ՕրինակԼուծել հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով:

Պատասխանները: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Գծային հավասարումների միաժամանակյա համակարգերի համար ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

· եթե համատեղ համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է փոփոխականների թվին, այսինքն. r = n, ապա հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում.

· եթե համատեղ համակարգի մատրիցայի աստիճանը փոքր է փոփոխականների թվից, այսինքն. r

2.4.3. EXCEL-ում մատրիցների վրա գործողություններ կատարելու տեխնոլոգիա.

Դիտարկենք Excel աղյուսակների պրոցեսորի հետ աշխատելու որոշ ասպեկտներ, որոնք հնարավորություն են տալիս պարզեցնել օպտիմալացման խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ հաշվարկները: Սեղանի պրոցեսորը ծրագրային արտադրանք է, որը նախատեսված է աղյուսակային տվյալների մշակումն ավտոմատացնելու համար:

Աշխատեք բանաձևերի հետ.Աղյուսակային ծրագրերն օգտագործում են բանաձևեր՝ բազմաթիվ տարբեր հաշվարկներ կատարելու համար: Օգտագործելով Excel-ը, կարող եք արագ բանաձև ստեղծել: Բանաձևը բաղկացած է երեք հիմնական մասից.

Հավասար նշան;

Օպերատորներ.

Ֆունկցիաների օգտագործումը բանաձևերում. Բանաձևերի մուտքագրումը հեշտացնելու համար կարող եք օգտագործել Excel գործառույթները: Ֆունկցիաները Excel-ում ներկառուցված բանաձեւեր են: Որոշակի բանաձևը ակտիվացնելու համար սեղմեք կոճակները Ներդիր, Գործառույթներ.Պատուհանում, որը հայտնվում է Function WizardՁախ կողմը պարունակում է գործառույթների տեսակների ցանկ: Տեսակ ընտրելուց հետո աջ կողմում կտեղադրվի հենց գործառույթների ցանկը: Գործառույթների ընտրությունն իրականացվում է համապատասխան անվան վրա սեղմելով մկնիկի կոճակը:

Մատրիցների վրա գործողություններ կատարելիս, գծային հավասարումների համակարգեր լուծելիս և օպտիմալացման խնդիրներ լուծելիս կարող եք օգտագործել Excel-ի հետևյալ գործառույթները.

MULTIPLE - մատրիցային բազմապատկում;

TRANSPOSE - մատրիցային փոխադրում;

MOPRED - մատրիցայի որոշիչի հաշվարկ;

MOBR - հակադարձ մատրիցայի հաշվարկ:

Կոճակը գտնվում է գործիքագոտու վրա: Կատեգորիայի մեջ են մատրիցային գործողություններ կատարելու գործառույթները Մաթեմատիկական.

Մատրիցային բազմապատկում ֆունկցիայի միջոցով MUMNIFE . MULTIPLE ֆունկցիան վերադարձնում է մատրիցների արտադրյալը (մատրիցաները պահվում են 1 և 2 զանգվածներում): Արդյունքում ստացվում է զանգված, որն ունի նույն թվով տողեր, որքան զանգված 1-ը և նույն թվով սյունակներ, որքան զանգված 2-ը:

Օրինակ.Գտեք Excel-ում A և B երկու մատրիցների արտադրյալը (տես Նկար 2.9):

; .

Մուտքագրեք A մատրիցները A2:C3 և B բջիջներում E2:F4:

Բազմապատկման արդյունքի համար ընտրեք բջիջների շրջանակը՝ H2:I2:

Մուտքագրեք մատրիցային բազմապատկման բանաձևը =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4):

Սեղմեք CTRL+SHIFT+ENTER:

Մատրիցային հակադարձ հաշվարկներ՝ օգտագործելով MOBR ֆունկցիան.

MOBR ֆունկցիան վերադարձնում է զանգվածում պահվող մատրիցայի հակադարձ մատրիցը: Շարահյուսություն՝ MOBR (զանգված): Նկ. 2.10-ը ցույց է տալիս օրինակի լուծումը Excel-ում:

Օրինակ.Գտե՛ք տրվածի հակադարձ մատրիցը.

.

Նկար 2.9. Մուտքագրեք տվյալներ մատրիցային բազմապատկման համար:

Թեորեմ. Թող A և B լինեն n կարգի երկու քառակուսի մատրիցներ: Այնուհետև նրանց արտադրյալի որոշիչը հավասար է որոշիչների արտադրյալին, այսինքն.

| ԱԲ | = | Ա| | Բ|.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(դ) (2n) = | Ա | | Բ | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | Ա | | Բ|.

Եթե ​​ցույց տանք, որ (d) (2n) որոշիչը հավասար է C=AB մատրիցի որոշիչին, ապա թեորեմը կապացուցվի։

(d) (2n)-ում կատարում ենք հետևյալ փոխակերպումները. 1-ին տողին ավելացնում ենք (n+1) տողը բազմապատկված a11-ով; (n+2) տողը բազմապատկված a12-ով և այլն: (2n) տողը բազմապատկած (a) (1n)-ով: Ստացված որոշիչում առաջին շարքի առաջին n տարրը կլինի զրո, իսկ մյուս n տարրը՝ այսպիսին.

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

Նմանապես, մենք ստանում ենք զրոներ (d) (d) (2n) որոշիչի 2, ..., n տողերում, և այս տողերից յուրաքանչյուրի վերջին n տարրը կդառնան C մատրիցի համապատասխան տարրերը: Արդյունքում որոշիչը ( դ) (2n) փոխակերպվում է հավասար որոշիչի.

(դ) (2n) = | Գ | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Հետևանք. Վերջավոր թվով քառակուսի մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է դրանց որոշիչների արտադրյալին։

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

ՀԱԿԱՌԱԿ ՄԱՏՐԻՑ.

Թող A = (aij) (n x n) լինի քառակուսի մատրիցա P դաշտի վրա:

Սահմանում 1. Ա մատրիցը կկոչվի եզակի, եթե դրա որոշիչը հավասար է 0-ի: Հակառակ դեպքում Ա մատրիցը կանվանվի ոչ եզակի:

Սահմանում 2. Թող A О Pn. B Î Pn մատրիցը A-ին հակադարձ կանվանենք, եթե AB = BA=E:

Թեորեմ (մատրիցի անշրջելիության չափանիշ Ա-ն շրջելի է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն ոչ եզակի է):

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Թող, ետ, | Ա | ¹ 0. Անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ կա B մատրիցա այնպիսին, որ AB = BA = E: Որպես B վերցնում ենք հետևյալ մատրիցը.

որտեղ A ij-ը a ij տարրի հանրահաշվական լրացումն է: Հետո

Հարկ է նշել, որ արդյունքը կլինի ինքնության մատրիցա (բավական է օգտագործել Լապլասի թեորեմից 1-ին և 2-րդ եզրակացությունները), այսինքն. AB = E. Նմանապես, ցույց է տրվում, որ BA = E. >

Օրինակ. A մատրիցի համար գտե՛ք հակադարձ մատրիցը կամ ապացուցե՛ք, որ այն գոյություն չունի:

det A = -3 Þ հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի: Այժմ մենք հաշվարկում ենք հանրահաշվական գումարումները:

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 = -1

Այսպիսով, հակադարձ մատրիցն ունի հետևյալ տեսքը՝ B = =

Մատրիցի հակադարձությունը գտնելու ալգորիթմ

1. Հաշվիր det A.

2. Եթե դա 0 է, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի: Եթե ​​det A-ն հավասար չէ

0, մենք համարում ենք հանրահաշվական հավելումներ:

3. Համապատասխան տեղերում դնում ենք հանրահաշվական հավելումներ։

4. Ստացված մատրիցայի բոլոր տարրերը բաժանեք det A-ով:

ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ.

Սահմանում 1. a1x1+ ....+an xn=b ձևի հավասարումը, որտեղ a, ... ,an թվերն են; x1, ... ,xn-ն անհայտներ են, որոնք կոչվում են գծային հավասարում nանհայտ.

սհետ հավասարումներ nանհայտները կոչվում են համակարգ սհետ գծային հավասարումներ nանհայտ, այսինքն.

(1)
Ա մատրիցը, որը կազմված է (1) համակարգի անհայտների գործակիցներից, կոչվում է (1) համակարգի մատրիցա։ .

Եթե ​​Ա մատրիցին ավելացնենք ազատ տերմինների սյունակ, ապա կստանանք (1) համակարգի ընդլայնված մատրիցը:

X = - անհայտների սյունակ: - անվճար անդամների սյունակ:

Մատրիցային տեսքով համակարգը նման է AX=B (2):

(1) համակարգի լուծումը պատվիրված հավաքածու է nայնպիսի թվեր (α1,…, αn), որ եթե փոխարինում ենք (1) x1 = α1, x2 = α2,…, xn = αn, ապա ստանում ենք թվային նույնականություններ:

Սահմանում 2. Համակարգը (1) կոչվում է հետևողական, եթե ունի լուծումներ, իսկ այլ կերպ՝ անհամապատասխան:

Սահմանում 3. Երկու համակարգեր կոչվում են համարժեք, եթե դրանց լուծումների բազմությունները համընկնում են:

Համակարգը լուծելու ունիվերսալ միջոց կա (1)՝ Գաուսի մեթոդը (անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդ)

Ավելի մանրամասն քննարկենք այն դեպքը, երբ s = n. Նման համակարգերի լուծման համար գոյություն ունի Քրամերի մեթոդը։

Թող դ = det,

dj-ը d-ի որոշիչն է, որում j-րդ սյունակը փոխարինվում է ազատ տերմինների սյունակով:

ՔՐԱՄԵՐԻ ԿԱՆՈՆԸ

Թեորեմ (Կրամերի կանոն). Եթե ​​համակարգի որոշիչը d ¹ 0 է, ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, որը ստացվում է բանաձևերով.

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

և հաշվի առեք AX = B (2) հավասարումը X սյունակի անհայտ մատրիցով: Քանի որ A, X, B-ն չափի մատրիցներ են n x n, n x 1, n x 1Ըստ այդմ, AX ուղղանկյուն մատրիցների արտադրյալը սահմանվում է և ունի նույն չափերը, ինչ B մատրիցը: Այսպիսով, (2) հավասարումը իմաստ ունի:

Համակարգի (1) և (2) հավասարման միջև կապն այն է, թե որն է տվյալ համակարգի լուծումը, եթե և միայն, եթե

սյունակը (2) հավասարման լուծումն է:

Իսկապես, այս հայտարարությունը նշանակում է հավասարություն

Վերջին հավասարությունը, որպես մատրիցների հավասարություն, համարժեք է հավասարումների համակարգին

ինչը նշանակում է, որ դա (1) համակարգի լուծումն է:

Այսպիսով, լուծելու համակարգը (1) վերածվում է մատրիցային հավասարման լուծման (2): Քանի որ A մատրիցի d որոշիչը զրոյական չէ, այն ունի A -1 հակադարձ մատրիցա: Ապա AX = B Þ A(^-1)(AX) = A(^-1)B Þ (A(^-1)A)X = A(^-1)B Þ EX = A(^-1) B Þ X = A(^-1)B (3): Հետևաբար, եթե (2) հավասարումը լուծում ունի, ապա այն տրվում է (3) բանաձևով։ Մյուս կողմից՝ A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.

Հետևաբար X = A(^-1)B-ն (2) հավասարման միակ լուծումն է:

Որովհետեւ ,

որտեղ A ij-ը a ij տարրի հանրահաշվական լրացումն է d որոշիչում, ապա

որտեղից (4).

(4) հավասարության մեջ փակագծերում գրված է dj որոշիչի j-րդ սյունակի ընդլայնումը, որը ստացվում է d որոշիչից այն փոխարինելուց հետո:

j-րդ սյունակը ազատ տերմինների սյունակն է: Ահա թե ինչու, xj = dj/ դ.>

Հետևանք. Եթե ​​n գծային հավասարումների միատարր համակարգ է nանհայտների լուծումն ունի ոչ զրոյական լուծում, ապա այս համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի:

Մեկնաբանություն. Մատրիցային բազմապատկման գործողությունը ոչ կոմուտատիվ է, այսինքն. Իրոք, եթե AB արտադրանքը գոյություն ունի, ապա BA կարող է ընդհանրապես գոյություն չունենալ չափերի անհամապատասխանության պատճառով (տես նախորդ օրինակը): Եթե ​​և՛ AB, և՛ BA գոյություն ունեն, ապա դրանք կարող են ունենալ տարբեր չափեր (եթե):

Նույն կարգի քառակուսի մատրիցների համար AB և BA արտադրյալները գոյություն ունեն և ունեն նույն չափը, բայց դրանց համապատասխան տարրերը սովորաբար հավասար չեն:

Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում AB և BA ապրանքները համընկնում են:

Դիտարկենք քառակուսի A մատրիցի և նույն կարգի E նույնական մատրիցի արտադրյալը.

Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը EA արտադրանքի համար: Այսպիսով, ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար A AE = EA = A:

Հակադարձ մատրիցա.

Սահմանում 3.7. A քառակուսի մատրիցը կոչվում է եզակի, եթե և ոչ եզակի, եթե:

Սահմանում 3.8. Քառակուսի B մատրիցը կոչվում է նույն կարգի A քառակուսի մատրիցի հակադարձ, եթե AB = BA = E: Այս դեպքում նշվում է B:

Դիտարկենք տրվածին հակադարձ մատրիցայի գոյության պայմանը և դրա հաշվարկման եղանակը։

Թեորեմ 3.2. Հակադարձ մատրիցայի գոյության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ սկզբնական մատրիցը լինի ոչ եզակի:

Ապացույց.

1) Անհրաժեշտություն. այդ ժամանակվանից (թեորեմ 3.1), հետևաբար

2) Բավարարություն. սահմանել մատրիցը հետևյալ ձևով.

Այնուհետև արտադրյալի (կամ) ցանկացած տարր, որը գտնվում է հիմնական անկյունագծի վրա, հավասար է A մատրիցի մեկ տողի (կամ սյունակի) տարրերի արտադրյալների գումարին մեկ այլ սյունակի տարրերի հանրահաշվական լրացումներով և, հետևաբար, հավասար է 0-ի (որպես երկու հավասար սյունակներով որոշիչ): Հիմնական անկյունագծով տարրերը հավասար են.

*=. Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Եվս մեկ անգամ ձևակերպենք հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու եղանակը. դրա տարրերը փոխադրված A մատրիցի տարրերի հանրահաշվական լրացումն են՝ բաժանված նրա որոշիչով: