სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა კუთხის სინუსის მიხედვით. სამკუთხედის ფართობის თეორემა, სინუსის და კოსინუსების თეორემა

შეგიძლიათ იპოვოთ ფუძისა და სიმაღლის ცოდნით. სქემის მთელი სიმარტივე მდგომარეობს იმაში, რომ სიმაღლე a ყოფს ორ ნაწილად a 1 და a 2, ხოლო თავად სამკუთხედი ორ მართკუთხა სამკუთხედად, რომლის ფართობიც მიიღება და. მაშინ მთელი სამკუთხედის ფართობი იქნება ორი მითითებული უბნის ჯამი და თუ ფრჩხილიდან გამოვიყვანთ სიმაღლის ნახევარს, მაშინ საერთო ჯამში დავბრუნდებით ფუძეს:

გამოთვლებისთვის უფრო რთული მეთოდია ჰერონის ფორმულა, რისთვისაც თქვენ უნდა იცოდეთ სამივე მხარე. ამ ფორმულისთვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი: ჰერონის ფორმულა თავისთავად გულისხმობს ნახევრადპერიმეტრის კვადრატულ ფესვს, გამრავლებული თავის მხრივ მის განსხვავებაზე თითოეულ მხარეს.

შემდეგი მეთოდი, რომელიც ასევე აქტუალურია ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ორი გვერდით და მათ შორის კუთხე. ამის დადასტურება სიმაღლის ფორმულიდან გამომდინარეობს - სიმაღლეს ვხატავთ რომელიმე ცნობილ მხარეს და α კუთხის სინუსში ვიღებთ, რომ h=a⋅sinα . ფართობის გამოსათვლელად, სიმაღლის ნახევარი გავამრავლოთ მეორე მხარეს.

კიდევ ერთი გზაა ვიპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, მოცემული 2 კუთხით და მათ შორის გვერდი. ამ ფორმულის მტკიცებულება საკმაოდ მარტივია და ნათლად ჩანს დიაგრამიდან.

ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეს მესამე კუთხის ზემოდან ცნობილ მხარეს და ვუწოდებთ მიღებულ სეგმენტებს, შესაბამისად, x. მართკუთხა სამკუთხედებიდან ჩანს, რომ x პირველი სეგმენტი ნამრავლის ტოლია

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათას და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით, რომელშიც ერთი მხარე აღნიშნავს სალათის ფოთოლს, მეორე მხარე აღნიშნავს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი ნიშნავს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.

მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობა.

წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები არის მიმატების კანონები.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.

შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსების ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც თავად შეუძლიათ და არასოდეს გვეუბნებიან იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც მათ არ შეუძლიათ. იხ. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა პრობლემები ჩვენ არ ვიცით და ვერ მოვაგვარებთ. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ ვიცით მხოლოდ მიმატების შედეგი და არ ვიცით ორივე ტერმინი? ამ შემთხვევაში, მიმატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. გარდა ამისა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები გვიჩვენებს, თუ რა უნდა იყოს მეორე წევრი, რათა მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ ძალიან კარგად ვაკეთებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევებში ჯამის ტერმინებად გაფართოება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.

დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზედაც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (მათი მორიგი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე ზომის ერთეული. სალათის ფურცლისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან გაზომვის ერთეული.

ფიგურაში ნაჩვენებია მათემატიკური განსხვავების ორი დონე. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. უ. ამას აკეთებენ ფიზიკოსები. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფარგლებს შორის. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავამატებთ სხვადასხვა ობიექტის საზომ ერთეულებს, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს მოქმედებებთან დაკავშირებით. წერილი ვწყალს ასოთი მოვნიშნავ სსალათს ასოთი მოვნიშნავ ბ- ბორში. აი, როგორი იქნება ბორშჩის წრფივი კუთხის ფუნქციები.

თუ ავიღებთ წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი გამოვა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების დამატება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ არ გვესმის რა, გაუგებარია რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, რადგან სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთზე. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.

და კურდღლების, იხვების და პატარა ცხოველების დათვლა შესაძლებელია ნაწილებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რას იღებთ, როცა კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.

პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ ნაღდ ფულს. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულის თვალსაზრისით.

მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ჩვენს ბანკნოტების რაოდენობას. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.

როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება წრფივი კუთხის ფუნქციების კუთხის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში ნულ წყალს უდრის. ნულოვანი ბორში ასევე შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).

პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, უარი თქვით თქვენს ლოგიკაზე და სულელურად შეავსეთ მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე". უდრის ნულს", "ნულ წერტილს მიღმა" და სხვა სისულელეებს. საკმარისია ერთხელ დაიმახსოვროთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. . ეს ჰგავს კითხვას, თუ რა ფერს მივაკუთვნოთ უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალ ფუნჯს აფრიალებენ და ყველას ეუბნებიან, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.

კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, წყალი კი ცოტა. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშს.

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათის ფოთოლი. ეს არის სრულყოფილი ბორში (შეიძლება მზარეულებმა მაპატიონ, ეს მხოლოდ მათემატიკაა).

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღეთ თხევადი ბორში.

მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათის ფოთოლზე მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათის ფოთლებს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში დაიჭირეთ და დალიეთ წყალი სანამ ის ხელმისაწვდომია)))

Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ სხვა ისტორიების მოყოლა შემიძლია, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.

ორ მეგობარს თავისი წილი ჰქონდათ საერთო ბიზნესში. ერთი მათგანის მკვლელობის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.

მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.

ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში, დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.

შაბათი, 26 ოქტომბერი, 2019 წ

მე ვუყურე საინტერესო ვიდეოს შესახებ გრანდის რიგი ერთს მინუს ერთი პლუს ერთი მინუს ერთი - Numberphile. მათემატიკოსები იტყუებიან. მათ არ ჩაატარეს თანასწორობის ტესტი მსჯელობაში.

ეს ეხმიანება ჩემს მსჯელობას.

მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ ნიშნები, რომ მათემატიკოსები გვატყუებენ. მსჯელობის დასაწყისში მათემატიკოსები ამბობენ, რომ თანმიმდევრობის ჯამი დამოკიდებულია მასში ელემენტების რაოდენობა ლუწი თუ არა. ეს არის ობიექტურად დადასტურებული ფაქტი. Შემდეგ რა მოხდება?

შემდეგ მათემატიკოსები აკლებენ თანმიმდევრობას ერთიანობას. რას იწვევს ეს? ეს იწვევს მიმდევრობის ელემენტების რაოდენობის ცვლილებას - ლუწი რიცხვი იცვლება კენტ რიცხვში, კენტი რიცხვი იცვლება ლუწ რიცხვში. ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენ დავამატეთ ერთი ელემენტის ტოლი თანმიმდევრობით. მიუხედავად ყველა გარეგანი მსგავსებისა, ტრანსფორმაციის წინ თანმიმდევრობა არ არის გარდაქმნის შემდგომ მიმდევრობის ტოლი. მაშინაც კი, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულო მიმდევრობაზე, უნდა გვახსოვდეს, რომ უსასრულო მიმდევრობა კენტი რაოდენობის ელემენტებით არ არის უსასრულო მიმდევრობის ტოლი ელემენტების ლუწი რაოდენობით.

ელემენტების რაოდენობის მიხედვით განსხვავებულ ორ მიმდევრობას შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით, მათემატიკოსები ამტკიცებენ, რომ მიმდევრობის ჯამი არ არის დამოკიდებული მიმდევრობის ელემენტების რაოდენობაზე, რაც ეწინააღმდეგება ობიექტურად დადგენილ ფაქტს. შემდგომი მსჯელობა უსასრულო მიმდევრობის ჯამის შესახებ მცდარია, რადგან ის დაფუძნებულია ცრუ თანასწორობაზე.

თუ ხედავთ, რომ მათემატიკოსები მტკიცებულებების მსვლელობისას ათავსებენ ფრჩხილებს, ასწორებენ მათემატიკური გამოთქმის ელემენტებს, დაამატებენ ან ამოიღებენ რაღაცას, იყავით ძალიან ფრთხილად, დიდი ალბათობით ისინი თქვენს მოტყუებას ცდილობენ. ბარათების შემთხვევის მსგავსად, მათემატიკოსები თქვენს ყურადღებას აქცევენ გამოხატვის სხვადასხვა მანიპულაციებით, რათა საბოლოოდ მოგცეთ ცრუ შედეგი. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ გაიმეოროთ ბარათის ხრიკი თაღლითობის საიდუმლოების ცოდნის გარეშე, მაშინ მათემატიკაში ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია: თქვენ არც კი გეპარებათ ეჭვი მოტყუებაზე, მაგრამ ყველა მანიპულაციის გამეორება მათემატიკური გამოთქმით საშუალებას გაძლევთ დაარწმუნოთ სხვები. შედეგის სისწორე, ისევე როგორც მაშინ, როცა დაგარწმუნეთ.

კითხვა აუდიტორიისგან: და უსასრულობა (როგორც ელემენტების რაოდენობა S მიმდევრობაში), არის ლუწი თუ კენტი? როგორ შეგიძლიათ შეცვალოთ პარიტეტი იმის, რასაც არ აქვს პარიტეტი?

მათემატიკოსებისთვის უსასრულობა მღვდლებისთვის ზეცის სამეფოს ჰგავს - იქ არავინ ყოფილა, მაგრამ ყველამ ზუსტად იცის, როგორ მუშაობს იქ ყველაფერი))) გეთანხმები, სიკვდილის შემდეგ აბსოლუტურად გულგრილი იქნები, იცხოვრე ლუწი თუ კენტი დღეები. , მაგრამ ... თქვენი ცხოვრების დასაწყისში მხოლოდ ერთი დღის დამატება, ჩვენ მივიღებთ სრულიად განსხვავებულ ადამიანს: მისი გვარი, სახელი და პატრონიმი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ დაბადების თარიღი არის სრულიად განსხვავებული - ის დაიბადა ერთი. შენს წინ.

და ახლა საქმეზე))) დავუშვათ, სასრული მიმდევრობა, რომელსაც აქვს პარიტეტი, კარგავს ამ პარიტეტს უსასრულობამდე გადასვლისას. მაშინ უსასრულო მიმდევრობის ნებისმიერმა სასრულმა სეგმენტმა ასევე უნდა დაკარგოს პარიტეტი. ჩვენ ამას არ ვაკვირდებით. ის ფაქტი, რომ დანამდვილებით ვერ ვიტყვით, ელემენტების რაოდენობა უსასრულო მიმდევრობაში ლუწია თუ კენტი, საერთოდ არ ნიშნავს, რომ პარიტეტი გაქრა. პარიტეტი, თუ ის არსებობს, უკვალოდ ვერ გაქრება უსასრულობაში, როგორც კარტის ბასრი ყდის. ამ შემთხვევისთვის ძალიან კარგი ანალოგია.

ოდესმე გიკითხავთ საათში მჯდომ გუგულს, რომელი მიმართულებით ბრუნავს საათის ისარი? მისთვის ისარი ბრუნავს საპირისპირო მიმართულებით, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ "საათის ისრის". შეიძლება პარადოქსულად ჟღერდეს, მაგრამ ბრუნის მიმართულება დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელი მხრიდან ვაკვირდებით ბრუნვას. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ერთი ბორბალი, რომელიც ბრუნავს. ვერ ვიტყვით, რა მიმართულებით ხდება ბრუნვა, რადგან შეგვიძლია დავაკვირდეთ ბრუნვის სიბრტყის ერთი მხრიდან და მეორე მხრიდან. ჩვენ მხოლოდ იმის დამოწმება შეგვიძლია, რომ არსებობს როტაცია. სრული ანალოგია უსასრულო მიმდევრობის პარიტეტთან ს.

ახლა დავამატოთ მეორე მბრუნავი ბორბალი, რომლის ბრუნვის სიბრტყე პარალელურია პირველი მბრუნავი ბორბლის ბრუნვის სიბრტყის. ჩვენ ჯერ კიდევ არ შეგვიძლია ზუსტად გავიგოთ, რომელი მიმართულებით ტრიალებს ეს ბორბლები, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია აბსოლუტური დარწმუნებით ვთქვათ, ორივე ბორბალი ტრიალებს იმავე მიმართულებით თუ საპირისპირო მიმართულებით. ორი უსასრულო მიმდევრობის შედარება სდა 1-ს, მათემატიკის დახმარებით ვაჩვენე, რომ ამ მიმდევრობებს განსხვავებული პარიტეტი აქვთ და მათ შორის ტოლობის ნიშნის დადება შეცდომაა. პირადად მე მჯერა მათემატიკის, არ ვენდობი მათემატიკოსებს))) სხვათა შორის, იმისთვის, რომ სრულად გავიგოთ უსასრულო მიმდევრობების გარდაქმნების გეომეტრია, აუცილებელია კონცეფციის შემოღება "ერთდროულობა". ამის დახატვა დასჭირდება.

ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ

საუბრის დასრულებისას ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. იმის გათვალისწინებით, რომ "უსასრულობის" კონცეფცია მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის მომაბეზრებელი საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:

ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითს ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:

მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა ჩამოდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი არ არის დაკავებული და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთი სტუმარი დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილს (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ დაწერილა“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, "უსასრულო სასტუმროს" აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილი სამყაროების უსასრულო რაოდენობით. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის მხოლოდ ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ამიტომ მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნებამ მშვენივრად იცის დათვლა, მაგრამ ამისთვის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ერთს ამ კომპლექტში, რადგან ის უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე დაემატება.

ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთ უსასრულო სიმრავლეს დაემატება კიდევ ერთი უსასრულო სიმრავლე, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, დაფიქრდით, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).

pozg.ru

კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ

მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაზე:

ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონური მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილ იქნა განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ აქვს ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ

როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.

შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ასოების მეშვეობით დავასახელოთ ამ ნაკრების ელემენტები ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიღოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხის სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა ბვგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ერთ-ერთ ამ სექსუალურ მახასიათებელს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი ბვ. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები სწორად არის გაკეთებული, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ოდესღაც შამანებმა გააკეთეს. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.

დასასრულს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები
ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება მას. იმ დროის განმავლობაში, რომლის განმავლობაშიც აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებამ ჯერ ვერ მიაღწია საერთო მოსაზრებას პარადოქსების არსის შესახებ... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია"]. ყველას ესმის, რომ მათ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადადგმა იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ეყრდნობა სივრცის სხვადასხვა წერტილს, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ კიდევ ერთი მომენტია გასათვალისწინებელი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია გამოგადგებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი იძლევიან სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები მშვილდით არის და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული ნაკრები? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო სწორედ, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება ხდებოდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე. აი, როგორ გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში ხაზგასმულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ ეტაპზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ „ინტუიტიურად“ მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას „აშკარად“, რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ „მეცნიერულ“ არსენალში.

საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.

თუ პრობლემას მოცემულია სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა სამკუთხედის ფართობის სინუსში.

სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის მაგალითი სინუსის გამოყენებით. მოცემულია გვერდები a = 3, b = 4 და კუთხე γ= 30°. 30° კუთხის სინუსი არის 0,5

სამკუთხედის ფართობი იქნება 3 კვ. სმ.

ფართობი ტოლი იქნება გვერდის კვადრატის ნახევარი გამრავლებული წილადზე. მის მრიცხველში არის მიმდებარე კუთხეების სინუსების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელში არის მოპირდაპირე კუთხის სინუსი. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ფართობს შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

მაგალითად, მოცემულია სამკუთხედი a=3 გვერდით და კუთხეებით γ=60°, β=60°. გამოთვალეთ მესამე კუთხე:
მონაცემების ჩანაცვლება ფორმულაში
მივიღებთ, რომ სამკუთხედის ფართობია 3,87 კვადრატული მეტრი. სმ.

II. სამკუთხედის ფართობი კოსინუსის მიხედვით

სამკუთხედის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა მხარის სიგრძე. კოსინუსების თეორემით შეგიძლიათ იპოვოთ უცნობი მხარეები და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენოთ.
კოსინუსების კანონის მიხედვით, სამკუთხედის უცნობი გვერდის კვადრატი უდრის დარჩენილი გვერდების კვადრატების ჯამის გამოკლებით ამ გვერდების ორჯერ ნამრავლს მათ შორის კუთხის კოსინუსზე.

თეორემიდან გამოვიყვანთ ფორმულებს უცნობი მხარის სიგრძის საპოვნელად:

იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ დაკარგული მხარე, რომელსაც აქვს ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის, შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ფართობი. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა კოსინუსის თვალსაზრისით გეხმარებათ სწრაფად და მარტივად იპოვოთ სხვადასხვა პრობლემის გადაწყვეტა.

კოსინუსის გავლით სამკუთხედის ფართობის ფორმულის გამოთვლის მაგალითი
მოცემულია სამკუთხედი ცნობილი გვერდებით a = 3, b = 4 და კუთხე γ= 45°. ჯერ ვიპოვოთ დაკარგული ნაწილი. თან. კოსინუსით 45°=0,7. ამისათვის ჩვენ ვანაცვლებთ მონაცემებს კოსინუსების თეორემიდან გამოყვანილ განტოლებაში.
ახლა ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ

სამკუთხედის ფართობის თეორემა

თეორემა 1

სამკუთხედის ფართობი არის ორი გვერდის ნამრავლის ნამრავლი ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს თვითნებური სამკუთხედი $ABC$. ამ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები ავღნიშნოთ $BC=a$, $AC=b$. შემოვიღოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, ისე, რომ წერტილი $C=(0,0)$, წერტილი $B$ დევს მარჯვენა ნახევარღერძზე $Ox$, ხოლო წერტილი $A$ მდებარეობს პირველ კოორდინატულ კვადრატში. დახაზეთ სიმაღლე $h$ $A$ წერტილიდან (ნახ. 1).

სურათი 1. თეორემის ილუსტრაცია 1

სიმაღლე $h$ უდრის $A$ წერტილის ორდინატს, შესაბამისად

სინუსების თეორემა

თეორემა 2

სამკუთხედის გვერდები საპირისპირო კუთხის სინუსების პროპორციულია.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს თვითნებური სამკუთხედი $ABC$. ამ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები ავღნიშნოთ $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (ნახ. 2).

სურათი 2.

ეს დავამტკიცოთ

თეორემა 1-ით გვაქვს

მათი წყვილებში გათანაბრებით, მივიღებთ ამას

კოსინუსების თეორემა

თეორემა 3

სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე ამ გვერდებს შორის კუთხის კოსინუსზე.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს თვითნებური სამკუთხედი $ABC$. აღნიშნეთ მისი გვერდების სიგრძეები $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. მოდით შემოვიტანოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა ისე, რომ წერტილი $A=(0,0)$, წერტილი $B$ დევს დადებით ნახევარღერძზე $Ox$, ხოლო წერტილი $C$ მდებარეობს პირველ კოორდინატულ კვადრატში (ნახ. 3).

სურათი 3

ეს დავამტკიცოთ

ამ კოორდინატულ სისტემაში ჩვენ ამას ვიღებთ

იპოვეთ $BC$ გვერდის სიგრძე წერტილებს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით

ამ თეორემების გამოყენებით პრობლემის მაგალითი

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ თვითნებური სამკუთხედის შემოხაზული წრის დიამეტრი უდრის სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის შეფარდებას ამ მხარის მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან.

გამოსავალი.

მოდით, მოგვცეს თვითნებური სამკუთხედი $ABC$. $R$ - შემოხაზული წრის რადიუსი. დახაზეთ დიამეტრი $BD$ (ნახ. 4).

სამკუთხედის ფართობი - პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები

ქვემოთ მოცემულია თვითნებური სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულებირომლებიც შესაფერისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, მიუხედავად მისი თვისებებისა, კუთხისა თუ განზომილებებისა. ფორმულები წარმოდგენილია სურათის სახით, აქ მოცემულია განმარტებები მათი სისწორის გამოყენებისა თუ დასაბუთებისთვის. ასევე, ცალკე ფიგურაში ნაჩვენებია ასოების სიმბოლოების შესაბამისობა ფორმულებში და გრაფიკული სიმბოლოები ნახაზში.

შენიშვნა . თუ სამკუთხედს აქვს სპეციალური თვისებები (ტოლფერდა, მართკუთხა, ტოლგვერდა), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები, ასევე დამატებით სპეციალური ფორმულები, რომლებიც მართალია მხოლოდ ამ თვისებების მქონე სამკუთხედებისთვის:

• "ფორმულები ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობისთვის"

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

ფორმულების ახსნა:
ა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, რომლის ფართობის პოვნა გვინდა
რ- სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი
რ- სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი
თ- სამკუთხედის სიმაღლე, გვერდით ჩამოწეული
გვ- სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, მისი გვერდების ჯამის 1/2 (პერიმეტრი)
α - კუთხე a სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
β - კუთხე b სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
γ - კუთხე c სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
თ ა, თ ბ , თ გ- სამკუთხედის სიმაღლე, ჩამოშვებული a, b, c გვერდებზე

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მოცემული აღნიშვნა შეესაბამება ზემოთ მოცემულ ფიგურას, რათა გეომეტრიაში რეალური პრობლემის გადაჭრისას ვიზუალურად გაგიადვილდეთ სწორი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში სწორ ადგილებში.

• სამკუთხედის ფართობი არის სამკუთხედის სიმაღლისა და იმ მხარის სიგრძის ნამრავლის ნახევარი, რომელზედაც ეს სიმაღლე დაბლაა(Ფორმულა 1). ამ ფორმულის სისწორე ლოგიკურად შეიძლება გავიგოთ. ძირამდე დაშვებული სიმაღლე თვითნებურ სამკუთხედს ორ მართკუთხედად გაყოფს. თუ თითოეულ მათგანს დავასრულებთ მართკუთხედად b და h ზომებით, მაშინ, ცხადია, ამ სამკუთხედების ფართობი ტოლი იქნება მართკუთხედის ფართობის ზუსტად ნახევარის (Spr = bh)
• სამკუთხედის ფართობი არის მისი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი(ფორმულა 2) (იხილეთ ამ ფორმულის გამოყენებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ქვემოთ). იმისდა მიუხედავად, რომ ის განსხვავდება წინასგან, ის ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას მასში. თუ B კუთხიდან B კუთხიდან B გვერდისკენ შევამცირებთ სიმაღლეს, გამოვა, რომ a გვერდის ნამრავლი და γ კუთხის სინუსი, მართკუთხა სამკუთხედში სინუსის თვისებების მიხედვით, უდრის შედგენილი სამკუთხედის სიმაღლეს. us, რომელიც მოგვცემს წინა ფორმულას
• შეიძლება მოიძებნოს თვითნებური სამკუთხედის ფართობი მეშვეობით მუშაობამასში ჩაწერილი წრის რადიუსის ნახევარი მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამით(ფორმულა 3), სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ სამკუთხედის ნახევარი პერიმეტრი ჩაწერილი წრის რადიუსზე (ასე უფრო ადვილია დამახსოვრება)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობის პოვნა შესაძლებელია მისი ყველა გვერდის ნამრავლის გაყოფით მის გარშემო შემოხაზული წრის 4 რადიუსზე (ფორმულა 4)
• ფორმულა 5 პოულობს სამკუთხედის ფართობს მისი გვერდების სიგრძისა და ნახევარპერიმეტრის მიხედვით (მისი ყველა გვერდის ჯამის ნახევარი)
• ჰერონის ფორმულა(6) არის ერთი და იგივე ფორმულის წარმოდგენა ნახევარპერიმეტრის ცნების გამოყენების გარეშე, მხოლოდ გვერდების სიგრძით.
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი ტოლია სამკუთხედის გვერდის კვადრატის ნამრავლისა და ამ მხარის მიმდებარე კუთხის სინუსების ნამრავლის, გაყოფილი ამ მხარის მოპირდაპირე კუთხის ორმაგ სინუსზე (ფორმულა 7)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც მის გარშემო შემოხაზული წრის ორი კვადრატისა და მისი თითოეული კუთხის სინუსების ნამრავლი. (ფორმულა 8)
• თუ ცნობილია ერთი გვერდის სიგრძე და მის მიმდებარე ორი კუთხის სიდიდე, მაშინ სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ამ გვერდის კვადრატად, გაყოფილი ამ კოტანგენტების ორმაგ ჯამზე. კუთხეები (ფორმულა 9)
• თუ ცნობილია მხოლოდ სამკუთხედის თითოეული სიმაღლის სიგრძე (ფორმულა 10), მაშინ ასეთი სამკუთხედის ფართობი უკუპროპორციულია ამ სიმაღლეების სიგრძისა, როგორც ჰერონის ფორმულით.
• ფორმულა 11 საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი მისი წვეროების კოორდინატების მიხედვით, რომლებიც მოცემულია როგორც (x;y) მნიშვნელობები თითოეული წვეროსთვის. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მიღებული მნიშვნელობა უნდა იქნას მიღებული მოდულით, რადგან ინდივიდუალური (ან თუნდაც ყველა) წვეროების კოორდინატები შეიძლება იყოს უარყოფითი მნიშვნელობების არეალში.

შენიშვნა. ქვემოთ მოცემულია გეომეტრიის ამოცანების ამოხსნის მაგალითები სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომლის მსგავსი აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. გადაწყვეტილებებში sqrt() ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას "კვადრატული ფესვის" სიმბოლოს ნაცვლად, რომელშიც sqrt არის კვადრატული ფესვის სიმბოლო, ხოლო რადიკალური გამოხატულება მითითებულია ფრჩხილებში..ზოგჯერ სიმბოლო შეიძლება გამოყენებულ იქნას მარტივი რადიკალური გამონათქვამებისთვის √

Დავალება. იპოვნეთ მოცემული ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის

სამკუთხედის გვერდებია 5 და 6 სმ, მათ შორის კუთხე 60 გრადუსია. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ გაკვეთილის თეორიული ნაწილის ნომერ ორ ფორმულას.
სამკუთხედის ფართობი გვხვდება ორი გვერდის სიგრძეზე და მათ შორის კუთხის სინუსში და ტოლი იქნება
S=1/2 ab sin γ

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი გადაწყვეტისთვის (ფორმულის მიხედვით), ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ პრობლემის ფორმულიდან მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში:
S=1/2*5*6*sin60

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში ჩვენ ვპოულობთ და ვცვლით გამოხატულებაში სინუსის მნიშვნელობას 60 გრადუსი. უდრის ძირს სამი ორზე.
S = 15 √3 / 2

უპასუხე: 7.5 √3 (მასწავლებლის მოთხოვნებიდან გამომდინარე, ალბათ შესაძლებელია 15 √3/2 დატოვება)

Დავალება. იპოვეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი

იპოვეთ 3 სმ გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალი .

სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ჰერონის ფორმულით:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c-დან, ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მიიღებს ფორმას:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

უპასუხე: 9 √3 / 4.

Დავალება. გვერდების სიგრძის შეცვლისას ფართობის შეცვლა

რამდენჯერ გაიზრდება სამკუთხედის ფართობი, თუ გვერდები ოთხმაგდება?

გამოსავალი.

ვინაიდან სამკუთხედის გვერდების ზომები ჩვენთვის უცნობია, ამოცანის ამოსახსნელად ჩავთვლით, რომ გვერდების სიგრძეები შესაბამისად უდრის თვითნებურ რიცხვებს a, b, c. შემდეგ, პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ ვპოულობთ ამ სამკუთხედის ფართობს და შემდეგ ვპოულობთ სამკუთხედის ფართობს, რომლის გვერდები ოთხჯერ დიდია. ამ სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა გაგვცემს ამოცანის პასუხს.

შემდეგი, ჩვენ ვაძლევთ ტექსტურ ახსნას პრობლემის გადაჭრის ეტაპობრივად. თუმცა, ბოლოს და ბოლოს, იგივე გამოსავალი არის წარმოდგენილი გრაფიკული ფორმით, რომელიც უფრო მოსახერხებელია აღქმისთვის. მსურველებს შეუძლიათ დაუყოვნებლივ ჩამოაგდონ გამოსავალი.

ამოსახსნელად ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას (იხილეთ ზემოთ გაკვეთილის თეორიულ ნაწილში). ეს ასე გამოიყურება:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხილეთ სურათის პირველი ხაზი ქვემოთ)

თვითნებური სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მოცემულია a, b, c ცვლადებით.
თუ გვერდები გაიზარდა 4-ჯერ, მაშინ ახალი სამკუთხედის c ფართობი იქნება:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(იხილეთ მეორე ხაზი ქვემოთ მოცემულ სურათზე)

როგორც ხედავთ, 4 არის საერთო ფაქტორი, რომელიც ოთხივე გამონათქვამიდან შეიძლება იყოს ფრჩხილებში მათემატიკის ზოგადი წესების მიხედვით.
მერე

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - სურათის მესამე სტრიქონზე
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - მეოთხე ხაზი

256 რიცხვიდან კვადრატული ფესვი მშვენივრად არის ამოღებული, ამიტომ ამოვიღებთ ფესვის ქვემოდან
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხილეთ ქვემოთ მოცემული ფიგურის მეხუთე სტრიქონი)

პრობლემაში დასმულ კითხვაზე პასუხის გასაცემად საკმარისია მიღებული სამკუთხედის ფართობი გავყოთ თავდაპირველის ფართობზე.
ფართობის შეფარდებას განვსაზღვრავთ გამონათქვამების ერთმანეთზე დაყოფით და მიღებული წილადის შემცირებით.