დამოუკიდებელი სამუშაო „დემონსტრაციული ფუნქცია“. ექსპონენციალური ფუნქცია - თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები მისი თვისებებისა და გრაფიკის დამოუკიდებელი ექსპონენციალური ფუნქცია

გაკვეთილი #2

თემა: ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი.

სამიზნე:შეამოწმეთ „ექსპონენციალური ფუნქციის“ ცნების ათვისების ხარისხი; ექსპონენციალური ფუნქციის ამოცნობის, მისი თვისებებისა და გრაფიკების გამოყენების უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება, ასწავლოს მოსწავლეებს ექსპონენციალური ფუნქციის ჩაწერის ანალიტიკური და გრაფიკული ფორმების გამოყენება; უზრუნველყოს სამუშაო გარემო კლასში.

აღჭურვილობა:დაფა, პლაკატები

გაკვეთილის ფორმა: საკლასო ოთახი

გაკვეთილის ტიპი: პრაქტიკული გაკვეთილი

გაკვეთილის ტიპი: უნარების მომზადების გაკვეთილი

Გაკვეთილის გეგმა

1. საორგანიზაციო მომენტი

2. დამოუკიდებელი მუშაობა და საშინაო დავალების შემოწმება

3. პრობლემის გადაჭრა

4. შეჯამება

5. საშინაო დავალება

გაკვეთილების დროს.

1. საორგანიზაციო მომენტი :

გამარჯობა. გახსენით რვეულები, ჩაწერეთ დღევანდელი თარიღი და გაკვეთილის თემა „ექსპონენციალური ფუნქცია“. დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ ექსპონენციალური ფუნქციის, მისი თვისებების და გრაფიკის შესწავლას.

2. დამოუკიდებელი მუშაობა და საშინაო დავალების შემოწმება .

სამიზნე:შეამოწმეთ „ექსპონენციალური ფუნქციის“ ცნების ათვისების ხარისხი და შეამოწმეთ საშინაო დავალების თეორიული ნაწილის შესრულება.

მეთოდი:ტესტის დავალება, ფრონტალური გამოკითხვა

საშინაო დავალების სახით მოგცეს ნომრები ამოცანების წიგნიდან და აბზაცი სახელმძღვანელოდან. ჩვენ ახლა არ შევამოწმებთ სახელმძღვანელოდან ნომრების შესრულებას, მაგრამ გაკვეთილის ბოლოს ჩააბარებთ თქვენს რვეულებს. ახლა თეორია შემოწმდება მცირე ტესტის სახით. დავალება ყველასთვის ერთნაირია: გეძლევათ ფუნქციების სია, უნდა გაარკვიოთ რომელი მათგანია საჩვენებელი (ხაზგასმით აღნიშნეთ ისინი). ექსპონენციალური ფუნქციის გვერდით კი უნდა დაწეროთ, იზრდება თუ მცირდება.

ვარიანტი 1

უპასუხე

ბ)

დ) - ექსპონენციალური, კლებადი

ვარიანტი 2

უპასუხე

დ) - ექსპონენციალური, კლებადი

დ) - საჩვენებელი, მზარდი

ვარიანტი 3

უპასუხე

მაგრამ) - საჩვენებელი, მზარდი

ბ) - ექსპონენციალური, კლებადი

ვარიანტი 4

უპასუხე

მაგრამ) - ექსპონენციალური, კლებადი

AT) - საჩვენებელი, მზარდი

ახლა ერთად გავიხსენოთ რა ფუნქციას ეწოდება ექსპონენციალური?

ფორმის ფუნქციას სადაც და , ექსპონენციალური ფუნქცია ეწოდება.

რა არის ამ ფუნქციის ფარგლები?

ყველა რეალური რიცხვი.

რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის დიაპაზონი?

ყველა დადებითი რეალური რიცხვი.

მცირდება, თუ ბაზა ნულზე მეტია, მაგრამ ერთზე ნაკლები.

როდის მცირდება ექსპონენციალური ფუნქცია მის დომენზე?

იზრდება, თუ ბაზა ერთზე მეტია.

3. პრობლემის გადაჭრა

სამიზნე: ჩამოაყალიბოს ექსპონენციალური ფუნქციის ამოცნობის, მისი თვისებების და გრაფიკების გამოყენების უნარები, ასწავლოს მოსწავლეებს ექსპონენციალური ფუნქციის ჩაწერის ანალიტიკური და გრაფიკული ფორმების გამოყენება.

მეთოდი: მასწავლებლის მიერ ტიპიური ამოცანების გადაჭრის დემონსტრირება, ზეპირი სამუშაო, მუშაობა დაფაზე, მუშაობა რვეულში, მასწავლებლის საუბარი მოსწავლეებთან.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას 2 ან მეტი რიცხვის შედარებისას. მაგალითად: No 000. შეადარეთ მნიშვნელობები და თუ ა) ..gif" width="37" height="20 src=">, მაშინ ეს საკმაოდ რთული სამუშაოა: ჩვენ უნდა ავიღოთ 3-ისა და 9-ის კუბური ფესვი და შევადაროთ ისინი. მაგრამ ვიცით, რომ იზრდება, ეს არის საკუთარ რიგში ნიშნავს იმას, რომ როდესაც არგუმენტი იზრდება, იზრდება ფუნქციის მნიშვნელობა, ანუ საკმარისია არგუმენტის მნიშვნელობები შევადაროთ ერთმანეთს და, ცხადია, რომ (შეიძლება აჩვენოს პლაკატზე მზარდი ექსპონენციალური ფუნქციით). და ყოველთვის ასეთი მაგალითების ამოხსნისას ჯერ განსაზღვრეთ ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი, შეადარე 1-ს, დაადგინეთ ერთფეროვნება და გააგრძელეთ არგუმენტების შედარება. კლებადი ფუნქციის შემთხვევაში: არგუმენტის ზრდასთან ერთად მცირდება ფუნქციის მნიშვნელობა, შესაბამისად, არგუმენტების უტოლობიდან ფუნქციების უტოლობაზე გადასვლისას იცვლება უტოლობის ნიშანი. შემდეგ ზეპირად ვხსნით: ბ)

AT)

გ)

- No 000. შეადარეთ რიცხვები: ა) და

შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება

რატომ ?

ფუნქციის გაზრდა და

შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება

ორივე ფუნქცია იზრდება მათი განსაზღვრის მთელ დომენზე, რადგან ისინი ექსპონენციალურია ერთზე მეტი ფუძით.

რა აზრი აქვს მას?

ჩვენ ვაშენებთ სქემებს:

რომელი ფუნქცია იზრდება უფრო სწრაფად სწრაფვისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

რომელი ფუნქცია იკლებს უფრო სწრაფად სწრაფვისას https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

ინტერვალზე რომელი ფუნქციის აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა კონკრეტულ წერტილში?

დ), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. ჯერ გავარკვიოთ ამ ფუნქციების ფარგლები. დაემთხვა?

დიახ, ამ ფუნქციების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი.

დაასახელეთ თითოეული ამ ფუნქციის ფარგლები.

ამ ფუნქციების დიაპაზონი ემთხვევა: ყველა დადებითი რეალური რიცხვი.

განსაზღვრეთ თითოეული ფუნქციის ერთფეროვნების ტიპი.

სამივე ფუნქცია მცირდება მათი განსაზღვრის მთელ დომენზე, რადგან ისინი ექსპონენციალურია ერთზე ნაკლები ფუძით და ნულზე მეტი.

რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკის სინგულარული წერტილი?

რა აზრი აქვს მას?

როგორიც არ უნდა იყოს ექსპონენციალური ფუნქციის ხარისხის საფუძველი, თუ მაჩვენებელი არის 0, მაშინ ამ ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1.

ჩვენ ვაშენებთ სქემებს:

მოდით გავაანალიზოთ სქემები. რამდენი გადაკვეთის წერტილი აქვს ფუნქციის გრაფიკებს?

რომელი ფუნქცია იკლებს უფრო სწრაფად სწრაფვისას? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

რომელი ფუნქცია იზრდება უფრო სწრაფად სწრაფვისას? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

რატომ აქვთ სხვადასხვა ფუძის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციებს მხოლოდ ერთი გადაკვეთის წერტილი?

ექსპონენციალური ფუნქციები მკაცრად მონოტონურია მათი განმარტების მთელ სფეროზე, ამიტომ მათ შეუძლიათ მხოლოდ ერთ წერტილში გადაკვეთა.

შემდეგი დავალება ფოკუსირებული იქნება ამ ქონების გამოყენებაზე. № 000. იპოვეთ მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ ინტერვალზე a). შეგახსენებთ, რომ მკაცრად მონოტონური ფუნქცია იღებს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს მოცემული ინტერვალის ბოლოს. და თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ მისი უდიდესი მნიშვნელობა იქნება სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში, ხოლო ყველაზე პატარა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში (დემონსტრირება პოსტერზე, ექსპონენციალური ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით). თუ ფუნქცია მცირდება, მაშინ მისი უდიდესი მნიშვნელობა იქნება სეგმენტის მარცხენა ბოლოში, ხოლო ყველაზე პატარა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში (დემონსტრირება პოსტერზე, ექსპონენციალური ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით). ფუნქცია იზრდება, რადგან, შესაბამისად, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა იქნება წერტილში https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > ქულები ბ ) , შიგნით) დ) რვეულები თავად გადაჭრით, ზეპირად შევამოწმებთ.

მოსწავლეები წყვეტენ პრობლემას რვეულში

მცირდება ფუნქცია

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

ფუნქციის გაზრდა

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

- № 000. იპოვეთ მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ ინტერვალზე a) . ეს ამოცანა თითქმის იგივეა, რაც წინა. მაგრამ აქ მოცემულია არა სეგმენტი, არამედ სხივი. ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქცია იზრდება და მას არ აქვს არც უდიდესი და არც უმცირესი მნიშვნელობა მთელ რიცხვთა ხაზში https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" სიმაღლე = "20">, და მიდრეკილია ზე, ანუ სხივზე, ფუნქცია at მიისწრაფვის 0-მდე, მაგრამ არ აქვს მისი უმცირესი მნიშვნელობა, მაგრამ მას აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა წერტილში. . ქულები ბ) , შიგნით) , გ) მოაგვარეთ საკუთარი რვეულები, ზეპირად შევამოწმებთ.

მოცემულია ექსპონენციალური ფუნქციის საცნობარო მონაცემები - ძირითადი თვისებები, გრაფიკები და ფორმულები. განიხილება შემდეგი საკითხები: განსაზღვრების სფერო, სიდიდეების სიმრავლე, ერთფეროვნება, შებრუნებული ფუნქცია, წარმოებული, ინტეგრალი, სიმძლავრის სერიის გაფართოება და წარმოდგენა რთული რიცხვების საშუალებით.

შინაარსი

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები

ექსპონენციალურ ფუნქციას y = a x აქვს შემდეგი თვისებები რეალური რიცხვების სიმრავლეზე () :
(1.1) არის განსაზღვრული და უწყვეტი, ამისთვის, ყველასთვის;
(1.2) როდესაც a ≠ 1 აქვს მრავალი მნიშვნელობა;
(1.3) მკაცრად იზრდება, მკაცრად მცირდება,
არის მუდმივი at ;
(1.4) ზე ;
ზე ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

სხვა სასარგებლო ფორმულები
.
განსხვავებული სიმძლავრის ბაზის მქონე ექსპონენციალურ ფუნქციად გადაქცევის ფორმულა:

b = e-სთვის, ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალური ფუნქციის გამოხატვას მაჩვენებლის მიხედვით:

პირადი ღირებულებები

, , , , .

y = a x ფუძის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

ნახატზე ნაჩვენებია ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკები
წ (x) = x
ოთხი ღირებულებისთვის ხარისხის ბაზები:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . ჩანს, რომ > 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. რაც უფრო დიდია a ხარისხის საფუძველი, მით უფრო ძლიერია ზრდა. ზე 0 < a < 1 ექსპონენციალური ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. რაც უფრო მცირეა a მაჩვენებელი, მით უფრო ძლიერია კლება.

Აღმავალი დაღმავალი

ექსპონენციალური ფუნქცია at მკაცრად მონოტონურია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. მისი ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში.

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
დომენი	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y= 0	არა	არა
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

ინვერსიული ფუნქცია

a ხარისხის ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის რეციპროკული არის ლოგარითმი a ფუძემდე.

თუ, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენციაცია

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირებისთვის, მისი ფუძე უნდა დაიწიოს e რიცხვამდე, გამოიყენოს წარმოებულების ცხრილი და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი.

ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისება
და ფორმულა წარმოებულების ცხრილიდან:
.

დაე, მოცემული იყოს ექსპონენციალური ფუნქცია:
.
ჩვენ მივყავართ მას ე-ზე:

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს. ამისათვის ჩვენ შემოგვაქვს ცვლადი

მერე

წარმოებულების ცხრილიდან გვაქვს (შეცვალეთ x ცვლადი z-ით):
.
ვინაიდან მუდმივია, z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით:
.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ექსპონენციალური ფუნქციის დიფერენცირების მაგალითი

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
y= 35 x

გამოსავალი

ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძეს გამოვხატავთ e რიცხვით.
3 = e ჟურნალი 3
მერე
.
შემოგვაქვს ცვლადი
.
მერე

წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.
Იმიტომ რომ 5ლნ 3არის მუდმივი, მაშინ z-ის წარმოებული x-ის მიმართ არის:
.
რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით გვაქვს:
.

უპასუხე

ინტეგრალური

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
ვ (ზ) = აზ
სადაც z = x + iy ; მე 2 = - 1 .
ჩვენ გამოვხატავთ კომპლექსურ მუდმივას a-ს მოდულის r და არგუმენტის φ:
a = r e i φ
მერე

.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. Ზოგადად
φ = φ 0 + 2 პნ,
სადაც n არის მთელი რიცხვი. ამიტომ ფუნქცია f (z)ასევე ორაზროვანია. ხშირად განიხილება მისი მთავარი მნიშვნელობა
.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები		y = 0< a < 1
1. ფუნქციის ფარგლები
2. ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი
3. ერთიანობასთან შედარების ინტერვალები	x > 0, > 1-ისთვის	x> 0, 0-ისთვის< < 1
x-ზე< 0, 0< < 1	x-ზე< 0, > 1
4. ლუწი, კენტი.	ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი (ზოგადი ფუნქცია).
5. ერთფეროვნება.	მონოტონურად იზრდება რ	მონოტონურად მცირდება რ
6. უკიდურესობები.	ექსპონენციალურ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემები.
7. ასიმპტოტი	x-ღერძი ჰორიზონტალური ასიმპტოტია.
8. x და y-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობებისთვის;

მაგალითები:

მაგალითი No1. (ფუნქციის ფარგლების საპოვნელად). რა არგუმენტების მნიშვნელობები მოქმედებს ფუნქციებისთვის:

მაგალითი No2. (ფუნქციის დიაპაზონის საპოვნელად). ფიგურაში ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი. მიუთითეთ ფუნქციის ფარგლები და ფარგლები:

მაგალითი No3. (ერთეულთან შედარების ინტერვალების მითითება). შეადარეთ თითოეული შემდეგი ძალა ერთთან:

მაგალითი No4. (მონოტონურობის ფუნქციის შესასწავლად). შეადარეთ რეალური რიცხვები m და n სიდიდით, თუ:

მაგალითი No5. (მონოტონურობის ფუნქციის შესასწავლად). გააკეთეთ დასკვნა a ბაზის შესახებ, თუ:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

როგორ არის ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთთან შედარებით x > 0, x = 0, x< 0?

მაგიდა. დასკვნა:

ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში გამოსახულია ფუნქციების გრაფიკები:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0.5)x; z(x) = (0.8)x.

დასკვნა

ამ კურსში მუშაობა თემაზე "ექსპონენციალური ფუნქცია" განვიხილეთ მისი კონცეფცია, ძირითადი თვისებები და გრაფიკები.

ექსპონენციალური ფუნქციის თემა, ზოგადად, ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოიყენება გამოთვლებში და სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.

ნამუშევარში მოყვანილი იყო მაგალითები და დავალებები, განსხვავებული სირთულითა და შინაარსით.

საკურსო ნამუშევარი, ჩემი აზრით, შესრულებულია მათემატიკის სწავლების მეთოდოლოგიის ფარგლებში და შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც ვიზუალური საშუალება სრულ განაკვეთზე და ნახევარ განაკვეთზე სტუდენტებისთვის.

დამოუკიდებელი მუშაობა თემაზე"ექსპონენციალური ფუნქცია". დამოუკიდებელი სამუშაო შეიცავს 2 ვარიანტს სამი ამოცანისთვის. თვითშესწავლის ტექსტები დაყოფილია სირთულის სამ დონედ. ვარიანტის თითოეული დავალება შეესაბამება მის სირთულის დონეს. Microsoft Word-ის ტექსტურ რედაქტორში შეიქმნა დამოუკიდებელი ნამუშევარი. მოხერხებულობისთვის მოცემულია სწორი პასუხები.