სიმძლავრე ფუნქციონირებს სხვადასხვა მაჩვენებლით. სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი

სიმძლავრის ფუნქცია მოცემულია ფორმის ფორმულით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ტიპი და სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ დენის ფუნქციით მთელი რიცხვის მაჩვენებლით ა. ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ფორმა და ფუნქციების თვისებები დამოკიდებულია ლუწი ან კენტი მაჩვენებელზე, ასევე მის ნიშანზე. ამიტომ, პირველ რიგში განვიხილავთ სიმძლავრის ფუნქციებს ექსპონენტის უცნაური დადებითი მნიშვნელობებისთვის ა, შემდეგ - ლუწი დადებითისთვის, შემდეგ - კენტი უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის და, ბოლოს, ლუწი უარყოფითისთვის ა.

სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები წილადი და ირაციონალური მაჩვენებლებით (ისევე როგორც ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი) დამოკიდებულია მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. ა. ჩვენ განვიხილავთ მათ, პირველ რიგში, ანულიდან ერთამდე და მეორეც, ზე ადიდი ერთეული, მესამე, ერთად ამინუს ერთიდან ნულამდე, მეოთხე, როცა აპატარა მინუს ერთი.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულს, სისრულისთვის, ჩვენ აღვწერთ სიმძლავრის ფუნქციას ნულოვანი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ ერთად a=1,3,5,….

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. ზე a=1ჩვენ გვაქვს ხაზოვანი ფუნქცია y=x.

კენტი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ for a=2,4,6,….

მაგალითად, ავიღოთ დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. ზე a=2გვაქვს კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი დადებითი მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით.

შეხედეთ სიმძლავრის ფუნქციის ნახაზებს მაჩვენებლის კენტი უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ for a=-1,-3,-5,….

ცოდნა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკებიარანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე გამრავლების ცხრილის ცოდნა. ისინი ჰგვანან საძირკველს, ყველაფერი მათზეა დაფუძნებული, ყველაფერი მათგან არის აგებული და ყველაფერი მათზე მოდის.

ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ელემენტარულ ფუნქციას, ვაძლევთ მათ გრაფიკებს და ვაძლევთ მათ წარმოშობისა და მტკიცებულების გარეშე. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებისქემის მიხედვით:

• ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილების სტატიის კლასიფიკაცია);
• ლუწი და კენტი;
• ამოზნექილი (ამოზნექება ზემოთ) და ჩაზნექილი (ამოზნექება ქვევით) ინტერვალები, დახრის წერტილები (საჭიროების შემთხვევაში იხ. სტატიის ფუნქცია ამოზნექილი, ამოზნექის მიმართულება, დახრის წერტილები, ამოზნექილი და დახრის პირობები);
• ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;
• ფუნქციების ცალკეული წერტილები;
• ზოგიერთი ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი).

თუ გაინტერესებთ ან, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თეორიის ამ სექციებზე.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიარის: მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი), n-ე ხარისხის ფესვი, სიმძლავრის ფუნქცია, ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

გვერდის ნავიგაცია.

მუდმივი ფუნქცია.

მუდმივი ფუნქცია მოცემულია ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე ფორმულით, სადაც C არის გარკვეული რეალური რიცხვი. მუდმივი ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის x თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას ანიჭებს y დამოკიდებული ცვლადის იგივე მნიშვნელობას - მნიშვნელობა С. მუდმივ ფუნქციას ასევე ეწოდება მუდმივი.

მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და გადის წერტილში კოორდინატებით (0,C). მაგალითად, ვაჩვენოთ მუდმივი ფუნქციების გრაფიკები y=5 , y=-2 და , რომლებიც ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს შესაბამისად.

მუდმივი ფუნქციის თვისებები.

• განმარტების დომენი: ნამდვილ რიცხვთა მთელი სიმრავლე.
• მუდმივი ფუნქცია ლუწია.
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი რიცხვი C .
• მუდმივი ფუნქცია არ არის მზარდი და არ კლებადი (ამიტომ არის მუდმივი).
• მუდმივის ამოზნექილობასა და ჩაღრმავებაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს.
• ასიმპტოტი არ არსებობს.
• ფუნქცია გადის კოორდინატთა სიბრტყის წერტილში (0,C).

n-ე ხარისხის ფესვი.

განვიხილოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით, სადაც n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის ლუწი რიცხვი.

დავიწყოთ n-ე ფესვის ფუნქციით ძირის მაჩვენებლის ლუწი მნიშვნელობებისთვის n .

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სურათს ფუნქციების გრაფიკების გამოსახულებით და , ისინი შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს.

თანაბარი ხარისხის ფესვის ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ მსგავსი ფორმა ინდიკატორის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები ლუწ n-სთვის.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის კენტი რიცხვი.

n-ე ხარისხის ძირეული ფუნქცია n ფესვის კენტი მაჩვენებლით განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. მაგალითად, წარმოგიდგენთ ფუნქციების გრაფიკებს და შავი, წითელი და ლურჯი მრუდები მათ შეესაბამება.

ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა ექნება.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები კენტი n-სთვის.

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქცია მოცემულია ფორმის ფორმულით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ტიპი და სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიმძლავრის ფუნქციით a-ის მთელი მაჩვენებლით. ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ფორმა და ფუნქციების თვისებები დამოკიდებულია ლუწი ან კენტი მაჩვენებელზე, ასევე მის ნიშანზე. მაშასადამე, ჩვენ ჯერ განვიხილავთ სიმძლავრის ფუნქციებს a კენტი დადებითი მნიშვნელობებისთვის, შემდეგ ლუწი პოზიტიურებისთვის, შემდეგ კენტი უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის და ბოლოს, ლუწი a უარყოფითისთვის.

წილადი და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები (ასევე ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი) დამოკიდებულია a მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. განვიხილავთ მათ, ჯერ ერთი, როცა a არის ნულიდან ერთამდე, მეორეც, როცა a მეტია ერთზე, მესამედ, როცა a არის მინუს ერთიდან ნულამდე და მეოთხე, როცა a არის მინუს ერთზე ნაკლები.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულს, სისრულისთვის, ჩვენ აღვწერთ სიმძლავრის ფუნქციას ნულოვანი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=1,3,5,… .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=1-ისთვის გვაქვს ხაზოვანი ფუნქცია y=x.

კენტი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=2,4,6,… .

მაგალითად, ავიღოთ დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. a=2-ისთვის გვაქვს კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი დადებითი მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით.

შეხედეთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექსპონენტის კენტი უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ \u003d -1, -3, -5, ....

ნახატზე ნაჩვენებია ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები, როგორც მაგალითი - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=-1-ისთვის გვაქვს უკუპროპორციულობა, რომლის გრაფიკაც არის ჰიპერბოლა.

კენტი უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

გადავიდეთ სიმძლავრის ფუნქციაზე a=-2,-4,-6,….

ნახატზე ნაჩვენებია დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით, რომლის მნიშვნელობა ნულზე მეტია და ერთზე ნაკლები.

Შენიშვნა!თუ a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი მიიჩნევს, რომ ინტერვალი არის სიმძლავრის ფუნქციის დომენი. ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავიცავთ სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს წილადი დადებითი მაჩვენებლებით. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური a მაჩვენებლით, და.

წარმოგიდგენთ დენის ფუნქციების გრაფიკებს a=11/12 (შავი ხაზი), a=5/7 (წითელი ხაზი), (ლურჯი ხაზი), a=2/5 (მწვანე ხაზი).

სიმძლავრის ფუნქცია ერთზე მეტი არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით a , და .

წარმოვადგინოთ ფორმულებით მოცემული სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზები შესაბამისად).

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი სახე ექნება.

დენის ფუნქციის თვისებები .

სიმძლავრის ფუნქცია რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მეტია მინუს ერთზე და ნაკლები ნულზე.

Შენიშვნა!თუ a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი ითვალისწინებს ინტერვალს . ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავიცავთ სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ წილადი წილადი უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს, შესაბამისად. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

გადავდივართ დენის ფუნქციაზე , სადაც .

იმისათვის, რომ კარგი წარმოდგენა გქონდეთ ძალაუფლების ფუნქციების გრაფიკების ტიპზე, ჩვენ ვაძლევთ ფუნქციების გრაფიკების მაგალითებს (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე მოსახვევები, შესაბამისად).

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები a , მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია არა მთელი რიცხვის რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მინუს ერთზე ნაკლებია.

მოდით მოვიყვანოთ სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები , ისინი გამოსახულია შესაბამისად შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზებით.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მინუს ერთზე ნაკლები არამთლიანი უარყოფითი მაჩვენებლით.

როდესაც a=0 გვაქვს ფუნქცია - ეს არის სწორი ხაზი, საიდანაც წერტილი (0; 1) გამორიცხულია (გამოხატვა 0 0 შეთანხმებული იყო, რომ არ მიენიჭოს რაიმე მნიშვნელობა).

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქცია.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი, სადაც და იღებს სხვადასხვა ფორმას a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. მოდი გავარკვიოთ.

პირველ რიგში, განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი იღებს მნიშვნელობას ნულიდან ერთამდე, ანუ .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 - ლურჯი ხაზი, a = 5/6 - წითელი ხაზი. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის ინტერვალიდან.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები ერთზე ნაკლები ფუძით.

ჩვენ მივმართავთ შემთხვევას, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია, ანუ .

ილუსტრაციისთვის წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს - ლურჯი ხაზი და წითელი ხაზი. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ერთზე მეტი, ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

ლოგარითმული ფუნქცია.

შემდეგი ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია არის ლოგარითმული ფუნქცია, სადაც, . ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ .

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი განსხვავებულ ფორმას იღებს a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 - ლურჯი ხაზისთვის, a = 5/6 - წითელი ხაზისთვის. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ აღემატება ერთს, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე ნაკლები ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

გადავიდეთ შემთხვევაზე, როდესაც ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია ().

ვაჩვენოთ ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ერთზე მეტი, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი) არის ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია. ახლა განვიხილავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს აქვთ კონცეფცია პერიოდულობა(ფუნქციის მნიშვნელობების განმეორება არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება პერიოდის მნიშვნელობით , სადაც T არის პერიოდი), შესაბამისად, ერთეული დაემატა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების სიას "ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი". ასევე, თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის ჩვენ მივუთითებთ არგუმენტის მნიშვნელობებს, რომლებზეც შესაბამისი ფუნქცია ქრება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას თანმიმდევრობით.

სინუსური ფუნქცია y = sin(x) .

დავხატოთ სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, მას „სინუსოიდი“ ეწოდება.

სინუსური ფუნქციის თვისებები y = sinx.

კოსინუს ფუნქცია y = cos(x) .

კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი (მას "კოსინუსი" ეწოდება) ასე გამოიყურება:

კოსინუსური ფუნქციის თვისებები y = cosx.

ტანგენტის ფუნქცია y = tg(x) .

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი (მას "ტანგენტოიდი" ეწოდება) ასე გამოიყურება:

ფუნქციის თვისებები tangent y = tgx.

კოტანგენსი ფუნქცია y = ctg(x) .

მოდით დავხატოთ კოტანგენტური ფუნქციის გრაფიკი (მას "კოტანგენტოიდი" ეწოდება):

კოტანგენტური ფუნქციის თვისებები y = ctgx.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (არქსინი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი) ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებია. ხშირად, პრეფიქსის „რკალის“ გამო, შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს რკალის ფუნქციებს უწოდებენ. ახლა განვიხილავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

Arcsine ფუნქცია y = arcsin(x) .

მოდით გამოვსახოთ რკალის ფუნქცია:

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• ვიგოდსკი M.Ya. დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო.
• ნოვოსელოვი ს.ი. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები.
• თუმანოვი ს.ი. ელემენტარული ალგებრა. გზამკვლევი თვითგანათლებისთვის.

იცნობთ თუ არა მახასიათებლებს y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xდა ა.შ. ყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები, ანუ ფუნქცია y=x გვ, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი. სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად არის დამოკიდებული რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის თვისებებზე და განსაკუთრებით იმ მნიშვნელობებზე, რომელთათვისაც xდა გვმისცე მნიშვნელობა x გვ. მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების ანალოგიურ განხილვაზე, რაც დამოკიდებულია მაჩვენებლის მიხედვით გვ.

ინდექსი p=2nლუწი ნატურალური რიცხვია.

ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x 2n, სად ნარის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი

თვისებები:

განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, ე.ი. სიმრავლე R;

მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;

ფუნქცია y=x 2nთუნდაც იმიტომ x 2n =(-x) 2n

ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე x<0 და იზრდება ინტერვალით x>0.

ფუნქციის გრაფიკი y=x 2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y=x 4 .

2. ინდიკატორი p=2n-1- კენტი ნატურალური რიცხვი ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x 2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;

მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;

ფუნქცია y=x 2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.

ფუნქციის გრაფიკი y=x2n-1აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y=x3.

3.ინდიკატორი p=-2n, სად n-ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x -2n =1/x 2n აქვს შემდეგი თვისებები:

მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y>0;

ფუნქცია y =1/x 2nთუნდაც იმიტომ 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

ფუნქცია იზრდება x ინტერვალზე<0 и убывающей на промежутке x>0.

y ფუნქციის გრაფიკი =1/x 2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკი =1/x 2 .

4.ინდიკატორი p=-(2n-1), სად ნ- ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x - (2n-1)აქვს შემდეგი თვისებები:

განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R, გარდა x=0;

მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R, გარდა y=0;

ფუნქცია y=x - (2n-1)უცნაურია, რადგან (- x) - (2n-1) =-x - (2n-1) ;

ფუნქცია მცირდება ინტერვალებით x<0 და x>0.

ფუნქციის გრაფიკი y=x - (2n-1)აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y=1/x 3 .

1. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (წრიული ფუნქციები, რკალის ფუნქციები) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შებრუნებული მათემატიკური ფუნქციები.

1. arcsin ფუნქცია

ფუნქციის გრაფიკი .

რკალინომრები მასეთ კუთხეს უწოდებენ x, რისთვისაც

ფუნქცია უწყვეტია და შემოსაზღვრულია მთელ მის რეალურ ხაზზე. ფუნქცია მკაცრად იზრდება.

1. [რედაქტირება] arcsin ფუნქციის თვისებები

1. [რედაქტირება] arcsin ფუნქციის მიღება

მოცემული ფუნქცია მთელი მისი დომენებიის არის ცალმხრივი მონოტონური, და აქედან გამომდინარე, საპირისპირო შესაბამისობა არ არის ფუნქცია. აქედან გამომდინარე, ჩვენ განვიხილავთ ინტერვალს, რომელზეც ის მკაცრად იზრდება და იღებს ყველა მნიშვნელობას დიაპაზონები- . ვინაიდან ინტერვალზე არსებული ფუნქციისთვის, არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ერთ მნიშვნელობას, მაშინ ამ სეგმენტზე არსებობს შებრუნებული ფუნქცია რომლის გრაფიკი სიმეტრიულია სეგმენტზე ფუნქციის გრაფიკის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ

ლექცია: სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით, მისი გრაფიკი

ჩვენ მუდმივად გვაქვს საქმე ფუნქციებთან, რომლებშიც არგუმენტს აქვს გარკვეული ძალა:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 და ა.შ.

დენის ფუნქციების გრაფიკები

ასე რომ, ახლა განვიხილავთ დენის ფუნქციის რამდენიმე შესაძლო შემთხვევას.

1) y = x 2 ნ .

ეს ნიშნავს, რომ ახლა განვიხილავთ ფუნქციებს, რომლებშიც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია.

მახასიათებელი თვისება:

1. ყველა რეალური რიცხვი მიიღება დიაპაზონად.

2. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ყველა დადებითი მნიშვნელობა და რიცხვი ნული.

3. ფუნქცია კი იმიტომ არის, რომ ის არ არის დამოკიდებული არგუმენტის ნიშანზე, არამედ მხოლოდ მის მოდულზე.

4. დადებითი არგუმენტისთვის ფუნქცია იზრდება, ხოლო უარყოფითი არგუმენტისთვის ის მცირდება.

ამ ფუნქციების გრაფიკები პარაბოლას წააგავს. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულია y \u003d x 4 ფუნქციის გრაფიკი.

2) ფუნქციას აქვს უცნაური მაჩვენებელი: y \u003d x 2 n +1.

1. ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.

2. ფუნქციის დიაპაზონი - შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი რეალური რიცხვის ფორმა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მონოტონურად იზრდება ფუნქციის განხილვის მთელი ინტერვალით.

5. ყველა სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი კენტი მაჩვენებლით იდენტურია ფუნქციის y \u003d x 3.

3) ფუნქციას აქვს თუნდაც უარყოფითი ბუნებრივი მაჩვენებელი: y \u003d x -2 n.

ჩვენ ყველამ ვიცით, რომ უარყოფითი მაჩვენებელი საშუალებას გაძლევთ ჩააგდოთ მაჩვენებლის მნიშვნელში და შეცვალოთ მაჩვენებლის ნიშანი, ანუ მიიღებთ ფორმას y \u003d 1 / x 2 n.

1. ამ ფუნქციის არგუმენტმა შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა, რადგან ცვლადი არის მნიშვნელში.

2. ვინაიდან მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, ფუნქციას არ შეუძლია უარყოფითი მნიშვნელობების მიღება. და რადგან არგუმენტი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მაშინ ასევე უნდა გამოირიცხოს ნულის ტოლი ფუნქციის მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციას შეუძლია მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება.

3. ეს ფუნქცია თანაბარია.

4. თუ არგუმენტი უარყოფითია, ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, ხოლო თუ დადებითია, მცირდება.

y \u003d x -2 ფუნქციის გრაფიკის ხედი:

4) ფუნქცია უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით y \u003d x - (2 n + 1) .

1. ეს ფუნქცია არსებობს არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა ნულის რიცხვისა.

2. ფუნქცია იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას, გარდა ნულის რიცხვისა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მცირდება ორ განხილულ ინტერვალზე.

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკის მაგალითი უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით, მაგალითის გამოყენებით y \u003d x -3.

სიმძლავრის ფუნქციის y = x p დომენზე მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:
; ;
;
; ;
; ;
; .

სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები და მათი გრაფიკები

სიმძლავრის ფუნქცია ნულის ტოლი მაჩვენებლით, p = 0

თუ სიმძლავრის ფუნქციის y = x p ტოლია ნულის, p = 0 , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x ≠ 0-ისთვის და მუდმივია, უდრის ერთი:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით, p = n = 1, 3, 5, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც: n = 2k + 1, სადაც k = 0, 1, 2, 3, ... არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულია ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ზე,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 1-ისთვის ფუნქცია შებრუნებულია თავის მიმართ: x = y
n ≠ 1-ისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის n ხარისხის ფესვი:

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით, p = n = 2, 4, 6, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს: n = 2k, სადაც k = 1, 2, 3, ... ნატურალური რიცხვია. ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები მოცემულია ქვემოთ.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x ≤ 0-ისთვის მონოტონურად მცირდება
x ≥ 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური, x=0, y=0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 2-ისთვის, კვადრატული ფესვი:
n ≠ 2-ისთვის, n ხარისხის ფესვი:

დენის ფუნქცია მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით, p = n = -1, -2, -3, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... . თუ დავსვამთ n = -k, სადაც k = 1, 2, 3, ... არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კენტი მაჩვენებლები, n = -1, -3, -5, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -1, -3, -5, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -1-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

ლუწი მაჩვენებელი, n = -2, -4, -6, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -2, -4, -6, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -2-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური (ფრაქციული) მაჩვენებლით

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით, სადაც n არის მთელი რიცხვი, m > 1 არის ნატურალური რიცხვი. უფრო მეტიც, n, m-ს არ აქვთ საერთო გამყოფები.

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი კენტია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი კენტი იყოს: m = 3, 5, 7, ... . ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქცია x p განისაზღვრება როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი x მნიშვნელობებისთვის. განვიხილოთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი p არის გარკვეულ საზღვრებში.

p არის უარყოფითი, p< 0

რაციონალური მაჩვენებელი (კენტი მნიშვნელით m = 3, 5, 7, ... ) იყოს ნულზე ნაკლები: .

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... უცნაურია.

კენტი მრიცხველი, n = -1, -3, -5, ...

აქ მოცემულია y = x p დენის ფუნქციის თვისებები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -1, -3, -5, ... არის კენტი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... არის კენტი ბუნებრივი რიცხვი.

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = -2, -4, -6, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -2, -4, -6, ... არის ლუწი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია. .

დომენი: x ≠ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

p-მნიშვნელობა დადებითია, ერთზე ნაკლები, 0< p < 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

კენტი მრიცხველი, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < +∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вниз
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 2, 4, 6, ...

წარმოდგენილია სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური მაჩვენებლით 0-ის ფარგლებში.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< +∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно убывает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მზარდი
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ზემოთ x ≠ 0-ზე
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი: x ≠ 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

მაჩვენებელი p არის ერთზე მეტი, p > 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (p > 1) მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... კენტია.

კენტი მრიცხველი, n = 5, 7, 9, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 5, 7, 9, ... არის კენტი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 4, 6, 8, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 4, 6, 8, ... არის ლუწი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 монотонно убывает
x > 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი ლუწია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი იყოს ლუწი: m = 2, 4, 6, ... . ამ შემთხვევაში, ძალაუფლების ფუნქცია x p არ არის განსაზღვრული არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მისი თვისებები ემთხვევა ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე დენის ფუნქციის თვისებებს (იხილეთ შემდეგი ნაწილი).

დენის ფუნქცია ირაციონალური მაჩვენებლით

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p ირაციონალური მაჩვენებლით p. ასეთი ფუნქციების თვისებები განსხვავდება ზემოთ განხილულისგან იმით, რომ ისინი არ არის განსაზღვრული x არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, თვისებები დამოკიდებულია მხოლოდ p მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე და არ არის დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა p მთელი რიცხვი, რაციონალური ან ირაციონალური.

დენის ფუნქცია უარყოფითი პ< 0

დომენი: x > 0
მრავალი მნიშვნელობა: y > 0
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
ლიმიტები: ;
პირადი ღირებულება: x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

სიმძლავრის ფუნქცია დადებითი მაჩვენებლით p > 0

მაჩვენებელი ერთ 0-ზე ნაკლებია< p < 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

ინდიკატორი ერთზე მეტია p > 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.