Lim x 3 x-ке ұмтылады. Шектеулер

Элементар функциялар және олардың графиктері.

Негізгі элементар функциялар: дәреже функциясы, көрсеткіштік функция, логарифмдік функция, тригонометриялық функциялар және кері тригонометриялық функциялар, сонымен қатар көпмүше және екі көпмүшенің қатынасы болып табылатын рационал функция.

Элементар функцияларға негізгі төрт арифметикалық амалды қолдану және күрделі функция құру арқылы қарапайым функциялардан алынатын функциялар да жатады.

Элементар функциялардың графиктері

	Түзу сызық- сызықтық функцияның графигі у = балта + b. y функциясы a > 0 кезінде монотонды түрде артады және а кезінде азаяды< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола- квадрат үшмүшелі функцияның графигі y = ax 2 + bx + c. Оның тік симметрия осі бар. Егер a > 0 болса, минимумы бар, егер а< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Гипербола- функцияның графигі. a > O болған кезде ол I және III кварталдарда орналасқан, қашан а< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) немесе y - - x(a< 0).
	Көрсеткіштік функция. Көрмеге қатысушы(e негізіне көрсеткіштік функция) y = e x. (Басқа емле y = Exp(x)). Асимптот – абсцисса осі.
	Логарифмдік функция у = log a x(a > 0)
	y = sinx. Синус толқыны- периоды T = 2π болатын периодтық функция

Функция шегі.

y=f(x) функциясының шегі ретінде А саны бар, өйткені x a-ға ұмтылады, егер кез келген ε › 0 саны үшін δ › 0 саны болса, онда | у – А | ‹ ε егер |x - a| ‹ δ,

немесе lim y = A

Функцияның үздіксіздігі.

y=f(x) функциясы x = a нүктесінде үздіксіз болады, егер lim f(x) = f(a), яғни.

функцияның х = а нүктесіндегі шегі функцияның берілген нүктедегі мәніне тең.

Функциялардың шектерін табу.

Функциялардың шектері туралы негізгі теоремалар.

1. Тұрақты шаманың шегі осы тұрақты шамаға тең:

2. Алгебралық қосындының шегі осы функциялардың шектерінің алгебралық қосындысына тең:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Бірнеше функциялардың көбейтіндісінің шегі осы функциялардың шектерінің көбейтіндісіне тең:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Екі функцияның бөлгішінің шегі осы функциялардың шектерінің бөліміне тең, егер бөлгіштің шегі 0-ге тең болмаса:

lim------ = ----------

Бірінші тамаша шек: lim --------- = 1

Екінші керемет шек: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Функциялардың шектерін табуға мысалдар.

5.1. Мысалы:

Кез келген шектеу үш бөліктен тұрады:

1) Белгілі шектеу белгішесі.

2) Шектеу белгішесінің астындағы жазбалар. Жазбада «X бірге ұмтылады» деп жазылған. Көбінесе бұл х, бірақ «x» орнына кез келген басқа айнымалы болуы мүмкін. Біреуінің орнына абсолютті кез келген сан болуы мүмкін, сонымен қатар шексіздік 0 немесе .

3) Шектеу белгісінің астындағы функциялар, бұл жағдайда .

Жазбаның өзі былай оқылады: «х сияқты функцияның шегі бірлікке ұмтылады».

Өте маңызды сұрақ - «x» өрнегі нені білдіреді? ұмтыладыбіреуіне»? «х» өрнегі ұмтыладыбірге» дегенді былай түсіну керек: «x» мәндерді дәйекті түрде қабылдайды біртұтастық оған шексіз жақын және іс жүзінде сәйкес келеді.

Жоғарыдағы мысалды қалай шешуге болады? Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, шектеу белгісінің астындағы функцияға біреуін ауыстыру керек:

Сонымен, бірінші ереже : Шектеу берілгенде, алдымен санды функцияға қосасыз.

5.2. Шексіздігі бар мысал:

Оның не екенін анықтайық? Бұл шектеусіз өсетін жағдай.

Сонымен: егер , содан кейін функция минус шексіздікке ұмтылады:

Бірінші ережемізге сәйкес функцияда «X» орнына біз ауыстырамыз шексіздік және біз жауапты аламыз.

5.3. Шексіздігі бар тағы бір мысал:

Біз қайтадан шексіздікке дейін ұлғая бастаймыз және функцияның әрекетін қарастырамыз.
Қорытынды: функция шексіз артады

5.4. Мысалдар қатары:

Төмендегі мысалдарды өзіңіз ойша талдап көріңіз және лимиттердің қарапайым түрлерін шешіңіз:

, , , , , , , , ,

Жоғарыда айтылғандардан нені есте сақтау және түсіну керек?

Кез келген шектеу берілгенде, алдымен санды функцияға қосыңыз. Сонымен қатар, сіз сияқты қарапайым шектеулерді түсініп, дереу шешуіңіз керек , , және т.б.

6. Түрінің белгісіздігі бар шектеулер және оларды шешу әдісі.

Енді , ал функциясы алымы мен бөлгішінде көпмүшелер бар бөлшек болғанда шектер тобын қарастырамыз.

6.1. Мысалы:

Шектеуді есептеңіз

Біздің ережеге сәйкес, функцияға шексіздікті ауыстыруға тырысамыз. Жоғарғы жағында не аламыз? Шексіздік. Ал төменде не болады? Сондай-ақ шексіздік. Осылайша, бізде түрлердің белгісіздігі деп аталатын нәрсе бар. Біреу = 1 деп ойлауы мүмкін және жауап дайын, бірақ жалпы жағдайда бұл мүлде олай емес және сіз қазір қарастыратын кейбір шешім техникасын қолдануыңыз керек.

Осы түрдегі шектеулерді қалай шешуге болады?

Алдымен алымға қарап, ең үлкен қуатты табамыз:

Алымдағы жетекші дәреже - екі.

Енді бөлгішке қарап, оны ең жоғары дәрежеге дейін табамыз:

Бөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі - екі.

Содан кейін алым мен бөлгіштің ең жоғары дәрежесін таңдаймыз: бұл мысалда олар бірдей және екіге тең.

Сонымен, шешім әдісі келесідей: белгісіздікті ашу алым мен бөлгішті бөлу керек жоғары дәрежеде.

Осылайша, жауап 1 емес.

Мысал

Шекті табыңыз

Тағы да алым мен бөлгіште біз ең жоғары дәрежеде табамыз:

Сандағы ең жоғары дәреже: 3

Бөлгіштегі ең жоғары дәреже: 4

Таңдау ең үлкенмән, бұл жағдайда төрт.
Алгоритмімізге сәйкес белгісіздікті ашу үшін алым мен бөлгішті -ге бөлеміз.

Мысал

Шекті табыңыз

Алымдағы «Х» белгісінің максималды дәрежесі: 2

Бөлгіштегі «Х»-ның максималды дәрежесі: 1 (түрде жазуға болады)
Белгісіздікті ашу үшін алым мен бөлгішті -ге бөлу керек. Соңғы шешім келесідей болуы мүмкін:

Алым мен азайтқышты бөлу

Шектеуді қалай табуға болатынын білгісі келетіндер үшін осы мақалада біз бұл туралы айтып береміз. Біз теорияға тереңірек үңілмейміз, әдетте мұғалімдер оны дәрістерде береді. Сондықтан дәптерлеріңізге «қызықты теорияны» жазып алу керек. Егер олай болмаса, оқу орнының кітапханасынан немесе басқа интернет ресурстарынан алынған оқулықтарды оқуға болады.

Сонымен, шек ұғымы жоғары математиканы зерттеуде өте маңызды, әсіресе сіз интегралдық есептеулермен кездесіп, шек пен интеграл арасындағы байланысты түсінгенде. Ағымдағы материалда қарапайым мысалдар, сонымен қатар оларды шешу жолдары қарастырылады.

Шешімдердің мысалдары

Пішіннің белгісіздігімен не істеу керек: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Соңғы екі мысалдағы шекті шексіздікке дейін итерейік және белгісіздікті қарастырайық: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Лимиттерді есептеу алгоритмі

Сонымен, мысалдарды қысқаша қорытындылап, шектеулерді шешу алгоритмін құрайық:

1. Шектеу белгісінен кейінгі өрнектің орнына х нүктесін қойыңыз. Егер белгілі бір сан немесе шексіздік алынса, онда шек толығымен шешілді. Әйтпесе, бізде белгісіздік бар: «нөлге бөлінген нөл» немесе «шексіздікке бөлінген шексіздік» және нұсқаулардың келесі қадамдарына өтіңіз.
2. «Нөлдің нөлге бөлінуі» белгісіздігін жою үшін алым мен бөлгішті көбейту керек. Ұқсастарды азайтыңыз. Шектеу белгісінің астындағы өрнектің орнына х нүктесін қойыңыз.
3. Егер белгісіздік «шексіздікке бөлінген шексіздік» болса, онда біз алымды да, х бөлгішті де ең үлкен дәрежеге дейін шығарамыз. Біз X әрпін қысқартамыз. Қалған өрнекке шектің астындағы х мәндерін ауыстырамыз.

Бұл мақалада сіз Есеп курсында жиі қолданылатын шектерді шешу негіздерін білдіңіз. Әрине, бұл емтихан алушылар ұсынатын есептердің барлық түрлері емес, тек қарапайым шектеулер. Тапсырмалардың басқа түрлері туралы алдағы мақалаларда айтатын боламыз, бірақ алға жылжу үшін алдымен осы сабақты үйрену керек. Түбірлер, дәрежелер болса, не істеу керектігін талқылайық, шексіз аз эквивалентті функцияларды, тамаша шектерді, L'Hopital ережесін зерттейік.

Егер сіз шектеулерді өзіңіз анықтай алмасаңыз, үрейленбеңіз. Біз әрқашан көмектесуге қуаныштымыз!

Функция y = f (x)— Х жиынының әрбір х элементі У жиынының бір және бір ғана у элементімен байланысатын заң (ереже).

x элементі ∈ Xшақырды функция аргументінемесе тәуелсіз айнымалы.
Y элементі ∈ Yшақырды функция мәнінемесе тәуелді айнымалы.

X жиыны деп аталады функцияның облысы.
Элементтердің жиыны y ∈ Y X жиынында алдын ала бейнелері бар , деп аталады аумақ немесе функция мәндерінің жиыны.

Нақты функция шақырылады жоғарыдан шектелген (төменнен), теңсіздік барлығы үшін орындалатындай M саны болса:
.
Сандық функция шақырылады шектелген, егер барлығы үшін М саны болса:
.

Жоғарғы жиегінемесе дәл жоғарғы шегіНақты функция оның мәндер ауқымын жоғарыдан шектейтін ең кіші сан деп аталады. Яғни, бұл әркім үшін және кез келген адам үшін функция мәні s′ мәнінен асатын аргумент бар s саны: .
Функцияның жоғарғы шегін келесідей белгілеуге болады:
.

Сәйкесінше төменгі жиегінемесе дәл төменгі шегіНақты функция оның мәндер ауқымын төменнен шектейтін ең үлкен сан деп аталады. Яғни, бұл әркім үшін және кез келген адам үшін функция мәні i′-ден кіші аргумент бар i саны: .
Функцияның инфимумын былай белгілеуге болады:
.

Функцияның шегін анықтау

Коши бойынша функцияның шегін анықтау

Соңғы нүктелердегі функцияның шекті шектері

Функция нүктенің өзін қоспағанда, соңғы нүктенің кейбір маңайында анықталсын. нүктесінде, егер кез келген үшін теңсіздік орындалатын барлық x үшін -ге байланысты болатын нәрсе бар.
.
Функцияның шегі келесі түрде белгіленеді:
.
Немесе сағат.

Болмыстың және әмбебаптың логикалық таңбаларын пайдалана отырып, функцияның шегін анықтауды былай жазуға болады:
.

Бір жақты шектеулер.
Нүктедегі сол жақ шегі (сол жақ шегі):
.
Нүктедегі оң жақ шегі (оң жақ шегі):
.
Сол және оң жақ шегі жиі келесідей белгіленеді:
; .

Функцияның шексіздік нүктелеріндегі шекті шектері

Шексіздіктегі нүктелердегі шектер дәл осылай анықталады.
.
.
.
Олар жиі аталады:
; ; .

Нүктенің көршілестігі ұғымын қолдану

Егер нүктенің тесілген маңайы түсінігін енгізетін болсақ, онда функцияның шекті және шексіз алыс нүктелердегі соңғы шегінің бірыңғай анықтамасын беруге болады:
.
Мұнда соңғы нүктелер үшін
; ;
.
Шексіздіктегі нүктелердің кез келген маңы тесілген:
; ; .

Функцияның шексіз шектері

Анықтама
Функция нүктенің кейбір тесілген маңайында анықталсын (ақырлы немесе шексіздікте). Функция шегі f (x) x → x ретінде 0 шексіздікке тең, егер кез келген ерікті үлкен сан үшін М > 0 , δ M саны бар > 0 , М-ге байланысты, тесілген δ M - нүктенің маңайына жататын барлық х үшін: , келесі теңсіздік орындалады:
.
Шексіз шек келесідей белгіленеді:
.
Немесе сағат.

Болмыстың және әмбебаптың логикалық белгілерін пайдалана отырып, функцияның шексіз шегінің анықтамасын былай жазуға болады:
.

Сондай-ақ және тең белгілі бір белгілердің шексіз шектерінің анықтамаларын енгізуге болады:
.
.

Функция шегінің әмбебап анықтамасы

Нүктенің көршілестігі ұғымын пайдалана отырып, функцияның ақырлы және шексіз шегінің әмбебап анықтамасын бере аламыз, ол ақырлы (екі жақты және бір жақты) және шексіз алыс нүктелер үшін де қолданылады:
.

Гейне бойынша функцияның шегін анықтау

Функция кейбір X: жиынында анықталсын.
a саны функцияның шегі деп аталадынүктесінде:
,
х-ке жинақталатын кез келген реттілік үшін 0 :
,
элементтері Х жиынына жататындар: ,
.

Бұл анықтаманы болмыстың және әмбебаптың логикалық белгілерін пайдаланып жазайық:
.

Егер х нүктесінің сол жақ төңірегін Х жиыны ретінде алсақ 0 , содан кейін сол жақ шегінің анықтамасын аламыз. Егер ол оң қол болса, онда біз дұрыс шектің анықтамасын аламыз. Егер Х жиыны ретінде шексіздіктегі нүктенің маңайын алсақ, функцияның шексіздік шегінің анықтамасын аламыз.

Теорема
Функция шегінің Коши мен Гейне анықтамалары эквивалентті.
Дәлелдеу

Функция шегінің қасиеттері мен теоремасы

Әрі қарай қарастырылатын функциялар нүктенің сәйкес маңайында анықталған деп есептейміз, ол ақырлы сан немесе символдардың бірі: . Ол сондай-ақ бір жақты шекті нүкте болуы мүмкін, яғни пішіні немесе. Көршілес екі жақты шек үшін екі жақты және бір жақты шектеу үшін бір жақты.

Негізгі қасиеттер

Егер f функциясының мәндері болса (x) x нүктелерінің соңғы санын өзгерту (немесе анықталмаған ету). 1, x 2, x 3, ... x n, онда бұл өзгеріс ерікті x нүктесіндегі функция шегінің бар болуы мен мәніне әсер етпейді. 0 .

Егер шекті шек болса, онда х нүктесінің тесілген маңайы бар 0 , онда f функциясы (x)шектеулі:
.

Функция х нүктесінде болсын 0 нөлдік емес шекті шек:
.
Сонда , аралықтағы кез келген c саны үшін х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0 , не үшін ,
, Егер;
, Егер .

Егер нүктенің кейбір тесілген маңайында , тұрақты болса, онда .

Егер х нүктесінің кейбір тесілген маңайында шекті шектеулер болса 0
,
Бұл.

Егер , және нүктенің кейбір төңірегінде
,
Бұл.
Атап айтқанда, егер нүктенің кейбір төңірегінде болса
,
онда егер , онда және ;
егер , онда және .

Егер х нүктесінің кейбір тесілген төңірегінде болса 0 :
,
және шекті (немесе белгілі бір белгінің шексіз) тең шектері бар:
, Бұл
.

Негізгі қасиеттердің дәлелдері бетте берілген
«Функция шектерінің негізгі қасиеттері».

Функция шегінің арифметикалық қасиеттері

Функциялар және нүктенің кейбір тесілген маңайында анықталсын. Және шекті шектеулер болсын:
Және .
Ал С тұрақты, яғни берілген сан болсын. Содан кейін
;
;
;
, Егер .

Егер, онда.

Арифметикалық қасиеттердің дәлелдері бетте берілген
«Функция шектерінің арифметикалық қасиеттері».

Функция шегінің болуының Коши критерийі

Теорема
Ақырлы немесе шексіздік х нүктесінің кейбір тесілген төңірегінде анықталған функция үшін 0 , осы нүктеде шекті шегі болды, бұл кез келген ε үшін қажет және жеткілікті > 0 х нүктесінің осындай тесілген маңайы болды 0 , кез келген нүктелер үшін және осы маңайдан келесі теңсіздік орындалады:
.

Күрделі функцияның шегі

Күрделі функцияның шегі туралы теорема
Функцияның шегі болсын және нүктенің тесілген төңірегін нүктенің тесілген маңайымен салыстырыңыз. Функция осы маңайда анықталсын және оған шектеу қойылсын.
Міне, соңғы немесе шексіз алыс нүктелер: . Көршiлiктер және олардың сәйкес шектерi екi жақты немесе бiр жақты болуы мүмкiн.
Сонда күрделі функцияның шегі бар және ол мынаған тең:
.

Күрделі функцияның шектік теоремасы функция нүктеде анықталмаған немесе шегінен басқа мәнге ие болған кезде қолданылады. Бұл теореманы қолдану үшін функция мәндерінің жиынында нүкте жоқ нүктенің тесілген төңірегі болуы керек:
.

Егер функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда шекті белгіні үздіксіз функцияның аргументіне қолдануға болады:
.
Төменде осы жағдайға сәйкес теорема берілген.

Функцияның үздіксіз функциясының шегі туралы теорема
g функциясының шегі болсын (t) t → t ретінде 0 , және ол х-ке тең 0 :
.
Мұнда t нүктесі 0 ақырлы немесе шексіз қашықтықта болуы мүмкін: .
Және f функциясы болсын (x)х нүктесінде үздіксіз болады 0 .
Сонда f комплексті функциясының шегі болады (g(t)), және ол f-ке тең (x0):
.

Теоремалардың дәлелдері бетте берілген
«Күрделі функцияның шегі және үзіліссіздігі».

Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар

Шексіз аз функциялар

Анықтама
Функция шексіз аз деп аталады, егер
.

Қосынды, айырма және өнімшексіз аз функциялардың ақырлы санының нүктесі - нүктесінде шексіз аз функция.

Шектелген функцияның туындысынүктенің кейбір тесілген төңірегінде, шексіз азға at - нүктедегі шексіз аз функция.

Функцияның шекті шегі болуы үшін бұл қажет және жеткілікті
,
мұндағы шексіз аз функция.

«Шексіз аз функциялардың қасиеттері».

Шексіз үлкен функциялар

Анықтама
Функция шексіз үлкен деп аталады, егер
.

Нүктенің кейбір тесілген төңірегінде шектелген функцияның қосындысы немесе айырмасы және нүктесіндегі шексіз үлкен функция нүктесінде шексіз үлкен функция болады.

Егер функция үшін шексіз үлкен болса және функция нүктенің кейбір тесілген төңірегінде шектелген болса, онда
.

Егер нүктенің кейбір тесілген маңайындағы функциясы теңсіздікті қанағаттандырса:
,
және функция шексіз аз болады:
, және (нүктенің кейбір тесілген төңірегінде), содан кейін
.

Қасиеттердің дәлелдері бөлімде берілген
«Шексіз үлкен функциялардың қасиеттері».

Шексіз үлкен және шексіз аз функциялар арасындағы байланыс

Алдыңғы екі қасиеттен шексіз үлкен және шексіз аз функциялар арасындағы байланыс шығады.

Егер функция -де шексіз үлкен болса, онда функция -де шексіз аз болады.

Егер функция , және үшін шексіз аз болса, онда функция үшін шексіз үлкен болады.

Шексіз аз және шексіз үлкен функция арасындағы байланысты символдық түрде көрсетуге болады:
, .

Егер шексіз аз функцияның белгілі бір таңбасы болса, яғни нүктенің кейбір тесілген маңайында оң (немесе теріс) болса, онда бұл фактіні келесі түрде көрсетуге болады:
.
Сол сияқты, шексіз үлкен функцияның белгілі бір белгісі болса, онда олар былай жазады:
.

Сонда шексіз кіші және шексіз үлкен функциялар арасындағы символдық байланысты келесі қатынастармен толықтыруға болады:
, ,
, .

Шексіздік белгілеріне қатысты қосымша формулаларды бетте табуға болады
«Шексіздік нүктелері және олардың қасиеттері».

Монотонды функциялардың шектері

Анықтама
X нақты сандар жиынында анықталған функция деп аталады қатаң ұлғайту, егер барлығы үшін келесі теңсіздік орындалса:
.
Сәйкесінше, үшін қатаң төмендейдіфункциясы үшін келесі теңсіздік орындалады:
.
Үшін төмендемейтін:
.
Үшін өспейтін:
.

Бұдан қатаң өсетін функцияның да кемімейтіні шығады. Қатаң төмендейтін функция да өспейді.

Функция шақырылады монотонды, егер ол төмендемейтін немесе өспейтін болса.

Теорема
Функция аралықта кемімейтін болсын.
Егер ол жоғарыда М санымен шектелсе: онда шекті шек бар. Жоғарыдан шектелмесе, онда .
Егер ол төменнен m санымен шектелсе: онда шекті шек бар. Егер төменнен шектелмесе, онда .

Егер a және b нүктелері шексіздікте болса, онда өрнектерде шектік белгілер мынаны білдіреді.
Бұл теореманы неғұрлым ықшам тұжырымдауға болады.

Функция аралықта кемімейтін болсын. Сонда a және b нүктелерінде бір жақты шектеулер бар:
;
.

Ұқсас теорема өспейтін функция үшін.

Функция аралықта өспесін. Сонда бір жақты шектеулер бар:
;
.

Теореманың дәлелі бетте берілген
«Монотонды функциялардың шектері».

Қолданылған әдебиет:
Л.Д. Кудрявцев. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 2003 ж.
СМ. Никольский. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 1983 ж.

Тізбектер мен функциялардың шектері туралы түсініктер. Тізбектің шегін табу қажет болғанда, ол былай жазылады: lim xn=a. Мұндай тізбектер тізбегінде xn a-ға, ал n шексіздікке ұмтылады. Тізбек әдетте қатар ретінде көрсетіледі, мысалы:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Тізбектер өсу және кему болып бөлінеді. Мысалы:
xn=n^2 – өсу реті
yn=1/n - реттілік
Мысалы, xn=1/n^ реттілігінің шегі:
lim 1/n^2=0

x→∞
Бұл шек нөлге тең, өйткені n→∞, ал 1/n^2 тізбегі нөлге ұмтылады.

Әдетте, х айнымалы шамасы ақырлы а шегіне ұмтылады, ал х үнемі а-ға жақындайды, ал а шамасы тұрақты болады. Бұл келесідей жазылады: limx =a, ал n да нөлге немесе шексіздікке ұмтылуы мүмкін. Шексіз функциялар бар, олар үшін шегі шексіздікке ұмтылады. Басқа жағдайларда, мысалы, функция пойызды баяулатқанда, шекті нөлге теңестіруге болады.
Лимиттердің бірқатар қасиеттері бар. Әдетте кез келген функцияның бір ғана шегі болады. Бұл лимиттің негізгі қасиеті. Басқалары төменде берілген:
* Сома шегі лимиттердің сомасына тең:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Өнім шегі шектердің көбейтіндісіне тең:
lim(xy)=lim x*lim y
* Бөлімнің шегі шектердің бөліміне тең:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тұрақты коэффициент шектік белгіден тыс алынады:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ болатын 1 /x функциясы берілген болса, оның шегі нөлге тең. Егер x→0 болса, мұндай функцияның шегі ∞ болады.
Тригонометриялық функциялар үшін осы ережелердің кейбірі бар. sin x функциясы нөлге жақындаған кезде әрқашан бірлікке ұмтылатындықтан, сәйкестік ол үшін орындалады:
lim sin x/x=1

Бірқатар функцияларда шектеулерді есептеу кезінде белгісіздік туындайтын функциялар бар - шекті есептеу мүмкін емес жағдай. Бұл жағдайдан шығудың жалғыз жолы - L'Hopital. Белгісіздіктің екі түрі бар:
* 0/0 түрінің белгісіздігі
* ∞/∞ түрінің белгісіздігі
Мысалы, келесі түрдің шегі берілген: lim f(x)/l(x) және f(x0)=l(x0)=0. Бұл жағдайда 0/0 түрінің белгісіздігі туындайды. Мұндай есепті шешу үшін екі функция да дифференцияланады, содан кейін нәтиженің шегі табылады. 0/0 түріндегі белгісіздік үшін шек:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 кезінде)
Дәл осы ереже ∞/∞ түріндегі белгісіздіктерге де қатысты. Бірақ бұл жағдайда келесі теңдік ақиқат болады: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital ережесін қолдана отырып, сіз белгісіздіктер пайда болатын кез келген шектеулердің мәндерін таба аласыз. үшін алғы шарт

көлем – туындыларды табу кезінде қателер жоқ. Сонымен, мысалы, (x^2)" функциясының туындысы 2x-ке тең. Осы жерден мынадай қорытынды жасауға болады:
f"(x)=nx^(n-1)

Шектер теориясы – математикалық талдаудың бір саласы. Лимиттерді шешу мәселесі өте кең, өйткені әртүрлі типтегі шектеулерді шешудің ондаған әдістері бар. Осы немесе басқа шектеулерді шешуге мүмкіндік беретін ондаған нюанстар мен трюктар бар. Дегенмен, біз әлі де тәжірибеде жиі кездесетін шектеулердің негізгі түрлерін түсінуге тырысамыз.

Шектеу ұғымының өзінен бастайық. Бірақ алдымен қысқаша тарихи дерек. 19 ғасырда математикалық талдаудың негізін қалаған және қатаң анықтамалар берген француз Огюстен Луи Коши өмір сүрген, әсіресе шектің анықтамасы. Айта кету керек, дәл осы Коши барлық физика мен математика студенттерінің қорқынышында болды, бар және болады, өйткені ол математикалық талдаудың орасан көп теоремаларын дәлелдеді және әрбір теорема екіншісіне қарағанда жиіркенішті. Осыған байланысты біз шектеудің қатаң анықтамасын қарастырмаймыз, бірақ екі нәрсені жасауға тырысамыз:

1. Шектеудің не екенін түсініңіз.
2. Лимиттердің негізгі түрлерін шешуге үйрету.

Кейбір ғылыми емес түсініктемелер үшін кешірім сұраймын, материалдың тіпті шәйнекке де түсінікті болуы маңызды, бұл шын мәнінде жобаның міндеті.

Сонымен, шектеу қандай?

Неліктен тырнақтай әжеге мысал....

Кез келген шектеу үш бөліктен тұрады:

1) Белгілі шектеу белгішесі.
2) Шектеу белгішесінің астындағы жазбалар, бұл жағдайда . Жазбада «X бірге ұмтылады» деп жазылған. Көбінесе - дәл, бірақ іс жүзінде «X» орнына басқа айнымалылар бар. Практикалық тапсырмаларда біреудің орны абсолютті кез келген сан, сонымен қатар шексіздік () болуы мүмкін.
3) Шектеу белгісінің астындағы функциялар, бұл жағдайда .

Жазбаның өзі былай оқылады: «х сияқты функцияның шегі бірлікке ұмтылады».

Келесі маңызды сұрақты қарастырайық - «x» өрнегі нені білдіреді? ұмтыладыбіреуіне»? Ал «талпыну» нені білдіреді?
Шек ұғымы, былайша айтқанда, ұғым. динамикалық. Тізімді құрастырайық: алдымен , содан кейін , , …, , ….
Яғни, «х ұмтыладыбірге» дегенді былай түсіну керек: «x» мәндерді дәйекті түрде қабылдайды біртұтастық оған шексіз жақын және іс жүзінде сәйкес келеді.

Жоғарыдағы мысалды қалай шешуге болады? Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, шектеу белгісінің астындағы функцияға біреуін ауыстыру керек:

Сонымен, бірінші ереже: Кез келген шектеу берілгенде, алдымен санды функцияға қосуға тырысамыз.

Біз ең қарапайым шекті қарастырдық, бірақ олар іс жүзінде де кездеседі және сирек емес!

Шексіздігі бар мысал:

Оның не екенін анықтайық? Бұл шексіз өсетін жағдай, яғни: алдымен, содан кейін, содан кейін және т.б. ad infinitum.

Бұл уақытта функциямен не болады?
, , , …

Сонымен: егер болса, онда функция минус шексіздікке ұмтылады:

Шамамен айтқанда, бірінші ережемізге сәйкес, «X» орнына біз функцияға шексіздікті қойып, жауап аламыз.

Шексіздігі бар тағы бір мысал:

Біз қайтадан шексіздікке дейін ұлғая бастаймыз және функцияның әрекетін қарастырамыз:

Қорытынды: функция шектеусіз өскенде:

Және басқа мысалдар сериясы:

Төмендегілерді ойша талдауға тырысыңыз және шектеулердің қарапайым түрлерін есте сақтаңыз:

, , , , , , , , ,
Кез келген жерде күмәніңіз болса, калькуляторды алып, аздап жаттығуға болады.
Олай болса , , , тізбегін құрастырып көріңіз . Егер , онда , , .

Ескерту: қатаң түрде айтқанда, бірнеше саннан тұратын тізбектерді құрудың бұл тәсілі дұрыс емес, бірақ қарапайым мысалдарды түсіну үшін бұл өте қолайлы.

Сондай-ақ келесі нәрсеге назар аударыңыз. Шектеу жоғарғы жағында үлкен санмен немесе тіпті миллионмен берілсе де: , онда бәрі бірдей , өйткені ерте ме, кеш пе «X» соншалықты үлкен құндылықтарды қабылдайды, олармен салыстырғанда миллион нағыз микроб болады.

Жоғарыда айтылғандардан нені есте сақтау және түсіну керек?

1) Кез келген шектеу берілгенде, алдымен санды функцияға ауыстыруға тырысамыз.

2) сияқты қарапайым шектеулерді түсініп, бірден шешу керек , , және т.б.

Енді шектеулер тобын қарастырамыз, ал функциясы алымы мен бөлгішінде көпмүшелер бар бөлшек болған кезде.

Мысалы:

Шектеуді есептеңіз

Біздің ережеге сәйкес функцияға шексіздікті ауыстыруға тырысамыз. Жоғарғы жағында не аламыз? Шексіздік. Ал төменде не болады? Сондай-ақ шексіздік. Осылайша, бізде түрлердің белгісіздігі деп аталатын нәрсе бар. Біреу деп ойлауы мүмкін және жауап дайын, бірақ жалпы жағдайда бұл мүлдем болмайды және біз қазір қарастыратын қандай да бір шешім техникасын қолдану қажет.

Осы түрдегі шектеулерді қалай шешуге болады?

Алдымен алымға қарап, ең үлкен қуатты табамыз:

Алымдағы жетекші дәреже - екі.

Енді бөлгішке қарап, оны ең жоғары дәрежеге дейін табамыз:

Бөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі - екі.

Содан кейін алым мен бөлгіштің ең жоғары дәрежесін таңдаймыз: бұл мысалда олар бірдей және екіге тең.

Сонымен, шешу әдісі келесідей: белгісіздікті ашу үшін алым мен бөлгішті ең жоғары дәрежеге бөлу керек.

Міне, жауап, шексіздік емес.

Шешімді жобалауда не маңызды?

Біріншіден, егер бар болса, біз белгісіздікті көрсетеміз.

Екіншіден, аралық түсініктемелер үшін шешімді үзген жөн. Мен әдетте белгіні қолданамын, оның математикалық мағынасы жоқ, бірақ аралық түсіндіру үшін шешімнің үзілгенін білдіреді.

Үшіншіден, шегінде қайда бара жатқанын белгілеген жөн. Жұмысты қолмен жасағанда, оны келесі жолмен орындау ыңғайлы:

Жазбалар үшін қарапайым қарындашты қолданған дұрыс.

Әрине, мұның ешқайсысын орындаудың қажеті жоқ, бірақ кейін, мүмкін, мұғалім шешімдегі кемшіліктерді көрсетеді немесе тапсырма бойынша қосымша сұрақтар қоя бастайды. Сізге керек пе?

2-мысал

Шекті табыңыз
Тағы да алым мен бөлгіште біз ең жоғары дәрежеде табамыз:

Сандағы ең жоғары дәреже: 3
Бөлгіштегі ең жоғары дәреже: 4
Таңдау ең үлкенмән, бұл жағдайда төрт.
Алгоритмімізге сәйкес белгісіздікті ашу үшін алым мен бөлгішті -ге бөлеміз.
Толық тапсырма келесідей болуы мүмкін:

Алым мен азайтқышты бөлу

3-мысал

Шекті табыңыз
Алымдағы «Х» белгісінің максималды дәрежесі: 2
Бөлгіштегі «Х»-ның максималды дәрежесі: 1 (түрде жазуға болады)
Белгісіздікті ашу үшін алым мен бөлгішті -ге бөлу керек. Соңғы шешім келесідей болуы мүмкін:

Алым мен азайтқышты бөлу

Белгілеу нөлге бөлуді білдірмейді (нөлге бөлуге болмайды), бірақ шексіз аз санға бөлу.

Осылайша, түрлердің белгісіздігін ашу арқылы біз жасай аламыз соңғы сан, нөл немесе шексіздік.

Түрі мен оларды шешу әдісінің белгісіздігі бар шектеулер

Шектердің келесі тобы жаңа ғана қарастырылған шектерге біршама ұқсас: алым мен бөлгіште көпмүшелік бар, бірақ «х» енді шексіздікке емес, ақырлы сан.

4-мысал

Шекті шешу
Алдымен бөлшекке -1-ді ауыстыруға тырысайық:

Бұл жағдайда белгісіздік деп аталатын шама алынады.

Жалпы ереже: егер алым мен бөлгіште көпмүшелер болса және пішіннің белгісіздігі болса, оны ашу үшін алым мен бөлгішті көбейту керек.

Ол үшін көбінесе квадрат теңдеуді шешу және/немесе қысқартылған көбейту формулаларын қолдану қажет. Егер бұл нәрселер ұмытылған болса, онда бетке кіріңіз Математикалық формулалар мен кестелержәне оқу материалын оқу Мектептегі математика курсына арналған ыстық формулалар. Айтпақшы, оны басып шығарған дұрыс, бұл өте жиі қажет және ақпарат қағаздан жақсырақ сіңеді.

Ендеше, шегімізді шешейік

Алым мен азайтқышты көбейткішке көбейтіңіз

Алымды көбейткіштерге бөлу үшін квадрат теңдеуді шешу керек:

Алдымен дискриминантты табамыз:

Ал оның квадрат түбірі: .

Егер дискриминант үлкен болса, мысалы, 361, біз калькуляторды қолданамыз; квадрат түбірді шығару функциясы қарапайым калькуляторда.

! Түбір толығымен шығарылмаса (үтірмен бөлшек сан алынады), дискриминант қате есептелген немесе тапсырмада қате болған болуы мүмкін.

Содан кейін біз түбірлерді табамыз:

Осылайша:

Барлық. Алым көбейткіштерге бөлінеді.

Бөлгіш. Бөлгіш қазірдің өзінде ең қарапайым фактор болып табылады және оны оңайлатудың ешқандай жолы жоқ.

Әлбетте, оны қысқартуға болады:

Енді шектеу белгісінің астында қалатын өрнекке -1 ауыстырамыз:

Әрине, сынақта, сынақта немесе емтиханда шешім ешқашан мұндай егжей-тегжейлі сипатталмайды. Соңғы нұсқада дизайн келесідей болуы керек:

Алымды көбейткіштерге бөлейік.

5-мысал

Шектеуді есептеңіз

Біріншіден, шешімнің «аяқтау» нұсқасы

Алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлейік.

Есептеуіш:
Бөлгіш:



,

Бұл мысалда не маңызды?
Біріншіден, сіз алымдардың қалай ашылатынын жақсы түсінуіңіз керек, алдымен жақшадан 2 алып, содан кейін квадраттардың айырмашылығы формуласын қолдандық. Бұл сізге білу және көру керек формула.