Шар мен шардың радиусы. Шар, шар, сегмент және сектор

Анықтама.

Шарды диаметрі айналасындағы шеңберді 180° немесе жарты шеңберді диаметрі айналасында 360° айналдыру арқылы пайда болатын үш өлшемді фигура ретінде сипаттауға болады.

Анықтама.

Шарды диаметрі айналасындағы шеңберді 180° немесе жарты шеңберді диаметрі айналасында 360° айналдыру арқылы пайда болатын үш өлшемді фигура деп сипаттауға болады.

Анықтама. Шар радиусы (шар)(R) – шардың (шар) центрінен қашықтығы Ошардың кез келген нүктесіне (шардың беті).

Анықтама. Шар (шар) диаметрі(D) шардың екі нүктесін (шардың бетін) қосатын және оның центрі арқылы өтетін кесінді.

Формула. Шар көлемі:

Формула. Шардың бетінің ауданырадиусы немесе диаметрі арқылы:

S = 4π R 2 = π D 2

Шар теңдеуі

1. Радиусы R және центрі декарттық координаталар жүйесінің басындағы шар теңдеуі:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Декарттық координаталар жүйесіндегі координаталары (x 0, y 0, z 0) нүктедегі радиусы R және центрі бар шардың теңдеуі:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Анықтама. Диаметриялық қарама-қарсы нүктелершардың (шардың) бетіндегі диаметрі бойынша қосылған кез келген екі нүкте.

Шар мен шардың негізгі қасиеттері

1. Шардың барлық нүктелері центрден бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Шардың жазықтықтағы кез келген кесіндісі шеңбер болып табылады.

3. Шардың жазықтықтағы кез келген кесіндісі шеңбер болып табылады.

4. Шар бетінің ауданы бірдей барлық кеңістіктік фигуралардың ішіндегі ең үлкен көлемге ие.

5. Кез келген екі диаметральді қарама-қарсы нүктелер арқылы шар үшін көптеген үлкен шеңберлер немесе доп үшін шеңберлер салуға болады.

6. Диаметральді қарама-қарсы нүктелерден басқа кез келген екі нүкте арқылы шар үшін бір ғана үлкен шеңбер немесе шар үшін үлкен шеңбер салуға болады.

7. Бір шардың кез келген екі үлкен шеңбері шардың центрі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады, ал шеңберлер диаметральді қарама-қарсы екі нүктеде қиылысады.

8. Егер кез келген екі шардың центрлерінің ара қашықтығы олардың радиустарының қосындысынан кіші және олардың радиустарының айырмасының модулінен үлкен болса, онда мұндай шарлар қиылысу, ал қиылысу жазықтығында шеңбер құрылады.

Шардың секант, хорда, секант жазықтығы және олардың қасиеттері

Анықтама. Шар секантшарды екі нүктеде қиып өтетін түзу. Қиылысу нүктелері деп аталады пирсинг нүктелерібеттер немесе бетіндегі кіру және шығу нүктелері.

Анықтама. Шар аккорды (шар)- бұл шардың екі нүктесін қосатын кесінді (шардың беті).

Анықтама. Кесу ұшағышарды қиып өтетін жазықтық болып табылады.

Анықтама. Диаметрлік жазықтық- бұл шардың немесе шардың ортасынан өтетін секанттық жазықтық, сәйкесінше қима қалыптасады үлкен шеңберЖәне үлкен шеңбер. Үлкен шеңбер мен үлкен шеңбердің шардың (шардың) центрімен сәйкес келетін центрі болады.

Шардың (шардың) ортасынан өтетін кез келген хорда диаметр болып табылады.

Хорда - секанттық сызықтың кесіндісі.

Шар центрінен секантқа дейінгі d қашықтық әрқашан шардың радиусынан кіші:

г< R

Кесу жазықтығы мен шар центрінің арасындағы қашықтық m әрқашан R радиусынан аз:

м< R

Кесу жазықтығының сферадағы қимасының орны әрқашан болады шағын шеңбер, ал допта бөлім болады шағын шеңбер. Кіші шеңбер мен кіші шеңбердің шардың (шардың) центрімен сәйкес келмейтін өз орталықтары болады. Мұндай шеңбердің r радиусын мына формула арқылы табуға болады:

r = √R 2 - м 2,

Мұндағы R – шардың (шардың) радиусы, m – шардың ортасынан кесу жазықтығына дейінгі қашықтық.

Анықтама. Жарты шар (жарты шар)- бұл диаметральды жазықтықпен кесілген кезде пайда болатын шардың (шардың) жартысы.

Шарға жанама, жанама жазықтық және олардың қасиеттері

Анықтама. Шарға жанамасфераға бір ғана нүктеде жанасатын түзу.

Анықтама. Шарға жанама жазықтықшарға тек бір нүктеде тиетін жазықтық.

Жанама түзу (жазықтық) әрқашан жанасу нүктесіне жүргізілген сфераның радиусына перпендикуляр болады.

Шар центрінен жанама түзуге (жазықтыққа) дейінгі қашықтық шардың радиусына тең.

Анықтама. Шар сегменті- бұл доптың кесетін жазықтықпен доптан кесілген бөлігі. Сегменттің негізіқиманың орнында пайда болған шеңберді атады. Сегмент биіктігі h – кесінді табанының ортасынан кесіндінің бетіне түсірілген перпендикуляр ұзындығы.

Формула. Шар сегментінің сыртқы бетінің ауданы R шар радиусы арқылы h биіктігімен:

S = 2πRh

Көпшілігіміз футбол ойнағанды ​​жақсы көреміз немесе кем дегенде барлығымыз дерлік осы атақты спорт ойыны туралы естідік. Футболды доппен ойнайтынын бәрі біледі.

Егер өтіп бара жатқан адамнан доптың қандай геометриялық пішіні бар деп сұрасаңыз, біреулер оны шар тәрізді, ал біреулер шар тәрізді дейді. Сонда қайсысы дұрыс? Ал шар мен шардың айырмашылығы неде?

Маңызды!

Допкеңістіктік дене болып табылады. Доптың іші бір нәрсемен толтырылған. Сондықтан шардың көлемін табуға болады.

Доптың өмірдегі мысалдары: қарбыз және болат шар.

Шар мен шардың шеңбер мен шеңбер сияқты центрі, радиусы және диаметрі болады.

Маңызды!

Шар- доптың беті. Шардың бетінің ауданын табуға болады.

Өмірдегі салалардың мысалдары: волейбол добы және үстел теннисі добы.

Шардың ауданын қалай табуға болады

Есіңізде болсын!

Шар ауданының формуласы: S=4 π R 2

Шардың ауданын табу үшін санның дәрежесі қандай екенін есте сақтау керек. Дәреженің анықтамасын біле отырып, біз шардың ауданының формуласын келесідей жаза аламыз.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

Алған білімімізді тиянақтаймыз және Есепті шардың ауданына шешейік.

Зубарева 6 сынып. № 692(a)

Тапсырма:

• Шардың ауданын есептеңіз, егер оның радиусы болса 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 м

Маңызды!

Құрметті ата-аналар!

Радиусты түпкілікті есептеу кезінде баланы текше түбірін санауға мәжбүрлеудің қажеті жоқ. 6-сынып оқушылары математикадан түбір анықтамасын әлі алған жоқ және білмейді.

6-сыныпта мұндай есепті шығарғанда дөрекі күш әдісін қолданады.

Оқушыдан өзіне 3 есе көбейткенде қандай сан бір болатынын сұраңыз.

Шар мен шар үш өлшемді кеңістіктегі шеңбер мен шеңбердің аналогы болып табылады. Осы фигуралардың әрқайсысы туралы айта отырып, ұқсастықтары мен айырмашылықтарын, сондай-ақ осы фигураларға тән формулаларды атап өткен жөн.

Геометриялық конструкциялардың көпшілігі жазықтықта орындалады, бірақ орта мектепте олар үш өлшемді фигураларды зерттей бастайды. Екі өлшемді кеңістік тек екі сипаттамаға ие: ұзындық пен ені. 3D аймақтарында биіктік қосылады. 6-сынып математикасында жеке 3D фигуралар оқытылады.

Жазықтықта фигура аудан мен периметрмен сипатталады. Үш өлшемді нысандарда оларға көлем қосылады.

Күріш. 1. Үш өлшемді кеңістік.

Сонымен қатар, 3D фигураларының бірқатар ерекше қасиеттері бар. Олар түзу және жазықтықпен қиылысуы мүмкін және басқа фигуралардың пішінін алатын секанттық жазықтықтар болуы мүмкін.

Есептерді құрастыру үшін 3D фигураларды пайдалану оларды айтарлықтай қиындатады, бірақ сонымен бірге оларды әлдеқайда қызықты етеді. Шар мен шардың анықтамаларын берейік, содан кейін біз бұл фигуралардың арасындағы айырмашылықтарды көрсетуге тырысамыз.

Доп

Шар мен шар - жазықтықтағы шеңбер мен шеңбердің аналогы. Доп – бір нүктенің айналасында жарты шеңберді айналдыру арқылы алынған фигура.

Шардың бетінің ауданы бар: $S=4pir^2$

Радиус – шардың ортасын және оның бетіндегі кез келген нүктені қосатын кесінді.

Шардың көлемінің формуласы$V=(4pir^3\over3)$

Көлем фигураның қанша орын алатынын көрсетеді. Көлемнің не екенін түсіну үшін қуыс фигураны елестету керек. Сонда көлем - бұл фигураға құюға болатын су мөлшері

Шарды, кез келген басқа үш өлшемді фигура сияқты, жазықтықпен кесуге болады. Шардың қиюшы жазықтығы – шеңбер, оның центрін доптың центрінен шеңберге перпендикуляр түсіру арқылы табуға болады.

Күріш. 2. Доптың кесіндісі.

Шар - бұл шардың центрінен бірдей қашықтықта орналасқан кеңістіктегі нүктелер жиынын бейнелейтін фигура. Сфера:

• Шар тәрізді көлем мен бетінің формулалары бірдей.
• Шардың қиюшы жазықтығы – шеңбер
• Секант шеңберінің ортасы доп жағдайындағыдай орналасады

Күріш. 3. Шар.

Қандай айырмашылығы бар

Сонда сұрақ туындайды, анықтамадан басқа доп пен шардың айырмашылығы неде? Өйткені, доп пен шар арасындағы айырмашылықтар шеңбер мен шеңбердің айырмашылығынан әлдеқайда бұлыңғыр. Шардың да көлемі мен бетінің ауданы болады.

Мүмкін, анықтамадан басқа, айырмашылық есептердің ешқашан шардың көлемін таба алмайтынында. Әдетте, олар доптың көлемін іздейді. Бұл шардың көлемі жоқ дегенді білдірмейді. Бұл үш өлшемді фигура, сондықтан оның көлемі бар.

Аналогия жай ғана ауданы жоқ шеңбермен сызылады. Бұл ереже емес, есте сақтау қажет дәстүр: геометрияда шардың көлемін тұжырымдау құпталмайды.

Азды-көпті маңызды деп санауға болатын тағы бір айырмашылық - шардың бөліну жазықтығы: ішкі кеңістігі жоқ, бірақ ұзындығы бар шеңбер. Шардың қиюшы жазықтығы: ауданы бар және шеңбері жоқ шеңбер. Сондықтан, мұндай ұсақ-түйектерге байланысты қателер болмауы үшін мәселені тұжырымдау кезінде абай болу керек.

Біз не үйрендік?

Шар мен шардың не екенін білдік. Біз олардың ұқсастықтары мен айырмашылықтары туралы айттық. Біз бұл көрсеткіштердің дерлік айырмашылығы жоқ екенін білдік. Біз шардың көлемі сияқты тұжырымды берудің қажеті жоқ деп шештік.

Тақырып бойынша тест

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.7. Алынған жалпы рейтингтер: 105.