Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Ықтималдық теориясы

Математика көптеген салаларды қамтиды, олардың бірі алгебра және геометриямен бірге ықтималдықтар теориясы болып табылады. Барлық осы салаларға ортақ терминдер бар, бірақ олардан басқа тек бір нақты «тауашаға» тән нақты сөздер, формулалар мен теоремалар да бар.

«Ықтималдықтар теориясы» тіркесі дайын емес студентте дүрбелең тудырады. Шынында да, қиял қорқынышты көлемді формулалар пайда болатын суреттерді салады, ал бір мәселені шешу үшін бүкіл дәптер қажет. Дегенмен, іс жүзінде бәрі соншалықты қорқынышты емес: тапсырмалардан қорқуды біржола тоқтату үшін кейбір терминдердің мағынасын бір рет түсініп, ойлаудың біршама ерекше логикасының мәніне үңілу жеткілікті. Осыған байланысты біз ықтималдықтар теориясының және математикалық статистиканың негізгі ұғымдарын қарастырамыз - білімнің жас, бірақ өте қызықты саласы.

Неліктен ұғымдарды үйрену керек?

Тілдің қызметі – ақпаратты бір адамнан екінші адамға түсініп, түсініп, қолдана алатындай етіп беру. Әрбір математикалық ұғымды қарапайым сөздермен түсіндіруге болады, бірақ бұл жағдайда деректермен алмасу әрекеті әлдеқайда ұзағырақ болады. Елестетіп көріңізші, «гипотенуза» сөзінің орнына әрқашан «тікбұрышты үшбұрыштың ең ұзын жағы» деп айту керек еді - бұл өте ыңғайсыз және уақытты қажет етеді.

Сондықтан адамдар белгілі бір құбылыстар мен процестер үшін жаңа терминдер ойлап табады. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары – оқиға, оқиғаның ықтималдығы және т.б. дәл осылай пайда болды. Бұл формулаларды қолдану, есептер шығару және өмірде дағдыларды қолдану үшін жаңа сөздерді есте сақтау ғана емес, олардың әрқайсысының нені білдіретінін түсіну керек дегенді білдіреді. Сіз оларды неғұрлым терең түсінсеңіз, мағынасына үңілсеңіз, соғұрлым сіздің мүмкіндіктеріңіз кеңейеді және айналаңыздағы әлемді неғұрлым толық қабылдайсыз.

Объектінің мәні неде

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарымен танысайық. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы келесідей: бұл зерттеушіге сәйкес келетін нәтижелердің мүмкін болатындардың жалпы санына қатынасы. Қарапайым мысалды алайық: адам өлгенді лақтырғанда, ол алты жақтың кез келгеніне жоғары қаратып қонуы мүмкін. Осылайша, нәтижелердің жалпы саны - алты. Кездейсоқ таңдалған жақтың пайда болу ықтималдығы 1/6.

Белгілі бір нәтиженің пайда болуын болжау қабілеті әртүрлі мамандар үшін өте маңызды. Партияда қанша ақаулы бөлік күтілуде? Бұл сізге қанша өндіру керек екенін анықтайды. Медицинаның ауруды жеңуге көмектесу ықтималдығы қандай? Мұндай ақпарат өте маңызды. Бірақ қосымша мысалдарға уақыт жоғалтпай, біз үшін жаңа саланы зерттеуге кірісейік.

Алғашқы кездесу

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктерін және олардың қолданылуын қарастырайық. Құқықта, жаратылыстану ғылымында және экономикада төменде келтірілген формулалар мен терминдер статистика мен өлшеу қателеріне тікелей қатысты болғандықтан барлық жерде қолданылады. Бұл мәселені егжей-тегжейлі зерттеу сізге дәлірек және күрделі есептеулер үшін пайдалы жаңа формулаларды ашады, бірақ қарапайымнан бастайық.

Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың ең негізгі және негізгі ұғымдарының бірі – кездейсоқ оқиға. Түсінікті сөздермен түсіндірейік: эксперименттің барлық мүмкін нәтижелерінің ішінде тек біреуі ғана байқалады. Бұл оқиғаның орын алу ықтималдығы басқа оқиғадан айтарлықтай жоғары болса да, ол кездейсоқ болады, өйткені теориялық тұрғыдан нәтиже басқаша болуы мүмкін еді.

Егер біз тәжірибелер сериясын жүргізіп, нәтижелердің белгілі бір санын алсақ, онда олардың әрқайсысының ықтималдығы мына формула бойынша есептеледі: P(A) = m/n. Мұнда m - біз бірнеше рет сынақтар сериясында бізді қызықтыратын нәтиженің пайда болуын байқадық. Өз кезегінде, n - орындалған тәжірибелердің жалпы саны. Егер біз тиынды 10 рет лақтырып, 5 рет басын алсақ, онда m=5 және n=10.

Оқиға түрлері

Әрбір сынақта белгілі бір нәтиженің сақталуына кепілдік беріледі - мұндай оқиға сенімді деп аталады. Егер бұл ешқашан орындалмаса, ол мүмкін емес деп аталады. Бірақ мұндай оқиғалар ықтималдықтар теориясында есептер қолданылмайды. Білу әлдеқайда маңызды негізгі ұғымдар бірлескен және бірлескен емес оқиғалар болып табылады.

Тәжірибе жүргізгенде бір уақытта екі оқиға орын алады. Мысалы, біз екі сүйек лақтырамыз - бұл жағдайда біреудің «алтылықты» тастауы екіншісінің басқа санды лақтырмайтынына кепілдік бермейді. Мұндай іс-шаралар бірлескен деп аталады.

Егер біз бір өлшені айналдырсақ, онда екі сан бір уақытта ешқашан пайда болмайды. Бұл жағдайда түсірілген «бір», «екі» және т.б. түріндегі нәтижелер үйлеспейтін оқиғалар ретінде қарастырылады. Әрбір нақты жағдайда қандай нәтижелер орын алатынын ажырату өте маңызды - бұл ықтималдықтарды табу мәселесінде қандай формулаларды қолдану керектігін анықтайды. Біз ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарын бірнеше абзацтан кейін, қосу мен көбейтудің ерекшеліктерін қарастырған кезде зерттеуді жалғастырамыз. Өйткені, оларсыз бірде-бір мәселе шешілмейді.

Қосынды және өнім

Сіз досыңызбен сүйекті лақтырып жатырсыз делік, олар төрттік алды. Жеңіске жету үшін «бес» немесе «алты» алу керек. Бұл жағдайда ықтималдықтар қосылады: екі санның да шығу мүмкіндігі 1/6 болғандықтан, жауап 1/6 + 1/6 = 1/3 сияқты болады.

Енді сіз сүйекті екі рет лақтырасыз және сіздің досыңыз 11 ұпай алады деп елестетіңіз. Енді қатарынан екі рет «алтылық» алу керек. Оқиғалар бір-бірінен тәуелсіз, сондықтан ықтималдықтарды көбейту керек: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары мен теоремаларының ішінде біріккен оқиғалардың, яғни бір уақытта болуы мүмкін ықтималдықтардың қосындысына назар аудару керек. Бұл жағдайда қосу формуласы келесідей болады: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Комбинаторика

Көбінесе кейбір объект параметрлерінің барлық мүмкін комбинацияларын табу немесе кез келген комбинациялардың санын есептеу қажет (мысалы, шифрды таңдау кезінде). Бұл бізге ықтималдық теориясымен тығыз байланысты комбинаторика көмектеседі. Мұндағы негізгі ұғымдар кейбір жаңа сөздерді қамтиды және осы тақырыптағы бірқатар формулалар пайдалы болуы мүмкін.

Сізде үш сан бар делік: 1, 2, 3. Барлық мүмкін болатын үш таңбалы сандарды жазу үшін оларды пайдалану керек. Қанша болады? Жауап: n! (леп белгісі факторлық дегенді білдіреді). Тек орналасу ретімен ғана ерекшеленетін әр түрлі элементтердің (сандар, әріптер және т.б.) белгілі бір санының комбинациясы алмастырулар деп аталады.

Дегенмен, біз бұл жағдайды жиі кездестіреміз: пароль немесе код жасалған 10 цифр (нөлден тоғызға дейін) бар. Оның ұзындығын 4 таңба деп есептейік. Ықтимал кодтардың жалпы санын қалай есептеуге болады? Бұл үшін арнайы формула бар: (n!)/(n - m)!

Жоғарыда ұсынылған есеп шартын қарастырсақ, n=10, m=4. Әрі қарай, тек қарапайым математикалық есептеулер қажет. Айтпақшы, мұндай комбинациялар орналастыру деп аталады.

Ақырында, комбинациялар тұжырымдамасы бар - бұл бір-бірінен кем дегенде бір элементпен ерекшеленетін тізбектер. Олардың саны мына формула бойынша есептеледі: (n!) / (m!(n-m)!).

Күтілетін мән

Студент пәннің алғашқы сабақтарында кездесетін маңызды ұғым – математикалық күту. Бұл барлық мүмкін болатын мәндердің олардың ықтималдықтарына көбейтілген қосындысы. Негізінде, бұл сынақ нәтижесі ретінде болжауға болатын орташа сан. Мысалы, жақшада ықтималдықтары көрсетілген үш мән бар: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Математикалық күтуді есептейік: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Осылайша, ұсынылған өрнектен бұл мән тұрақты және сынақ нәтижесіне тәуелді емес екенін көруге болады.

Бұл ұғым көптеген формулаларда қолданылады және сіз оны болашақта бірнеше рет кездестіресіз. Онымен жұмыс істеу қиын емес: қосындының математикалық күтуі маттың қосындысына тең. күтулер - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Бұл өнімге де қатысты: M(XY) = M(X) * M(Y).

Дисперсия

Сіз мектептегі физика курсынан дисперсияның шашырау екенін есте ұстаған шығарсыз. Ықтималдықтар теориясының негізгі концепцияларының арасында оның орны қандай?

Екі мысалды қарастырыңыз. Бір жағдайда бізге берілген: 10(0,2); 20(0,6); 30(0,2). Басқасында – 0(0,2); 20(0,6); 40(0,2). Екі жағдайда да математикалық күту бірдей болады, сондықтан бұл жағдайларды қалай салыстыруға болады? Өйткені, біз екінші жағдайда құндылықтардың таралуы әлдеқайда көп екенін жалаңаш көзбен көреміз.

Сондықтан дисперсия ұғымы енгізілді. Оны алу үшін әрбір кездейсоқ шама мен математикалық күтудің айырмашылықтарының қосындысынан математикалық күтуді есептеу қажет. Алдыңғы абзацта жазылған бірінші мысалдағы сандарды алайық.

Алдымен математикалық күтуді есептейік: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Содан кейін дисперсия мәні: D(X) = 40.

Статистика мен ықтималдық теориясының тағы бір негізгі тұжырымдамасы стандартты ауытқу болып табылады. Есептеу өте қарапайым: дисперсияның квадрат түбірін алу жеткілікті.

Бұл жерде біз ауқым сияқты қарапайым терминді де атап өтуге болады. Бұл үлгідегі ең үлкен және ең аз мәндер арасындағы айырмашылықты білдіретін мән.

Статистика

Кейбір негізгі мектеп ұғымдары ғылымда өте жиі қолданылады. Олардың екеуі арифметикалық орта және медиана болып табылады. Әрине, сіз олардың мағыналарын қалай табуға болатынын есіңізде сақтайсыз. Бірақ бұл жағдайда еске сала кетейік: орташа арифметикалық - олардың санына бөлінген барлық мәндердің қосындысы. Егер 10 мән болса, онда оларды қосып, 10-ға бөлеміз.

Медиана - барлық мүмкін мәндер арасындағы орталық мән. Егер шамалардың саны тақ болса, онда оларды өсу ретімен жазып, ортасында тұрғанын таңдаймыз. Егер бізде жұп мәндер болса, орталық екіні алып, екіге бөлеміз.

Жиынның медианасы мен екі шеткі - максималды және ең төменгі мәндерінің арасында орналасқан тағы екі мән квартил деп аталады. Олар дәл осылай есептеледі - элементтер саны тақ болса, жолдың ортасында орналасқан сан алынады, ал элементтер саны жұп болса, орталық екі элементтің қосындысының жартысы алынады.

Сондай-ақ арнайы график бар, онда сіз барлық үлгі мәндерін, оның диапазонын, медианасын, квартиль аралық интервалын, сондай-ақ статистикалық қатеге сәйкес келмейтін мәндерді - мәндерді көре аласыз. Алынған кескіннің өте нақты (тіпті математикалық емес) атауы бар - «мұрттары бар қорап».

Тарату

Бөлу ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың негізгі ұғымдарына да қатысты. Қысқаша айтқанда, ол сынақ нәтижесінде көруге болатын барлық кездейсоқ шама туралы жалпылама ақпаратты білдіреді. Мұндағы негізгі параметр әрбір нақты мәннің пайда болу ықтималдығы болады.

Қалыпты таралу - ең жиі кездесетін мәнді қамтитын бір орталық шыңы бар таралу. Одан азырақ және аз ықтимал нәтижелер доғаларда ерекшеленеді. Жалпы, график сырттан қарағанда «слайд» сияқты көрінеді. Кейінірек сіз таралудың бұл түрі ықтималдықтар теориясының негізін қалаушы орталық шек теоремасымен тығыз байланысты екенін білесіз. Ол біз қарастырып отырған математика саласына арналған маңызды заңдылықтарды сипаттайды, олар әртүрлі есептеулерде өте пайдалы.

Бірақ тақырыпқа қайта оралайық. Бөлудің тағы екі түрі бар: асимметриялық және мультимодальды. Біріншісі «қалыпты» графиктің жартысына ұқсайды, яғни доға ең жоғары мәннен бір жаққа ғана төмендейді. Соңында, мультимодальды бөлу бірнеше «жоғарғы» мәндері бар таралу болып табылады. Осылайша, график төмендейді немесе жоғарылайды. Кез келген үлестірудегі ең жиі кездесетін мән режим деп аталады. Ол сондай-ақ ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады.

Гаусс таралу

Гаусс немесе қалыпты таралу – бақылаулардың орташадан ауытқуы белгілі бір заңға бағынатын таралу.

Қысқаша айтқанда, үлгі мәндерінің негізгі таралуы экспоненциалды түрде режимге бейім - олардың жиілігі. Дәлірек айтқанда, барлық мәндердің 99,6% үш стандартты ауытқу шегінде орналасқан (есіңізде болсын, біз бұл тұжырымдаманы жоғарыда талқылағанбыз?).

Гаусс үлестірімі ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Оны пайдалана отырып, белгілі бір параметрлер бойынша элементтің «типтік» санатына кіретінін түсінуге болады - адамның бойы мен салмағы жасына, интеллектуалды даму деңгейіне, психологиялық жағдайына және т.б. сәйкес осылай бағаланады. .

Қалай өтініш беруге болады

Бір қызығы, «қызықты» математикалық деректерді сіздің пайдаңызға пайдалануға болады. Мысалы, бір жас жігіт рулеткада бірнеше миллион доллар ұтып алу үшін ықтималдық теориясы мен статистиканы қолданды. Рас, бұған дейін мен бірнеше ай бойы әртүрлі казинолардағы ойындардың нәтижелерін жазуға дайындалуым керек еді.

Талдау жүргізгеннен кейін ол кестелердің біреуі аздап еңкейтілгенін анықтады, бұл бірқатар мәндер басқаларға қарағанда статистикалық түрде жиірек көрінетінін білдіреді. Кішкене есеп пен шыдамдылық – енді мекеме қожайындары адам қалай бақытты болады екен деп бастарын тырнап отыр.

Статистикаға жүгінбей шешуге болмайтын күнделікті күнделікті мәселелер бар. Мысалы, дүкен әр түрлі өлшемдегі: S, M, L, XL қанша киімге тапсырыс беру керектігін қалай анықтауға болады? Ол үшін қалада, облыста, жақын маңдағы дүкендерден киімдерді кім жиі сатып алатынын талдау қажет. Егер мұндай ақпарат алынбаса, иесі көп ақша жоғалту қаупі бар.

Қорытынды

Біз ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының тұтас кешенін қарастырдық: сынақ, оқиға, ауыстырулар мен орналастырулар, күтілетін мән және дисперсия, режим және қалыпты үлестіру... Сонымен қатар, біз бір айдан астам уақытты алатын бірқатар формулаларды қарастырдық. жоғары оқу орнында оқуға арналған сыныптар.

Ұмытпаңыз: математика экономиканы, жаратылыстану ғылымдарын, ақпараттық технологияларды және инженерияны оқығанда қажет. Оның бір саласы ретінде статистика бұл жерде де назардан тыс қалмайды.

Енді бұл ұсақ-түйек: тәжірибе, есептер мен мысалдарды шешу. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары мен анықтамалары, егер сіз шолуға уақыт бөлмесеңіз, ұмытылады. Сонымен қатар, кейінгі формулалар негізінен біз қарастырғандарға сүйенеді. Сондықтан оларды есте сақтауға тырысыңыз, әсіресе олардың саны көп емес.

Көптеген адамдар «ықтималдықтар теориясы» ұғымымен бетпе-бет келгенде, бұл өте қиын, өте күрделі нәрсе деп ойлап, қорқады. Бірақ бәрі шын мәнінде соншалықты қайғылы емес. Бүгін біз ықтималдықтар теориясының негізгі тұжырымдамасын қарастырамыз және нақты мысалдар арқылы есептерді шешуді үйренеміз.

ғылым

«Ықтималдықтар теориясы» сияқты математика саласы нені зерттейді? Ол үлгілер мен мөлшерлерді атап өтеді. Ғалымдар бұл мәселеге алғаш рет он сегізінші ғасырда құмар ойындарды зерттеген кезде қызығушылық танытты. Ықтималдықтар теориясының негізгі түсінігі – оқиға. Бұл тәжірибе немесе бақылау арқылы анықталған кез келген факт. Бірақ тәжірибе дегеніміз не? Ықтималдық теориясының тағы бір негізгі концепциясы. Бұл жағдайдың бұл жиынтығы кездейсоқ емес, белгілі бір мақсат үшін жасалғанын білдіреді. Бақылауға келетін болсақ, мұнда зерттеушінің өзі экспериментке қатыспайды, тек осы оқиғалардың куәгері болып табылады, ол болып жатқан нәрсеге ешқандай әсер етпейді.

Оқиғалар

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы оқиға екенін білдік, бірақ жіктеуді қарастырмадық. Олардың барлығы келесі санаттарға бөлінеді:

• Сенімді.
• Мүмкін емес.
• Кездейсоқ.

Тәжірибе барысында қандай оқиғалардың бақыланатынына немесе жасалғанына қарамастан, олардың барлығы осы классификацияға жатады. Әр түрімен жеке танысуға шақырамыз.

Сенімді оқиға

Бұл қажетті шаралар кешені қабылданған жағдай. Мәнін жақсырақ түсіну үшін бірнеше мысал келтірген абзал. Физика, химия, экономика және жоғары математика осы заңға бағынады. Ықтималдық теориясы сенімді оқиға сияқты маңызды ұғымды қамтиды. Міне, кейбір мысалдар:

• Біз жұмыс істейміз және жалақы түрінде өтемақы аламыз.
• Емтихандарды жақсы тапсырдық, конкурстан өттік, сол үшін оқу орнына түсу түріндегі сыйақы аламыз.
• Біз банкке ақша салдық, қажет болса қайтарып аламыз.

Мұндай оқиғалар сенімді. Егер біз барлық қажетті шарттарды орындаған болсақ, біз күткен нәтижеге міндетті түрде қол жеткіземіз.

Мүмкін емес оқиғалар

Енді біз ықтималдықтар теориясының элементтерін қарастырамыз. Біз оқиғаның келесі түрін, атап айтқанда мүмкін еместі түсіндіруге көшуді ұсынамыз. Алдымен, ең маңызды ережені белгілейік - мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең.

Мәселелерді шешу кезінде бұл тұжырымнан ауытқуға болмайды. Түсіндіру үшін осындай оқиғалардың мысалдары келтірілген:

• Су плюс он температурада қатып қалды (бұл мүмкін емес).
• Электр қуатының жетіспеушілігі өндіріске ешқандай әсер етпейді (алдыңғы мысалдағыдай мүмкін емес).

Қосымша мысалдар келтірудің қажеті жоқ, өйткені жоғарыда сипатталғандар осы санаттың мәнін өте айқын көрсетеді. Кез келген жағдайда эксперимент кезінде мүмкін емес оқиға ешқашан болмайды.

Кездейсоқ оқиғалар

Элементтерді зерттеген кезде оқиғаның осы түріне ерекше назар аудару керек. Мұны ғылым зерттейді. Тәжірибе нәтижесінде бірдеңе болуы немесе болмауы мүмкін. Сонымен қатар, сынақты шексіз рет өткізуге болады. Жарқын мысалдарға мыналар жатады:

• Тиын лақтыру - бұл тәжірибе немесе сынақ, бастардың қонуы - оқиға.
• Допты дорбадан соқыр суырып алу – сынақ, қызыл доп алу – оқиға, т.б.

Мұндай мысалдардың шексіз саны болуы мүмкін, бірақ, жалпы алғанда, мәні анық болуы керек. Оқиғалар туралы алған білімдерін жинақтау және жүйелеу үшін кесте ұсынылады. Ықтималдықтар теориясы ұсынылғандардың тек соңғы түрін зерттейді.

Заңдар

Ықтималдық теориясы – оқиғаның болу мүмкіндігін зерттейтін ғылым. Басқалар сияқты, оның кейбір ережелері бар. Ықтималдықтар теориясының келесі заңдары бар:

• Кездейсоқ шамалардың тізбектерінің жинақтылығы.
• Үлкен сандар заңы.

Күрделі нәрсенің мүмкіндігін есептегенде, нәтижеге оңай және жылдамырақ жету үшін қарапайым оқиғалар жиынтығын пайдалануға болады. Ықтималдықтар теориясының заңдары белгілі бір теоремалар арқылы оңай дәлелденетінін ескеріңіз. Алдымен бірінші заңмен танысуды ұсынамыз.

Кездейсоқ шамалардың тізбектерінің жинақтылығы

Конвергенцияның бірнеше түрі бар екенін ескеріңіз:

• Кездейсоқ шамалардың тізбегі ықтималдықта жинақталады.
• Мүмкін емес дерлік.
• Орташа квадрат конвергенция.
• Тарату конвергенциясы.

Сонымен, оның мәнін түсіну өте қиын. Міне, осы тақырыпты түсінуге көмектесетін анықтамалар. Бірінші көріністен бастайық. реті деп аталады ықтималдық бойынша жинақталған, егер келесі шарт орындалса: n шексіздікке ұмтылады, реттілік ұмтылатын сан нөлден үлкен және бірге жақын.

Келесі көрініске көшейік, дерлік. Бұл реттілік жинақталады деп айтылады дерлік n шексіздікке бейім және Р бірлікке жақын мәнге бейім кездейсоқ шамаға.

Келесі түрі орташа квадраттық жинақтылық. SC конвергенциясын пайдалану кезінде векторлық кездейсоқ процестерді зерттеу олардың координаталық кездейсоқ процестерін зерттеуге дейін қысқарады.

Соңғы түрі қалады, есептерді шешуге тікелей көшу үшін оны қысқаша қарастырайық. Бөлудегі конвергенцияның басқа атауы бар - «әлсіз» және біз мұның себебін кейінірек түсіндіреміз. Әлсіз конвергенцияшектеуші таралу функциясының үздіксіздігінің барлық нүктелеріндегі таралу функцияларының жинақтылығы болып табылады.

Біз сөзсіз уәдемізді орындаймыз: әлсіз конвергенция жоғарыда айтылғандардың барлығынан кездейсоқ шама ықтималдық кеңістігінде анықталмағанымен ерекшеленеді. Бұл мүмкін, себебі шарт тек үлестіру функцияларын пайдаланып құрылады.

Үлкен сандар заңы

Ықтималдық теориясының теоремалары, мысалы:

• Чебышев теңсіздігі.
• Чебышев теоремасы.
• Жалпыланған Чебышев теоремасы.
• Марковтың теоремасы.

Егер біз осы теоремаларды қарастыратын болсақ, онда бұл сұрақ бірнеше ондаған парақтарға созылуы мүмкін. Біздің негізгі міндетіміз - ықтималдықтар теориясын тәжірибеде қолдану. Мұны дәл қазір жасауды ұсынамыз. Бірақ бұған дейін ықтималдықтар теориясының аксиомаларын қарастырайық, олар есептерді шешуде негізгі көмекшілер болады.

Аксиомалар

Біз мүмкін емес оқиға туралы сөйлескенде біріншісін кездестірдік. Еске түсірейік: мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең. Біз өте жарқын және есте қаларлық мысал келтірдік: ауа температурасы отыз градус Цельсий кезінде қар жауды.

Екіншісі келесідей: ықтималдығы біреуге тең болатын сенімді оқиға орын алады. Енді оны математикалық тіл арқылы қалай жазу керектігін көрсетеміз: P(B)=1.

Үшіншіден: Кездейсоқ оқиға болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, бірақ мүмкіндік әрқашан нөлден бірге дейін ауытқиды. Мән бірге неғұрлым жақын болса, соғұрлым мүмкіндіктер артады; егер мән нөлге жақындаса, ықтималдық өте төмен. Мұны математикалық тілде жазайық: 0<Р(С)<1.

Соңғы, төртінші аксиоманы қарастырайық, ол келесідей естіледі: екі оқиғаның қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Оны математикалық тілде жазамыз: P(A+B)=P(A)+P(B).

Ықтималдық теориясының аксиомалары есте сақтау қиын емес ең қарапайым ережелер. Алған білімімізге сүйене отырып, кейбір мәселелерді шешуге тырысайық.

Лотерея билеті

Алдымен, ең қарапайым мысалды - лотереяны қарастырайық. Сәттілік үшін бір лотерея билетін сатып алдыңыз деп елестетіп көріңіз. Сіз кем дегенде жиырма рубль ұтып алу ықтималдығы қандай? Айналымда барлығы мың билет қатысып жатыр, оның біреуінде бес жүз сомнан, онда әрқайсысында жүз сомнан, елуінде жиырма сомнан, жүзде бес сомнан жүлде бар. Ықтималдық есептері сәттілік мүмкіндігін табуға негізделген. Енді жоғарыдағы тапсырманың шешімін бірге талдаймыз.

Бес жүз рубль ұтысын белгілеу үшін А әрпін қолдансақ, онда А алу ықтималдығы 0,001-ге тең болады. Біз мұны қалай алдық? Сізге «бақытты» билеттер санын олардың жалпы санына бөлу керек (бұл жағдайда: 1/1000).

B - жүз рубльдің ұтысы, ықтималдығы 0,01 болады. Енді біз алдыңғы әрекеттегідей принцип бойынша әрекет еттік (10/1000)

C - ұтыстар жиырма рубльді құрайды. Ықтималдылықты табамыз, ол 0,05-ке тең.

Қалған билеттер бізді қызықтырмайды, өйткені олардың жүлде қоры шартта көрсетілгеннен аз. Төртінші аксиоманы қолданайық: Кем дегенде жиырма рубль ұтып алу ықтималдығы P(A)+P(B)+P(C). P әрпі берілген оқиғаның пайда болу ықтималдығын білдіреді, біз оларды алдыңғы әрекеттерде таптық. Қажетті деректерді қосу ғана қалады, ал біз алатын жауап 0,061. Бұл сан тапсырма сұрағына жауап болады.

Карточка палубасы

Ықтималдық теориясындағы мәселелер күрделірек болуы мүмкін; мысалы, келесі тапсырманы алайық. Сіздің алдыңызда отыз алты картадан тұратын палуба бар. Сіздің міндетіңіз - стекті араластырмай қатарынан екі картаны салу, бірінші және екінші карталар эйс болуы керек, костюм маңызды емес.

Алдымен, бірінші картаның Эйс болу ықтималдығын табайық, ол үшін төртті отыз алтыға бөлеміз. Олар оны бір жаққа қойды. Біз екінші картаны шығарамыз, ол үш отыз бестен ықтималдығы бар эйс болады. Екінші оқиғаның ықтималдығы қай картаны бірінші салғанымызға байланысты, біз бұл Эйс болды ма, жоқ па деп ойлаймыз. Бұдан шығатыны, В оқиғасы А оқиғасына тәуелді.

Келесі қадам бір уақытта пайда болу ықтималдығын табу, яғни А мен В көбейтеміз.Олардың көбейтіндісі келесі түрде табылады: біз бір оқиғаның ықтималдығын екінші оқиғаның шартты ықтималдығына көбейтеміз, оны бірінші болып есептейміз. оқиға болды, яғни бірінші картамен эйс тартты.

Барлығы түсінікті болу үшін оқиғалар сияқты элементке белгі берейік. Ол А оқиғасы орын алды деп есептелінеді. Ол келесідей есептеледі: P(B/A).

Мәселені шешуді жалғастырайық: P(A * B) = P(A) * P(B/A) немесе P(A * B) = P(B) * P(A/B). Ықтималдық (4/36) * ((3/35)/(4/36) тең. Жүздікке дейін дөңгелектеу арқылы есептейміз. Бізде: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Екі эйсті қатарынан салудың ықтималдығы тоғыз жүздік.Мәні өте аз, одан оқиғаның орын алу ықтималдығы өте аз болады.

Ұмытылған нөмір

Біз ықтималдықтар теориясы зерттейтін тапсырмалардың тағы бірнеше нұсқаларын талдауды ұсынамыз. Сіз осы мақалада олардың кейбірін шешудің мысалдарын көрдіңіз.Келіңіздер, келесі мәселені шешуге тырысайық: бала досының телефон нөмірінің соңғы санын ұмытып қалды, бірақ қоңырау өте маңызды болғандықтан, ол бәрін бір-бірден тере бастады. . Оның үш реттен көп емес қоңырау шалу ықтималдығын есептеу керек. Ықтималдықтар теориясының ережелері, заңдары және аксиомалары белгілі болса, мәселені шешу оңай болады.

Шешімді қарастырмас бұрын, оны өзіңіз шешіп көріңіз. Соңғы сан нөлден тоғызға дейін, яғни барлығы он мәнге дейін болуы мүмкін екенін білеміз. Дұрысын алу ықтималдығы 1/10.

Әрі қарай, біз оқиғаның шығу нұсқаларын қарастыруымыз керек, бала дұрыс болжап, бірден дұрыс терген делік, мұндай оқиғаның ықтималдығы 1/10. Екінші нұсқа: бірінші қоңырау қабылданбайды, ал екіншісі мақсатта. Мұндай оқиғаның ықтималдығын есептейік: 9/10-ды 1/9-ға көбейтіңіз, нәтижесінде біз де 1/10 аламыз. Үшінші нұсқа: бірінші және екінші қоңыраулар дұрыс емес мекен-жайда болды, үшіншіден ғана бала қалаған жеріне жетті. Біз мұндай оқиғаның ықтималдығын есептейміз: 9/10 8/9 және 1/8 көбейтілген, нәтижесінде 1/10. Бізді мәселенің шарттарына сәйкес басқа нұсқалар қызықтырмайды, сондықтан біз тек алынған нәтижелерді қосуымыз керек, соңында бізде 3/10 бар. Жауабы: баланың үш реттен көп емес қоңырау шалу ықтималдығы 0,3.

Сандар жазылған карталар

Алдарыңызда тоғыз карта бар, олардың әрқайсысында бірден тоғызға дейінгі сандар жазылған, сандар қайталанбайды. Олар қорапқа салынып, мұқият араластырылды. Оның ықтималдығын есептеу керек

• жұп сан пайда болады;
• екі таңбалы.

Шешімге көшпес бұрын, m - сәтті жағдайлардың саны, ал n - опциялардың жалпы саны екенін шарттайық. Санның жұп болу ықтималдығын табайық. Төрт жұп сан бар екенін есептеу қиын болмайды, бұл біздің m болады, барлығы тоғыз ықтимал нұсқа бар, яғни m=9. Сонда ықтималдық 0,44 немесе 4/9 болады.

Екінші жағдайды қарастырайық: нұсқалар саны тоғыз, және мүлде сәтті нәтижелер болуы мүмкін емес, яғни m нөлге тең. Тартылған картада екі таңбалы санның болу ықтималдығы да нөлге тең.

Ықтималдық теориясы және математикалық статистика

• Агекян Т.А. Астрономдар мен физиктерге арналған қателер теориясының негіздері (2-ші басылым). М.: Наука, 1972 ж (djvu, 2,44 М)
• Агекян Т.А. Астрономдар мен физиктерге арналған ықтималдық теориясы. М.: Наука, 1974 ж (djvu, 2,59 М)
• Андерсон Т. Уақыт қатарларының статистикалық талдауы. М.: Мир, 1976 ж (djvu, 14 М)
• Бакелман И.Я. Вернер А.Л. Кантор Б.Е. «Жалпы» дифференциалдық геометрияға кіріспе. М.: Наука, 1973 ж (djvu, 5,71 М)
• Бернштейн С.Н. Ықтималдық теориясы. М.-Л.: Г.И., 1927 ж (djvu, 4,51 М)
• Биллингсли П. Ықтималдық өлшемдерінің жинақтылығы. М.: Наука, 1977 ж (djvu, 3,96 М)
• Дж. Дженкинс Г. Уақыт қатарын талдау: болжау және басқару. 1-шығарылым. М.: Мир, 1974 ж (djvu, 3,38 М)
• Дж. Дженкинс Г. Уақыт қатарын талдау: болжау және басқару. 2-шығарылым. М.: Мир, 1974 ж (djvu, 1,72 М)
• Borel E. Ықтималдық және сенімділік. М.: Наука, 1969 ж (djvu, 1,19 М)
• Ван дер Ваерден Б.Л. Математикалық статистика. М.: IL, 1960 ж (djvu, 6,90 М)
• Вапник В.Н. Эмпирикалық деректерге негізделген тәуелділіктерді қалпына келтіру. М.: Наука, 1979 ж (djvu, 6,18 М)
• Вентцел Е.С. Операциялық зерттеулерге кіріспе. М.: Кеңес радиосы, 1964 ж (djvu, 8,43 М)
• Вентцел Е.С. Ойын теориясының элементтері (2-ші басылым). Серия: Математика бойынша танымал дәрістер. 32-шығарылым. М.: Наука, 1961 ж (djvu, 648 К)
• Ventstel E.S. Ықтималдық теориясы (4-ші басылым). М.: Наука, 1969 ж (djvu, 8,05 М)
• Вентстел Е.С., Овчаров Л.А. Ықтималдық теориясы. Тапсырмалар мен жаттығулар. М.: Наука, 1969 ж (djvu, 7,71 М)
• Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Комбинаторика және математикалық статистика элементтері бар ықтималдықтар теориясы бойынша практикалық жұмыс дәптері. М.: Білім, 1979 ж (djvu, 1,12М)
• Гмурман В.Е. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикадағы есептерді шешуге арналған нұсқаулық (3-ші басылым). М.: Жоғары. мектеп, 1979 ж (djvu, 4,24 М)
• Гмурман В.Е. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика (4-ші басылым). М.: Жоғары мектеп, 1972 ж (djvu, 3,75 М)
• Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындылары үшін шекті үлестірім. М.-Л.: GITTL, 1949 ж (djvu, 6,26 М)
• Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Ықтималдықтар теориясына қарапайым кіріспе (7-ші басылым). М.: Наука, 1970 ж (djvu, 2,48 М)
• Емен J.L. Ықтималдық процестер. М.: IL, 1956 ж (djvu, 8,48 М)
• Дэвид Г. Реттік статистика. М.: Наука, 1979 ж (djvu, 2,87 М)
• Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Тәуелсіз және стационар байланысты шамалар. М.: Наука, 1965 ж (djvu, 6,05М)
• Идиер В., Дриард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садулет Б. Эксперименттік физикадағы статистикалық әдістер. М.: Атомиздат, 1976 ж (djvu, 5,95М)
• Камалов М.Қ. Қалыпты популяциядан алынған үлгілерде квадраттық пішіндердің таралуы. Ташкент: ӨзКСР ҒА, 1958 ж (djvu, 6,29М)
• Кассандра О.Н., Лебедев В.В. Бақылау нәтижелерін өңдеу. М.: Наука, 1970 ж (djvu, 867 К)
• Катц М. Ықтималдық және физикадағы байланысты мәселелер. М.: Мир, 1965 ж (djvu, 3,67 М)
• Katz M. Физика мен математиканың бірнеше ықтималдық мәселелері. М.: Наука, 1967 ж (djvu, 1,50 М)
• Катц М. Ықтималдық теориясындағы статистикалық тәуелсіздік, талдау және сандар теориясында. М.: IL, 1963 ж (djvu, 964 K)
• Кендалл М., Моран П. Геометриялық ықтималдықтар. М.: Наука, 1972 ж (djvu, 1,40 М)
• Кендалл М., Стюарт А. 2-том. Статистикалық қорытынды және байланыстар. М.: Наука, 1973 ж (djvu, 10 М)
• Кендалл М., Стюарт А. 3-том. Көп айнымалы статистикалық талдау және уақыттық қатар. М.: Наука, 1976 ж (djvu, 7,96 М)
• Кендалл М., Стюарт А. том. 1. Бөлу теориясы. М.: Наука, 1965 ж (djvu, 6,02 М)
• Колмогоров А.Н. Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері (2-бас.) М.: Наука, 1974 ж. (djvu, 2,14М)
• Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Кездейсоқ орналастырулар. М.: Наука, 1976 ж (djvu, 2,96 М)
• Крамер Г.Статистиканың математикалық әдістері (2-ші басылым). М.: Мир, 1976 ж (djvu, 9,63 М)
• Леман Е. Статистикалық гипотезаларды тексеру. М.: Ғылым. 1979 (djvu, 5,18 М)
• Линник Ю.В., Островский И.В. Кездейсоқ шамалар мен векторлардың декомпозициясы. М.: Наука, 1972 ж (djvu, 4,86 ​​М)
• Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Жоғары математика, ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика мәселелерін шешуге арналған нұсқаулық (2-ші басылым). Мн.: Выш. мектеп, 1969 ж (djvu, 4,99 М)
• Лоев М. Ықтималдық теориясы. М.: IL, 1962 ж (djvu, 7,38 М)
• Малахов А.Н. Кездейсоқ Гаусс емес процестердің кумулянтты талдауы және олардың түрлендірулері. М.: Сов. радио, 1978 ж (djvu, 6,72 М)
• Мешалкин Л.Д. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер жинағы. М.: ММУ, 1963 ж (djvu, 1 004 K)
• Митропольский А.К. Моменттердің теориясы. М.-Л.: ГИКСЛ, 1933 ж (djvu, 4,49М)
• Митропольский А.К. Статистикалық есептеу техникасы (2-ші басылым). М.: Наука, 1971 ж (djvu, 8,35М)
• Мостеллер Ф., Рюрк Р., Томас Дж. Ықтималдық. М.: Мир, 1969 ж (djvu, 4,82М)
• Налимов В.В. Материяны талдауда математикалық статистиканы қолдану. М.: GIFML, 1960 ж (djvu, 4,11М)
• Невеу Дж. Ықтималдықтар теориясының математикалық негіздері. М.: Мир, 1969 ж (djvu, 3,62 М)
• Престон К. Математика. Шетел ғылымындағы жаңалық №7. Гиббс есептелетін жиындар туралы айтады. М.: Мир, 1977 ж (djvu, 2,15 М)
• Савельев Л.Я. Элементар ықтималдық теориясы. 1-бөлім. Новосибирск: НМУ, 2005 (

барлық мамандықтардың 2 курс студенттеріне арналған

Жоғары математика кафедрасы

Кіріспе бөлім

Құрметті студенттер!

Назарларыңызға ВЗФЭИ екінші курс студенттеріне арналған «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәні бойынша профессор Н.Ш.Кремердің шолу (кіріспе) лекциясын ұсынамыз.

Дәрісте талқыланады тапсырмаларэкономикалық университетте ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканы оқу және оның орнықазіргі заманғы экономист дайындау жүйесінде қарастырылады ұйымдастыру тәуелсізкомпьютерлік оқыту жүйесі (CTS) және дәстүрлі оқулықтар арқылы студенттердің жұмысы беріледі негізгі ережелеріне шолуосы курс, сонымен қатар оны зерттеу бойынша әдістемелік ұсыныстар.

Экономикалық университетте оқытылатын математикалық пәндердің ішінде ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика ерекше орын алады. Біріншіден, ол статистикалық пәндердің теориялық негізі болып табылады. Екіншіден, зерттеуде ықтималдық теориясы мен математикалық статистиканың әдістері тікелей қолданылады массалық агрегаттарбайқалатын құбылыстар, бақылау нәтижелерін өңдеу және кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын анықтау. Ақырында, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың маңызды әдістемелік мәні бар когнитивтік процесс, жалпы үлгіні анықтау кезінде зерттелгенпроцестер, логикалық қызмет атқарады негізіиндуктивті-дедуктивті пайымдау.

Әрбір екінші курс студентінде «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәні бойынша келесі жиынтық (кейс) болуы керек:

1. Шолу бағдарлау дәрісіосы пән бойынша.

2. ОқулықН.Ш. Кремер «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» - М.: UNITY - DANA, 2007 (бұдан әрі оны жай ғана «оқулық» деп атаймыз).

3. Оқу-әдістемелік құрал«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» / ред. Н.Ш. Кремер. – М.: Университет оқулығы, 2005 (бұдан әрі – оқу құралы).

4. Компьютерлік оқыту бағдарламасыПән бойынша COPR (бұдан әрі «компьютерлік бағдарлама» деп аталады).

Институттың веб-сайтында «Корпоративтік ресурстар» бетінде KOPR2 компьютерлік бағдарламасының онлайн нұсқалары, шолу бойынша бағдарлау дәрісі және нұсқаулықтың электронды нұсқасы орналастырылған. Сонымен қатар, компьютерлік бағдарлама мен нұсқаулық мына жерде ұсынылған CD - Тұрақты Жадтау Құрылғысы екінші курс студенттері үшін. Сондықтан «қағаз түрінде» студентте тек оқулық болуы керек.

Көрсетілген жинаққа (іске) кіретін оқу материалдарының әрқайсысының мақсатын түсіндірейік.

ОқулықтаПәннің оқу материалының негізгі ережелері ұсынылған, шешілген есептердің жеткілікті үлкен санымен суреттелген.

IN артықшылықтарОқу материалын өз бетінше зерделеуге арналған әдістемелік ұсыныстар берілген, курстың маңызды ұғымдары мен типтік тапсырмалары көрсетілген, осы пән бойынша өзін-өзі тексеруге арналған тест сұрақтары берілген, студент орындауы тиіс үй тестілерінің нұсқалары, сонымен қатар әдістемелік оларды жүзеге асыру бойынша нұсқаулар берілген.

Компьютерлік бағдарламарежимде курсты игеруге барынша көмек көрсетуге арналған диалогСыныптағы дайындығыңыз бен мұғаліммен тиісті байланысыңыздың орнын толтыру үшін студентпен бағдарлама жасаңыз.

Қашықтықтан оқыту жүйесі арқылы оқитын студент үшін бірінші кезектегі және шешуші мән өзіндік жұмысты ұйымдастыру.

Бұл пәнді оқуды бастаған кезде осы шолу (кіріспе) лекцияны соңына дейін оқып шығыңыз. Бұл «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» курсында қолданылатын негізгі ұғымдар мен әдістер және VZFEI студенттерінің дайындық деңгейіне қойылатын талаптар туралы жалпы түсінік алуға мүмкіндік береді.

Әрбір тақырыпты оқу алдында Нұсқаулықтағы осы тақырыпты зерттеу бойынша нұсқауларды оқыңыз.Мұнда сіз осы тақырып бойынша сіз зерттейтін білім беру сұрақтарының тізімін таба аласыз; қандай ұғымдар, анықтамалар, теоремалар, есептер ең алдымен зерттеліп, игерілуі керек екенін анықтау.

Содан кейін оқуға кірісіңіз негізгі оқу материалыалынған әдістемелік ұсыныстарға сәйкес оқулық бойынша. Негізгі анықтамалар, теоремалардың тұжырымдары, оларды дәлелдеу диаграммалары, формулалар және типтік есептердің шешімдері туралы жеке дәптерге жазып алуды ұсынамыз. Курстың әрбір бөлімі үшін формулаларды арнайы кестелерде жазған жөн: ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Жазбаларды, атап айтқанда формулалар кестелерін үнемі пайдалану олардың есте сақталуына ықпал етеді.

Оқулықтағы әрбір тақырыптың негізгі оқу материалын пысықтағаннан кейін ғана осы тақырыпты компьютерлік оқыту бағдарламасы (KOPR2) арқылы оқуға көшуге болады.

Әрбір тақырып бойынша компьютерлік бағдарламаның құрылымына назар аударыңыз. Тақырып атауынан кейін оқулықта оқуды қажет ететін абзацтар мен беттердің нөмірлері көрсетілген тақырыптың негізгі білім беру сұрақтарының тізімі берілген. (Әр тақырып бойынша осы сұрақтардың тізімі де нұсқаулықта берілгенін есте сақтаңыз).

Содан кейін осы тақырып бойынша анықтамалық материал (немесе осы тақырыптың жеке параграфтары бойынша) қысқаша түрде беріледі - негізгі анықтамалар, теоремалар, қасиеттер мен сипаттамалар, формулалар және т.б. Тақырыпты зерделеу кезінде экранда қазіргі уақытта қажетті анықтамалық материалдың фрагменттерін (осы немесе алдыңғы тақырыптар бойынша) көрсетуге де болады.

Содан кейін сізге оқу материалы және, әрине, стандартты тапсырмалар ұсынылады ( мысалдар),оның шешімі режімде қарастырылады диалогстуденттермен бағдарламалар. Бірқатар мысалдардың функциялары студенттің қалауы бойынша экранда дұрыс шешімнің кезеңдерін көрсетумен шектеледі. Сонымен қатар, мысалдардың көпшілігін қарастыру барысында сізге бір немесе басқа сипаттағы сұрақтар қойылады. Кейбір сұрақтарға жауаптарды пернетақта арқылы енгізу керек. сандық жауап,басқаларға - дұрыс жауапты таңдаңыз (немесе жауаптар)бірнеше ұсынылған.

Сіз енгізген жауапқа байланысты бағдарлама оның дұрыстығын растайды немесе қажетті теориялық қағидаларды қамтитын кеңесті оқығаннан кейін дұрыс шешім мен жауап беру үшін қайталап көруді ұсынады. Көптеген тапсырмаларда шешу әрекеттерінің санына шектеу қойылады (егер бұл шектен асып кетсе, шешімнің дұрыс орындалу барысы экранда міндетті түрде көрсетіледі). Сондай-ақ, жауап берудің сәтсіз әрекеттері қайталанатындықтан, түсініктемедегі ақпараттың көлемі арта түсетін мысалдар бар.

Оқу материалының теориялық ережелерімен және шешімнің егжей-тегжейлі талдауымен берілген мысалдармен танысқаннан кейін әр тақырып бойынша типтік есептерді шешу дағдыларын бекіту үшін өзін-өзі бақылау жаттығуларын орындау керек. Өзін-өзі бақылау тапсырмаларында оқушымен диалог элементтері де бар. Шешімді орындағаннан кейін дұрыс жауапты қарап, оны берген жауаппен салыстыруға болады.

Әр тақырып бойынша жұмыстың соңында бақылау тапсырмаларын орындау керек. Оларға дұрыс жауаптар сізге көрсетілмейді, ал сіздің жауаптарыңыз оқытушы-кеңесші (тьютор) кейіннен қарау үшін компьютердің қатты дискісіне жазылады.

1–7 тақырыптарды оқығаннан кейін №3 үй тестін, ал 8–11 тақырыптарды оқығаннан кейін №4 үй тестін орындау керек. Бұл тесттердің нұсқалары нұсқаулықта (оның электрондық нұсқасы) келтірілген. Орындалып жатқан нұсқаның нөмірі сіздің жеке іс нөміріңіздің соңғы санына сәйкес келуі керек (баға кітапшасы, студенттік билет). Әрбір тестілеу үшін сіз әңгімелесуден өтуіңіз керек, оның барысында сіз өзіңіздің есептерді шешу қабілетіңізді және тест тақырыбы бойынша негізгі ұғымдарды (анықтамалар, теоремалар (дәлелсіз), формулалар және т.б.) білуіңізді көрсетуіңіз керек. Пәнді оқу курстық емтиханмен аяқталады.

Ықтималдықтар теориясы – кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық ғылым.

Оқуға ұсынылатын пән «Ықтималдықтар теориясы» және «Математикалық статистика» екі бөлімнен тұрады.

Ықтималдық теориясы және математикалық статистика

1. ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

1 Кездейсоқ шамалар тізбегінің жинақтылығы және ықтималдық үлестірімі

Ықтималдықтар теориясында кездейсоқ шамалардың жинақтылығының әртүрлі түрлерімен айналысу керек. Жинақтаудың келесі негізгі түрлерін қарастырайық: ықтималдық бойынша, бір ықтималдықпен, р ретінің ортасы бойынша, үлестіру бойынша.

Кейбір ықтималдық кеңістігінде (, Ф, Р) анықталған кездейсоқ шама болсын,... болсын.

Анықтама 1. Кездейсоқ шамалардың тізбегі, ... ықтималдығы бойынша кездейсоқ шамаға (белгілеу:), егер кез келген > 0 болса, жинақталады деп айтылады.

Анықтама 2. Кездейсоқ шамалардың тізбегі, ... ықтималдығы бір (әрине дерлік, барлық жерде) кездейсоқ шамаға жақындайды деп аталады, егер

анау. егер () () мәніне жақындамайтын нәтижелер жиынының ықтималдығы нөлге тең болса.

Конвергенцияның бұл түрі келесідей белгіленеді: , немесе, немесе.

Анықтама 3. Кездейсоқ шамалардың тізбегі ... p, 0 ретті орташа жинақтылық деп аталады.< p < , если

Анықтама 4. Кездейсоқ шамалардың тізбегі... кез келген шектелген үздіксіз функция үшін кездейсоқ шамаға (белгілеу:) таралуда жинақталады деп айтылады.

Кездейсоқ шамалардың таралуындағы жинақтылық олардың таралу функцияларының жинақтылығы тұрғысынан ғана анықталады. Сондықтан, әртүрлі ықтималдық кеңістіктерінде кездейсоқ айнымалылар көрсетілген кезде де конвергенцияның бұл түрі туралы айтудың мәні бар.

Теорема 1.

а) (P-a.s.) үшін кез келген > 0 үшін қажет және жеткілікті

) () тізбегі кез келген > 0 болған жағдайда бір ықтималдығы бар негізгі болып табылады.

Дәлелдеу.

а) А = (: |- | ), A = A болсын. Сонда

Демек, а) мәлімдемесі келесі салдарлар тізбегінің нәтижесі болып табылады:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) = (: ), = деп белгілейік. Сонда (: (()) іргелі емес ) = және а)дағы сияқты (: (()) іргелі емес ) = 0 P( ) 0, n екені көрсетілген.

Теорема дәлелденді

Теорема 2. (Белгілі бір дерлік конвергенция үшін Коши критерийі)

Кездейсоқ шамалардың тізбегі () бір ықтималдықпен (кейбір кездейсоқ шамаға) жинақты болу үшін оның бірінші ықтималдығы бар іргелі болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеу.

Егер, онда +

одан теорема шарттарының қажеттілігі шығады.

Енді () тізбегі бір ықтималдығы бар фундаментальды болсын. L = (: (()) негізгі емес) деп белгілейік. Сонда барлық сандар тізбегі () негізгі болып табылады және сандар тізбегі үшін Коши критерийіне сәйкес () бар. қояйық

Бұл анықталған функция кездейсоқ шама және.

Теорема дәлелденді.

2 Сипаттамалық функциялар әдісі

Сипаттамалық функциялар әдісі ықтималдықтар теориясының аналитикалық аппаратының негізгі құралдарының бірі болып табылады. Кездейсоқ шамалармен қатар (нақты мәндерді қабылдау) сипаттамалық функциялар теориясы күрделі мәнді кездейсоқ шамаларды қолдануды талап етеді.

Кездейсоқ шамаларға қатысты көптеген анықтамалар мен қасиеттер күрделі жағдайға оңай ауыстырылады. Сонымен, математикалық күту М ?күрделі кездейсоқ шама ?=?+?? М математикалық күтулер анықталса, белгілі болып саналады ?олар ?. Бұл жағдайда анықтама бойынша М деп есептейміз ?= М ? + ?М ?. Кездейсоқ элементтердің тәуелсіздігін анықтаудан күрделі-мәнді шамалар шығады ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2кездейсоқ шамалар жұптары тәуелсіз болған жағдайда ғана тәуелсіз болады ( ?1 , ?1) Және ( ?2 , ?2), немесе, бұл бірдей нәрсе, тәуелсіз ?-алгебра Ф ?1, ?1 және F ?2, ?2.

Кеңістікпен бірге Л 2соңғы секундтық моменті бар нақты кездейсоқ шамалар үшін күрделі мәнді кездейсоқ шамалардың Гильберт кеңістігін енгізуге болады. ?=?+?? М |мен бірге ?|2?|2= ?2+?2, және скаляр көбейтіндісі ( ?1 , ?2)= М ?1?2¯ , Қайда ?2¯ - күрделі конъюгаттық кездейсоқ шама.

Алгебралық операцияларда Rn векторлары алгебралық бағандар ретінде қарастырылады,

Жол векторлары ретінде a* - (a1,a2,…,an). Егер Rn болса, онда олардың скаляр көбейтіндісі (a,b) шама ретінде түсініледі. Бұл анық

Егер aRn және R=||rij|| nхn ретті матрица болып табылады, онда

Анықтама 1. F = F(x1,.....,xn) - (, ()) n-өлшемді үлестіру функциясы болсын. Оның сипатты функциясы функция деп аталады

Анықтама 2 . Егер? = (?1,…,?n) мәндері ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ вектор, онда оның сипаттамалық функциясы функция деп аталады.

F қайда? = F?(х1,….,хn) - векторлық таралу функциясы?=(?1,…, ?n).

Егер F(x) таралу функциясының тығыздығы f = f(x) болса, онда

Бұл жағдайда сипаттамалық функция f(x) функциясының Фурье түрлендіруінен басқа ештеңе емес.

(3)-ден кездейсоқ вектордың сипаттамалық функциясы ??(t) теңдігімен де анықталуы мүмкін екендігі шығады.

Сипаттамалық функциялардың негізгі қасиеттері (n=1 жағдайда).

Болсын ба? = ?(?) - кездейсоқ шама, F? =F? (x) оның таралу функциясы және сипаттамалық функция болып табылады.

Айта кету керек, егер, онда.

Әрине,

мұнда біз тәуелсіз (шектелген) кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең болатынын пайдаландық.

Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындылары үшін шекті теоремаларды сипаттамалық функциялар әдісімен дәлелдеу кезінде (6) қасиет негізгі болып табылады. Осыған байланысты таралу функциясы жеке терминдердің таралу функциялары арқылы анағұрлым күрделі түрде өрнектеледі, атап айтқанда, мұнда * таңбасы үлестірімдердің конвульсиясын білдіреді.

Әрбір үлестіру функциясын тарату функциясы ретінде осы функцияға ие кездейсоқ шамамен байланыстыруға болады. Сондықтан, сипаттамалық функциялардың қасиеттерін ұсынғанда, біз кездейсоқ шамалардың сипаттамалық функцияларын қарастырумен шектеле аламыз.

Теорема 1.Болсын ба? - таралу функциясы F=F(x) болатын кездейсоқ шама және - оның сипаттамалық функциясы.

Келесі қасиеттер орын алады:

) біркелкі үздіксіз;

) F-ның таралуы симметриялы болған жағдайда ғана нақты мәнді функция болып табылады

) егер кейбір n үшін? 1 , онда барлығы үшін туынды және бар

)Егер бар болса және ақырлы болса, онда

) Барлығына n болсын? 1 және

онда барлығына |t|

Төмендегі теорема сипаттамалық функция үлестіру функциясын бірегей түрде анықтайтынын көрсетеді.

2-теорема (бірегейлік). F және G бірдей сипаттамалық функциясы бар екі бөлу функциясы болсын, яғни барлығы үшін

Теорема F = F(x) үлестіру функциясын оның сипаттамалық функциясынан бірегей түрде қалпына келтіруге болатынын айтады. Төмендегі теорема F функциясының айқын көрінісін береді.

3-теорема (жалпылау формуласы). F = F(x) таралу функциясы болсын және оның сипаттамалық функциясы болсын.

a) Кез келген екі нүкте үшін a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Егер F(x) таралу функциясының f(x) тығыздығы болса,

Теорема 4. Кездейсоқ вектордың құраушылары тәуелсіз болуы үшін оның сипаттамалық функциясы компоненттердің сипаттамалық функцияларының көбейтіндісі болуы қажет және жеткілікті:

Бохнер-Хинчин теоремасы . Үздіксіз функция болсын.Ол сипаттама болуы үшін теріс емес анықталған, яғни кез келген нақты t1, ... , tn және кез келген күрделі сандар үшін қажет және жеткілікті.

Теорема 5. Кездейсоқ шаманың сипаттамалық функциясы болсын.

а) Егер кейбіреулер үшін кездейсоқ шама қадамы бар тор болады, яғни

) Егер екі түрлі нүкте үшін иррационал сан қайда болса, онда ол кездейсоқ шама ма? дегенеративті болып табылады:

мұндағы a - қандай да бір тұрақты.

в) Егер, онда ол кездейсоқ шама ма? азғындау.

1.3 Тәуелсіз бірдей таралған кездейсоқ шамалардың орталық шекті теоремасы

() тәуелсіз, бірдей таралған кездейсоқ шамалардың тізбегі болсын. Күту M= a, дисперсия D= , S = , және Ф(х) – (0,1) параметрлері бар қалыпты заңның таралу функциясы. Кездейсоқ шамалардың тағы бір тізбегін енгізейік

Теорема. Егер 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Бұл жағдайда () тізбегі асимптотикалық қалыпты деп аталады.

M = 1 және үздіксіздік теоремаларынан кез келген үздіксіз шектелген f үшін FM f() Mf() әлсіз жинақтылықпен қатар, кез келген үздіксіз f үшін де жинақтылық M f() Mf() болатыны шығады. , осылайша |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Дәлелдеу.

Мұндағы біркелкі жинақтылық Ф(х)-ның әлсіз жинақтылығы мен үздіксіздігінің салдары болып табылады. Әрі қарай, жалпылықты жоғалтпай, a = 0 деп қабылдауға болады, өйткені әйтпесе () ретін қарастыра аламыз, ал реттілік () өзгермейді. Сондықтан қажетті жинақтылықты дәлелдеу үшін a = 0 кезінде (t) e болатынын көрсету жеткілікті.

(t) = , мұндағы =(t).

М бар болғандықтан, ыдырау бар және жарамды

Сондықтан, n үшін

Теорема дәлелденді.

1.4 Математикалық статистиканың негізгі міндеттері, олардың қысқаша сипаттамасы

Жаппай кездейсоқ құбылыстарды басқаратын заңдылықтарды орнату статистикалық мәліметтерді – бақылау нәтижелерін зерттеуге негізделген. Математикалық статистиканың бірінші міндеті – статистикалық ақпаратты жинау және топтастыру жолдарын көрсету. Математикалық статистиканың екінші міндеті – зерттеу мақсаттарына байланысты статистикалық мәліметтерді талдау әдістерін жасау.

Математикалық статистиканың кез келген мәселесін шешу кезінде екі ақпарат көзі болады. Бірінші және ең айқын (айқын) скаляр немесе векторлық кездейсоқ шаманың кейбір жалпы жиынтықтарынан таңдама түріндегі бақылаулардың (тәжірибенің) нәтижесі. Бұл жағдайда n іріктеу өлшемін бекітуге болады немесе ол эксперимент кезінде ұлғаюы мүмкін (яғни, тізбекті статистикалық талдау процедуралары деп аталатындар қолданылуы мүмкін).

Екінші көз – зерттелетін объектінің қазіргі уақытқа дейін жинақталған қызығушылық қасиеттері туралы барлық априорлық ақпарат. Ресми түрде априорлық ақпараттың көлемі мәселені шешу кезінде таңдалатын бастапқы статистикалық модельде көрсетіледі. Дегенмен, тәжірибелердің нәтижелеріне негізделген оқиғаның ықтималдығының әдеттегі мағынасында шамамен анықтау туралы айтудың қажеті жоқ. Кез келген шаманы шамамен анықтау арқылы әдетте қате пайда болмайтын қателік шегін көрсетуге болатынын білдіреді. Оқиға жиілігі кез келген эксперименттер саны үшін кездейсоқ болып табылады, себебі жеке эксперименттер нәтижелерінің кездейсоқтығы. Жеке тәжірибелер нәтижелерінің кездейсоқ болуына байланысты жиілік оқиғаның ықтималдығынан айтарлықтай ауытқуы мүмкін. Сондықтан оқиғаның белгісіз ықтималдығын осы оқиғаның көп тәжірибелер санының жиілігі ретінде анықтау арқылы біз қателік шегін көрсете алмаймыз және қатенің осы шектен аспайтынына кепілдік бере алмаймыз. Сондықтан математикалық статистикада біз әдетте белгісіз шамалардың жуық мәндері туралы емес, олардың қолайлы мәндері, бағалаулары туралы айтамыз.

Белгісіз параметрлерді бағалау мәселесі популяцияның таралу функциясы параметрге дейін белгілі болған жағдайларда туындайды. Бұл жағдайда кездейсоқ таңдаудың xn қарастырылатын іске асырылуы үшін таңдамалы мәні параметрдің жуық мәні ретінде қарастырылуы мүмкін статистиканы табу қажет. Кез келген іске асыру xn үшін таңдамалы мәні белгісіз параметрдің жуық мәні ретінде қабылданатын статистика нүктелік бағалау немесе жай ғана бағалау деп аталады және нүктелік бағалаудың мәні болып табылады. Нүктелік бағалау оның таңдау мәні параметрдің шынайы мәніне сәйкес келуі үшін өте нақты талаптарды қанағаттандыруы керек.

Қарастырылып отырған мәселені шешудің тағы бір тәсілі де мүмкін: осындай статистиканы табыңыз және ықтималдықпен? келесі теңсіздік орындалады:

Бұл жағдайда интервалды бағалау туралы сөйлесеміз. Интервал

сенімділік коэффициенті үшін сенімділік интервалы деп аталады?.

Тәжірибе нәтижелері бойынша сол немесе басқа статистикалық сипаттаманы бағалап, сұрақ туындайды: белгісіз сипаттаманың эксперименттік деректермен бағалау нәтижесінде алынған мәнге дәл келетіндігі туралы болжам (гипотеза) қаншалықты сәйкес келеді? Міне, осылайша математикалық статистикадағы есептердің екінші маңызды класы – гипотезаларды тексеру мәселелері туындайды.

Белгілі бір мағынада статистикалық гипотезаны тексеру мәселесі параметрді бағалау мәселесіне кері есеп болып табылады. Параметрді бағалау кезінде оның шынайы мәні туралы ештеңе білмейміз. Статистикалық гипотезаны тексеру кезінде қандай да бір себептермен оның мәні белгілі болып есептеледі және эксперимент нәтижелері бойынша бұл болжамды тексеру қажет.

Математикалық статистиканың көптеген есептерінде бір мағынада қандай да бір шекке (кездейсоқ айнымалы немесе тұрақты) жақындайтын кездейсоқ шамалардың реті қарастырылады.

Осылайша, математикалық статистиканың негізгі міндеттері бағаларды табу әдістерін жасау және олардың бағаланатын сипаттамаларға жақындау дәлдігін зерттеу және гипотезаларды тексеру әдістерін жасау болып табылады.

5 Статистикалық гипотезаларды тексеру: негізгі түсініктер

Статистикалық болжамдарды тексерудің рационалды әдістерін жасау міндеті математикалық статистиканың негізгі міндеттерінің бірі болып табылады. Статистикалық гипотеза (немесе жай ғана гипотеза) экспериментте байқалған кездейсоқ шамалардың таралу түрі немесе қасиеттері туралы кез келген мәлімдеме.

Таралу тығыздығы белгісіз параметрге тәуелді жалпы жиынтықтан кездейсоқ таңдауды жүзеге асыру болып табылатын таңдау болсын.

Параметрдің белгісіз ақиқат мәніне қатысты статистикалық гипотезалар параметрлік гипотезалар деп аталады. Оның үстіне, егер скаляр болса, онда біз бір параметрлі гипотезаларды айтамыз, ал егер ол вектор болса, онда көп параметрлі гипотезаларды айтамыз.

Статистикалық гипотеза пішіні болса, қарапайым деп аталады

мұнда белгілі бір параметр мәні.

Статистикалық гипотеза, егер оның нысаны болса, күрделі деп аталады

мұндағы бірнеше элементтен тұратын параметр мәндерінің жиыны.

Пішіннің екі қарапайым статистикалық гипотезасын тексеру жағдайында

мұнда параметрдің екі берілген (әртүрлі) мәні болса, бірінші гипотеза әдетте негізгі деп аталады, ал екіншісі альтернативті немесе бәсекелес гипотеза деп аталады.

Гипотезаларды тексеру критерийі немесе статистикалық критерий - бұл үлгі деректер негізінде бірінші немесе екінші гипотезаның дұрыстығы туралы шешім қабылданатын ереже.

Критерий кездейсоқ таңдаудың іріктеме кеңістігінің ішкі жиыны болып табылатын критикалық жиынды пайдалану арқылы анықталады. Шешім келесідей қабылданады:

) егер таңдама критикалық жиынтыққа жататын болса, онда негізгі гипотезаны қабылдамай, альтернативті гипотезаны қабылдаңыз;

) егер іріктеме критикалық жиынға жатпайтын болса (яғни, ол жиынтықты іріктеу кеңістігіне толықтауышқа жататын болса), онда балама гипотеза жоққа шығарылады және негізгі гипотеза қабылданады.

Кез келген критерийді пайдаланған кезде қателердің келесі түрлері болуы мүмкін:

1) гипотезаны ақиқат болғанда қабылдау – бірінші текті қателік;

) гипотезаны ақиқат болғанда қабылдау II типті қате болып табылады.

Бірінші және екінші типтегі қателерді жасау ықтималдығы келесілермен белгіленеді:

мұндағы гипотеза ақиқат болған жағдайда оқиғаның ықтималдығы.Көрсетілген ықтималдықтар кездейсоқ таңдаманың таралу тығыздығы функциясы арқылы есептеледі:

I типті қатенің жасалу ықтималдығы критерийлік маңыздылық деңгейі деп те аталады.

Негізгі гипотеза ақиқат болған кезде оны жоққа шығару ықтималдығына тең шама сынақтың күші деп аталады.

1.6 Тәуелсіздік критерийі

Екі өлшемді үлестірімнен үлгі ((XY), ..., (XY)) бар

L белгісіз таралу функциясы бар, ол үшін H гипотезасын тексеру қажет: , мұндағы кейбір бір өлшемді үлестіру функциялары.

Әдістеме негізінде H гипотезасы үшін қарапайым жарамдылық сынағы құрылуы мүмкін. Бұл әдіс нәтижелердің шектеулі саны бар дискретті модельдер үшін қолданылады, сондықтан біз кездейсоқ шама кейбір мәндердің соңғы s санын қабылдайтынымен келісеміз, біз оны әріптермен белгілейміз, ал екінші компонент - k мәндері. Егер бастапқы модель басқа құрылымға ие болса, онда кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері бірінші және екінші құрамдас бөліктерге алдын ала бөлек топтастырылады. Бұл жағдайда жиын s интервалына, жиынтық мәні k интервалына, ал өзі N=sk тіктөртбұрыштарына жиынтық орнатылады.

Жұптың бақылау санымен белгілейік (мәліметтер топтастырылған болса, тіктөртбұрышқа жататын үлгі элементтерінің саны), осылайша. Бақылау нәтижелерін екі белгіден тұратын күтпеген жағдайлар кестесі түрінде орналастыру ыңғайлы (1.1-кесте). Қолданбаларда және әдетте бақылау нәтижелері жіктелетін екі критерийді білдіреді.

P, i=1,…,s, j=1,…,k болсын. Сонда тәуелсіздік гипотезасы s+k тұрақтылары бар екенін білдіреді және, яғни.

1.1-кесте

сомасы . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Сум . . .n

Осылайша, H гипотезасы жиіліктер (олардың саны N = sk) белгілі бір құрылымға ие нәтижелердің ықтималдығы бар полиномдық заңға сәйкес бөлінеді деген тұжырымға келеді (нәтижелердің ықтималдық векторы p мәндерімен анықталады r = s + k-2 белгісіз параметрлер.

Бұл гипотезаны тексеру үшін біз қарастырылып отырған схеманы анықтайтын белгісіз параметрлердің ықтималдығының максималды бағалауларын табамыз. Егер нөлдік гипотеза ақиқат болса, онда ықтималдық функциясы L(p)= түрінде болады, мұндағы c көбейткіші белгісіз параметрлерге тәуелді емес. Осы жерден анықталмаған көбейткіштердің Лагранж әдісін қолданып, қажетті бағалаулар нысаны бар екенін аламыз.

Сондықтан статистика

L() at, өйткені шекті үлестірудегі еркіндік дәрежелерінің саны N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1) тең.

Сонымен, жеткілікті үлкен n үшін гипотезаны тексерудің келесі ережесін қолдануға болады: H гипотезасы егер нақты деректерден есептелген t статистикалық мәні теңсіздікті қанағаттандыратын болса ғана қабылданбайды.

Бұл критерий асимптотикалық (де) берілген мәнділік деңгейіне ие және тәуелсіздік критерийі деп аталады.

2. ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ

1 Жинақтау түрлері бойынша есептер шығару

1. Конвергенция ықтималдықтағы жинақтылықты дерлік білдіретінін дәлелдеңіз. Керісінше дұрыс емес екенін көрсету үшін сынақ үлгісін көрсетіңіз.

Шешім. Кездейсоқ шамалардың тізбегі дерлік x кездейсоқ шамасына жинақталсын. Сонымен, біреу үшін? > 0

Сол уақыттан бері

және xn-тің x-ке жинақталуынан xn ықтималдықта х-ке жинақталатыны сөзсіз шығады, өйткені бұл жағдайда

Бірақ керісінше мәлімдеме дұрыс емес. F(x) таралу функциясы бірдей, х нүктесінде нөлге тең тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегі болсын? 0 және x > 0 үшін тең. Тізбекті қарастырыңыз

Бұл реттілік ықтималдықта нөлге жиналады, өйткені

кез келген тіркелген үшін нөлге ұмтылады? Және. Дегенмен, нөлге конвергенция іс жүзінде орындалмайды. Шынымен

бірлікке ұмтылады, яғни кез келгені үшін 1 ықтималдығымен және n-ден асатын реттілікте жүзеге асулар болады.

xn шамасына қойылған кейбір қосымша шарттар болған жағдайда ықтималдықтағы жинақтау конвергенцияны сөзсіз дерлік білдіретінін ескеріңіз.

xn монотонды тізбек болсын. Бұл жағдайда ықтималдықтағы xn-тің х-ке жинақтылығы 1 ықтималдығы бар xn-тің х-ке жинақталуына әкелетінін дәлелдеңіз.

Шешім. xn монотонды кемімелі қатар болсын, яғни. Біздің пікірімізді жеңілдету үшін біз барлық n үшін x º 0, xn ³ 0 деп есептейміз. xn ықтималдық бойынша x-ке жинақталсын, бірақ жинақтау іс жүзінде орындалмайды. Сонда ол бар ма? > 0, барлық n үшін

Бірақ бұл айтылғандар барлық n үшін дегенді білдіреді

бұл ықтималдық бойынша xn-тің х-ке жинақтылығына қайшы келеді. Осылайша, ықтималдық бойынша х-ке жинақталатын монотонды xn тізбегі үшін де 1 ықтималдықпен жинақталады (әрине дерлік).

xn тізбегі ықтималдық бойынша х-ке жинақталсын. Осы тізбектен 1 ықтималдығы бар х-ке жинақталатын тізбекті оқшаулауға болатынын дәлелдеңіз.

Шешім. Оң сандардың кейбір тізбегі болсын және қатары болатындай оң сандар болсын. n1 индекстер тізбегін тұрғызайық

Содан кейін серия

Қатар жинақталғандықтан, кез келген үшін? > 0 серияның қалған бөлігі нөлге ұмтылады. Бірақ содан кейін ол нөлге ұмтылады және

Кез келген оң ретті орташа жинақтау ықтималдықтағы жинақтылықты білдіретінін дәлелдеңіз. Қарама-қарсы пікірдің дұрыс емес екенін көрсету үшін мысал келтіріңіз.

Шешім. xn тізбегі p > 0 реттілігі бойынша орташа х мәніне жинақталсын, яғни

Жалпыланған Чебышев теңсіздігін қолданайық: ерікті үшін? > 0 және p > 0

Соны бағыттап, ескерсек, соны аламыз

яғни xn ықтималдық бойынша х-ке жинақталады.

Дегенмен, ықтималдықтағы жинақтылық орташа ретті p > 0 жинақтауға әкелмейді. Бұл келесі мысалда көрсетілген. áW, F, Rñ ықтималдық кеңістігін қарастырайық, мұндағы F = B - Борель s-алгебрасы, R - Лебег өлшемі.

Кездейсоқ шамалардың тізбегін келесідей анықтайық:

xn тізбегі ықтималдық бойынша 0-ге жиналады, өйткені

бірақ кез келген p > 0 үшін

яғни орта есеппен жақындаспайды.

Келіңіздер, барлығы үшін не n . Бұл жағдайда xn орташа квадратта х-ке жинақталатынын дәлелдеңдер.

Шешім. Ескертіп қой... Сметасын алайық. Кездейсоқ шаманы қарастырайық. Болсын ба? - ерікті оң сан. Содан кейін және сағатта.

Егер, онда және. Демек, . Және себебі? ерікті түрде кішкентай және, содан кейін at, яғни орташа квадратта.

Егер xn ықтималдық бойынша х-ке жинақталса, әлсіз жинақтылық болатынын дәлелдеңдер. Керісінше дұрыс емес екенін көрсету үшін сынақ үлгісін көрсетіңіз.

Шешім. Дәлелдеп көрейік, егер, онда әрбір нүктеде үздіксіздік нүктесі болып табылатын х (әлсіз жинақтылықтың қажетті және жеткілікті шарты) xn шамасының таралу функциясы, ал - х мәні.

F функциясының үзіліссіздігі x нүктесі болсын. Егер, онда теңсіздіктердің ең болмағанда біреуі немесе ақиқат. Содан кейін

Сол сияқты, немесе және теңсіздіктерінің кем дегенде біреуі үшін

Егер, онда қалағаныңызша кішкентай үшін бе? > 0 барлық n > N үшін болатындай N бар

Екінші жағынан, егер x үздіксіздік нүктесі болса, мұндай нәрсені табуға болады ма? > 0, бұл ерікті түрде аз

Сонымен, сіз қалағаныңызша кішкентай үшін бе? және n >N үшін болатындай N бар

немесе, не бірдей,

Бұл конвергенция және үздіксіздіктің барлық нүктелерінде орын алатынын білдіреді. Демек, ықтималдық бойынша конвергенциядан әлсіз конвергенция шығады.

Қарама-қарсы мәлімдеме, жалпы айтқанда, орындалмайды. Мұны тексеру үшін 1 ықтималдығы бар тұрақтыларға тең емес және F(x) таралу функциясы бірдей кездейсоқ шамалардың тізбегін алайық. Біз барлық n шама үшін және тәуелсіз деп есептейміз. Әлсіз конвергенция орын алатыны анық, өйткені тізбектің барлық мүшелері бірдей таралу функциясына ие. Қарастырыңыз:

|Тәуелсіздігінен және құндылықтардың бірдей бөлінуінен мыналар шығады

Азғындалмаған кездейсоқ шамалардың барлық таралу функцияларының ішінен барлық жеткілікті кіші ? үшін нөлге тең болмайтын F(x) таңдап алайық. Сонда ол n-дің шексіз өсуімен нөлге ұмтылмайды және ықтималдықта жинақтылық болмайды.

7. 1 ықтималдығымен тұрақты шама болатын әлсіз жинақтылық болсын. Бұл жағдайда оның ықтималдықпен жақындайтынын дәлелдеңіз.

Шешім. 1 ықтималдығы а-ға тең болсын. Сонда әлсіз конвергенция кез келген үшін конвергенцияны білдіреді. Содан бері, содан кейін және at. Яғни, at және at. Бұл біреу үшін солай ма? > 0 ықтималдығы

нөлге бейім. Соны білдіреді

кезінде нөлге ұмтылады, яғни ықтималдық бойынша жинақталады.

2.2 Орталық жылу орталығы бойынша есептерді шешу

Г(x) гамма-функцияның x= кезіндегі мәні Монте-Карло әдісімен есептеледі. 0,95 ықтималдықпен есептеулердің салыстырмалы қателігі бір пайыздан аз болатынын күту үшін қажетті сынақтардың ең аз санын табайық.

Бізде дәлдікке дейін бар

Бұл белгілі

(1) тармағына өзгеріс енгізіп, интегралға ақырлы интервалда келеміз:

Сондықтан бізбен бірге

Көріп отырғанымыздай, оны қай жерде түрінде көрсетуге болады және біркелкі таралады. Статистикалық сынақтар жүргізілсін. Сонда статистикалық аналогы сан болып табылады

мұндағы, біркелкі үлестірілетін тәуелсіз кездейсоқ шамалар. Бола тұра

CLT-тен ол параметрлермен асимптотикалық қалыпты болып шығады.

Бұл есептеудің салыстырмалы қателігін ықтималдықпен қамтамасыз ететін сынақтардың ең аз саны теңден аспайтынын білдіреді.

Біз математикалық күту 4 және дисперсиясы 1,8 болатын 2000 тәуелсіз бірдей таралған кездейсоқ шамалардың тізбегін қарастырамыз. Бұл шамалардың арифметикалық ортасы кездейсоқ шама болып табылады. Кездейсоқ шаманың (3,94; 4,12) интервалында мән қабылдау ықтималдығын анықтаңыз.

M=a=4 және D==1,8 үлестірімі бірдей тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегі, …,… болсын. Содан кейін CLT () тізбегіне қолданылады. Кездейсоқ мән

Оның аралықта мән қабылдау ықтималдығы ():

n=2000 үшін 3,94 және 4,12 аламыз

3 Тәуелсіздік критерийі арқылы гипотезаны тексеру

Зерттеу нәтижесінде 782 ақжарқын әкенің де көзі ашық, ал 89 әкенің қара көзді ұлдары бар екені анықталды. Сондай-ақ 50 қара көз әкенің қара көз ұлдары, 79 қара көз әкенің көзі ашық ұлдары бар. Әкелерінің көзінің түсі мен ұлдарының көзінің түсі арасында байланыс бар ма? Сенімділік деңгейін 0,99 деп алыңыз.

2.1-кесте

БалаларӘкелерСұм Ашық көздіҚара көздіАшық көзді78279861Қара көзді8950139Сум8711291000

H: Балалар мен әкелердің көзінің түсі арасында ешқандай байланыс жоқ.

H: Балалар мен әкелердің көзінің түсі арасында байланыс бар.

s=k=2 =90,6052 еркіндік дәрежесі 1

Есептер Mathematica 6-да жасалды.

> болғандықтан, онда әкелер мен балалардың көзінің түсі арасында маңыздылық деңгейінде байланыстың жоқтығы туралы гипотезаны H теріске шығарып, баламалы H гипотезасын қабылдау керек.

Препараттың әсері қолдану әдісіне байланысты екені айтылады. Бұл мәлімдемені кестеде келтірілген деректерді пайдаланып тексеріңіз. 2.2 Сенімділік деңгейін 0,95 деп алыңыз.

2.2-кесте

Нәтиже Қолдану әдісі ABC Қолайсыз 111716 Қолайлы 202319

Шешім.

Бұл мәселені шешу үшін біз екі сипаттаманың күтпеген кестесін қолданамыз.

2.3-кесте

Нәтиже Өтініш әдісі Сома АВС Қолайсыз 11171644 Қолайлы 20231962 Сома 314035106

Н: препараттардың әсері енгізу әдісіне байланысты емес

Н: препараттардың әсері қолдану әдісіне байланысты

Статистика келесі формула бойынша есептеледі

s=2, k=3, =0,734626 2 еркіндік дәрежесімен.

Mathematica 6 бойынша жасалған есептеулер

Бөлу кестелерінен біз мұны табамыз.

Өйткені< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Қорытынды

Бұл жұмыста «Тәуелсіздік критерийі» тарауындағы теориялық есептеулер, сондай-ақ «Ықтималдықтар теориясының шектік теоремалары», «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» курсы берілген. Жұмыс барысында тәуелсіздік критерийі тәжірибе жүзінде тексерілді; Сондай-ақ тәуелсіз кездейсоқ шамалардың берілген тізбегі үшін орталық шек теоремасының орындалуы тексерілді.

Бұл жұмыс менің ықтималдықтар теориясының осы бөлімдері бойынша білімімді жетілдіруге, әдеби дереккөздермен жұмыс істеуге және тәуелсіздік критерийін тексеру әдістемесін берік меңгеруге көмектесті.

ықтималдық статистикалық гипотеза теоремасы

Сілтемелер тізімі

1. Ықтималдықтар теориясынан шешімдерімен есептер жинағы. Үш. жәрдемақы / Ред. В.В. Семенец. - Харьков: ХТУРЕ, 2000. - 320 б.

Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика. - К.: Вища мектебі, 1979. - 408 б.

Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Математикалық статистика: Оқу құралы. колледждерге жәрдемақы. - М.: Жоғары. мектеп, 1984. - 248 б., .

Математикалық статистика: Оқулық. университеттерге арналған / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова және басқалар; Ред. В.С. Зарубина, А.П. Крисченко. - М.: ММУ баспасы им. Н.Е. Бауман, 2001. – 424 б.

Репетиторлық

Тақырыпты зерттеуге көмек керек пе?

Біздің мамандар сізді қызықтыратын тақырыптар бойынша кеңес береді немесе репетиторлық қызметтерді ұсынады.
Өтінішіңізді жіберіңізКонсультация алу мүмкіндігі туралы білу үшін дәл қазір тақырыпты көрсету.