Үлкен сандар заңы. Орталық шек теоремасы

Жоғалтпа.Жазылыңыз және электрондық поштаңыздағы мақалаға сілтеме алыңыз.

Күнделікті жұмыста немесе оқуда сандармен және сандармен қарым-қатынас жасай отырып, көпшілігіміз, мысалы, статистикада, экономикада, тіпті психологиялық-педагогикалық зерттеулерде қолданылатын үлкен сандардың өте қызықты заңы бар деп күдіктенбейміз. Ол ықтималдықтар теориясына сілтеме жасайды және тіркелген үлестірімдегі кез келген үлкен үлгінің арифметикалық ортасы осы үлестірімнің математикалық күтуіне жақын екенін айтады.

Сіз бұл заңның мәнін түсіну оңай емес екенін байқаған боларсыз, әсіресе математикаға онша жақын емес адамдар үшін. Осыған сүйене отырып, біз бұл туралы қарапайым тілмен (мүмкіндігінше, әрине) сөйлескіміз келеді, сондықтан әркім оның не екенін шамамен өзі түсінеді. Бұл білім сізге кейбір математикалық заңдылықтарды жақсы түсінуге, білімді болуға және оң әсер етуге көмектеседі.

Үлкен сандар заңының түсініктері және оны түсіндіру

Ықтималдықтар теориясындағы үлкен сандар заңының жоғарыда келтірілген анықтамасынан басқа, оның экономикалық түсіндірмесін беруге болады. Бұл жағдайда қаржылық шығындардың белгілі бір түрінің жиілігін жалпы осындай түрдегі шығындардың жоғары деңгейі болған кезде жоғары сенімділікпен болжауға болатын принципті білдіреді.

Сонымен қатар, белгілердің жақындасу деңгейіне қарай үлкен сандардың әлсіз және күшейтілген заңдарын ажыратуға болады. Ықтималдықта конвергенция болған кезде әлсіз, ал конвергенция барлығында дерлік болған кезде күшті туралы айтып отырмыз.

Егер біз оны сәл басқаша түсіндіретін болсақ, онда біз мынаны айтуымыз керек: сынақтардың осындай соңғы санын әрқашан табуға болады, мұнда кез келген алдын ала бағдарламаланған ықтималдық біреуден аз болса, қандай да бір оқиғаның орын алу жиілігі өте аз болады. оның ықтималдығы.

Сонымен, үлкен сандар заңының жалпы мәнін былай көрсетуге болады: бірдей және тәуелсіз кездейсоқ факторлардың үлкен санының күрделі әрекетінің нәтижесі кездейсоқтыққа тәуелді емес осындай нәтиже болады. Ал одан да қарапайым тілмен айтсақ, онда үлкен сандар заңында массалық құбылыстардың сандық заңдары олардың саны көп болған кезде ғана анық көрінеді (сондықтан үлкен сандар заңы заң деп аталады).

Бұдан заңның мәні мынада: жаппай бақылау арқылы алынған сандарда аздаған фактілерде анықтау мүмкін емес кейбір дұрыстық бар.

Үлкен сандар заңының мәні және оның мысалдары

Үлкен сандар заңы кездейсоқ және қажеттінің ең жалпы заңдылықтарын білдіреді. Кездейсоқ ауытқулар бірін-бірі «өшіргенде» бір құрылым үшін анықталған орташа мәндер типтік пішінді қабылдайды. Олар уақыт пен орынның нақты жағдайларында маңызды және тұрақты фактілердің әрекетін көрсетеді.

Үлкен сандар заңымен анықталатын заңдылықтар бұқаралық тенденцияларды білдіргенде ғана күшті болады және олар жеке жағдайлар үшін заң бола алмайды. Осылайша, математикалық статистиканың принципі күшіне енеді, онда бірқатар кездейсоқ факторлардың күрделі әрекеті кездейсоқ емес нәтиже тудыруы мүмкін. Және бұл принциптің жұмыс істеуінің ең жарқын мысалы кездейсоқ оқиғаның пайда болу жиілігі мен сынақтар саны артқан кезде оның ықтималдығының жинақталуы болып табылады.

Кәдімгі монета лақтыруды еске түсірейік. Теориялық тұрғыдан алғанда, бастар мен құйрықтар бірдей ықтималдықпен түсуі мүмкін. Бұл, мысалы, монета 10 рет лақтырылатын болса, оның 5-і басынан жоғары, 5-і бастың үстіне шығуы керек дегенді білдіреді. Бірақ бұл ешқашан болмайтынын бәрі біледі, өйткені бастар мен құйрықтардың жиілігінің арақатынасы 4-тен 6-ға, 9-дан 1-ге, 2-ден 8-ге дейін болуы мүмкін және т.б. Дегенмен, монета лақтыру санының ұлғаюымен, мысалы, 100-ге дейін, бастардың немесе құйрықтың түсу ықтималдығы 50% жетеді. Егер теориялық тұрғыдан мұндай эксперименттердің шексіз саны жүргізілсе, монетаның екі жағында да құлау ықтималдығы әрқашан 50% -ға бейім болады.

Монетаның дәл қалай түсетініне көптеген кездейсоқ факторлар әсер етеді. Бұл монетаның алақандағы орны және лақтырудың күші, құлау биіктігі, оның жылдамдығы және т.б. Бірақ көптеген эксперименттер болса, факторлардың қалай әрекет ететініне қарамастан, практикалық ықтималдық теориялық ықтималдыққа жақын деп әрқашан дәлелдеуге болады.

Міне, үлкен сандар заңының мәнін түсінуге көмектесетін тағы бір мысал: белгілі бір аймақтағы адамдардың табыс деңгейін бағалау керек делік. Егер 9 адам 20 мың рубль алатын 10 бақылауды және 1 адам - ​​500 мың рубльді қарастыратын болсақ, орташа арифметикалық 68 мың рубль болады, бұл, әрине, екіталай. Бірақ егер 99 адам 20 мың рубль алатын 100 бақылауды, ал 1 адам - ​​500 мың рубльді ескеретін болсақ, онда арифметикалық ортаны есептеу кезінде біз 24,8 мың рубль аламыз, бұл нақты жағдайға жақынырақ. Бақылаулар санын көбейту арқылы біз орташа мәнді шынайы мәнге бейімдеуге мәжбүрлейміз.

Дәл осы себепті үлкен сандар заңын қолдану үшін ең алдымен көп бақылауларды зерттеу арқылы шынайы нәтиже алу үшін статистикалық материал жинау қажет. Сондықтан бұл заңды тағы да статистикада немесе әлеуметтік экономикада қолдану ыңғайлы.

Жинақтау

Үлкен сандар заңының жұмыс істейтіндігінің маңыздылығы ғылыми білімнің кез келген саласы үшін, әсіресе статистика теориясы мен статистикалық білім әдістері саласындағы ғылыми әзірлемелер үшін асыра бағалау қиын. Заң әрекеті зерттелетін объектілердің өздері үшін де жаппай заңдылықтарымен үлкен мәнге ие. Статистикалық бақылаудың барлық дерлік әдістері үлкен сандар заңына және математикалық статистика принципіне негізделген.

Бірақ, ғылым мен статистиканы есепке алмасақ та, үлкен сандар заңы тек ықтималдықтар теориясы саласындағы құбылыс емес, біздің өмірімізде күнделікті дерлік кездесетін құбылыс деп сенімді түрде қорытынды жасауға болады.

Енді үлкен сандар заңының мәні сізге түсінікті болды және сіз оны басқа біреуге оңай және оңай түсіндіре аласыз деп үміттенеміз. Ал егер математика және ықтималдықтар теориясы тақырыбы сізді қызықтырса, онда және туралы оқуды ұсынамыз. Сондай-ақ танысыңыз және. Және, әрине, біздікіне назар аударыңыз, өйткені оны өткеннен кейін сіз жаңа ойлау әдістерін игеріп қана қоймай, жалпы танымдық қабілеттеріңізді, соның ішінде математикалық қабілеттеріңізді жақсартасыз.

Үлкен сандар заңы

Кездейсоқ құбылыстарды зерттеу тәжірибесі көрсеткендей, жеке бақылаулардың, тіпті бірдей жағдайларда жүргізілгендердің де нәтижелері айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін болса да, сонымен бірге бақылаулардың жеткілікті көп санының орташа нәтижелері тұрақты және әлсіз тәуелді болады. жеке бақылаулардың нәтижелері. Кездейсоқ құбылыстардың бұл тамаша қасиетінің теориялық негіздемесі үлкен сандар заңы болып табылады. Үлкен сандар заңының жалпы мағынасы кездейсоқ факторлардың үлкен санының бірлескен әрекеті кездейсоқтықтан дерлік тәуелсіз нәтижеге әкеледі.

Орталық шек теоремасы

Ляпунов теоремасы қалыпты таралу заңының кең таралуын түсіндіреді және оның қалыптасу механизмін түсіндіреді. Теорема кез келген кездейсоқ шама қосындының дисперсиясымен салыстырғанда аз болатын тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көп санын қосу нәтижесінде пайда болған кезде осы кездейсоқ шаманың таралу заңы шығатынын бекітуге мүмкіндік береді. іс жүзінде қалыпты заң болуы. Және кездейсоқ шама әрқашан себептердің шексіз санымен тудырылатындықтан және көбінесе олардың ешқайсысында кездейсоқ шаманың өзінің дисперсиясымен салыстырылатын дисперсиясы болмағандықтан, тәжірибеде кездесетін кездейсоқ шамалардың көпшілігі қалыпты таралу заңына бағынады.

Осы топтардың әрқайсысының теоремаларының мазмұнына толығырақ тоқталайық.

Практикалық зерттеулерде қандай жағдайда оқиғаның ықтималдылығы жеткілікті түрде аз немесе біртұтастыққа ерікті түрде жақын болатынына кепілдік беруге болатынын білу өте маңызды.

астында үлкен сандар заңыжәне бір (немесе нөлге) ерікті түрде жақын ықтималдықпен кездейсоқ оқиғалардың өте үлкен, шексіз өсетін санына тәуелді оқиға болатыны айтылған сөйлемдер жиынтығы ретінде түсініледі, олардың әрқайсысында тек бір ғана бар. оған шамалы әсер етеді.

Дәлірек айтсақ, үлкен сандар заңы кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен санының орташа арифметикалық шамасының тұрақты шамадан ауытқуы ерікті түрде біреуге жақын ықтималдығы бар сөйлемдер жиынтығы деп түсініледі, арифметикалық олардың математикалық күтулерінің орташа мәні берілген еркін аз саннан аспайды.

Табиғат пен қоғамдық өмірде біз бақылайтын жеке-дара, біртұтас құбылыстар жиі кездейсоқ (мысалы, тіркелген өлім, туылған баланың жынысы, ауа температурасы және т.б.) көптеген факторларға қатысы жоқ болғандықтан пайда болады. құбылыстың пайда болуы немесе дамуының мәні. Олардың бақыланатын құбылысқа жалпы әсерін болжау мүмкін емес және олар жеке құбылыстарда әртүрлі көрінеді. Бір құбылыстың нәтижесіне сүйене отырып, мұндай көптеген құбылыстарға тән заңдылықтар туралы ештеңе айтуға болмайды.

Бірақ тәжірибенің көп қайталануымен белгілі бір белгілердің (оқиғаның туындауының салыстырмалы жиілігі, өлшеу нәтижелері және т.б.) сандық сипаттамаларының орташа арифметикалық мәні көптен бері айтылып келеді. шамалы ауытқулар. Ортасында құбылыстардың мәніне тән заңдылық көрінеді, онда жеке бақылаулардың нәтижелерін кездейсоқ жасаған жеке факторлардың әсері өзара жойылады. Теориялық тұрғыдан алғанда, орташа мәннің бұл әрекетін үлкен сандар заңы арқылы түсіндіруге болады. Кездейсоқ шамаларға қатысты кейбір өте жалпы шарттар орындалса, онда арифметикалық ортаның тұрақтылығы іс жүзінде белгілі бір оқиға болады. Бұл шарттар үлкен сандар заңының ең маңызды мазмұнын құрайды.

Бернулли теоремасында бекітілген факт (швейцариялық математик Джейкоб Бернулли(1654-1705)).Бернул теоремасы үлкен сандар заңының қарапайым түрлерінің бірі болып табылады және тәжірибеде жиі қолданылады. Мысалы, респонденттің таңдаудағы кез келген сапасының пайда болу жиілігі сәйкес ықтималдықты бағалау ретінде қабылданады).

Көрнекті француз математигі Симеон Денни Пуассон(1781-1840) бұл теореманы жалпылап, оны сот процесіндегі оқиғалардың ықтималдығы алдыңғы сынақтардың нәтижелеріне тәуелсіз өзгеретін жағдайға кеңейтті. Сондай-ақ ол «үлкен сандар заңы» терминін алғаш қолданған.

Ұлы орыс математигі Пафнутый Львович Чебышев(1821 - 1894) үлкен сандар заңы құбылыстарда кез келген вариациямен әрекет ететінін, сонымен қатар орташа шаманың заңдылығына таралатынын дәлелдеді.

Үлкен сандар заңының теоремаларын одан әрі жалпылау атаулармен байланысты А.А.Марков, С.Н.Бернштейн, А.Я.Хинчин және А.Н.Колмлгоров.

Мәселені жалпы заманауи тұжырымдау, үлкен сандар заңын тұжырымдау, осы заңға байланысты теоремаларды дәлелдеу идеялары мен әдістерін жасау орыс ғалымдарына тиесілі. П.Л.Чебышев, А.А.Марков және А.М.Ляпунов.

ЧЕБЫШЕВТІҢ ТЕҢСІЗДІГІ

Алдымен көмекші теоремаларды қарастырайық: лемма және Чебышев теңсіздігі, олар Чебышев түрінде үлкен сандар заңын оңай дәлелдеуге болады.

Лемма (Чебышев).

Егер X кездейсоқ шамасының теріс мәндері болмаса, онда оның оң А санынан асатын қандай да бір мәнді қабылдау ықтималдығы бөлшектен көп емес, оның алымы кездейсоқ шаманың математикалық күтуі болып табылады, ал бөлгіш – А саны:

Дәлелдеу.Кездейсоқ Х шамасының таралу заңы белгілі болсын:

(i = 1, 2, ..., ) және біз кездейсоқ шаманың мәндерін өсу ретімен орналастыруды қарастырамыз.

А санына қатысты кездейсоқ шаманың мәндері екі топқа бөлінеді: кейбіреулері А-дан аспайды, ал басқалары А-дан үлкен. Бірінші топқа кездейсоқ шаманың бірінші мәндері кіреді делік ( ).

болғандықтан, онда қосындының барлық мүшелері теріс емес. Сондықтан өрнектегі бірінші мүшелерді алып тастап, теңсіздікті аламыз:

Өйткені

,

Бұл

Q.E.D.

Кездейсоқ айнымалылар бірдей математикалық күтулермен әртүрлі үлестірімдерге ие болуы мүмкін. Дегенмен, олар үшін Чебышев леммасы сол немесе басқа сынақ нәтижесінің ықтималдығының бірдей бағасын береді. Лемманың бұл кемшілігі оның жалпылығымен байланысты: барлық кездейсоқ шамалар үшін бірден жақсырақ бағалауға қол жеткізу мүмкін емес.

Чебышев теңсіздігі .

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуден ауытқуының абсолютті мәнде оң саннан асу ықтималдығы

Дәлелдеу.Теріс мәндерді қабылдамайтын кездейсоқ шама болғандықтан, біз теңсіздікті қолданамыз Кездейсоқ шама үшін Чебышев леммасынан:

Q.E.D.

Салдары. Өйткені

,

Бұл

- Чебышев теңсіздігінің тағы бір түрі

Лемма мен Чебышев теңсіздігі үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін де ақиқат екенін дәлелсіз қабылдаймыз.

Чебышев теңсіздігі үлкен сандар заңының сапалық және сандық тұжырымдарының негізінде жатыр. Ол кездейсоқ шама мәнінің оның математикалық күтуінен ауытқуы кейбір берілген саннан үлкен болу ықтималдығының жоғарғы шегін анықтайды. Бір қызығы, Чебышев теңсіздігі тарауы белгісіз кездейсоқ шама үшін оқиғаның ықтималдығының бағасын береді, тек оның математикалық күтуі мен дисперсиясы белгілі.

Теорема. (Чебышев түріндегі үлкен сандар заңы)

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бір тұрақты С-мен шектелсе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда бұл кездейсоқ шамалардың орташа арифметикалық шамасының олардың математикалық күтулерінің арифметикалық ортасынан ауытқуы болмайтын ықтималдық бірлікке ерікті түрде жақын болады. абсолюттік мәнде берілген оң саннан асып кету, ол қаншалықты аз болса да, бірде-біреуі болмады:

.

Теореманы дәлелсіз қабылдаймыз.

Салдары 1. Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың бірдей, тең, математикалық күтулері болса, олардың дисперсиялары бірдей тұрақты С-мен шектелсе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда берілген оң сан қанша аз болса да, орташа шаманың ауытқу ықтималдығы бұл кездейсоқ шамалардың бірлік арифметикасына ерікті түрде жақын, абсолютті мәннен аспайды.

Белгісіз шаманың жуық мәні бірдей шарттарда жүргізілген жеткілікті үлкен өлшемдердің нәтижелерінің орташа арифметикалық мәні ретінде қабылдану фактісін осы теорема арқылы негіздеуге болады. Шынында да, өлшеу нәтижелері кездейсоқ болады, өйткені оларға көптеген кездейсоқ факторлар әсер етеді. Жүйелі қателердің болмауы жеке өлшеу нәтижелерінің математикалық күтулерінің бірдей және тең екендігін білдіреді. Демек, үлкен сандар заңына сәйкес өлшемдердің жеткілікті үлкен санының арифметикалық ортасы іс жүзінде қалаған мәннің шынайы мәнінен еркін түрде аз ерекшеленеді.

(Естеріңізге сала кетейік, қателер, егер олар өлшеу нәтижесін азды-көпті анық заң бойынша бір бағытта бұрмалайтын болса, жүйелік деп аталады. Бұларға жеке ерекшеліктеріне байланысты аспаптардың жетілмегендігінің нәтижесінде пайда болатын қателер (аспаптық қателер) жатады. бақылаушының (жеке қателіктер) және т.б.)

Салдары 2 . (Бернулли теоремасы.)

Егер әрбір тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты болса және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда ықтималдық оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан ерікті түрде аз ерекшеленетін бірлікке ерікті түрде жақын болады. орын алуы:

Бернулли теоремасы егер оқиғаның ықтималдығы барлық сынақтарда бірдей болса, онда сынақтар санының артуымен оқиғаның жиілігі оқиғаның ықтималдылығына бейім болады және кездейсоқ болудан қалады.

Тәжірибеде кез келген тәжірибеде оқиғаның болу ықтималдығы өзгермейтін эксперименттер салыстырмалы түрде сирек кездеседі, көбінесе әртүрлі эксперименттерде әртүрлі болады. Пуассон теоремасы осы типтегі сынақ схемасына жатады:

Қорытынды 3 . (Пуассон теоремасы.)

Егер -тестте оқиғаның орын алу ықтималдығы алдыңғы сынақтардың нәтижелері белгілі болған кезде өзгермесе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда оқиғаның пайда болу жиілігі арифметикалық орташа ықтималдықтардан ерікті түрде аз ерекшеленеді. бірлікке ерікті түрде жақын:

Пуассон теоремасы тәуелсіз сынақтар тізбегіндегі оқиғаның жиілігі оның ықтималдықтарының арифметикалық ортасына бейімділігін және кездейсоқ болуын тоқтататынын айтады.

Қорытындылай келе, қарастырылған теоремалардың ешқайсысы қалаған ықтималдықтың дәл де, тіпті шамамен мәнін де бермейтінін, тек оның төменгі немесе жоғарғы шегі көрсетілгенін ескереміз. Сондықтан, егер сәйкес оқиғалардың ықтималдықтарының дәл немесе кем дегенде шамамен мәнін орнату қажет болса, бұл теоремалардың мүмкіндіктері өте шектеулі.

Үлкен мәндер үшін шамамен ықтималдықтарды тек шекті теоремалар арқылы алуға болады. Оларда не кездейсоқ шамаларға қосымша шектеулер қойылады (мысалы, Ляпунов теоремасындағыдай), не белгілі бір типтегі кездейсоқ шама қарастырылады (мысалы, Мовр-Лаплас интегралдық теоремасында).

Үлкен сандар заңының өте жалпы тұжырымы болып табылатын Чебышев теоремасының теориялық мәні зор. Алайда, егер біз оны тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегіне үлкен сандар заңын қолдану мүмкін бе деген сұраққа қолданатын болсақ, онда жауап иә болса, теорема жиі кездейсоқ шамалардың әлдеқайда көп болуын талап етеді. үлкен сандар заңының күшіне енуі үшін қажет. Чебышев теоремасының бұл кемшілігі оның жалпы сипатымен түсіндіріледі. Сондықтан қажетті ықтималдықтың төменгі (немесе жоғарғы) шекарасын дәлірек көрсететін теоремалар болғаны жөн. Оларды кездейсоқ шамаларға кейбір қосымша шектеулер қою арқылы алуға болады, әдетте олар тәжірибеде кездесетін кездейсоқ шама үшін қанағаттандырылады.

ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫНЫҢ МАЗМҰНЫ ТУРАЛЫ ЕСКЕРТПЕЛЕР

Егер кездейсоқ шамалардың саны жеткілікті үлкен болса және олар кейбір өте жалпы шарттарды қанағаттандыратын болса, онда олар қалай таралса да, олардың арифметикалық орташа мәні тұрақты мәннен – олардың математикалық күтулерінің арифметикалық ортасынан ерікті түрде аз ауытқыйтыны іс жүзінде сенімді. яғни іс жүзінде тұрақты. Үлкен сандар заңына қатысты теоремалардың мазмұны осындай. Демек, үлкен сандар заңы кездейсоқтық пен қажеттілік арасындағы диалектикалық байланыстың бір көрінісі болып табылады.

Ең алдымен физикалық құбылыстар арасында үлкен сандар заңының көріністері ретінде жаңа сапалық күйлердің пайда болуына көптеген мысалдар келтіруге болады. Солардың бірін қарастырайық.

Қазіргі концепциялар бойынша газдар ретсіз қозғалыстағы жеке бөлшектер-молекулалардан тұрады және оның берілген сәтте қай жерде болатынын және осы немесе басқа молекуланың қандай жылдамдықпен қозғалатынын нақты айту мүмкін емес. Дегенмен, бақылаулар көрсеткендей, газдың қысымы сияқты молекулалардың жалпы әсері

тамыр қабырғасы, таңғажайып тұрақтылықпен көрінеді. Ол соққылардың саны мен олардың әрқайсысының күшімен анықталады. Бірінші және екінші кездейсоқ жағдай болса да, аспаптар қалыпты жағдайда газ қысымының ауытқуын байқамайды. Бұл молекулалардың үлкен санына байланысты, тіпті ең аз көлемде де болуымен түсіндіріледі

қысымның айтарлықтай мөлшерде өзгеруі іс жүзінде мүмкін емес. Сондықтан газ қысымының тұрақтылығын көрсететін физикалық заң үлкен сандар заңының көрінісі болып табылады.

Бір уақытта газдың қысымының тұрақтылығы және кейбір басқа сипаттамалары зат құрылымының молекулалық теориясына қарсы салмақты дәлел болды. Кейіннен олар жеке молекулалардың әсері әлі де сақталуын қамтамасыз ете отырып, салыстырмалы түрде аз молекулаларды бөліп алуды үйренді, осылайша үлкен сандар заңы өзін жеткілікті түрде көрсете алмады. Содан кейін заттың молекулалық құрылымы туралы гипотезаны растайтын газ қысымының ауытқуын байқауға болады.

Сақтандырудың әртүрлі түрлерінің (адам өмірін әр түрлі кезеңдерге, мүлікті, малды, егінді және т.б. сақтандыру) негізінде үлкен сандар заңы жатыр.

Тұтыну тауарларының ассортиментін жоспарлау кезінде оларға халықтың сұранысы ескеріледі. Бұл сұраныста үлкен сандар заңының әрекеті көрінеді.

Статистикада кеңінен қолданылатын іріктеу әдісі өзінің ғылыми негіздемесін үлкен сандар заңында табады. Мысалы, колхоздан дайындау пунктіне әкелінген бидайдың сапасын шамалы өлшемде байқаусызда басып алған дәннің сапасы бағалайды. Бүкіл партиямен салыстырғанда өлшемде дәндер аз, бірақ кез келген жағдайда өлшем оның құрамында дәндер жеткілікті болатындай етіп таңдалады.

қажеттілікті қанағаттандыратын дәлдікпен үлкен сандар заңының көрінісі. Біз келіп түсетін астықтың барлық партиясының дәндерінің арамшөптік, ылғалдылық және орташа салмағының көрсеткіштері ретінде үлгідегі сәйкес көрсеткіштерді алуға құқылымыз.

Ғалымдардың үлкен сандар заңының мазмұнын тереңдетудегі одан әрі күш-жігері осы заңның кездейсоқ шамалар тізбегіне қолдану мүмкіндігінің ең жалпы шарттарын алуға бағытталды. Ұзақ уақыт бойы бұл бағытта түбегейлі табыстар болған жоқ. П.Л.Чебышев пен А.А.Марковтан кейін 1926 жылы ғана кеңес академигі А.Н.Колмогоров үлкен сандар заңының тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегіне қолданылуы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды ала алды. 1928 жылы кеңес ғалымы А.Я.Хинчин үлкен сандар заңының тәуелсіз бірдей таралған кездейсоқ шамалар тізбегіне қолданылуының жеткілікті шарты олардың математикалық күтуінің болуы екенін көрсетті.

Тәжірибе үшін үлкен сандар заңының тәуелді кездейсоқ шамаларға қолданылуы туралы мәселені толық түсіндіру өте маңызды, өйткені табиғат пен қоғамдағы құбылыстар өзара тәуелді және бірін-бірі өзара анықтайды. Қойылуы тиіс шектеулерді түсіндіруге көп жұмыс арналды

үлкен сандар заңын қолдануға болатындай етіп тәуелді кездейсоқ шамаларға айналдырды, олардың ең маңыздылары көрнекті орыс ғалымы А.А.Марков пен ұлы кеңес ғалымдары С.Н.Бернштейн мен А.Я.Хинчиннің заңдары.

Бұл жұмыстардың негізгі нәтижесі - үлкен сандар заңы тәуелді кездейсоқ шамаларға қолданылады, егер сандары жақын кездейсоқ шамалардың арасында және алыс сандары бар кездейсоқ шамалардың арасында күшті тәуелділік болса, тәуелділік жеткілікті әлсіз. Бұл түрдегі кездейсоқ шамалардың мысалдары климаттың сандық сипаттамалары болып табылады. Әр күннің ауа-райына алдыңғы күндердің ауа-райы айтарлықтай әсер етеді және күндердің бір-бірінен қашықтығымен әсер айтарлықтай әлсірейді. Демек, үлкен сандар заңына сәйкес белгілі бір аумақтың ұзақ мерзімді орташа температурасы, қысымы және басқа климаттық сипаттамалары олардың математикалық күтулеріне іс жүзінде жақын болуы керек. Соңғылары жергілікті климаттың объективті сипаттамалары болып табылады.

Үлкен сандар заңын тәжірибе жүзінде тексеру үшін әр түрлі уақытта келесі тәжірибелер жүргізілді.

1. Тәжірибе Буффон. Монета 4040 рет аударылған. Елтаңба 2048 рет құлаған. Оның пайда болу жиілігі 0,50694 = тең болды

2. Тәжірибе Пирсон. Монета 12 000 және 24 000 рет аударылған. Елтаңбаны жоғалту жиілігі бірінші жағдайда 0,5016, екіншісінде 0,5005 болып шықты.

H. Тәжірибе Вестергаард. Ақ және қара шарлар бірдей болатын урнадан 10 000 экстракциямен 5011 ақ және 4989 қара шар алынды (келесі тартылған шарды урнаға қайтарумен). Ақ шарлардың жиілігі 0,50110 = (), ал қара - 0,49890 болды.

4. В.И. тәжірибесі. Романовский. Төрт тиын 21160 рет лақтырылды. Елтаңба мен тордың әртүрлі комбинацияларының жиіліктері мен жиіліктері келесідей бөлінді:

Үлкен сандар заңының тәжірибелік сынақтарының нәтижелері эксперименттік жиіліктердің ықтималдықтарға жақын екендігіне көз жеткізеді.

ОРТАЛЫҚ ШЕК ТЕОРЕМАСЫ

Тәуелсіз қалыпты таралған кездейсоқ шамалардың кез келген соңғы санының қосындысы да қалыпты заң бойынша таратылатынын дәлелдеу оңай.

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалар қалыпты заң бойынша бөлінбесе, онда оларға өте бос шектеулер қойылуы мүмкін және олардың қосындысы бұрынғысынша қалыпты түрде таралады.

Бұл мәселені негізінен орыс ғалымдары П.Л.Чебышев және оның шәкірттері А.А.Марков пен А.М.Ляпунов қойып, шешті.

Теорема (Ляпунов).

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы математикалық күтулері және соңғы дисперсиялары болса , олардың саны жеткілікті үлкен және шексіз өсумен

,

үшінші ретті абсолютті орталық моменттері қайда орналасқан, онда олардың жеткілікті дәрежелі дәлдіктегі қосындысы үлестірімге ие болады.

(Шындығында, біз Ляпунов теоремасын емес, оның салдарларының бірін келтіреміз, өйткені бұл қорытынды практикалық қолдану үшін жеткілікті. Сондықтан Ляпунов шарты деп аталатын шарт Ляпунов теоремасын дәлелдеу үшін қажеттіден күштірек талап болып табылады. теореманың өзі.)

Шарттың мағынасы: әрбір терминнің әрекеті (кездейсоқ шама) олардың барлығының жалпы әрекетімен салыстырғанда аз. Табиғатта және қоғамдық өмірде кездесетін көптеген кездейсоқ құбылыстар дәл осы заңдылық бойынша жүреді. Осыған байланысты Ляпунов теоремасы ерекше үлкен маңызға ие және қалыпты таралу заңы ықтималдықтар теориясындағы негізгі заңдардың бірі болып табылады.

Мысалы, өлшеукейбір өлшем. Бақыланатын мәндердің оның шынайы мәнінен (математикалық күтуден) әртүрлі ауытқулары өте көп факторлардың әсер етуі нәтижесінде алынады, олардың әрқайсысы шағын қатені тудырады және . Сонда жалпы өлшеу қателігі кездейсоқ шама болып табылады, ол Ляпунов теоремасы бойынша қалыпты заң бойынша таралуы керек.

Сағат мылтық атукездейсоқ себептердің өте үлкен санының әсерінен снарядтар белгілі бір аумаққа шашыраңқы болады. Снарядтың траекториясына кездейсоқ әсерлерді тәуелсіз деп санауға болады. Әрбір себеп барлық себептерге байланысты жалпы өзгеріспен салыстырғанда траекторияда аз ғана өзгеріс тудырады. Сондықтан снарядтың жарылған жерінің нысанадан ауытқуы қалыпты заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама болады деп күту керек.

Ляпунов теоремасы бойынша біз мұны күтуге құқылымыз, мысалы, ересек еркек биіктігіқалыпты заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама. Бұл гипотеза, сондай-ақ алдыңғы екі мысалда қарастырылғандар сияқты, бақылаулармен жақсы сәйкес келеді.Растау үшін біз 1000 ересек ер жұмысшының биіктігі бойынша бөлінуін және еркектердің сәйкес теориялық сандарын, яғни, ерлердің санын ұсынамыз. қалыпты заң бойынша ерлердің өсу болжамының таралу негізінде осы топтардың өсуі болуы керек.

Эксперименттік деректер мен теориялық мәліметтер арасында дәлірек келісім күту қиын болар еді.

Ляпунов теоремасының нәтижесі ретінде таңдау әдісін негіздеу үшін келесіде қажет болатын ұсынысты оңай дәлелдеуге болады.

Ұсыныс.

Үшінші ретті абсолютті орталық моменттері бар бірдей таралған кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен санының қосындысы қалыпты заң бойынша таратылады.

Ықтималдық теориясының шекті теоремалары, Мовр-Лаплас теоремалары оқиғаның пайда болу жиілігінің тұрақтылығының сипатын түсіндіреді. Бұл сипат сынаулар санының шексіз ұлғаюымен оқиғаның пайда болу санының шекті таралуы (егер барлық сынақтардағы оқиғаның ықтималдығы бірдей болса) қалыпты таралу болып табылатындығынан тұрады.

Кездейсоқ шамалар жүйесі.

Жоғарыда қарастырылған кездейсоқ шамалар бір өлшемді болды, яғни. бір санмен анықталды, алайда екі, үш және т.б. арқылы анықталатын кездейсоқ шамалар да бар. сандар. Мұндай кездейсоқ шамаларды екі өлшемді, үш өлшемді және т.б.

Жүйеге енгізілген кездейсоқ шамалардың түріне байланысты, егер жүйеде кездейсоқ шамалардың әртүрлі типтері болса, жүйелер дискретті, үздіксіз немесе аралас болуы мүмкін.

Екі кездейсоқ шама жүйелерін толығырақ қарастырайық.

Анықтама. бөлу заңыКездейсоқ шамалар жүйесі кездейсоқ шамалар жүйесінің мүмкін мәндерінің облыстары мен осы аймақтарда жүйенің пайда болу ықтималдылығы арасындағы байланысты орнататын қатынас деп аталады.

Мысал. 2 ақ және 3 қара шар бар урнадан екі шар суырылады. Сызылған ақ шарлардың саны болсын, кездейсоқ шама келесідей анықталады:

Кездейсоқ шамалар жүйесінің таралу кестесін құрайық:

Өйткені ақ шарлардың алынбау ықтималдығы (демек, екі қара шар шығарылады), ал , онда

.

Ықтималдық

.

Ықтималдық

Ықтималдық бірде-бір ақ шардың алынбау ықтималдығы (демек, екі қара шардың шығарылуы), ал , сонда

Ықтималдық бір ақ шардың (демек, бір қараның) тартылу ықтималдығы, ал , сонда

Ықтималдық - екі ақ шардың тартылу ықтималдығы (және, демек, қара емес), әзірше , содан кейін

.

Осылайша, екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу қатары келесідей формада болады:

Анықтама. бөлу функциясыекі кездейсоқ шама жүйесі екі аргументтің функциясы деп аталадыФ( x, ж) , екі теңсіздікті бірлесіп орындау ықтималдығына теңX< x, Ы< ж.

Екі кездейсоқ шама жүйесінің таралу функциясының келесі қасиеттерін атап өтеміз:

1) ;

2) Бөлу функциясы әрбір аргументке қатысты төмендемейтін функция:

3) Мыналар дұрыс:

4)

5) Кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығы ( X, Y ) қабырғалары координаталық осьтерге параллель болатын ерікті тіктөртбұрышқа келесі формуламен есептеледі:

Екі кездейсоқ шама жүйесінің таралу тығыздығы.

Анықтама.Бірлескен таралу тығыздығыекі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдығы ( X, Y ) таралу функциясының екінші аралас жартылай туындысы деп аталады.

Егер таралу тығыздығы белгілі болса, онда таралу функциясын мына формула бойынша табуға болады:

Екі өлшемді таралу тығыздығы теріс емес және екі өлшемді тығыздықтың шексіз шекаралары бар қос интеграл бірге тең.

Белгілі бірлескен таралу тығыздығынан екі өлшемді кездейсоқ шаманың құрамдастарының әрқайсысының таралу тығыздығын табуға болады.

; ;

Таралудың шартты заңдары.

Жоғарыда көрсетілгендей, бірлескен таралу заңын біле отырып, жүйеге енгізілген әрбір кездейсоқ шама үшін таралу заңдарын оңай табуға болады.

Бірақ тәжірибеде кері есеп жиі кездеседі – кездейсоқ шамалардың белгілі таралу заңдары бойынша олардың бірлескен таралу заңын табыңыз.

Жалпы жағдайда бұл мәселе шешілмейді, өйткені кездейсоқ шаманың таралу заңы бұл айнымалының басқа кездейсоқ шамалармен байланысы туралы ештеңе айтпайды.

Сонымен қатар, егер кездейсоқ шамалар бір-біріне тәуелді болса, онда таралу заңын компоненттердің таралу заңдары арқылы көрсету мүмкін емес, өйткені құрамдас бөліктері арасында байланыс орнату керек.

Мұның бәрі шартты бөлу заңдарын қарастыру қажеттілігіне әкеледі.

Анықтама. Басқа кездейсоқ шама белгілі бір мән алған жағдайда табылған жүйеге енгізілген бір кездейсоқ шаманың таралуы деп аталады. шартты бөлу заңы.

Шартты таралу заңын таралу функциясы арқылы да, таралу тығыздығы арқылы да көрсетуге болады.

Шартты таралу тығыздығы мына формулалармен есептеледі:

Шартты таралу тығыздығы бір кездейсоқ шаманың таралу тығыздығының барлық қасиеттеріне ие.

Шартты математикалық күту.

Анықтама. Шартты күтудискретті кездейсоқ шама Y X = x кезінде (х – Х-тің белгілі бір мүмкін мәні) барлық мүмкін мәндердің көбейтіндісі деп аталадыЫ олардың шартты ықтималдықтары бойынша.

Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін:

,

Қайда f( ж/ x) кездейсоқ шаманың шартты тығыздығы болып табылады X = x кезінде Y.

Шартты күтуМ( Ы/ x)= f( x) функциясы болып табылады Xжәне шақырды регрессия функциясы X қосулы Ы.

Мысал.Компоненттің шартты күтуін табыңыз Y сағ

X=x1 Кестеде берілген дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама үшін =1:

Кездейсоқ шамалар жүйесінің шартты дисперсиясы мен шартты моменттері бірдей анықталады.

Тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

Анықтама. Кездейсоқ айнымалылар деп аталады тәуелсіз, егер олардың біреуінің таралу заңы басқа кездейсоқ шаманың қандай мән алатынына байланысты болмаса.

Кездейсоқ шамалардың тәуелділігі туралы түсінік ықтималдықтар теориясында өте маңызды.

Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың шартты үлестірімдері олардың шартсыз таралуларына тең.

Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігінің қажетті және жеткілікті шарттарын анықтайық.

Теорема. Ы тәуелсіз болса, жүйенің таралу функциясы қажет және жеткілікті ( X, Ы) құрауыштардың таралу функцияларының көбейтіндісіне тең болды.

Ұқсас теореманы таралу тығыздығы үшін тұжырымдауға болады:

Теорема. Кездейсоқ шамалардың X және Ы тәуелсіз, жүйенің ортақ таралу тығыздығы қажет және жеткілікті ( X, Ы) құрамдас бөліктердің таралу тығыздықтарының көбейтіндісіне тең болды.

Іс жүзінде келесі формулалар қолданылады:

Дискретті кездейсоқ айнымалылар үшін:

Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін:

Корреляциялық момент кездейсоқ шамалар арасындағы байланысты сипаттау үшін қызмет етеді. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олардың корреляция моменті нөлге тең болады.

Корреляциялық момент X және кездейсоқ шамаларының өлшемдерінің көбейтіндісіне тең өлшемге иеЫ . Бұл факт осы сандық сипаттаманың кемшілігі болып табылады, өйткені әртүрлі өлшем бірліктерімен әртүрлі корреляция моменттері алынады, бұл әртүрлі кездейсоқ шамалардың корреляциялық моменттерін салыстыруды қиындатады.

Бұл кемшілікті жою үшін тағы бір сипаттама – корреляция коэффициенті қолданылады.

Анықтама. Корреляция коэффициенті rxy кездейсоқ шамалар X жәнеЫ корреляциялық моменттің осы шамалардың стандартты ауытқуларының көбейтіндісіне қатынасы болып табылады.

Корреляция коэффициенті – өлшемсіз шама. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін корреляция коэффициенті нөлге тең.

Мүлік: Екі X және Y кездейсоқ шамаларының корреляциялық моментінің абсолютті мәні олардың дисперсияларының орташа геометриялық мәнінен аспайды.

Мүлік: Корреляция коэффициентінің абсолютті мәні бірліктен аспайды.

Кездейсоқ айнымалылар деп аталады корреляцияланғанегер олардың корреляция моменті нөлге тең емес болса, және корреляциясызегер олардың корреляциялық моменті нөлге тең болса.

Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олар корреляциясыз, бірақ корреляциядан тәуелсіз деп қорытынды жасауға болмайды.

Егер екі шама тәуелді болса, онда олар корреляциялық немесе корреляциясыз болуы мүмкін.

Көбінесе кездейсоқ шамалар жүйесінің берілген таралу тығыздығына сәйкес осы айнымалылардың тәуелділігін немесе тәуелсіздігін анықтауға болады.

Корреляция коэффициентімен қатар кездейсоқ шамалардың тәуелділік дәрежесін басқа шамамен де сипаттауға болады, оны ковариация коэффициенті. Ковариация коэффициенті формула бойынша анықталады:

Мысал.Кездейсоқ шамалар жүйесінің таралу тығыздығы X жәнетәуелсіз. Әрине, олар да байланыссыз болады.

Сызықтық регрессия.

Екі өлшемді кездейсоқ шаманы қарастырайық ( X , Y ), мұндағы X және Y тәуелді кездейсоқ шамалар болып табылады.

Шамамен бір кездейсоқ шаманы басқасының функциясы ретінде көрсетейік. Нақты сәйкестік мүмкін емес. Бұл функция сызықтық деп есептейміз.

Бұл функцияны анықтау үшін тұрақты мәндерді табу ғана қалады аЖәне б.

Анықтама. Функцияg( X) шақырды ең жақсы жуықтаукездейсоқ шамаЫ ең кіші квадраттар әдісі мағынасында, егер математикалық күту

Мүмкін болатын ең кіші мәнді қабылдайды. Сондай-ақ функцияg( x) шақырды орташа квадрат регрессия Y - X.

Теорема. Сызықтық орташа квадрат регрессия Ы X бойынша мына формуламен есептеледі:

осы формулада mx= М( X кездейсоқ шама Ыкездейсоқ шамаға қатысты X.Бұл мән кездейсоқ шаманы ауыстыру нәтижесінде пайда болатын қатенің шамасын сипаттайдыЫсызықтық функцияg( X) = аX +б.

Көрініп отыр, егер r= ± 1, онда қалдық дисперсия нөлге тең, демек қате нөлге тең және кездейсоқ шамаЫкездейсоқ шаманың сызықтық функциясымен дәл берілген X.

Тікелей түбір орташа квадраттық регрессия XқосулыЫмына формуламен анықталады: X және Ыбір-біріне қатысты сызықтық регрессия функциялары болса, онда шамалар деп айтамыз XЖәнеЫқосылған сызықтық корреляциялық тәуелділік.

Теорема. Егер екі өлшемді кездейсоқ шама ( X, Ы) қалыпты таралған, содан кейін X және Ы сызықтық корреляциялық тәуелділік арқылы байланысады.

Е.Г. Никифорова

Үлкен және алуан түрлі материалда ашылған кездейсоқ оқиғалардың пайда болу жиілігін тұрақтандыру құбылысы алғашында ешқандай негіздемеге ие болмады және таза эмпирикалық факт ретінде қабылданды. Бұл саладағы алғашқы теориялық нәтиже 1713 жылы жарияланған әйгілі Бернулли теоремасы болды, ол үлкен сандар заңдарының негізін қалады.

Бернулли теоремасы өз мазмұны бойынша шекті теорема, яғни бақылаулар саны көп ықтималдық параметрлермен не болатынын айтатын асимптотикалық мағынаны білдіреді. Осы түрдегі барлық қазіргі көптеген мәлімдемелердің бастаушысы дәл Бернулли теоремасы болып табылады.

Бүгінде үлкен сандардың математикалық заңы көптеген нақты процестердің кейбір ортақ қасиетінің көрінісі болып табылатын сияқты.

Бұл заңды қолданудың таусылған потенциалдық мүмкіндіктеріне сәйкес келетін үлкен сандар заңын мүмкіндігінше көбірек қамтуға ұмтыла отырып, ғасырымыздың ұлы математиктерінің бірі А.Н. Колмогоров оның мәнін былай тұжырымдаған: үлкен сандар заңы «көптеген кездейсоқ факторлардың әрекеті кездейсоқтықтан дерлік тәуелсіз нәтижеге әкелетін жалпы принцип.

Осылайша, үлкен сандар заңының екі түсіндірмесі бар. Біреуі математикалық, нақты математикалық модельдермен, тұжырымдармен, теориялармен байланысты, ал екіншісі жалпылама, осы шеңберден шығып кетеді. Екінші интерпретация сыртқы жағынан мұндай сабақтастыққа ие емес көптеген жасырын немесе көрінетін әсер етуші факторлардың фонында әртүрлі дәрежедегі бағытталған әрекетте тәжірибеде жиі байқалатын қалыптасу құбылысымен байланысты. Екінші түсіндіруге қатысты мысалдар еркін нарықтағы баға белгілеу, белгілі бір мәселе бойынша қоғамдық пікірді қалыптастыру.

Үлкен сандар заңының бұл жалпы түсіндірмесін атап өтіп, осы заңның нақты математикалық тұжырымдарына жүгінейік.

Жоғарыда айтқанымыздай, ықтималдық теориясы үшін ең бірінші және ең маңыздысы Бернулли теоремасы болып табылады. Қоршаған дүниенің маңызды заңдылықтарының бірін бейнелейтін бұл математикалық фактінің мазмұны келесіге дейін қысқарады.

Шарттары сынақтан сынаққа үнемі қайталанатын байланысы жоқ (яғни, тәуелсіз) сынақтар тізбегін қарастырыңыз. Әрбір сынақтың нәтижесі бізді қызықтыратын оқиғаның пайда болуы немесе көрінбеуі болып табылады. А.

Эту процедуру (схему Бернулли), очевидно, можно признать типичной для многих практических областей: «мальчик - девочка» в последовательности новорожденных, ежедневные метеорологические наблюдения («был дождь - не был»), контроль потока выпускаемых изделий («нормальное - дефектное») және т.б.

Оқиғаның пайда болу жиілігі Асағ Псынақтар ( t A -

оқиға жиілігі АВ Псынақтар) өсу бар Поның құндылығын тұрақтандыру үрдісі, бұл эмпирикалық факт.

Бернулли теоремасы.Кез келген ерікті шағын оң санды таңдап алайық.Одан кейін

Бернулли белгілі бір математикалық модельде (Бернулли схемасында) белгілеген математикалық фактіні жиілік тұрақтылығының эмпирикалық түрде белгіленген заңдылығымен шатастырмау керектігін атап өтеміз. Бернулли (9.1) формуласының тұжырымымен ғана қанағаттанған жоқ, тәжірибенің қажеттілігін ескере отырып, осы формуладағы теңсіздіктің бағасын берді. Төменде біз бұл түсіндіруге қайта ораламыз.

Бернуллидің үлкен сандар заңы оны нақтылауға ұмтылған көптеген математиктердің зерттеу нысаны болды. Осындай нақтылаудың бірін ағылшын математигі Мойвр алды және қазіргі уақытта Мойвр-Лаплас теоремасы деп аталады. Бернулли схемасында нормаланған шамалардың ретін қарастырыңыз:

Мовр – Лапластың интегралдық теоремасы.Кез келген екі санды таңдаңыз X (Және x 2 .Бұл жағдайда x, x 7, содан кейін қашан П -» °°

(9.3) формуланың оң жағында айнымалы болса x xшексіздікке бейім болса, онда тек x 2-ге ғана тәуелді нәтиже шегі (бұл жағдайда 2 индексін алып тастауға болады) таралу функциясы болады, ол деп аталады. стандартты қалыпты таралу,немесе Гаусс заңы.

(9.3) формуласының оң жағы у = тең F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 сағ x 2-> °° және F(x,) -> x үшін 0, -> жеткілікті үлкен таңдау арқылы

X] > 0 және абсолютті мәнде X] n жеткілікті үлкен болса, теңсіздікті аламыз:

(9.2) формуланы ескере отырып, біз іс жүзінде сенімді бағалауларды шығара аламыз:

Егер y = 0,95 сенімділігі (яғни, қателік ықтималдығы 0,05) біреуге жеткіліксіз болып көрінсе, оны қауіпсіз ойнауға және жоғарыда аталған үш сигма ережесін пайдаланып, сәл кеңірек сенімділік аралығын құруға болады:

Бұл аралық өте жоғары сенімділік деңгейіне сәйкес келеді y = 0,997 (қалыпты таралу кестелерін қараңыз).

Тиын лақтыру мысалын қарастырайық. Тиын лақтырайық n = 100 рет. Бұл жиілік болуы мүмкін Рықтималдығынан мүлде басқаша болады Р= 0,5 (тиынның симметриясын ескере отырып), мысалы, ол нөлге тең бола ма? Ол үшін Елтаңба бір рет болса да түспеуі керек. Мұндай оқиға теориялық тұрғыдан мүмкін, бірақ біз мұндай ықтималдықтарды есептеп қойдық, бұл оқиға үшін ол тең болады Бұл мән

өте кішкентай, оның реті 30 ондық таңбадан тұратын сан. Мұндай ықтималдығы бар оқиғаны іс жүзінде мүмкін емес деп санауға болады. Тәжірибелердің көп санымен ықтималдық жиілігінің қандай ауытқулары іс жүзінде мүмкін болады? Мовр-Лаплас теоремасын пайдалана отырып, біз бұл сұраққа келесідей жауап береміз: ықтималдықпен сағ= 0,95 елтаңба жиілігі Рсенімділік интервалына сәйкес келеді:

Егер 0,05 қатесі аз емес болып көрінсе, тәжірибелер санын көбейту керек (тиын лақтыру). Көбеюімен Псенімділік интервалының ені азаяды (өкінішке орай, біз қалағандай жылдам емес, бірақ кері пропорционалды -Jn).Мысалы, қашан П= 10 000 біз оны аламыз Рсенімділік ықтималдығымен сенімділік интервалында жатыр сағ= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Осылайша, біз жиілікті ықтималдыққа жақындату мәселесін сандық түрде қарастырдық.

Енді оқиғаның ықтималдығын оның жиілігінен тауып, осы жуықтау қателігін бағалайық.

Көптеген эксперименттер жасайық П(тиын лақтырды), оқиғаның жиілігін тапты Ажәне оның ықтималдығын бағалағысы келеді Р.

Үлкен сандар заңынан Пмынадай:

Енді (9.7) жуық теңдіктің іс жүзінде мүмкін болатын қатесін бағалап көрейік. Ол үшін (9.5) теңсіздікті мына түрде қолданамыз:

табу үшін РАвторы Р(9.8) теңсіздігін шешу керек, ол үшін оны квадраттап, сәйкес квадрат теңдеуді шешу керек. Нәтижесінде біз аламыз:

Қайда

Шамамен бағалау үшін РАвторы Р(9.8) формуласында болуы мүмкін. Роң жақта, ауыстырыңыз Рнемесе (9.10), (9.11) формулаларында қарастырылады

Сонда біз аламыз:

Кіріңіз П= 400 тәжірибе жиілік мәнін алды Р= 0,25, онда сенімділік деңгейінде y = 0,95 табамыз:

Бірақ, мысалы, 0,01-ден аспайтын қателікпен ықтималдықты дәлірек білу қажет болса ше? Ол үшін тәжірибелер санын көбейту керек.

(9.12) формулада ықтималдықты алсақ Р= 0,25, қате мәнін берілген 0,01 мәніне теңеп, теңдеуін аламыз. P:

Бұл теңдеуді шешсек, аламыз n~ 7500.

Енді тағы бір сұрақты қарастырайық: тәжірибеде алынған ықтималдық жиілігінің ауытқуын кездейсоқ себептермен түсіндіруге бола ма, әлде бұл ауытқу ықтималдық біз ойлағандай емес екенін көрсете ме? Басқаша айтқанда, тәжірибе қабылданған статистикалық гипотезаны растай ма, әлде керісінше, оны жоққа шығаруды талап ете ме?

Мысалы, тиынды лақтырайық П= 800 рет, біз крест жиілігін аламыз Р= 0,52. Біз монета симметриялы емес деп күдіктендік. Бұл күдік орынды ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін монета симметриялы деген болжамнан шығамыз (p = 0,5). Сенімділік аралығын табайық (сенімділік ықтималдығымен сағ= 0,95) Елтаңбаның пайда болу жиілігі үшін. Тәжірибеде алынған мән болса Р= 0,52 бұл интервалға сәйкес келеді - бәрі қалыпты, монета симметриясы туралы қабылданған гипотеза эксперименттік деректерге қайшы келмейді. (9.12) үшін формула Р= 0,5 0,5 ± 0,035 аралығын береді; алынған мән p = 0,52 осы интервалға сәйкес келеді, бұл монетаны асимметрияға қатысты күдіктерден «тазарту» керек дегенді білдіреді.

Кездейсоқ құбылыстарда байқалатын математикалық күтуден әртүрлі ауытқулардың кездейсоқ немесе «маңызды» екендігін анықтау үшін ұқсас әдістер қолданылады. Мысалы, оралған тауарлардың бірнеше үлгілерінде кездейсоқ салмақтың төмендеуі болды ма, әлде бұл сатып алушылардың жүйелі алдауын көрсетеді ме? Жаңа препаратты қолданған науқастарда сауығу жылдамдығы кездейсоқ өсті ме, әлде бұл препараттың әсерінен бе?

Қалыпты заң ықтималдықтар теориясында және оның практикалық қолданылуында ерекше маңызды рөл атқарады. Кездейсоқ шама – Бернулли схемасында қандай да бір оқиғаның пайда болу саны – қашан болатынын жоғарыда көрдік. П-» °° қалыпты заңға дейін төмендейді. Дегенмен, әлдеқайда жалпы нәтиже бар.

Орталық шек теоремасы.Бір-бірімен дисперсия ретімен салыстырылатын тәуелсіз (немесе әлсіз тәуелді) кездейсоқ шамалардың үлкен санының қосындысы терминдердің таралу заңдары қандай болғанына қарамастан, қалыпты заң бойынша таратылады. Жоғарыда келтірілген мәлімдеме орталық шектер теориясының дөрекі сапалы тұжырымы болып табылады. Бұл теореманың көптеген формалары бар, олар бір-бірінен кездейсоқ шамалардың қосындысы мүшелер санының көбеюімен «нормалануы» үшін қанағаттандыруға тиіс шарттарда ерекшеленеді.

Қалыпты таралу тығыздығы Dx) мына формуламен өрнектеледі:

Қайда A -кездейсоқ шаманың математикалық күтуі X с= V7) – оның стандартты ауытқуы.

(x 1? x 2) интервалға түсетін x ықтималдығын есептеу үшін интеграл қолданылады:

Тығыздықтағы (9.14) интеграл элементар функциялармен («ол алынбайды») өрнектелмегендіктен (9.14) есептеу үшін стандартты қалыпты үлестірімнің интегралды таралу функциясының кестелері пайдаланылады, бұл кезде a = 0, a = 1 (мұндай кестелер ықтималдықтар теориясы бойынша кез келген оқулықта бар):

(10.15) теңдеуді пайдаланатын (9.14) ықтималдық мына формуламен өрнектеледі:

Мысал. Кездейсоқ шама болу ықтималдығын табыңыз x,параметрлері бар қалыпты таралуға ие А, a, оның математикалық күту модулінен 3a-дан аспайды.

Қалыпты заңның (9.16) формуласын және үлестіру функциясының кестесін қолданып, мынаны аламыз:

Мысал. 700 тәуелсіз тәжірибенің әрқайсысында оқиға Атұрақты ықтималдықпен болады Р= 0,35. Оқиғаның болу ықтималдығын табыңыз Аболады:

• 1) дәл 270 есе;
• 2) 270-тен кем және 230 еседен астам;
• 3) 270 еседен астам.

Математикалық күтуді табу А = т.бжәне стандартты ауытқу:

кездейсоқ шама – оқиғаның пайда болу саны A:

Орталанған және нормаланған мәнді табу X:

Қалыпты таралудың тығыздық кестелеріне сәйкес табамыз f(x):

Қазір табайық R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Үлкен сандар мәселелерін зерттеудегі елеулі қадамды 1867 жылы П.Л.Чебышев жасады. Ол математикалық күтулер мен дисперсиялардың болуын қоспағанда, тәуелсіз кездейсоқ шамалардан ештеңе талап етілмейтін өте жалпы жағдайды қарастырды.

Чебышев теңсіздігі.Ерікті аз оң сан e үшін келесі теңсіздік орындалады:

Чебышев теоремасы.Егер x x, x 2, ..., x n -жұптық тәуелсіз кездейсоқ шамалар, олардың әрқайсысында математикалық күту бар E(Xj) = ciжәне дисперсия D(x,) =), ал дисперсиялар біркелкі шектелген, яғни. 1,2 ..., онда ерікті аз оң сан үшін eқатынас орындалады:

Салдары. Егер a,= aio, -o 2 , i= 1,2 ..., содан кейін

Тапсырма. Кем дегенде ықтималдықпен тиынды қанша рет лақтыру керек у - 0,997, Елтаңбаның жиілігі (0,499; 0,501) аралықта болатынын дәлелдеуге бола ма?

Монета симметриялы болсын делік, p - q - 0,5. Кездейсоқ шамаға (9.19) формуладағы Чебышев теоремасын қолданамыз X-елтаңбаның пайда болу жиілігі Пмонета лақтыру. Біз мұны жоғарыда көрсеттік X = X x + X 2+ ... +Х„,Қайда X t -Елтаңба құлаған жағдайда 1 мәнін, ал құйрықтар түсіп кетсе 0 мәнін қабылдайтын кездейсоқ шама. Сонымен:

Ықтималдық белгісімен көрсетілген оқиғаға қарама-қарсы оқиға үшін теңсіздікті (9.19) жазамыз:

Біздің жағдайда, [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t - елтаңбалар саны Плақтыру. Осы шамаларды соңғы теңсіздікке қойып, есеп шартына сәйкес теңсіздік қанағаттандырылуы керек екенін ескере отырып, мынаны аламыз:

Келтірілген мысал кездейсоқ шамалардың белгілі бір ауытқуларының ықтималдығын бағалау үшін Чебышев теңсіздігін пайдалану мүмкіндігін көрсетеді (сонымен қатар осы ықтималдықтарды есептеуге қатысты осы мысал сияқты есептер). Чебышев теңсіздігінің артықшылығы – кездейсоқ шамалардың таралу заңдарын білуді қажет етпейді. Әрине, егер мұндай заң белгілі болса, онда Чебышев теңсіздігі тым өрескел баға береді.

Дәл осындай мысалды қарастырайық, бірақ тиын лақтыру Бернулли схемасының ерекше жағдайы болып табылады. Табыстар саны (мысалда - Елтаңбалар саны) биномдық заңға бағынады және үлкен Пбұл заңды Мовр – Лапластың интегралдық теоремасы математикалық күтілетін қалыпты заң ретінде көрсетуге болады. a = pr = n? 0,5 және стандартты ауытқуымен a = yfnpq- 25=0,5л/л. Кездейсоқ шама - Елтаңба жиілігі - математикалық күту = 0,5 және стандартты ауытқу бар

Сонда бізде:

Соңғы теңсіздіктен мынаны аламыз:

Қалыпты таралу кестелерінен мыналарды табамыз:

Қалыпты жуықтау елтаңбаның ықтималдығын бағалауда берілген қатені қамтамасыз ететін монета лақтыру санын беретінін көреміз, бұл Чебышев теңсіздігінің көмегімен алынған бағалаудан 37 есе аз (бірақ Чебышев теңсіздігі орындауға мүмкіндік береді зерттелетін кездейсоқ шаманың таралу заңы туралы ақпарат болмаған жағдайда да ұқсас есептеулер).

Енді (9.16) формуланың көмегімен шешілген қолданбалы есепті қарастырайық.

Бәсекелестік мәселесі. Екі бәсекелес теміржол компаниясында Мәскеу мен Санкт-Петербург арасында бір пойыз жүреді. Бұл пойыздар шамамен бірдей жабдықталған, олар да шамамен бір уақытта кетеді және келеді. Солай етейік П= 1000 жолаушы өздігінен және кездейсоқ түрде пойызды таңдайды, сондықтан жолаушылар пойызды таңдаудың математикалық моделі ретінде біз Бернулли схемасын қолданамыз. Псынақтар мен табысқа жету мүмкіндігі Р= 0,5. Компания бір-біріне қарама-қайшы екі жағдайды ескере отырып, пойызда қанша орын беру керектігін шешуі керек: бір жағынан, олар бос орындарды қаламайды, екінші жағынан, олар қанағаттанбаған болып көрінгісі келмейді. орындардың болмауы (келесі жолы олар бәсекелес фирмаларды қалайды). Әрине, сіз пойызбен қамтамасыз ете аласыз П= 1000 орын, бірақ кейін бос орындар міндетті түрде болады. Кездейсоқ шама – пойыздағы жолаушылар саны – қабылданған математикалық модель шеңберінде Де Муврдың интегралдық теориясын қолдана отырып – Лаплас қалыпты заңға математикалық күтумен бағынады. a = pr = n/2 және дисперсия a 2 = npq = p/4ретімен. Пойыздың келу ықтималдығы одан да көп сжолаушылар қатынасы бойынша анықталады:

Тәуекел деңгейін орнатыңыз А, яғни артық болу ықтималдығы сжолаушылар:

Осы жерден:

Егер А- қалыпты заңның таралу функциясының кестелерінде кездесетін соңғы теңдеудің тәуекел түбірін аламыз:

Егер, мысалы, П = 1000, А= 0,01 (бұл тәуекел деңгейі орындардың санын білдіреді с 100-ден 99 жағдайда жеткілікті болады), онда x a ~ 2.33 және s= 537 орын. Сонымен қатар, егер екі компания бірдей тәуекел деңгейін қабылдаса А= 0,01 болса, онда екі пойызда барлығы 1074 орын болады, оның 74-і бос болады. Сол сияқты, 514 орын барлық жағдайлардың 80% -ында және 1000 жағдайдың 999-ында 549 ​​орын жеткілікті болатынын есептеуге болады.

Ұқсас ойлар басқа бәсекелестік қызмет мәселелеріне де қатысты. Мысалы, егер Ткинотеатрлар да сол үшін жарысады ПКөрермендер, оны қабылдау керек Р= -. Біз алып жатырмыз

бұл орын саны сКинотеатрдағы қатынасты анықтау керек:

Бос орындардың жалпы саны мынаған тең:

Үшін А = 0,01, П= 1000 және Т= 2, 3, 4, бұл санның мәндері шамамен сәйкесінше 74, 126, 147-ге тең.

Тағы бір мысалды қарастырайық. Пойыз жүрсін P - 100 вагон. Әрбір вагонның салмағы математикалық күтумен кездейсоқ шама болып табылады A - 65 тонна және орташа квадраттық күту o = 9 т.Пойыздың салмағы 6600 тоннадан аспаса, локомотив пойызды көтере алады; әйтпесе, екінші локомотивті ілмекке салу керек. Біз бұл қажет болмайтын ықтималдықты табуымыз керек.

жеке вагондардың салмағы: бірдей математикалық күтуге ие A - 65 және бірдей дисперсия d- o 2 \u003d 81. Математикалық күту ережесі бойынша: E(x) - 100 * 65 = 6500. Дисперсияларды қосу ережесі бойынша: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Түбірді алып, стандартты ауытқуды табамыз. Бір локомотив пойызды тарта алуы үшін пойыздың салмағы болуы керек Xшектеуші болып шықты, яғни интервал шегіне түсті (0; 6600). Кездейсоқ шаманы x – 100 мүшенің қосындысы – қалыпты таралған деп санауға болады. (9.16) формула бойынша мынаны аламыз:

Бұдан шығатыны, локомотив шамамен 0,864 ықтималдықпен пойызды «өңдейтін болады». Енді пойыздағы вагондар санын екіге азайтайық, яғни П= 98. Енді локомотивтің пойызды «жұмыс істеу» ықтималдығын есептей отырып, біз 0,99 ретінің мәнін аламыз, яғни белгілі бір оқиға, бірақ бұл үшін тек екі вагонды алып тастау керек болды.

Сонымен, егер біз кездейсоқ шамалардың үлкен санының қосындысымен айналысатын болсақ, онда біз қалыпты заңды пайдалана аламыз. Әрине, бұл сұрақ туындайды: қосындының таралу заңы қазірдің өзінде «нормаланған» болу үшін қанша кездейсоқ шамаларды қосу керек? Бұл терминдердің таралу заңдылықтары қандай болатынына байланысты. Нормалау терминдердің өте көп санымен ғана жүретін күрделі заңдар бар. Бірақ бұл заңдарды математиктер ойлап тапты, ал табиғат, әдетте, мұндай қиындықтарды арнайы реттемейді. Әдетте тәжірибеде қалыпты заңды қолдана білу үшін бес-алты термин жеткілікті.

Бірдей таралған кездейсоқ шамалардың қосындысының таралу заңының «нормаланатын» жылдамдығын (0, 1) интервал бойынша біркелкі үлестірілетін кездейсоқ шамалардың мысалы арқылы көрсетуге болады. Мұндай үлестірудің қисығы қалыпты заңға ұқсамайтын тіктөртбұрыш пішініне ие. Осындай екі тәуелсіз шаманы қосайық – графикалық көрінісі тең қабырғалы үшбұрыштың пішіні бар Симпсон заңы деп аталатын заңға сәйкес бөлінген кездейсоқ шаманы аламыз. Бұл да қалыпты заңға ұқсамайды, бірақ жақсырақ. Ал егер осындай біркелкі бөлінген үш кездейсоқ шаманы қоссаңыз, қалыпты қисыққа өте ұқсас параболаның үш сегментінен тұратын қисық аласыз. Егер сіз осындай алты кездейсоқ шаманы қоссаңыз, сіз қалыптыдан айырмашылығы жоқ қисық аласыз. Бұл қалыпты таралған кездейсоқ шаманы алудың кеңінен қолданылатын әдісінің негізі болып табылады, ал қазіргі заманғы барлық компьютерлер біркелкі бөлінген (0, 1) кездейсоқ сандардың сенсорларымен жабдықталған.

Мұны тексерудің практикалық жолы ретінде келесі әдіс ұсынылады. Деңгейі бар оқиғаның жиілігі үшін сенімділік интервалын жасаймыз сағ= 0,997 үш сигма ережесіне сәйкес:

ал оның екі ұшы да (0, 1) кесіндіден шықпаса, онда нормаль заңын қолдануға болады. Егер сенімділік интервалының кез келген шекарасы кесіндіден тыс болса (0, 1), онда қалыпты заңды қолдануға болмайды. Дегенмен, белгілі бір жағдайларда кейбір кездейсоқ оқиғаның жиілігінің биномдық заңы, егер ол қалыптыға бейім болмаса, басқа заңға бейім болуы мүмкін.

Көптеген қолданбаларда Бернулли схемасы кездейсоқ эксперименттің математикалық моделі ретінде пайдаланылады, онда сынақтар саны Пүлкен, кездейсоқ оқиға өте сирек кездеседі, яғни. Р = т.баз емес, бірақ үлкен емес (O -5 - 20 диапазонында ауытқиды). Бұл жағдайда келесі қатынас орындалады:

(9.20) формула биномдық заң үшін Пуассон жуықтауы деп аталады, өйткені оның оң жағындағы ықтималдық үлестірімі Пуассон заңы деп аталады. Пуассон үлестірімі сирек оқиғалардың ықтималдық үлестірімі деп аталады, өйткені ол шектеулер орындалған кезде пайда болады: П -»°°, Р-»0, бірақ X = pr oo.

Мысал. Туған күндер. Ықтималдығы қандай R t (k)бұл 500 адамнан тұратын қоғамда КімгеЖаңа жыл күні туылған адамдар? Егер осы 500 адам кездейсоқ таңдалса, онда табыс ықтималдығымен Бернулли схемасын қолдануға болады. P = 1/365. Содан кейін

Әртүрлі ықтималдықтарды есептеу Кімгекелесі мәндерді беріңіз: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... үшін Пуассон формуласы бойынша сәйкес жуықтаулар X= 500 1/365 = 1,37

келесі мәндерді беріңіз: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Барлық қателер тек төртінші үтірден тұрады.

Сирек кездесетін оқиғалардың Пуассон заңын қолдануға болатын жағдайларға мысалдар келтірейік.

Телефон станциясында дұрыс емес қосылым орын алуы екіталай. R,әдетте Р~ 0,005. Сонда Пуассон формуласы қосылымдардың берілген жалпы саны үшін қате қосылыстардың ықтималдығын табуға мүмкіндік береді. n~ 1000 қашан X = пр =1000 0,005 = 5.

Тоқаштар пісіргенде қамырға мейіз салынады. Араластыруға байланысты мейіз орамдарының жиілігі шамамен Пуассон үлестіріміне сәйкес келеді деп күту керек. P n (k, X),Қайда X-қамырдағы мейіздің тығыздығы.

Радиоактивті зат n-бөлшектерді шығарады. Уақыт өте келе d-бөлшектердің санына жету оқиғасы ткеңістіктің берілген ауданы тұрақты мәнді қабылдайды Кімге,Пуассон заңына бағынады.

Рентген сәулелерінің әсерінен хромосомалары өзгерген тірі жасушалардың саны Пуассон таралуына сәйкес келеді.

Сонымен, үлкен сандар заңдары кездейсоқ тәжірибенің элементар нәтижелерінің белгісіз ықтималдықтарын бағалаумен байланысты математикалық статистика мәселесін шешуге мүмкіндік береді. Осы білімнің арқасында біз ықтималдықтар теориясының әдістерін практикалық мағыналы және пайдалы ете аламыз. Үлкен сандар заңдары белгісіз элементар ықтималдықтар туралы ақпаратты басқа формада – статистикалық гипотезаларды тексеру түрінде алу мәселесін шешуге де мүмкіндік береді.

Статистикалық гипотезаларды тексеру мәселелерін шешудің тұжырымы мен ықтималдық механизмін толығырақ қарастырайық.

Кездейсоқ шаманың таралу функциясы және оның қасиеттері.

бөлу функциясы X кездейсоқ шама F(X) функциясы деп аталады, ол әрбір х үшін X кездейсоқ шамасының x-тен кіші мән қабылдау ықтималдығын өрнектейді: F(x)=P(X