유한 및 무한 소수 분수, 규칙, 예제, 솔루션의 비교. 소수점 읽기 소수점, 예, 솔루션 비교 규칙

3.4 올바른 순서
이전 섹션에서 숫자를 세로선의 위치별로 비교했습니다. 이것은 십진 표기법으로 숫자의 크기를 비교하는 좋은 방법입니다. 이 방법은 항상 통하지만, 두 숫자를 비교해야 할 때마다 매번 하기에는 번거롭고 불편하다. 두 숫자 중 어느 것이 더 큰지 알아내는 또 다른 좋은 방법이 있습니다.

예 A

이전 섹션의 숫자를 고려하고 0.05와 0.2를 비교합니다.

어떤 숫자가 더 큰지 알아보기 위해 먼저 정수 부분을 비교합니다. 이 예에서 두 숫자는 같은 수의 정수인 0을 가집니다. 그런 다음 10분의 1을 비교합니다. 숫자 0.05는 0의 10분의 1이고 숫자 0.2는 2의 10의 1입니다. 숫자 0.05의 100분의 5는 중요하지 않습니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

두 숫자 모두 0개의 정수와 6개의 10분의 1을 가지며 어느 것이 더 큰지 아직 결정할 수 없습니다. 그러나 숫자 0.612에는 1/100 부분만 있고 숫자 0.62에는 2가 있습니다. 그런 다음 다음을 결정할 수 있습니다.

0,62 > 0,612

숫자 0.612가 2000분의 2라는 사실은 중요하지 않으며 여전히 0.62보다 작습니다.

우리는 이것을 그림으로 설명할 수 있습니다:

		0,612
		0,62

십진수 표기법에서 두 숫자 중 어느 것이 더 큰지 확인하려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 전체 부품을 비교합니다. 정수 부분이 더 크고 더 커질 수입니다.

2 . 정수 부분이 같으면 십분의 일을 비교하십시오. 10분의 1이 더 많은 숫자가 더 많을 것입니다.

3 . 10분의 1이 같으면 100분의 1을 비교합니다. 100분의 1이 더 많은 숫자가 더 많을 것입니다.

4 . 100분의 1이 같으면 1000분의 1을 비교합니다. 1000분의 1이 더 많은 숫자가 더 많을 것입니다.

소수는 분모가 비트 단위라는 점에서 일반 분수와 다릅니다.

예를 들어:

소수 분수는 일반 분수에서 별도의 형태로 분리되어 이러한 분수를 비교, 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기 위한 고유한 규칙이 생겼습니다. 원칙적으로 일반 분수의 규칙에 따라 소수 분수로 작업할 수 있습니다. 소수 분수를 변환하는 자체 규칙은 계산을 단순화하고 일반 분수를 소수로 변환하거나 그 반대로 변환하는 규칙은 이러한 유형의 분수 사이를 연결하는 역할을 합니다.

소수점 이하 쓰기 및 읽기는 자연수 연산 규칙과 매우 유사한 규칙에 따라 소수 분수를 쓰고, 비교하고, 연산할 수 있게 해줍니다.

15세기에 처음으로 십진 분수 체계와 그에 대한 연산이 설명되었습니다. 사마르칸트의 수학자이자 천문학자인 Jamshid ibn-Masudal-Kashi는 "The Key to the Art of Accounting"이라는 책에 실렸습니다.

소수 부분의 정수 부분은 쉼표로 소수 부분과 구분되며 일부 국가(미국)에서는 마침표를 찍습니다. 소수 부분에 정수 부분이 없으면 소수점 앞에 숫자 0을 넣으십시오.

오른쪽에 있는 소수 부분의 소수 부분에는 임의의 수의 0을 추가할 수 있으며, 이것은 분수의 값을 변경하지 않습니다. 소수 부분의 소수 부분은 마지막 유효 숫자로 읽습니다.

예를 들어:
0.3 - 10분의 3
0.75 - 75/100
0.000005 - 500만분의 1입니다.

소수의 정수 부분을 읽는 것은 자연수를 읽는 것과 같습니다.

예를 들어:
27.5 - 스물일곱 ...;
1.57 - 하나...

소수점 이하 정수 부분 다음에 "전체"라는 단어가 발음됩니다.

예를 들어:
10.7 - 10.7

0.67 - 영점 육십칠분의 일.

소수는 소수 자릿수입니다. 소수 부분은 (자연수와 달리) 숫자로 읽지 않고 전체적으로 읽히므로 소수 부분의 소수 부분은 오른쪽의 마지막 유효 숫자로 결정됩니다. 소수 부분의 소수 부분의 비트 시스템은 자연수와 다소 다릅니다.

• 통화 중 첫 번째 자리 - 10분의 1 자리
• 소수점 이하 두 번째 자리 - 백 번째 자리
• 소수점 이하 세 번째 자리 - 천 번째 자리
• 소수점 이하 4자리 - 만 자리
• 소수점 이하 다섯 번째 자리 - 십만 번째 자리
• 소수점 아래 6번째 자리 - 백만 번째 자리
• 소수점 이하 7자리 - 천만 번째 자리
• 소수점 이하 8번째 자리는 억자리입니다.

계산에서는 처음 세 자리 숫자가 가장 자주 사용됩니다. 소수 부분의 큰 비트 심도는 무한 값이 계산되는 특정 지식 분야에서만 사용됩니다.

10진수를 대분수로 변환다음과 같이 구성됩니다: 소수점 앞의 숫자를 대분수의 정수 부분으로 씁니다. 소수점 이하의 숫자는 분수 부분의 분자이고, 분수 부분의 분모에는 소수점 이하 자릿수만큼 0이 있는 1을 적는다.

소수 부분은 쉼표를 포함해야 합니다. 소수점 왼쪽에 있는 분수의 숫자 부분을 전체라고 합니다. 오른쪽으로 - 분수:

5.28 5 - 정수부 28 - 소수부

소수의 소수 부분은 다음으로 구성됩니다. 소수 자릿수(소수점):

• 10분의 1 - 0.1(1/10);
• 100분의 1 - 0.01(100분의 1);
• 천분의 일 - 0.001(천분의 일);
• 만분의 1 - 0.0001(1만분의 1);
• 십만분의 일 - 0.00001(십분의 일);
• 백만분의 일 - 0.000001(백만분의 일);
• 1000만분의 1 - 0.0000001(1000만분의 1);
• 1억분의 1 - 0.00000001(1억분의 1);
• 10억분의 1 - 0.000000001(10억분의 1) 등

• 분수의 정수 부분인 숫자를 읽고 "라는 단어를 추가합니다. 전체";
• 분수의 소수 부분을 구성하는 숫자를 읽고 최하위 숫자의 이름을 추가하십시오.

예를 들어:

• 0.25 - 영점 이십오분의 일;
• 9.1 - 9.1/10;
• 18.013 - 18.13,000분의 1;
• 100.2834는 십이천팔백삼십사만분의 일입니다.

소수점 쓰기

소수를 쓰려면 다음을 수행해야 합니다.

• 분수의 정수 부분을 적고 쉼표를 찍습니다(분수의 정수 부분을 의미하는 숫자는 항상 " 전체");
• 마지막 숫자가 원하는 숫자에 해당하는 방식으로 분수의 분수 부분을 작성합니다(특정 소수 자릿수에 유효 숫자가 없으면 0으로 대체됨).

예를 들어:

• 20.9 - 20.9 - 이 예에서는 모든 것이 간단합니다.
• 5.01 - "100"이라는 단어는 소수점 뒤에 두 자리가 있어야 함을 의미하지만 숫자 1에는 10번째 자리가 없으므로 0으로 대체됩니다.
• 영점 팔백 팔천분의 일 - 0.808;
• 3.15-소수 부분의 발음에 실수가 있었기 때문에 그러한 소수를 쓰는 것은 불가능합니다. 숫자 15에는 두 자리가 포함되어 있고 "10 분의 1"이라는 단어는 하나만 의미합니다. 정답은 3.1500분의 1(또는 1000분의 1, 10,000분의 1 등)입니다.

소수점 비교

소수 분수의 비교는 유사한 방식으로 수행됩니다. 자연수의 비교.

1. 먼저 분수의 정수 부분을 비교합니다. 정수 부분이 큰 소수 부분이 더 큽니다.
2. 분수의 정수 부분이 같으면 소수 부분은 쉼표에서 시작하여 왼쪽에서 오른쪽으로 조금씩 비교됩니다: 10분의 1, 100분의 1, 1000분의 1 등. 비교는 첫 번째 불일치가 발생할 때까지 수행됩니다. 즉, 소수 부분의 해당 자릿수에서 더 큰 부등 자릿수를 갖는 소수점 이하 자릿수가 더 커집니다. 예: 1.2 8 3 > 1,27 9, 왜냐하면 1/100에서 첫 번째 분수는 8이고 두 번째 분수는 7이기 때문입니다.

이 기사에서는 주제를 다룰 것입니다. 소수점 비교". 먼저, 소수 분수 비교의 일반 원칙에 대해 논의해 봅시다. 그 후, 우리는 어떤 소수가 같은지, 어떤 것이 같지 않은지 알아낼 것입니다. 다음으로 어떤 소수가 더 크고 어떤 것이 더 작은지 결정하는 방법을 배웁니다. 이를 위해 유한, 무한주기 및 무한 비 주기적 분수를 비교하는 규칙을 연구합니다. 우리는 자세한 솔루션과 함께 예제와 함께 전체 이론을 제공할 것입니다. 결론적으로 소수와 자연수, 일반 분수 및 혼합 수의 비교에 대해 살펴 보겠습니다.

여기서는 양의 십진수 비교에 대해서만 이야기 할 것이라고 즉시 가정 해 봅시다 (양수 및 음수 참조). 나머지 경우는 유리수와 유리수를 비교하는 기사에서 분석됩니다. 실수의 비교.

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소수 비교를 위한 일반 원칙

이 비교 원칙에 따라 소수 비교 규칙이 도출되어 비교되는 소수를 일반 분수로 변환하지 않고도 수행할 수 있습니다. 이러한 규칙과 적용 예는 다음 단락에서 분석합니다.

유사한 원리에 의해, 유한 소수점 분수 또는 무한 주기 소수점 분수는 자연수, 일반 분수 및 대분수와 비교됩니다. 비교된 숫자는 해당 일반 분수로 대체된 후 일반 분수가 비교됩니다.

에 관하여 반복되지 않는 무한 소수점 비교, 그런 다음 일반적으로 최종 소수점 이하 분수를 비교합니다. 이렇게하려면 비교 결과를 얻을 수있는 비교 무한 비주기 소수점의 여러 부호를 고려하십시오.

같은 소수와 다른 소수

먼저 소개합니다 동일하고 동일하지 않은 최종 소수점의 정의.

정의.

두 개의 후행 소수점을 호출합니다. 동일한해당하는 공통 분수가 같으면, 그렇지 않으면 이러한 소수를 호출합니다. 같지 않은.

이 정의에 따라 다음 진술을 정당화하는 것은 쉽습니다. 주어진 소수의 끝에서 여러 숫자 0을 속성으로 지정하거나 버리면 그와 동일한 소수를 얻습니다. 예를 들어 0.3=0.30=0.300=… 및 140.000=140.00=140.0=140 입니다.

실제로 오른쪽의 소수점 이하 자릿수 끝에 0을 더하거나 버리는 것은 해당 일반 분수의 분자와 분모를 10으로 곱하거나 나누는 것과 같습니다. 그리고 우리는 분수의 기본 속성을 알고 있습니다. 분수의 분자와 분모를 같은 자연수로 곱하거나 나누면 원래의 분수와 같은 분수가 된다는 것입니다. 이것은 소수점 분수의 분수 부분 오른쪽에 0을 더하거나 버리면 원래 분수와 같은 분수가 된다는 것을 증명합니다.

예를 들어, 소수 0.5는 일반 분수 5/10에 해당하고 오른쪽에 0을 더한 후 일반 분수 50/100에 해당하는 소수 0.50을 얻습니다. 따라서 0.5=0.50 입니다. 반대로 소수 0.50에서 오른쪽의 0을 버리면 분수 0.5를 얻으므로 일반 분수 50/100에서 분수 5/10에 도달하지만 . 따라서 0.50=0.5 입니다.

로 이동하자 같거나 같지 않은 무한 주기 소수점 분수의 정의.

정의.

두 개의 무한 주기적 분수 동일한, 그들에 해당하는 일반 분수가 같으면; 그들에 해당하는 일반 분수가 같지 않으면 비교되는 주기적 분수도 같지 않다.

이 정의에서 세 가지 결론이 나옵니다.

• 주기적 소수점 분수의 레코드가 정확히 동일하면 이러한 무한 주기적 소수점 분수는 동일합니다. 예를 들어 주기 십진수 0.34(2987)과 0.34(2987)은 같습니다.
• 비교되는 소수주기분수들의 주기가 같은 위치에서 시작한다면 첫 번째 분수는 주기가 0 이고, 두 번째 분수는 주기가 9 이며 마침표 0 앞의 숫자 값이 그 숫자의 값보다 하나 크다 이전 주기 9 이면 이러한 무한 주기적 소수는 동일합니다. 예를 들어 주기 분수 8.3(0)과 8.2(9)는 같고, 분수 141,(0)과 140,(9)도 같습니다.
• 두 개의 다른 주기적 분수는 동일하지 않습니다. 다음은 부등 무한 주기적 십진수의 예입니다: 9.0(4) 및 7,(21) , 0,(12) 및 0,(121) , 10,(0) 및 9.8(9) .

처리할 일이 남아있다 동일하고 동일하지 않은 무한 비주기적 십진 분수. 아시다시피 이러한 소수는 일반 분수로 변환할 수 없으므로(이러한 소수는 무리수를 나타냄) 무한 비주기 소수 분수의 비교를 일반 분수의 비교로 줄일 수 없습니다.

정의.

반복되지 않는 두 개의 무한 소수점 동일한항목이 정확히 일치하는 경우.

그러나 한 가지 뉘앙스가 있습니다. 무한한 비 주기적 소수점 분수의 "완성 된"기록을 보는 것은 불가능하므로 기록의 완전한 일치를 확신하는 것은 불가능합니다. 어떻게 될 것인가?

무한 비주기적 소수 분수를 비교할 때 비교 분수의 유한한 수의 부호만 고려하여 필요한 결론을 도출할 수 있습니다. 따라서 무한 비주기적 소수 분수의 비교는 유한 소수 분수의 비교로 축소됩니다.

이 접근 방식을 사용하면 고려한 자릿수까지만 무한 비주기적 십진수의 평등에 대해 이야기할 수 있습니다. 예를 들어 보겠습니다. 무한 비주기적 소수점 분수 5.45839 ... 및 5.45839 ...는 최종 소수점 분수 5.45839 및 5.45839가 같기 때문에 십만 분의 1 이내와 같습니다. 반복되지 않는 소수점 분수 19.54 ... 및 19.54810375 ...는 분수 19.54 및 19.54가 같기 때문에 가장 가까운 100분의 1과 같습니다.

이 접근 방식을 사용한 무한 비주기적 십진 분수의 부등식은 매우 명확하게 설정됩니다. 예를 들어, 무한 비주기적 소수점 5.6789… 및 5.67732…는 레코드의 차이가 명백하기 때문에 동일하지 않습니다(최종 소수점 분수 5.6789 및 5.6773은 동일하지 않음). 무한소수 6.49354...와 7.53789...도 같지 않습니다.

소수, 예, 솔루션 비교 규칙

두 개의 소수 분수가 같지 않다는 사실을 확립한 후에는 이러한 분수 중 어느 것이 다른 분수보다 크고 어떤 분수가 다른 분수보다 작은지 알아내는 것이 종종 필요합니다. 이제 소수를 비교하는 규칙을 분석하여 제기된 질문에 답할 수 있습니다.

대부분의 경우 비교되는 소수의 정수 부분을 비교하는 것으로 충분합니다. 다음은 사실입니다 소수점 비교 규칙: 정수 부분이 큰 소수보다 크고, 정수 부분이 작은 소수보다 작습니다.

이 규칙은 유한 소수와 무한 소수 모두에 적용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.

예.

소수점 9.43과 7.983023…을 비교하십시오.

해결책.

분명히, 이 십진수 분수는 같지 않습니다. 최종 소수 9.43의 정수 부분은 9와 같고, 무한 비주기 분수 7.983023...의 정수 부분은 7과 같습니다. 9>7(자연수 비교 참조)이므로 9.43>7.983023입니다.

답변:

9,43>7,983023 .

예.

소수점 49.43(14)과 1,045.45029... 중 어느 것이 더 작습니까?

해결책.

주기 분수 49.43(14)의 정수 부분은 무한 비주기 소수 분수 1 045.45029…의 정수 부분보다 작으므로 49.43(14)<1 045,45029… .

답변:

49,43(14) .

비교된 소수점 분수의 정수 부분이 같으면 어느 것이 더 크고 어떤 것이 더 작은지 알아내기 위해 소수 부분을 비교해야 합니다. 소수 부분의 소수 부분 비교는 비트 단위로 수행됩니다.- 10분의 1 범주에서 더 어린 범주까지.

먼저 두 개의 최종 소수점 이하 분수를 비교하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

마지막 소수점 0.87과 0.8521을 비교합니다.

해결책.

이 소수 부분의 정수 부분은 같으므로(0=0 ), 소수 부분 비교로 넘어갑시다. 십의 자리의 값은 같고(8=8 ), 분수 0.87의 백의 자리의 값은 분수 0.8521의 백의 자리의 값보다 큽니다(7>5 ). 따라서 0.87>0.8521 입니다.

답변:

0,87>0,8521 .

때때로 소수점 이하 자릿수를 다른 소수점 이하 자릿수와 비교하려면 소수점 이하 자릿수가 적은 분수 오른쪽에 0을 추가해야 합니다. 소수 자릿수 중 하나의 오른쪽에 특정 수의 0을 추가하여 최종 소수 자릿수 비교를 시작하기 전에 소수 자릿수를 동일하게 만드는 것이 매우 편리합니다.

예.

후행 소수점 18.00405와 18.0040532를 비교합니다.

해결책.

명백히, 이 분수는 레코드가 다르기 때문에 동일하지 않지만 동시에 동일한 정수 부분(18=18)을 가집니다.

이러한 분수의 소수 부분을 비트 단위로 비교하기 전에 소수점 이하 자릿수를 동일하게 만듭니다. 이를 위해 분수 18.00405 끝에 두 자리 0을 할당하고 소수점 분수는 18.0040500과 같습니다.

18.0040500과 18.0040532의 소수점 이하 자릿수는 최대 10000분의 1까지 같고, 18.0040500의 백만 번째 자리 값은 18.0040532(0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

답변:

18,00405<18,0040532 .

유한 소수를 무한 분수와 비교할 때 최종 분수는 주기가 0인 무한 주기적 분수로 대체된 후 숫자로 비교됩니다.

예.

끝 소수점 5.27을 반복되지 않는 무한 소수점 5.270013…과 비교하십시오.

해결책.

이 소수의 정수 부분은 동일합니다. 이 분수의 10분의 1과 100분의 1의 값은 동일하며, 추가 비교를 수행하기 위해 최종 소수를 무한 주기적 분수로 대체하여 형식의 0 주기로 바꿉니다. 5.270000 .... 소수점 이하 다섯 번째 자리 이전에는 소수점 이하 5.270000...과 5.270013...의 값이 같고 소수 다섯 번째 자리에는 0이 있습니다.<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

답변:

5,27<5,270013… .

무한 소수점 이하의 비교도 비트 단위로 수행됩니다., 그리고 어떤 비트의 값이 달라지는 즉시 종료됩니다.

예.

무한소수 6.23(18)과 6.25181815…

해결책.

이 분수의 정수 부분은 같고 열 번째 자리의 값도 같습니다. 그리고 주기분수 6.23(18)의 100분의 1의 값은 무한 비주기분수 6.25181815…의 100분의 1보다 작으므로 6.23(18)<6,25181815… .

답변:

6,23(18)<6,25181815… .

예.

무한 주기 소수점 3,(73)과 3,(737) 중 어느 것이 더 큽니까?

해결책.

3,(73)=3.73737373… 및 3,(737)=3.737737737… 소수점 이하 네 번째 자리에서 비트 비교가 끝납니다. 거기에 3이 있기 때문입니다.<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

답변:

3,(737) .

소수를 자연수, 일반 분수 및 대분수와 비교하십시오.

소수를 자연수와 비교한 결과를 얻으려면 이 분수의 정수 부분을 주어진 자연수와 비교할 수 있습니다. 이 경우 주기가 0 또는 9인 주기적 분수는 먼저 동일한 최종 소수점 분수로 대체되어야 합니다.

다음은 사실입니다 소수와 자연수를 비교하는 규칙: 소수의 정수 부분이 주어진 자연수보다 작으면 전체 분수는 이 자연수보다 작습니다. 분수의 정수 부분이 주어진 자연수보다 크거나 같으면 분수는 주어진 자연수보다 큽니다.

이 비교 규칙의 적용 예를 고려하십시오.

예.

자연수 7을 소수점 이하 8.8329…

해결책.

주어진 자연수는 주어진 소수의 정수 부분보다 작기 때문에 이 숫자는 주어진 소수보다 작습니다.

답변:

7<8,8329… .

예.

자연수 7과 소수 7.1을 비교합니다.