Што е рационален корен? Рационални корени на полином

Во оваа статија ќе започнеме да истражуваме рационални броеви. Овде ќе дадеме дефиниции за рационални броеви, ќе ги дадеме потребните објаснувања и ќе дадеме примери на рационални броеви. После ова, ќе се фокусираме на тоа како да утврдиме дали даден број е рационален или не.

Навигација на страницата.

Дефиниција и примери на рационални броеви

Во овој дел ќе дадеме неколку дефиниции за рационални броеви. И покрај разликите во формулацијата, сите овие дефиниции имаат исто значење: рационалните броеви обединуваат цели броеви и дропки, исто како што цели броеви ги обединуваат природните броеви, нивните спротивности и бројот нула. Со други зборови, рационалните броеви генерализираат цели и дробни броеви.

Да почнеме со дефиниции за рационални броеви, што се перцепира најприродно.

Од наведената дефиниција произлегува дека рационален број е:

• Секој природен број n. Навистина, можете да претставите кој било природен број како обична дропка, на пример, 3=3/1.
• Било кој цел број, особено бројот нула. Всушност, секој цел број може да се напише или како позитивна дропка, како негативна дропка или како нула. На пример, 26=26/1,.
• Секоја заедничка дропка (позитивна или негативна). Ова е директно потврдено со дадената дефиниција за рационални броеви.
• Било кој мешан број. Навистина, секогаш можете да претставите мешан број како неправилна дропка. На пример, и.
• Секоја конечна децимална дропка или бесконечна периодична дропка. Ова се должи на фактот што наведените децимални фракции се претвораат во обични фракции. На пример, и 0,(3)=1/3.

Исто така, јасно е дека секоја бесконечна непериодична децимална дропка НЕ ​​е рационален број, бидејќи не може да се претстави како заедничка дропка.

Сега можеме лесно да дадеме примери на рационални броеви. Броевите 4, 903, 100,321 се рационални броеви бидејќи се природни броеви. Целите броеви 58, −72, 0, −833,333,333 се исто така примери на рационални броеви. Обичните дропки 4/9, 99/3 се исто така примери за рационални броеви. Рационалните броеви се исто така броеви.

Од горенаведените примери е јасно дека има и позитивни и негативни рационални броеви, а рационалниот број нула не е ниту позитивен ниту негативен.

Горенаведената дефиниција за рационални броеви може да се формулира во поконцизна форма.

Дефиниција.

Рационални броевисе броеви кои можат да се напишат како дропка z/n, каде што z е цел број, а n е природен број.

Да докажеме дека оваа дефиниција за рационални броеви е еквивалентна на претходната дефиниција. Знаеме дека правата на дропка можеме да ја сметаме за знак на делење, потоа од својствата на делење цели броеви и правилата за делење цели броеви следува валидноста на следните еднаквости и. Така, тоа е доказот.

Ајде да дадеме примери на рационални броеви врз основа на оваа дефиниција. Броевите −5, 0, 3 и се рационални броеви, бидејќи можат да се напишат како дропки со цел број броител и природен именител на формата и, соодветно.

Дефиницијата за рационални броеви може да се даде во следната формулација.

Дефиниција.

Рационални броевисе броеви кои можат да се напишат како конечна или бесконечна периодична децимална дропка.

Оваа дефиниција е исто така еквивалентна на првата дефиниција, бидејќи секоја обична дропка одговара на конечна или периодична децимална дропка и обратно, а секој цел број може да се поврзе со децимална дропка со нули по децималната точка.

На пример, броевите 5, 0, −13, се примери на рационални броеви затоа што тие можат да се напишат како следните децимални дропки 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 и −7, (18).

Да ја завршиме теоријата на оваа точка со следните изјави:

• цели броеви и дропки (позитивни и негативни) го сочинуваат множеството рационални броеви;
• секој рационален број може да се претстави како дропка со цел број броител и природен именител, а секоја таква дропка претставува одреден рационален број;
• секој рационален број може да се претстави како конечна или бесконечна периодична децимална дропка, а секоја таква дропка претставува рационален број.

Дали оваа бројка е рационална?

Во претходниот пасус, дознавме дека секој природен број, кој било цел број, која било обична дропка, кој било мешан број, која било конечна децимална дропка, како и секоја периодична децимална дропка е рационален број. Ова знаење ни овозможува да ги „препознаеме“ рационалните броеви од збир на напишани броеви.

Но, што ако бројот е даден во форма на некои, или како итн., како да се одговори на прашањето дали овој број е рационален? Во многу случаи е многу тешко да се одговори. Дозволете ни да посочиме некои насоки на мислата.

Ако е даден број како нумерички израз кој содржи само рационални броеви и аритметички знаци (+, −, · и:), тогаш вредноста на овој израз е рационален број. Ова произлегува од тоа како се дефинираат операциите со рационални броеви. На пример, по извршувањето на сите операции во изразот, го добиваме рационалниот број 18.

Понекогаш, откако ќе се поедностават изразите и ќе се направат покомплексни, станува возможно да се утврди дали даден број е рационален.

Ајде да одиме понатаму. Бројот 2 е рационален број, бидејќи секој природен број е рационален. Што е со бројот? Дали е тоа рационално? Излегува дека не, тоа не е рационален број, тоа е ирационален број (доказот за овој факт со контрадикција е даден во учебникот за алгебра за 8 одделение, наведен подолу во списокот на референци). Исто така, докажано е дека квадратниот корен на природен број е рационален број само во оние случаи кога под коренот има број кој е совршен квадрат на некој природен број. На пример, и се рационални броеви, бидејќи 81 = 9 2 и 1 024 = 32 2, а броевите и не се рационални, бидејќи броевите 7 и 199 не се совршени квадрати на природни броеви.

Дали бројот е рационален или не? Во овој случај, лесно е да се забележи дека, според тоа, оваа бројка е рационална. Дали бројот е рационален? Докажано е дека k-тиот корен на цел број е рационален број само ако бројот под знакот на коренот е k-та сила на некој цел број. Затоа, тоа не е рационален број, бидејќи не постои цел број чиј петти степен е 121.

Методот со контрадикција ви овозможува да докажете дека логаритмите на некои броеви не се рационални броеви поради некоја причина. На пример, да докажеме дека - не е рационален број.

Да го претпоставиме спротивното, односно да речеме дека е рационален број и може да се запише како обична дропка m/n. Потоа ги даваме следните еднаквости: . Последната еднаквост е невозможна, бидејќи на левата страна има чуден број 5 n, а на десната страна е парниот број 2 m. Според тоа, нашата претпоставка е неточна, а со тоа не е рационален број.

Како заклучок, особено вреди да се забележи дека при одредување на рационалноста или ирационалноста на броевите, треба да се воздржите од ненадејни заклучоци.

На пример, не треба веднаш да тврдите дека производот на ирационалните броеви π и e е ирационален број; ова е „навидум очигледно“, но не е докажано. Ова го покренува прашањето: „Зошто производот би бил рационален број? А зошто да не, затоа што можете да дадете пример за ирационални броеви, чиј производ дава рационален број: .

Исто така, не е познато дали броевите и многу други броеви се рационални или не. На пример, постојат ирационални броеви чија ирационална моќ е рационален број. За илустрација, прикажуваме степен на формата, основата на овој степен и експонентот не се рационални броеви, туку , а 3 е рационален број.

Библиографија.

• Математика. 6 одделение: воспитно. за општо образование институции / [Н. Ya. Vilenkin и други]. - 22. ed., rev. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.

Како што веќе забележавме, еден од најважните проблеми во теоријата на полиноми е проблемот со наоѓање на нивните корени. За да го решите овој проблем, можете да го користите методот на селекција, т.е. земете број по случаен избор и проверете дали е корен на даден полином.

Во овој случај, можете брзо да „удрите“ во коренот, или можеби никогаш нема да го најдете. На крајот на краиштата, невозможно е да се проверат сите броеви, бидејќи ги има бесконечно многу.

Друго прашање би било ако можеме да ја стесниме областа за пребарување, на пример, да знаеме дека корените што ги бараме се, да речеме, меѓу триесетте наведени броеви. И за триесет броеви можете да направите проверка. Во врска со сето она што е кажано погоре, оваа изјава изгледа важна и интересна.

Ако нередуцираната дропка l/m (l,m се цели броеви) е корен на полином f (x) со целобројни коефициенти, тогаш водечкиот коефициент на овој полином се дели со m, а слободниот член се дели со 1.

Навистина, ако f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, каде an, an-1,...,a1, a0 се цели броеви, тогаш f (l/ m) =0, т.е. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Ајде да ги помножиме двете страни на оваа еднаквост со mn. Добиваме anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Ова имплицира:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Гледаме дека цел број anln е делив со m. Но, l/m е нередуцирана дропка, т.е. броевите l и m се сопрости, а потоа, како што е познато од теоријата за деливост на цели броеви, броевите ln и m се исто така копрости. Значи, anln е делив со m, а m е копроста со ln, што значи дека an е делив со m.

Докажаната тема ни овозможува значително да ја стесниме областа за пребарување на рационални корени на полином со целобројни коефициенти. Ајде да го покажеме ова со конкретен пример. Да ги најдеме рационалните корени на полиномот f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Според теоремата, рационалните корени на овој полином спаѓаат во несводливите дропки од формата l/m, каде што l е делител на слободниот член a0=8, а m е делител на водечкиот коефициент a4=6. Дополнително, ако дропката l/m е негативна, тогаш знакот „-“ ќе му се додели на броителот. На пример, - (1/3) = (-1) /3. Значи, можеме да кажеме дека l е делител на бројот 8, а m е позитивен делител на бројот 6.

Бидејќи делителите на бројот 8 се ±1, ±2, ±4, ±8, а позитивните делители на бројот 6 се 1, 2, 3, 6, тогаш рационалните корени на предметниот полином се меѓу броевите ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Да се ​​потсетиме дека напишавме само нередуцирани дропки.

Така, имаме дваесет броеви - „кандидати“ за корени. Останува само да се провери секој од нив и да се изберат оние што се навистина корени. Но, повторно, ќе треба да направите доста проверки. Но, следнава теорема ја поедноставува оваа работа.

Ако нередуцираната дропка l/m е корен на полином f (x) со целобројни коефициенти, тогаш f (k) е делив со l-km за кој било цел број k, под услов l-km?0.

За да ја докажете оваа теорема, поделете го f (x) со x-k со остаток. Добиваме f (x) = (x-k) с (x) +f (к).Бидејќи f (x) е полином со целобројни коефициенти, така е и полиномот s (x), а f (k) е цел број. Нека s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Потоа f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Да ставиме x=l/m во оваа еднаквост. Имајќи предвид дека f (l/m) =0, добиваме

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Да ги помножиме двете страни на последното равенство со mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Следи дека цел број mnf (k) е делив со l-km. Но, бидејќи l и m се копрости, тогаш mn и l-km исто така се копрости, што значи дека f (k) е делив со l-km. Теоремата е докажана.

Сега да се вратиме на нашиот пример и, користејќи ја докажаната теорема, дополнително ќе го стесниме кругот на потрага по рационални корени. Да ја примениме оваа теорема за k=1 и k=-1, т.е. ако несводливата дропка l/m е коренот на полиномот f (x), тогаш f (1) / (l-m) и f (-1) / (l+m). Лесно наоѓаме дека во нашиот случај f (1) = -5, и f (-1) = -15. Забележете дека во исто време го исклучивме ±1 од разгледување.

Значи, рационалните корени на нашиот полином треба да се бараат меѓу броевите ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Размислете за l/m=1/2. Тогаш l-m=-1 и f (1) =-5 се дели со овој број. Понатаму, l+m=3 и f (1) =-15 е исто така делив со 3. Тоа значи дека дропот 1/2 останува меѓу „кандидатите“ за корени.

Нека сега lm=- (1/2) = (-1) /2. Во овој случај, l-m=-3 и f (1) =-5 не се дели со - 3. Тоа значи дека дропката - 1/2 не може да биде корен на овој полином и го исклучуваме од понатамошно разгледување. Ајде да провериме за секоја од дропките напишани погоре и да откриеме дека потребните корени се меѓу броевите 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Така, користејќи прилично едноставна техника, значително ја стеснивме областа за пребарување за рационални корени на полиномот што се разгледува. Па, за да ги провериме преостанатите бројки, ќе ја користиме шемата на Хорнер:

Табела 10

Откривме дека остатокот кога се дели g (x) со x-2/3 е еднаков на - 80/9, т.е. 2/3 не е корен од полиномот g (x), и затоа не е ниту f (x).

Следно, лесно наоѓаме дека - 2/3 е коренот на полиномот g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Потоа f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Може да се изврши дополнителна проверка за полиномот x2+2x-4, што, се разбира, е поедноставно отколку за g (x) или уште повеќе за f (x). Како резултат на тоа, откриваме дека броевите 2 и - 4 не се корени.

Значи, полиномот f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 има два рационални корени: 1/2 и - 2/3.

Потсетиме дека методот опишан погоре овозможува да се најдат само рационални корени на полином со коефициенти на цели броеви. Во меѓувреме, полиномот може да има и ирационални корени. Така, на пример, полиномот разгледан во примерот има уште два корени: - 1±v5 (ова се корените на полиномот x2+2x-4). И, општо земено, полиномот можеби нема воопшто рационални корени.

Сега да дадеме неколку совети.

При тестирање на „кандидатите“ за корените на полиномот f (x) со помош на втората од теоремите докажани погоре, таа обично се користи за случаите k=±1. Со други зборови, ако l/m е корен „кандидат“, тогаш проверете дали f (1) и f (-1) се деливи со l-m и l+m, соодветно. Но, може да се случи, на пример, f (1) = 0, т.е. 1 е корен, а потоа f (1) е делив со кој било број, и нашата проверка станува бесмислена. Во овој случај, треба да се подели f (x) со x-1, т.е. се добива f(x) = (x-1)s(x) и се тестира полиномот s(x). Притоа, не треба да заборавиме дека веќе најдовме еден корен од полиномот f (x) - x1=1. Ако, при проверка на „кандидатите“ за корените што остануваат по употребата на втората теорема за рационалните корени, користејќи ја шемата на Хорнер, откриеме дека, на пример, l/m е корен, тогаш треба да се најде неговата множина. Ако е еднакво на, да речеме, k, тогаш f (x) = (x-l/m) ks (x), а дополнително тестирање може да се направи за s (x), што ги намалува пресметките.

Така, научивме да наоѓаме рационални корени на полином со целобројни коефициенти. Излегува дека со тоа научивме да ги најдеме ирационалните корени на полином со рационални коефициенти. Всушност, ако имаме, на пример, полином f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, тогаш, доведувајќи ги коефициентите до заеднички именител и ставајќи го надвор од загради, ние добие f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Јасно е дека корените на полиномот f (x) се совпаѓаат со корените на полиномот во загради, а неговите коефициенти се цели броеви. Да докажеме, на пример, дека sin100 е ирационален број. Да ја користиме добро познатата формула sin3?=3sin?-4sin3?. Оттука sin300=3sin100-4sin3100. Имајќи предвид дека sin300=0,5 и правејќи едноставни трансформации, добиваме 8sin3100-6sin100+1=0. Според тоа, sin100 е коренот на полиномот f (x) =8x3-6x+1. Ако бараме рационални корени на овој полином, ќе се увериме дека ги нема. Тоа значи дека коренот sin100 не е рационален број, т.е. sin100 е ирационален број.

Прашањето за наоѓање рационални корени на полином ѓ(x)П[x] (со рационални коефициенти) се сведува на прашањето за наоѓање рационални корени на полиноми к ∙ ѓ(x)З[x] (со целобројни коефициенти). Еве го бројот ке најмал заеднички множител на именителот на коефициентите на даден полином.

Потребни, но не доволни услови за постоење на рационални корени на полином со целобројни коефициенти се дадени со следнава теорема.

Теорема 6.1 (за рационални корени на полином со целобројни коефициенти). Ако – рационален корен на полиномѓ(x) = а n  x n + + …+ а 1  x + а 0 Со целина коефициенти и(стр, q) = 1, потоа броителот на дропкатастре делител на слободниот член a 0 , и именителотqе делител на водечкиот коефициент a 0 .

Теорема 6.2.Ако П ( Каде (стр, q) = 1) е рационален корен на полиномот ѓ(x) со целобројни коефициенти, тогаш
–цели броеви.

Пример.Најдете ги сите рационални корени на полиномот

ѓ(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Со теорема 6.1: ако – рационален корен на полином ѓ(x), (Каде ( стр, q) = 1), Тоа а 0 = 1 стр, а n = 6 q. Затоа стр { 1}, q (1, 2, 3, 6), што значи

.

2. Познато е дека (Заклучок 5.3) бројот Ае коренот на полиномот ѓ(x) ако и само ако ѓ(x) поделено со ( x – a).

Затоа, да се провери дали броевите 1 и –1 се корени на полином ѓ(x) можете да ја користите шемата на Хорнер:

ѓ(1) = 60,ѓ(–1) = 120, значи 1 и –1 не се корени на полиномот ѓ(x).

3. Да се ​​исчистат некои од преостанатите броеви
, да ја искористиме теорема 6.2. Ако изрази или
прифаќа цели броеви за соодветните вредности на броителот стри именител q, потоа во соодветните ќелии од табелата (види подолу) ќе ја напишеме буквата „ts“, инаку - „dr“.

4. Користејќи ја шемата на Хорнер, проверуваме дали преостанатите броеви по просејувањето ќе бидат
корени ѓ(x). Прво да се поделиме ѓ(x) на ( X – ).

Како резултат имаме: ѓ(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) и – корен ѓ(x). Приватен q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X -подели 2 со ( X + ).

Бидејќи q (–) = 30, тогаш (–) не е корен на полиномот q(x), па оттука и полиномот ѓ(x).

Конечно, го делиме полиномот q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 на ( X – ).

Добив: q () = 0, односно - корен q(x), и затоа е коренот ѓ (x). Значи полиномот ѓ (x) има два рационални корени: и.

Ослободување од алгебарска ирационалност во именителот на дропка

Во училишниот курс, при решавање на одредени видови проблеми за да се ослободиме од ирационалноста во именителот на дропка, доволно е да се помножат броителот и именителот на дропката со бројот што се конјугира со именителот.

Примери. 1.т =
.

Овде скратената формула за множење (разлика на квадрати) работи во именителот, што ви овозможува да се ослободите од ирационалноста во именителот.

2. Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропката

т =
. Израз – нецелосен квадрат на разликата на броевите А=
И б= 1. Користење на скратената формула за множење А 3 – б 3 = (a +б) · ( а 2 – ab + б 2 ), можеме да го одредиме множителот м = (a +б) =
+ 1, со кој треба да се помножат броителот и именителот на дропката тда се ослободи од ирационалноста во именителот на дропката т. Така,

Во ситуации кога скратените формули за множење не функционираат, може да се користат други техники. Подолу ќе формулираме теорема, чиј доказ, особено, ни овозможува да најдеме алгоритам за ослободување од ирационалноста во именителот на дропка во посложени ситуации.

Дефиниција 6.1.Број zповикани алгебарски над теренот Ф, ако има полином ѓ(x) Ф[x], чиј корен е z, инаку бројот zповикани трансцендентален над теренотФ.

Дефиниција 6.2.Степен на алгебарски над полето Ф броеви zсе нарекува степен на нередуциран над поле Фполином стр(x)Ф[x], чиј корен е бројот z.

Пример.Да покажеме дека бројот z =
е алгебарски над теренот Пи пронајдете го неговиот степен.

Ајде да најдеме нередуциран над теренот Пполином стр(X), чиј корен е x =
. Да ги подигнеме двете страни на еднаквоста x =
до четвртата сила, добиваме X 4 = 2 или X 4 – 2 = 0. Значи, стр(X) = X 4 – 2, и моќта на бројот zеднаква на степен стр(X) = 4.

Теорема 6.3 (за ослободување од алгебарската ирационалност во именителот на дропка).Некаz– алгебарски број над полеФстепениn. Изразување на форматат = ,Каде ѓ(x), (x)Ф[x], (з) 0

може да се претстави само во форма:

т = Со n -1 z n -1 + в n -2 z n -2 + … + в 1 z + в 0 , в јас Ф.

Ќе го демонстрираме алгоритмот за ослободување од ирационалноста во именителот на дропка користејќи конкретен пример.

Пример.Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропка:

т =

1. Именителот на дропката е вредноста на полиномот (X) = X 2 – X+1 кога X =
. Претходниот пример го покажува тоа
– алгебарски број над поле Пстепен 4, бидејќи тоа е коренот на нередуцирано над Пполином стр(X) = X 4 – 2.

2. Да го најдеме линеарното проширување на GCD ( (X), стр(x)) со користење на Евклидов алгоритам.

_x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = р 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = р 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Значи, GCD ( (X), стр(x)) = р 2 = 7. Да го најдеме неговото линеарно проширување.

Ајде да ја запишеме Евклидовата низа користејќи полиномна нотација.

стр(x) = (x) · q 1 (x) + р 1 (x)
р 1 (x) =стр(x) – (x) · q 1 (x)

(x) = р 1 (x) · q 2 (x) + р 2 (x)
р 2 (x) = (x) – р 1 (x) · q 2 (x)

р 1 (x) = р 2 (x) · q 2 (x).

Да го замениме 7= во еднаквост р 2 (x) = (x) – р 1 (x) · q 2 (x) преостаната вредност р 1 (x) = стр(x) – (x) · q 1 (x), по трансформациите добиваме линеарно проширување на GCD( (X), стр(x)): 7 = стр(x) · (– q 2 (x)) + (x) · . Доколку соодветните полиноми ги замениме во последното равенство наместо ознаки и го земеме предвид тоа стр(
) = 0, тогаш имаме:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Од еднаквоста (1) произлегува дека ако именителот на дропката тмножете се со број м= , тогаш добиваме 7. Така,

т =
=.

МЕТОД 16.Тема на часот: Стандардна форма на полином

Тип на лекција: тестирање на лекцијата и следење на знаењата и вештините

Цели на лекцијата:

Тестирајте ја вашата способност да намалите полином во стандардна форма

Развијте го логичното размислување и вниманието на учениците

Негувајте независност

Структура на лекцијата:

Време на организирање

Брифинг

Самостојна работа.

1. Дополни ги речениците:

а) Изразот што содржи збир на мономи се нарекува ... (полином).

б) Полиномот кој се состои од стандардни мономи и не содржи слични членови се нарекува ... (стандарден полином).

в) Најголемата од моќите на мономите вклучени во полином од стандардната форма се нарекува ... (степен на полиномот).

г) Пред да го одредите степенот на полиномот, треба да... (го доведете во стандардна форма).

д) За да ја пронајдете вредноста на полиномот, треба да го направите првото... (претставете го полиномот во стандардна форма), второто... (вредноста на променливата заменете ја со овој израз).

2. Најдете ја вредноста на полиномот:

А) 2 а 4 - ab+2 б 2 на а=-1, б=-0,5

б) x 2 +2 xy+ y 2 на x=1,2, y=-1,2

3. Намалете го полиномот во стандардна форма:

А) -5 ах 2 + 7а 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4ч 2 – 8а 2 X;

б) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);

V) 2a – (1,4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6,4av);

G) (2 секунди 2 – 1,6с + 4) – ((10,6с 2 + 4,4 с - 0,3) - (3,6 с 2 – 7с – 0,7));

4. Доведете го полиномот во стандардна форма и дознајте со кои вредности Xнеговата вредност е 1:

А) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;

б) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07

Билет број 17.Деливост на цели броеви

Кога се решаваат равенки и неравенки, често е потребно да се факторизира полином чиј степен е три или поголем. Во оваа статија ќе го разгледаме најлесниот начин да го направите ова.

Како и обично, да се свртиме кон теоријата за помош.

Теорема на Безутнаведува дека остатокот при делење на полином со бином е .

Но, она што е важно за нас не е самата теорема, туку заклучок од него:

Ако бројот е корен на полином, тогаш полиномот се дели со биномот без остаток.

Соочени сме со задача некако да најдеме барем еден корен од полиномот, а потоа да го поделиме полиномот со , каде е коренот на полиномот. Како резултат на тоа, добиваме полином чиј степен е за еден помал од степенот на оригиналниот. А потоа, доколку е потребно, можете да го повторите процесот.

Оваа задача се дели на две: како да се најде коренот на полином и како да се подели полином со бином.

Ајде внимателно да ги разгледаме овие точки.

1. Како да се најде коренот на полиномот.

Прво, проверуваме дали броевите 1 и -1 се корени на полиномот.

Следниве факти ќе ни помогнат овде:

Ако збирот на сите коефициенти на полиномот е нула, тогаш бројот е коренот на полиномот.

На пример, во полином збирот на коефициентите е нула: . Лесно е да се провери кој е коренот на полиномот.

Ако збирот на коефициентите на полиномот со парни сили е еднаков на збирот на коефициентите со непарни сили, тогаш бројот е коренот на полиномот.Слободниот член се смета за коефициент за парен степен, бидејќи , a е парен број.

На пример, во полином збирот на коефициентите за парни моќи е: , а збирот на коефициентите за непарните сили е: . Лесно е да се провери кој е коренот на полиномот.

Ако ниту 1 ниту -1 не се корени на полиномот, тогаш продолжуваме понатаму.

За редуциран полином на степен (односно, полином во кој водечкиот коефициент - коефициентот во - е еднаков на единство), формулата Виета е валидна:

Каде се корените на полиномот.

Постојат и формули на Виета кои се однесуваат на преостанатите коефициенти на полиномот, но ние сме заинтересирани за оваа.

Од оваа формула Виета произлегува дека ако корените на полиномот се цели броеви, тогаш тие се делители на неговиот слободен член, кој исто така е цел број.

Врз основа на ова, треба да го множиме слободниот член на полиномот во множители и последователно, од најмал до најголем, да провериме кој од факторите е коренот на полиномот.

Размислете за, на пример, полиномот

Делители на слободниот член: ; ; ;

Збирот на сите коефициенти на полиномот е еднаков на , затоа, бројот 1 не е коренот на полиномот.

Збир на коефициенти за парни моќи:

Збир на коефициенти за непарни сили:

Според тоа, бројот -1 исто така не е корен на полиномот.

Ајде да провериме дали бројот 2 е коренот на полиномот: според тоа, бројот 2 е коренот на полиномот. Ова значи дека, според теоремата на Безут, полиномот е делив со бином без остаток.

2. Како да се подели полином на бином.

Полиномот може да се подели на бином со колона.

Поделете го полиномот со бином користејќи колона:

Постои уште еден начин да се подели полином со бином - Хорнеровата шема.

Погледнете го ова видео за да разберете како да се подели полином со бином со колона и со помош на Хорнеровата шема.

Забележувам дека ако, кога се делиме со колона, недостасува одреден степен на непознатата во оригиналниот полином, на негово место пишуваме 0 - на ист начин како при составување табела за шемата на Хорнер.

Значи, ако треба да поделиме полином со бином и како резултат на делењето да добиеме полином, тогаш можеме да ги најдеме коефициентите на полиномот користејќи ја Хорнеровата шема:

Можеме да користиме и Хорнер шемаза да се провери дали даден број е корен на полином: ако бројот е корен на полином, тогаш остатокот при делење на полиномот со е еднаков на нула, односно во последната колона од вториот ред од Хорнеровиот дијаграм добиваме 0.

Користејќи ја шемата на Хорнер, ние „убиваме две птици со еден камен“: истовремено проверуваме дали бројот е корен на полином и го делиме овој полином со бином.

Пример.Реши ја равенката:

1. Да ги запишеме делителите на слободниот член и да ги бараме корените на полиномот меѓу делителите на слободниот член.

Делители на 24:

2. Да провериме дали бројот 1 е коренот на полиномот.

Збирот на коефициентите на полиномот, значи, бројот 1 е коренот на полиномот.

3. Поделете го оригиналниот полином во бином користејќи ја шемата на Хорнер.

А) Да ги запишеме коефициентите на оригиналниот полином во првиот ред од табелата.

Бидејќи недостасува терминот што содржи, во колоната од табелата во која треба да се запише коефициентот пишуваме 0. Лево го запишуваме пронајдениот корен: бројот 1.

Б) Пополнете го првиот ред од табелата.

Во последната колона, очекувано, добивме нула, го поделивме оригиналниот полином со бином без остаток. Коефициентите на полиномот што произлегуваат од делењето се прикажани со сино во вториот ред од табелата:

Лесно е да се провери дали броевите 1 и -1 не се корени на полиномот

Б) Да ја продолжиме табелата. Ајде да провериме дали бројот 2 е коренот на полиномот:

Значи, степенот на полиномот, кој се добива како резултат на делење со еден, е помал од степенот на оригиналниот полином, затоа, бројот на коефициенти и бројот на колони се за една помалку.

Во последната колона добивме -40 - број кој не е еднаков на нула, затоа, полиномот е делив со бином со остаток, а бројот 2 не е коренот на полиномот.

В) Да провериме дали бројот -2 е коренот на полиномот. Бидејќи претходниот обид не успеа, за да се избегне забуна со коефициентите, ќе ја избришам линијата што одговара на овој обид:

Одлично! Добивме нула како остаток, затоа, полиномот беше поделен на бином без остаток, затоа, бројот -2 е коренот на полиномот. Во табелата со зелено се прикажани коефициентите на полиномот што се добива со делење на полином со бином.

Како резултат на поделбата добиваме квадратен трином , чии корени лесно може да се најдат со помош на теоремата на Виета:

Значи, корените на оригиналната равенка се:

{}

Одговор: ( }

Нека

- полином со степен n ≥ 1 на реална или сложена променлива z со реални или сложени коефициенти a i. Да ја прифатиме следната теорема без доказ.

Теорема 1

Равенка Pn (z) = 0има барем еден корен.

Да ја докажеме следната лема.

Лема 1

Нека Pn (з)- полином со степен n, z 1 - коренот на равенката:
Pn (z 1) = 0.
Потоа P n (з)може да се претстави на единствен начин во форма:
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
каде Pn- 1(z)- полином со степен n - 1 .

Доказ

За да го докажеме, ја применуваме теоремата (види Делење и множење на полином со полином со агол и колона), според која за кои било два полиноми P n (з)и Qk (з), степени n и k, со n ≥ k, постои единствена претстава во форма:
Pn (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
каде P n-k (з)- полином со степен n-k, U k- 1(z)- полином со степен не повисок од k- 1 .

Да ставиме k = 1 , П к (z) = z - z 1, Потоа
Pn (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
каде што c е константа. Да го замениме z = z овде 1 и земете во предвид дека P n (z 1) = 0:
Pn (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + в.
Оттука c = 0 . Потоа
Pn,
Q.E.D.

Факторирање на полином

Значи, врз основа на теорема 1, полиномот P n (з)има барем еден корен. Да го означиме како z 1 ,Пн (z 1) = 0. Потоа, врз основа на Лема 1:
Pn (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z).
Понатаму, ако n > 1 , тогаш полиномот P n- 1(z)има и барем еден корен, кој го означуваме како z 2 , Pn- 1 (z 2) = 0. Потоа
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z);
Pn (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z).

Продолжувајќи го овој процес, доаѓаме до заклучок дека има n броеви z 1 , z 2 , ... , z nтакви што
Pn (z) = (z - z 1 ) (z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z).
Но, П 0 (z)- ова е константа. Изедначувајќи ги коефициентите за z n, наоѓаме дека е еднаков на a n. Како резултат на тоа, ја добиваме формулата за факторинг на полином:
(1) Pn (z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ).

Броевите z i се корени на полиномот P n (з).

Во принцип, не се вклучени сите z i (1) , се различни. Меѓу нив може да има исти вредности. Потоа факторингирање на полиномот (1) може да се напише како:
(2) Pn (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Овде z i ≠ z j за i ≠ j. Ако n i = 1 , Тоа корен z i наречен едноставно. Влегува во факторизација во форма (z-z i). Ако n i > 1 , Тоа корен z i наречен повеќекратен корен на мноштво n i. Влегува во факторизација како производ од n i прости фактори: (z-z i)(z-z i) ... (z-z i) = (z-z i) n i.

Полиноми со реални коефициенти

Лема 2

Ако е комплексен корен на полином со реални коефициенти, тогаш сложениот конјугат број е исто така корен на полиномот, .

Доказ

Навистина, ако , и коефициентите на полиномот се реални броеви, тогаш .

Така, сложените корени влегуваат во факторизација во парови со нивните сложени конјугирани вредности:
,
каде , се реални броеви.
Потоа распаѓање (2) полином со реални коефициенти во фактори може да се претстави во форма во која се присутни само реални константи:
(3) ;
.

Методи за факторинг на полином

Земајќи го предвид горенаведеното, за да се факторизира полиномот, треба да ги најдете сите корени на равенката P n (z) = 0 и да ја определи нивната мноштво. Факторите со сложени корени мора да се групираат со сложени конјугати. Потоа проширувањето се одредува со формулата (3) .

Така, методот за факторинг на полином е како што следува:
1. Наоѓање на коренот z 1 равенки Pn (z 1) = 0.
2.1. Ако коренот z 1 реално, тогаш на проширувањето го додаваме факторот (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1(z), почнувајќи од точка (1) додека не ги најдеме сите корени.
2.2. Ако коренот е сложен, тогаш сложениот конјугат број е исто така корен на полиномот. Тогаш проширувањето го вклучува факторот

,
каде б 1 = - 2 x 1, в 1 = x 1 2 + y 1 2.
Во овој случај, ние го додаваме факторот на проширувањето (z 2 + b 1 z + c 1)и подели го полиномот P n (z) со (z 2 + b 1 z + c 1). Како резултат на тоа, добиваме полином со степен n - 2 :
.
Потоа го повторуваме процесот за полиномот P n- 2 (z), почнувајќи од точка (1) додека не ги најдеме сите корени.

Наоѓање на корените на полином

Главната задача при факторинг на полином е да се најдат неговите корени. За жал, ова не може секогаш да се направи аналитички. Овде ќе разгледаме неколку случаи кога аналитички можете да ги најдете корените на полиномот.

Корени на полином од прв степен

Полином од прв степен е линеарна функција. Има еден корен. Проширувањето има само еден фактор кој ја содржи променливата z:
.

Корени на полином од втор степен

За да ги најдете корените на полиномот од втор степен, треба да ја решите квадратната равенка:
П 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Ако дискриминаторот е , тогаш равенката има два реални корени:
, .
Тогаш факторизирањето има форма:
.
Ако дискриминант D = 0 , тогаш равенката има еден двоен корен:
;
.
Доколку дискриминантот Д< 0 , тогаш корените на равенката се сложени,
.

Полиноми со степен повисок од два

Постојат формули за наоѓање на корените на полиномите од 3 и 4 степени. Сепак, тие ретко се користат бидејќи се гломазни. Нема формули за наоѓање корени на полиноми со степен повисок од 4-ти. И покрај ова, во некои случаи можно е да се факторинг на полиномот.

Наоѓање цели корени

Ако се знае дека полиномот чии коефициенти се цели броеви има целоброен корен, тогаш тој може да се најде со пребарување низ сите можни вредности.

Лема 3

Нека полиномот
,
коефициентите a i се цели броеви, има целоброен корен z 1 . Тогаш овој корен е делител на бројот a 0 .

Доказ

Да ја преработиме равенката P n (z 1) = 0како:
.
Потоа целото
М з 1 = - 0.
Поделете со z 1 :
.
Бидејќи М е цел број, тогаш М е цел број. Q.E.D.

Затоа, ако коефициентите на полиномот се цели броеви, тогаш можете да се обидете да ги најдете корените на цели броеви. За да го направите ова, треба да ги најдете сите делители на слободниот член a 0 и, со замена во равенката P n (z) = 0, проверете дали се корени на оваа равенка.
Забелешка. Ако коефициентите на полиномот се рационални броеви, тогаш множење на равенката P n (z) = 0со заедничкиот именител на броевите a i добиваме равенка за полином со целобројни коефициенти.

Наоѓање рационални корени

Ако коефициентите на полиномот се цели броеви и нема целобројни корени, тогаш за a n ≠ 1 , можете да се обидете да најдете рационални корени. За да го направите ова, треба да направите замена
z = y/a n
и помножете ја равенката со n n- 1 . Како резултат на тоа, добиваме равенка за полином во променливата y со целобројни коефициенти.Понатаму, ги бараме целобројните корени на овој полином меѓу делителите на слободниот член. Ако најдовме таков корен y i, тогаш преминувајќи на променливата x, добиваме рационален корен
z i = y i /a n.

Корисни формули

Претставуваме формули кои можат да се користат за факторинг на полином.

Поопшто, за проширување на полином
Pn (z) = z n - a 0,
каде што 0 - комплекс, треба да ги пронајдете сите негови корени, односно да ја решите равенката:
z n = a 0 .
Оваа равенка може лесно да се реши со изразување a 0 преку модулот r и аргументот φ:
.
Бидејќи а 0 нема да се промени ако додадеме на аргументот 2π, тогаш замислете а 0 како:
,
каде k е цел број. Потоа
;
.
Доделување на k вредностите k = 0, 1, 2, ... n-1, добиваме n корени на полиномот. Тогаш неговата факторизирање има форма:
.

Двоквадратен полином

Размислете за двоквадратичниот полином:
.
Биквадратниот полином може да се факторизира без да се најдат корените.

Кога , имаме:

,
Каде.

Двокубни и квадратни полиноми

Размислете за полиномот:
.
Неговите корени се одредуваат од равенката:
.
Се сведува на квадратна равенка со замена на t = z n:
а 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Откако ја решивме оваа равенка, ги наоѓаме нејзините корени, т 1 , т 2 . Потоа го наоѓаме проширувањето во форма:
.
Следно, користејќи го методот наведен погоре, го факторизираме z n - t 1 и z n - t 2 . Конечно, ги групираме факторите што содржат сложени конјугирани корени.

Рекурентни полиноми

Полиномот се вика повратен, ако неговите коефициенти се симетрични:

Пример за рефлексивен полином:
.

Ако степенот на рекурентен полином n е непарен, тогаш таков полином има корен z = -1 . Поделувајќи го таков полином со z + 1 , добиваме рекурентен полином од степен