Givet en rätt cirkulär kon med en vertex. Lektion "Volym av en kon"

V cylinder = S huvud. ∙h

Exempel 2. Givet en rät cirkulär kon ABC, liksidig, BO = 10. Hitta konens volym.

Lösning

Låt oss hitta radien för konens bas. C=60 0, B=30 0,

Låt OS = A, sedan BC = 2 A. Enligt Pythagoras sats:

Svar: .

Exempel 3. Beräkna volymerna av figurer som bildas av roterande områden som begränsas av de angivna linjerna.

y2 = 4x; y = 0; x = 4.

Integrationsgränserna a = 0, b = 4.

V= | =32π

Uppgifter

Alternativ 1

1. Cylinderns axiella sektion är en kvadrat, vars diagonal är 4 dm. Hitta cylindervolymen.

2. Ytterdiametern på en ihålig boll är 18 cm, tjockleken på väggarna är 3 cm Hitta volymen på bollens väggar.

X en figur avgränsad av linjerna y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Alternativ 2

1. Radierna för tre bollar är 6 cm, 8 cm, 10 cm Bestäm radien för en boll vars volym är lika med summan av dessa bollars volymer.

2. Konens basyta är 9 cm 2, dess totala yta är 24 cm 2. Hitta konens volym.

3. Beräkna volymen av en kropp som bildas genom rotation runt O-axeln X en figur avgränsad av linjerna y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Kontrollfrågor:

1. Skriv egenskaperna hos volymer av kroppar.

2. Skriv en formel för att beräkna volymen av en rotationskropp runt Oy-axeln.

TEXTTRANSKRIPT AV LEKTIONEN:

Vi fortsätter att studera avsnittet om stereometri "Rotationskroppar".

Rotationskroppar inkluderar: cylindrar, koner, kulor.

Låt oss komma ihåg definitionerna.

Höjd är avståndet från toppen av en figur eller kropp till basen av figuren (kroppen). Annars ett segment som förbinder toppen och basen av figuren och vinkelrätt mot den.

Kom ihåg att för att hitta arean av en cirkel måste du multiplicera pi med kvadraten på radien.

Cirkelns area är lika stor.

Låt oss komma ihåg hur man hittar arean av en cirkel genom att känna till diametern? Därför att

Låt oss lägga in det i formeln:

En kon är också en revolutionskropp.

En kon (mer exakt, en cirkulär kon) är en kropp som består av en cirkel - konens bas, en punkt som inte ligger i denna cirkels plan - toppen av konen och alla segment som förbinder toppen av konen. kon med baspunkterna.

Låt oss bekanta oss med formeln för att hitta volymen på en kon.

Sats. Volymen av en kon är lika med en tredjedel av produkten av basens yta och höjden.

Låt oss bevisa detta teorem.

Givet: kon, S - area av dess bas,

h - konhöjd

Bevisa: V=

Bevis: Betrakta en kon med volym V, basradie R, höjd h och spets vid punkt O.

Låt oss introducera Ox-axeln genom OM - konens axel. En godtycklig sektion av en kon med ett plan vinkelrätt mot Ox-axeln är en cirkel med centrum i punkten

M1 - skärningspunkten för detta plan med Ox-axeln. Låt oss beteckna denna cirkels radie med R1 och tvärsnittsarean med S(x), där x är abskissan för punkten M1.

Av likheten mellan räta trianglar ОМ1A1 och ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - räta linjer, ے MOA-generellt, vilket betyder att trianglarna är lika i två vinklar) följer att

Figuren visar att OM1=x, OM=h

eller varifrån vi, genom proportionsegenskapen, finner R1 = .

Eftersom tvärsnittet är en cirkel, då S(x)=πR12, ersätt det föregående uttrycket istället för R1, är tvärsnittsarean lika med förhållandet mellan produkten av pirkvadrat med kvadraten av x och kvadraten av höjden:

Låt oss tillämpa den grundläggande formeln

beräknar kropparnas volymer, med a=0, b=h, får vi uttryck (1)

Eftersom konens bas är en cirkel, kommer arean S av konens bas att vara lika med pirkvadrat

i formeln för att beräkna volymen av en kropp ersätter vi värdet på pirkvadrat med arean av basen och finner att konens volym är lika med en tredjedel av produkten av arean av bas och höjd

Teoremet har bevisats.

Följd av satsen (formel för volymen av en stympad kon)

Volymen V för en stympad kon, vars höjd är h, och arean av baserna S och S1, beräknas med formeln

Ve är lika med en tredjedel axe multiplicerat med summan av ytorna på baserna och kvadratroten av produkten av basens ytor.

Problemlösning

En rätvinklig triangel med benen 3 cm och 4 cm roterar runt hypotenusan. Bestäm volymen av den resulterande kroppen.

När vi roterar en triangel runt hypotenusan får vi en kon. När du löser detta problem är det viktigt att förstå att två fall är möjliga. I var och en av dem använder vi formeln för att hitta volymen av en kon: volymen av en kon är lika med en tredjedel av produkten av basen och höjden

I det första fallet kommer ritningen att se ut så här: givet en kon. Låt radie r = 4, höjd h = 3

Arean av basen är lika med π gånger kvadraten på radien

Då är konens volym lika med en tredjedel av produkten av π med kvadraten på radien och höjden.

Låt oss ersätta värdet i formeln, det visar sig att konens volym är 16π.

I det andra fallet, så här: ges en kon. Låt radie r = 3, höjd h = 4

Volymen av en kon är lika med en tredjedel av produkten av basytan och höjden:

Arean av basen är lika med π gånger kvadraten på radien:

Då är konens volym lika med en tredjedel av produkten av π med kvadraten på radien och höjden:

Genom att ersätta värdet i formeln visar det sig att konens volym är 12π.

Svar: Volymen av en kon V är 16 π eller 12 π

Uppgift 2. Givet en rät cirkulär kon med en radie på 6 cm, vinkel BCO = 45.

Hitta konens volym.

Lösning: En färdig ritning tillhandahålls för detta problem.

Låt oss skriva ner formeln för att hitta volymen av en kon:

Låt oss uttrycka det genom radien av basen R:

Vi finner h =BO genom konstruktion - rektangulär, eftersom vinkel BOC = 90 (summan av triangelns vinklar), vinklarna vid basen är lika, vilket betyder att triangeln ΔBOC är likbent och BO = OC = 6 cm.

Låt en rät cirkulär cylinder ges, det horisontella projektionsplanet är parallellt med dess bas. När en cylinder skärs av ett plan i allmänt läge (vi antar att planet inte skär cylinderns baser), är skärningslinjen en ellips, själva sektionen har formen av en ellips, dess horisontella projektion sammanfaller med projektion av cylinderns bas, och den främre har också formen av en ellips. Men om sekantplanet bildar en vinkel på 45° med cylinderns axel, så projiceras sektionen som har formen av en ellips av en cirkel på projektionsplanet mot vilket sektionen lutar i samma vinkel.

Om skärplanet skär cylinderns sidoyta och en av dess baser (fig. 8.6), så har skärningslinjen formen av en ofullständig ellips (del av en ellips). Den horisontella projektionen av sektionen i detta fall är en del av en cirkel (projektion av basen), och den frontala projektionen är en del av en ellips. Planet kan placeras vinkelrätt mot vilket projektionsplan som helst, sedan kommer sektionen att projiceras på detta projektionsplan som en rät linje (en del av spåret av sekantplanet).

Om cylindern skärs av ett plan parallellt med generatrisen, är skärningslinjerna med sidoytan raka, och själva sektionen har formen av en rektangel om cylindern är rak, eller ett parallellogram om cylindern är lutande.

Såsom är känt är både cylindern och konen bildade av linerade ytor.

Skärningslinjen (snittlinjen) för en reglad yta och ett plan i det allmänna fallet är en viss kurva, som är konstruerad från skärningspunkterna mellan generatriserna och skärplanet.

Låt det ges rak cirkulär kon. När den korsas av ett plan kan skärningslinjen ha formen av: triangel, ellips, cirkel, parabel, hyperbel (fig. 8.7) beroende på planets placering.

En triangel erhålls när ett skärande plan, som skär en kon, passerar genom dess vertex. I det här fallet är skärningslinjerna med sidoytan raka linjer som skär vid konens spets, vilka tillsammans med basens skärningslinje bildar en triangel som projiceras på projektionsplanen med distorsion. Om planet skär konens axel, så producerar sektionen en triangel vars vinkel med spetsen som sammanfaller med konens spets kommer att vara maximal för triangelsektioner av en given kon. I detta fall projiceras sektionen på det horisontella projektionsplanet (det är parallellt med dess bas) av ett rakt linjesegment.

Skärningen mellan ett plan och en kon kommer att vara en ellips om planet inte är parallellt med någon av konens generatriser. Detta motsvarar det faktum att planet skär alla generatorer (konens hela sidoyta). Om sekantplanet är parallellt med konens bas, är skärningslinjen en cirkel, själva sektionen projiceras på det horisontella projektionsplanet utan förvrängning och på frontplanet som ett rakt linjesegment.

Skärningslinjen kommer att vara en parabel när skärplanet är parallellt med endast en generatris av könen. Om skärplanet är parallellt med två generatriser samtidigt, är skärningslinjen en hyperbel.

En stympad kon erhålls om en rak cirkulär kon skärs av ett plan parallellt med basen och vinkelrätt mot konens axel, och den övre delen kasseras. I fallet när det horisontella planet av utsprång är parallellt med baserna på en stympad kon, projiceras dessa baser på det horisontella planet av utsprång utan förvrängning av koncentriska cirklar, och frontprojektionen är en trapets. När en stympad kon skärs av ett plan, beroende på dess placering, kan skärlinjen ha formen av en trapets, ellips, cirkel, parabel, hyperbel eller en del av en av dessa kurvor, vars ändar är förbundna med en rak linje.

Det diagnostiska arbetet består av två delar, inklusive 19 uppgifter. Del 1 innehåller 8 uppgifter av en grundläggande svårighetsgrad med ett kort svar. Del 2 innehåller 4 uppgifter med ökad komplexitet med kort svar och 7 uppgifter med ökad och hög komplexitet med utförligt svar.
3 timmar 55 minuter (235 minuter) avsätts för att genomföra diagnostiskt arbete i matematik.
Svaren på uppgifterna 1-12 skrivs som ett heltal eller ett sista decimaltal. Skriv siffrorna i svarsfälten i verkets text och överför dem sedan till svarsformulär nr 1. När du utför uppgifter 13-19 behöver du skriva ner hela lösningen och svara i svarsformulär nr 2.
Alla formulär måste fyllas i med klarsvart bläck. Du kan använda gel-, kapillär- eller reservoarpennor.
När du slutför uppdrag kan du använda ett utkast. Anteckningar i utkastet beaktas inte vid betygssättning av arbete.
Poängen du får för utförda uppgifter summeras.
Vi önskar dig framgång!

Problemförhållanden

1. Hitta om
2. För att få en förstorad bild av en glödlampa på skärmen i laboratoriet används en uppsamlingslins med huvudbrännvidd = 30 cm Avståndet från linsen till glödlampan kan variera från 40 till 65 cm, och avståndet från linsen till skärmen - från 75 till 100 cm. Bilden på skärmen blir tydlig om förhållandet uppfylls. Ange på vilket maximalt avstånd från linsen glödlampan kan placeras så att dess bild på skärmen blir tydlig. Uttryck ditt svar i centimeter.
3. Motorfartyget färdas längs floden till sin destination i 300 km och återvänder efter att ha stannat till utgångspunkten. Hitta strömhastigheten om fartygets hastighet i stilla vatten är 15 km/h, vistelsen varar 5 timmar och fartyget återgår till sin avgångspunkt 50 timmar efter avgång. Ge ditt svar i km/h.
4. Hitta det minsta värdet på funktionen på segmentet
5. a) Lös ekvationen b) Hitta alla rötter till denna ekvation som hör till segmentet
6. Givet en rätt cirkulär kon med en vertex M. Den axiella sektionen av konen är en triangel med en vinkel på 120° i spetsen M. Konens generatris är . Genom poängen M en sektion av könen är ritad vinkelrätt mot en av generatriserna.
   a) Bevisa att den resulterande triangeln i tvärsnitt är trubbig.
   b) Hitta avståndet från centrum HANDLA OM konens bas till sektionsplanet.
7. Lös ekvationen
8. Cirkel med mitt HANDLA OM rör vid sidan AB likbent triangel ABC, förlängning av sidan AC och fortsättning på stiftelsen Sol vid punkten N. Punkt M- mitten av basen Sol.
   a) Bevisa det MN = AC.
   b) Hitta OS, om sidorna i en triangel ABCär lika med 5, 5 och 8.
9. Affärsprojekt "A" förutsätter en ökning av de belopp som investeras i det med 34,56 % årligen under de första två åren och med 44 % årligen under de kommande två åren. Projekt B antar tillväxt med ett konstant heltal n procent årligen. Hitta det minsta värdet n, där projekt "B" under de första fyra åren kommer att vara mer lönsamt än projekt "A".
10. Hitta alla värden för parametern , , för var och en av dessa ekvationssystemet har en unik lösning
11. Anya spelar ett spel: två olika naturliga tal skrivs på tavlan och , båda är mindre än 1000. Om båda är naturliga, gör Anya ett drag - hon ersätter de föregående med dessa två siffror. Om åtminstone en av dessa siffror inte är naturligt, så slutar spelet.
    a) Kan spelet pågå exakt tre varv?
    b) Finns det två initiala nummer så att spelet kommer att pågå i minst 9 drag?
    c) Anya gjorde det första draget i spelet. Hitta det största möjliga förhållandet mellan produkten av de två erhållna talen och produkten