Studie av grafen för funktionen y x 1 2. Fullständig studie av grafens funktion och konstruktion

Om problemet kräver en fullständig studie av funktionen f (x) = x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen av dess graf, kommer vi att överväga denna princip i detalj.

För att lösa ett problem av denna typ bör du använda egenskaperna och graferna för grundläggande elementära funktioner. Forskningsalgoritmen inkluderar följande steg:

Att hitta definitionsdomänen

Eftersom forskning bedrivs på definitionsdomänen för funktionen är det nödvändigt att börja med detta steg.

Exempel 1

Det givna exemplet involverar att hitta nollorna i nämnaren för att utesluta dem från ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Som ett resultat kan du få rötter, logaritmer och så vidare. Sedan kan ODZ sökas efter en rot av en jämn grad av typen g (x) 4 med olikheten g (x) ≥ 0, för logaritmen log a g (x) med olikheten g (x) > 0.

Studera gränserna för ODZ och hitta vertikala asymptoter

Det finns vertikala asymptoter vid gränserna för funktionen, när de ensidiga gränserna vid sådana punkter är oändliga.

Exempel 2

Tänk till exempel att gränspunkterna är lika med x = ± 1 2.

Sedan är det nödvändigt att studera funktionen för att hitta den ensidiga gränsen. Då får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Detta visar att de ensidiga gränserna är oändliga, vilket betyder att de räta linjerna x = ± 1 2 är de vertikala asymptoterna i grafen.

Studie av en funktion och om den är jämn eller udda

När villkoret y (- x) = y (x) är uppfyllt anses funktionen vara jämn. Detta tyder på att grafen är placerad symmetriskt med avseende på Oy. När villkoret y (- x) = - y (x) är uppfyllt anses funktionen vara udda. Detta betyder att symmetrin är relativ till koordinaternas ursprung. Om åtminstone en olikhet inte är uppfylld får vi en funktion av allmän form.

Likheten y (- x) = y (x) indikerar att funktionen är jämn. Vid konstruktion är det nödvändigt att ta hänsyn till att det kommer att finnas symmetri med avseende på Oy.

För att lösa olikheten används intervall av ökande och minskande med villkoren f " (x) ≥ 0 respektive f " (x) ≤ 0.

Definition 1

Stationära punkter- det här är punkterna som vänder derivatan till noll.

Kritiska punkter- dessa är interna punkter från definitionsdomänen där derivatan av funktionen är lika med noll eller inte existerar.

När du fattar ett beslut måste följande anmärkningar beaktas:

för befintliga intervall med ökande och minskande olikheter av formen f " (x) > 0, är kritiska punkter inte inkluderade i lösningen;
punkter där funktionen definieras utan en finit derivata måste inkluderas i intervallen för ökande och minskande (till exempel y = x 3, där punkten x = 0 gör funktionen definierad, derivatan har värdet oändligt vid detta punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ingår i det ökande intervallet);
För att undvika meningsskiljaktigheter rekommenderas att man använder matematisk litteratur som rekommenderas av utbildningsministeriet.

Inkludering av kritiska punkter i intervall av ökande och minskande om de uppfyller funktionens definitionsdomän.

Definition 2

För bestämma intervallen för ökning och minskning av en funktion, är det nödvändigt att hitta:

derivat;
kritiska punkter;
dela upp definitionsdomänen i intervall med hjälp av kritiska punkter;
bestäm tecknet för derivatan på vart och ett av intervallen, där + är en ökning och - är en minskning.

Exempel 3

Hitta derivatan på definitionsdomänen f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lösning

För att lösa behöver du:

hitta stationära punkter, detta exempel har x = 0;
hitta nollorna i nämnaren, exemplet tar värdet noll vid x = ± 1 2.

Vi placerar punkter på tallinjen för att bestämma derivatan på varje intervall. För att göra detta räcker det att ta vilken punkt som helst från intervallet och utföra en beräkning. Om resultatet är positivt visar vi + på grafen, vilket betyder att funktionen ökar och - betyder att den minskar.

Till exempel f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, vilket betyder att det första intervallet till vänster har ett +-tecken. Tänk på tallinjen.

Svar:

funktionen ökar med intervallet - ∞; -12 och (-12; 0];
det finns en minskning av intervallet [0; 12) och 12; + ∞ .

I diagrammet, med hjälp av + och -, visas funktionens positivitet och negativitet, och pilarna indikerar minskning och ökning.

Extremumpunkter för en funktion är punkter där funktionen är definierad och genom vilka derivatan byter tecken.

Exempel 4

Om vi betraktar ett exempel där x = 0, så är värdet på funktionen i det lika med f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. När tecknet för derivatan ändras från + till - och passerar genom punkten x = 0, då anses punkten med koordinater (0; 0) vara den maximala punkten. När tecknet ändras från - till + får vi en minimipoäng.

Konvexitet och konkavitet bestäms genom att lösa olikheter av formen f "" (x) ≥ 0 och f "" (x) ≤ 0. Mindre vanligt används namnet konvexitet ner istället för konvexitet och konvexitet uppåt istället för konvexitet.

Definition 3

För bestämma intervallen för konkavitet och konvexitet nödvändig:

hitta den andra derivatan;
hitta nollorna för den andra derivatan;
dela upp definitionsområdet i intervall med de uppträdande punkterna;
bestämma intervallets tecken.

Exempel 5

Hitta andraderivatan från definitionsdomänen.

Lösning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi hittar nollorna för täljaren och nämnaren, där vi i vårt exempel har att nollorna för nämnaren x = ± 1 2

Nu måste du rita punkterna på tallinjen och bestämma tecknet för den andra derivatan från varje intervall. Det förstår vi

Svar:

funktionen är konvex från intervallet - 1 2 ; 12;
funktionen är konkav från intervallen - ∞; - 12 och 12; + ∞ .

Definition 4

Böjningspunkt– detta är en punkt av formen x 0 ; f (x 0). När den har en tangent till grafen för funktionen, när den passerar genom x 0 ändrar funktionen tecken till det motsatta.

Detta är med andra ord en punkt genom vilken andraderivatan passerar och byter tecken, och vid själva punkterna är den lika med noll eller existerar inte. Alla punkter anses vara funktionens domän.

I exemplet var det tydligt att det inte finns några böjningspunkter, eftersom andraderivatan ändrar tecken när den passerar genom punkterna x = ± 1 2. De ingår i sin tur inte i definitionsområdet.

Hitta horisontella och sneda asymptoter

När du definierar en funktion i oändligheten måste du leta efter horisontella och sneda asymptoter.

Definition 5

Sned asymptoter avbildas med räta linjer som ges av ekvationen y = k x + b, där k = lim x → ∞ f (x) x och b = lim x → ∞ f (x) - k x.

För k = 0 och b inte lika med oändlighet, finner vi att den sneda asymptoten blir horisontell.

Med andra ord anses asymptoter vara linjer som grafen för en funktion närmar sig i oändligheten. Detta underlättar snabb konstruktion av en funktionsgraf.

Om det inte finns några asymptoter, men funktionen är definierad vid båda oändligheterna, är det nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen vid dessa oändligheter för att förstå hur grafen för funktionen kommer att bete sig.

Exempel 6

Låt oss betrakta det som ett exempel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

är en horisontell asymptot. Efter att ha undersökt funktionen kan du börja konstruera den.

Beräkna värdet av en funktion vid mellanliggande punkter

För att göra grafen mer exakt rekommenderas det att hitta flera funktionsvärden vid mellanliggande punkter.

Exempel 7

Från exemplet vi betraktade är det nödvändigt att hitta funktionens värden vid punkterna x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Eftersom funktionen är jämn får vi att värdena sammanfaller med värdena vid dessa punkter, det vill säga vi får x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Låt oss skriva och lösa:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

För att bestämma maxima och minima för funktionen, böjningspunkter och mellanpunkter är det nödvändigt att konstruera asymptoter. För bekväm beteckning registreras intervall av ökande, minskande, konvexitet och konkavitet. Låt oss titta på bilden nedan.

Det är nödvändigt att rita graflinjer genom de markerade punkterna, vilket gör att du kan närma dig asymptoterna genom att följa pilarna.

Detta avslutar den fullständiga utforskningen av funktionen. Det finns fall av att konstruera några elementära funktioner för vilka geometriska transformationer används.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Solver Kuznetsov.
III Diagram

Uppgift 7. Gör en fullständig studie av funktionen och konstruera dess graf.

Innan du börjar ladda ner dina alternativ, försök att lösa problemet enligt exemplet nedan för alternativ 3. Vissa av alternativen är arkiverade i .rar-format

7.3 Gör en fullständig studie av funktionen och rita upp den

Lösning.

1) Definitionsomfång: eller , det vill säga .
.
Alltså: .

2) Det finns inga skärningspunkter med Ox-axeln. Faktum är att ekvationen har inga lösningar.
Det finns inga skärningspunkter med Oy-axeln, eftersom .

3) Funktionen är varken jämn eller udda. Det finns ingen symmetri kring ordinataaxeln. Det finns inte heller någon symmetri kring ursprunget. Därför att
.
Vi ser att och .

4) Funktionen är kontinuerlig i definitionsdomänen
.

; .

; .
Följaktligen är punkten en diskontinuitetspunkt av det andra slaget (oändlig diskontinuitet).

5) Vertikala asymptoter:

Låt oss hitta den sneda asymptoten . Här

;
.
Följaktligen har vi en horisontell asymptot: y=0. Det finns inga sneda asymptoter.

6) Låt oss hitta den första derivatan. Första derivatan:
.
Och det är varför
.
Låt oss hitta stationära punkter där derivatan är lika med noll, det vill säga
.

7) Låt oss hitta den andra derivatan. Andra derivatan:
.
Och detta är lätt att verifiera, eftersom

Hur studerar man en funktion och bygger dess graf?

Det verkar som att jag börjar förstå det andligt insiktsfulla ansiktet hos ledaren för världsproletariatet, författaren till samlade verk i 55 volymer... Den långa resan började med grundläggande information om funktioner och grafer , och nu slutar arbetet med ett arbetsintensivt ämne med ett logiskt resultat - en artikel om en fullständig studie av funktionen. Den efterlängtade uppgiften är formulerad enligt följande:

Studera en funktion med hjälp av differentialkalkylmetoder och bygg dess graf utifrån studiens resultat

Eller kort och gott: undersök funktionen och bygg en graf.

Varför utforska? I enkla fall kommer det inte att vara svårt för oss att förstå de elementära funktionerna och rita en graf som erhålls med hjälp av elementära geometriska transformationer och så vidare. Mer komplexa funktioners egenskaper och grafiska representationer är dock långt ifrån självklara, varför en hel studie behövs.

Huvudstegen i lösningen sammanfattas i referensmaterialet Funktionsstudieschema , detta är din guide till avsnittet. Dummies behöver en steg-för-steg-förklaring av ett ämne, vissa läsare vet inte var de ska börja eller hur de ska organisera sin forskning, och avancerade studenter kanske bara är intresserade av några få punkter. Men vem du än är, kära besökare, kommer den föreslagna sammanfattningen med pekare till olika lektioner snabbt att orientera och guida dig i intresseriktningen. Robotarna fäller tårar =) Manualen lades upp som en pdf-fil och tog sin rätta plats på sidan Matematiska formler och tabeller .

Jag är van vid att dela upp en funktions forskning i 5-6 punkter:

6) Ytterligare poäng och graf baserat på forskningsresultaten.

När det gäller den slutliga åtgärden tror jag att allt är klart för alla - det kommer att vara en stor besvikelse om det inom några sekunder stryks över och uppgiften returneras för revision. EN KORREKT OCH KORREKT RITNING är huvudresultatet av lösningen! Det kommer sannolikt att "dölja" analytiska fel, medan ett felaktigt och/eller slarvigt schema kommer att orsaka problem även med en perfekt genomförd studie.

Det bör noteras att i andra källor kan antalet forskningspoäng, ordningen för deras genomförande och designstilen skilja sig betydligt från det schema jag föreslog, men i de flesta fall är det ganska tillräckligt. Den enklaste versionen av problemet består av endast 2-3 steg och är formulerad ungefär så här: "undersök funktionen med derivatan och bygg en graf" eller "undersök funktionen med 1:a och 2:a derivatan, bygg en graf."

Naturligtvis, om din manual beskriver en annan algoritm i detalj eller din lärare strikt kräver att du följer hans föreläsningar, måste du göra några justeringar av lösningen. Inte svårare än att byta ut en motorsågsgaffel mot en sked.

Låt oss kontrollera funktionen för jämn/udda:

Detta följs av ett mallsvar:
, vilket betyder att den här funktionen inte är jämn eller udda.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter.

Det finns inga sneda asymptoter heller.

Notera : Jag påminner dig om att ju högre tillväxtorder , än , därför är den slutliga gränsen exakt " plus oändlighet."

Låt oss ta reda på hur funktionen beter sig i oändligheten:

Med andra ord, om vi går åt höger så går grafen oändligt långt upp, går vi åt vänster så går den oändligt långt ner. Ja, det finns också två gränser under en enda post. Om du har svårt att tyda tecknen, besök gärna lektionen om infinitesimala funktioner .

Funktionen alltså inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån. Med tanke på att vi inte har några brytpunkter blir det tydligt funktionsområde: – även valfritt reellt tal.

ANVÄNDBAR TEKNISK TEKNIK

Varje steg i uppgiften ger ny information om grafen för funktionen Under lösningen är det därför bekvämt att använda en slags LAYOUT. Låt oss rita ett kartesiskt koordinatsystem på ett utkast. Vad är säkert redan känt? För det första har grafen inga asymptoter, därför finns det inget behov av att rita raka linjer. För det andra vet vi hur funktionen beter sig i oändligheten. Enligt analysen drar vi en första approximation:

Observera att p.g.a kontinuitet funktion på och det faktum att grafen måste korsa axeln minst en gång. Eller finns det kanske flera skärningspunkter?

3) Nollor för funktionen och intervallen för konstanttecken.

Låt oss först hitta skärningspunkten för grafen med ordinataaxeln. Det är enkelt. Det är nödvändigt att beräkna värdet på funktionen vid:

En och en halv över havet.

För att hitta skärningspunkterna med axeln (funktionens nollor) måste vi lösa ekvationen, och här väntar en obehaglig överraskning:

Det finns en gratis medlem som lurar på slutet, vilket gör uppgiften mycket svårare.

En sådan ekvation har åtminstone en verklig rot, och oftast är denna rot irrationell. I den värsta sagan väntar de tre små grisarna på oss. Ekvationen är lösbar med hjälp av den sk Cardano-formler, men skadorna på papper är jämförbara med nästan hela studien. I detta avseende är det klokare att försöka välja ut minst en, antingen muntligt eller i ett utkast. hela rot. Låt oss kontrollera om dessa siffror är:
- inte lämplig;
- Det finns!

Tur här. I händelse av misslyckande kan du också testa , och om dessa siffror inte stämmer, är jag rädd att det finns mycket liten chans till en lönsam lösning på ekvationen. Då är det bättre att skippa forskningspunkten helt – kanske blir något tydligare i slutsteget, då ytterligare punkter slås igenom. Och om roten (rötterna) är tydligt "dåliga", är det bättre att vara blygsamt tyst om intervallen för konstanta tecken och att rita mer noggrant.

Men vi har en vacker rot, så vi delar polynomet för ingen återstod:

Algoritmen för att dividera ett polynom med ett polynom diskuteras i detalj i det första exemplet av lektionen Komplexa gränser .

Som ett resultat, den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen sönderdelas till produkten:

Och nu lite om en hälsosam livsstil. Det förstår jag förstås Kvadratisk ekvation måste lösas varje dag, men idag gör vi ett undantag: ekvationen har två riktiga rötter.

Låt oss rita de hittade värdena på tallinjen Och intervallmetod Låt oss definiera tecknen för funktionen:

og Alltså på intervallerna schemat finns
under x-axeln och i intervallen – ovanför denna axel.

Resultaten tillåter oss att förfina vår layout, och den andra approximationen av grafen ser ut så här:

Observera att en funktion måste ha minst ett maximum på ett intervall och minst ett minimum på ett intervall. Men vi vet ännu inte hur många gånger, var och när schemat kommer att gå. En funktion kan förresten ha oändligt många ytterligheter .

4) Ökning, minskning och extrema av funktionen.

Låt oss hitta kritiska punkter:

Denna ekvation har två reella rötter. Låt oss sätta dem på tallinjen och bestämma tecknen för derivatan:

Därför ökar funktionen med och minskar med .
Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .
Vid den punkt som funktionen når ett minimum: .

Etablerade fakta driver vår mall in i en ganska stel ram:

Onödigt att säga att differentialkalkyl är en kraftfull sak. Låt oss äntligen förstå formen på grafen:

5) Konvexitet, konkavitet och böjningspunkter.

Låt oss hitta de kritiska punkterna för den andra derivatan:

Låt oss definiera tecknen:

Grafen för funktionen är konvex på och konkav på . Låt oss beräkna ordinatan för böjningspunkten: .

Nästan allt har blivit klart.

6) Det återstår att hitta ytterligare punkter som hjälper dig att konstruera en graf mer exakt och utföra självtest. I det här fallet finns det få av dem, men vi kommer inte att försumma dem:

Låt oss göra ritningen:

Böjningspunkten är markerad med grönt, ytterligare punkter markeras med kryss. Grafen för en kubisk funktion är symmetrisk om dess böjningspunkt, som alltid ligger strikt i mitten mellan maximum och minimum.

Allt eftersom uppdraget fortskred tillhandahöll jag tre hypotetiska interimsritningar. I praktiken räcker det med att rita ett koordinatsystem, markera de hittade punkterna och efter varje forskningspunkt mentalt uppskatta hur grafen för funktionen kan se ut. Det kommer inte att vara svårt för elever med god förberedelse att genomföra en sådan analys enbart i sina huvuden utan att involvera ett utkast.

För att lösa det själv:

Exempel 2

Utforska funktionen och bygg en graf.

Allt är snabbare och roligare här, ett ungefärligt exempel på den slutliga designen i slutet av lektionen.

Studiet av fraktionerade rationella funktioner avslöjar många hemligheter:

Exempel 3

Använd differentialkalkylmetoder för att studera en funktion och, utifrån studiens resultat, konstruera dess graf.

Lösning: det första steget av studien kännetecknas inte av något anmärkningsvärt, med undantag av ett hål i definitionsområdet:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela tallinjen utom punkten, domän : .

, vilket betyder att den här funktionen inte är jämn eller udda.

Det är uppenbart att funktionen är icke-periodisk.

Funktionens graf representerar två kontinuerliga grenar placerade i vänster och höger halvplan - detta är kanske den viktigaste slutsatsen av punkt 1.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

a) Med hjälp av ensidiga gränser undersöker vi funktionens beteende nära en misstänkt punkt, där det tydligt borde finnas en vertikal asymptot:

Faktum är att funktionerna består oändligt gap vid punkten
och den räta linjen (axeln) är vertikal asymptot grafisk konst .

b) Låt oss kontrollera om sneda asymptoter finns:

Ja, det är rakt sned asymptot grafik, om.

Det är ingen mening att analysera gränserna, eftersom det redan är klart att funktionen omfattar sin sneda asymptot inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån.

Den andra forskningspunkten gav mycket viktig information om funktionen. Låt oss göra en grov skiss:

Slutsats nr 1 gäller intervall med konstant tecken. Vid "minus oändlighet" är grafen för funktionen tydligt placerad under x-axeln, och vid "plus oändlighet" är den ovanför denna axel. Dessutom sa de ensidiga gränserna att både till vänster och till höger om punkten är funktionen också större än noll. Observera att i det vänstra halvplanet måste grafen korsa x-axeln minst en gång. Det kanske inte finns några nollor av funktionen i det högra halvplanet.

Slutsats nr 2 är att funktionen ökar på och till vänster om punkten (går "från botten till toppen"). Till höger om denna punkt minskar funktionen (går "från topp till botten"). Den högra grenen av grafen måste säkert ha minst ett minimum. Till vänster är extremer inte garanterade.

Slutsats nr 3 ger tillförlitlig information om grafens konkavitet i närheten av punkten. Vi kan ännu inte säga något om konvexitet/konkavitet i oändligheter, eftersom en linje kan pressas mot sin asymptot både uppifrån och underifrån. Generellt sett finns det ett analytiskt sätt att räkna ut detta just nu, men formen på grafen kommer att bli tydligare i ett senare skede.

Varför så många ord? För att kontrollera efterföljande forskningspunkter och undvika misstag! Ytterligare beräkningar bör inte motsäga de slutsatser som dragits.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, intervall av konstant tecken för funktionen.

Funktionens graf skär inte axeln.

Med hjälp av intervallmetoden bestämmer vi tecknen:

, Om ;
, Om .

Resultaten av denna punkt överensstämmer helt med slutsats nr 1. Efter varje steg, titta på utkastet, kontrollera forskningen mentalt och slutför grafen för funktionen.

I exemplet under övervägande delas täljaren term för term med nämnaren, vilket är mycket fördelaktigt för differentiering:

Egentligen har detta redan gjorts när man hittade asymptoter.

- kritisk punkt.

Låt oss definiera tecknen:

ökar med och minskar med

Vid den punkt som funktionen når ett minimum: .

Det fanns heller inga avvikelser med slutsats nr 2, och med största sannolikhet är vi på rätt väg.

Detta innebär att grafen för funktionen är konkav över hela definitionsdomänen.

Bra - och du behöver inte rita någonting.

Det finns inga böjningspunkter.

Konkavitet överensstämmer med slutsats nr 3, dessutom indikerar det att vid oändligheten (både där och där) är grafen för funktionen placerad högre dess sneda asymptot.

6) Vi kommer samvetsgrant att fästa uppgiften med ytterligare poäng. Det är här vi kommer att behöva arbeta hårt, eftersom vi bara känner till två punkter från forskningen.

Och en bild som många säkert föreställt sig för länge sedan:

Under utförandet av uppgiften måste du noggrant se till att det inte finns några motsättningar mellan forskningsstadierna, men ibland är situationen brådskande eller till och med desperat återvändsgränd. Analysen "stämmer inte" - det är allt. I det här fallet rekommenderar jag en nödteknik: vi hittar så många punkter som möjligt som hör till grafen (så mycket tålamod som vi har) och markerar dem på koordinatplanet. En grafisk analys av de värden som hittas kommer i de flesta fall att berätta var sanningen är och var den är falsk. Dessutom kan grafen förbyggas med hjälp av något program, till exempel i Excel (det kräver förstås kunskaper).

Exempel 4

Använd differentialkalkylmetoder för att studera en funktion och konstruera dess graf.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. I den förstärks självkontrollen av funktionens paritet - grafen är symmetrisk kring axeln, och om det finns något i din forskning som motsäger detta faktum, leta efter ett fel.

En jämn eller udda funktion kan endast studeras vid , och använd sedan grafens symmetri. Denna lösning är optimal, men enligt min mening ser den väldigt ovanlig ut. Personligen tittar jag på hela talraden, men jag hittar fortfarande ytterligare punkter bara till höger:

Exempel 5

Gör en fullständig studie av funktionen och konstruera dess graf.

Lösning: saker blev tuffa:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela talraden: .

Detta betyder att denna funktion är udda, dess graf är symmetrisk om ursprunget.

Det är uppenbart att funktionen är icke-periodisk.

2) Asymptoter, beteendet hos en funktion i oändligheten.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på finns det inga vertikala asymptoter

För en funktion som innehåller en exponent är det typiskt separat studie av "plus" och "minus av oändlighet", men vårt liv underlättas av grafens symmetri - antingen finns det en asymptot på både vänster och höger, eller så finns det ingen. Därför kan båda oändliga gränserna skrivas under en enda post. Under lösningen använder vi L'Hopitals regel :

Den räta linjen (axeln) är den horisontella asymptoten i grafen vid .

Observera hur jag på ett listigt sätt undvek hela algoritmen för att hitta den sneda asymptoten: gränsen är helt laglig och förtydligar beteendet hos funktionen i oändligheten, och den horisontella asymptoten upptäcktes "som om på samma gång."

Av kontinuiteten och förekomsten av en horisontell asymptot följer att funktionen avgränsat ovan Och avgränsat nedan.

3) Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna, intervall med konstant tecken.

Här förkortar vi också lösningen:
Grafen går genom origo.

Det finns inga andra skärningspunkter med koordinataxlarna. Dessutom är tecknets konstansintervall uppenbara, och axeln behöver inte ritas: , vilket betyder att tecknet för funktionen bara beror på "x":
, Om ;
, Om .

4) Ökande, minskande, extrema av funktionen.

– kritiska punkter.

Punkterna är symmetriska ungefär noll, som sig bör.

Låt oss bestämma tecknen på derivatan:

Funktionen ökar med ett intervall och minskar med intervaller

Vid den punkt som funktionen når sitt maximum: .

På grund av fastigheten (funktionens uddahet) minimum behöver inte beräknas:

Eftersom funktionen minskar över intervallet, är grafen uppenbarligen placerad vid "minus oändlighet" under dess asymptot. Under intervallet minskar också funktionen, men här är det motsatta - efter att ha passerat maxpunkten närmar sig linjen axeln ovanifrån.

Av ovanstående följer också att grafen för funktionen är konvex vid "minus oändlighet" och konkav vid "plus oändlighet".

Efter denna studiepunkt ritades intervallet av funktionsvärden:

Om du har något missförstånd av några punkter, uppmanar jag dig än en gång att rita koordinataxlar i din anteckningsbok och, med en penna i händerna, analysera varje slutsats av uppgiften på nytt.

5) Konvexitet, konkavitet, veck i grafen.

– kritiska punkter.

Punkternas symmetri är bevarad, och troligen har vi inte fel.

Låt oss definiera tecknen:

Grafen för funktionen är konvex på och konkav på .

Konvexiteten/konkaviteten vid de extrema intervallen bekräftades.

På alla kritiska punkter finns det veck i grafen. Låt oss hitta ordinaterna för böjningspunkterna och återigen minska antalet beräkningar med funktionens uddahet: