Hur man faktorisera en kvadratisk trinomial. Faktorering av ett polynom Formel för faktorisering av ett andragradspolynom

Det är en kvadrat, och den består av tre termer (). Så det visar sig - en kvadratisk trinomial.

Exempel Inte kvadratiska trinomialer:

$x^3-3x^2-5x+6$ - kubiskt kvadrinomial
$2x+1$ - linjär binomial

Kvadratroten ur trinomialet:

Exempel:
Trinomialet $x^2-2x+1$ har en rot $1$, eftersom $1^2-2 1+1=0$
Trinomialet $x^2+2x-3$ har rötter $1$ och $-3$, eftersom $1^2+2-3=0$ och $(-3)^ 2-6-3=9-9=0$

Till exempel: om du behöver hitta rötter för det kvadratiska trinomiet $x^2-2x+1$, likställer vi det till noll och löser ekvationen $x^2-2x+1=0$.

$D=4-4\cdot1=0$
$x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1$

Redo. Roten är $1$.

Nedbrytning av ett kvadratiskt trinomium till:

Det kvadratiska trinomiet $ax^2+bx+c$ kan expanderas som $a(x-x_1)(x-x_2)$ om ekvationerna $ax^2+bx+c=0$ är större än noll \ (x_1\) och $x_2$ är rötter till samma ekvation).

Till exempel, betrakta trinomialet $3x^2+13x-10$.
Andragradsekvationen $3x^2+13x-10=0$ har en diskriminant lika med 289 (större än noll) och rötter lika med $-5$ och $\frac(2)(3)$ . Därför $3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))$. Det är lätt att verifiera riktigheten av detta uttalande - om vi , då kommer vi att få det ursprungliga trinomialet.

Det kvadratiska trinomiet $ax^2+bx+c$ kan representeras som $a(x-x_1)^2$ om diskriminanten i ekvationen $ax^2+bx+c=0$ är noll.

Till exempel, betrakta trinomialet $x^2+6x+9$.
Andragradsekvationen $x^2+6x+9=0$ har en diskriminant lika med $0$ och en unik rot lika med $-3$. Detta betyder $x^2+6x+9=(x+3)^2$ (här är koefficienten $a=1$, så det skrivs inte före parentesen - det behövs inte). Observera att samma konvertering kan göras av .

Det kvadratiska trinomiet $ax^2+bx+c$ kan inte faktoriseras om diskriminanten i ekvationen $ax^2+bx+c=0$ är mindre än noll.

Till exempel, trinomialen $x^2+x+4$ och $-5x^2+2x-1$ har en diskriminant mindre än noll. Därför är det omöjligt att faktorisera dem.

Exempel . Faktor $2x^2-11x+12$.
Lösning :
Låt oss hitta rötterna till andragradsekvationen $2x^2-11x+12=0$

$D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0$
$x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;$ $x_2=\frac(11+5)(4)=4.$

Så, $2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)$
Svar : $2(x-1,5)(x-4)$

Det resulterande svaret kan skrivas annorlunda: $(2x-3)(x-4)$.

Exempel . (Uppdrag från OGE) Det kvadratiska trinomialet faktoriseras $5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)$. Hitta en\).
Lösning:
$5x^2+33x+40=0$
$D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2$
$x_1=\frac(-33-17)(10)=-5$
$x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6$
$5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)$
Svar : $-1,6$

I den här lektionen kommer vi att lära oss att faktorisera kvadratiska trinomial till linjära faktorer. För att göra detta måste vi komma ihåg Vietas teorem och dess motsats. Denna färdighet kommer att hjälpa oss att snabbt och bekvämt expandera kvadratiska trinomial till linjära faktorer, och kommer också att förenkla reduktionen av fraktioner som består av uttryck.

Så låt oss gå tillbaka till andragradsekvationen, där .

Det vi har på vänster sida kallas ett kvadratiskt trinomium.

Teoremet är sant: Om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium, så gäller identiteten

Var är den ledande koefficienten, är rötterna till ekvationen.

Så, vi har en andragradsekvation - en andragradskrinomial, där rötterna till andragradsekvationen också kallas rötter till andragradskrinomialet. Därför, om vi har rötterna till ett kvadratiskt trinomium, kan detta trinomium delas upp i linjära faktorer.

Bevis:

Beviset för detta faktum utförs med hjälp av Vietas teorem, som vi diskuterade i tidigare lektioner.

Låt oss komma ihåg vad Vietas teorem säger:

Om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium för vilket , då .

Följande påstående följer av detta teorem:

Vi ser att vi, enligt Vietas sats, det vill säga genom att ersätta dessa värden i formeln ovan, får vi följande uttryck

Q.E.D.

Kom ihåg att vi bevisade satsen att om är rötterna till ett kvadratiskt trinomium, så är expansionen giltig.

Låt oss nu komma ihåg ett exempel på en andragradsekvation, till vilken vi valde rötter med hjälp av Vietas teorem. Från detta faktum kan vi erhålla följande likhet tack vare det beprövade teoremet:

Låt oss nu kontrollera riktigheten av detta faktum genom att helt enkelt öppna parenteserna:

Vi ser att vi faktoriserat korrekt, och vilket trinomium som helst, om det har rötter, kan faktoriseras enligt denna sats till linjära faktorer enligt formeln

Men låt oss kontrollera om sådan faktorisering är möjlig för någon ekvation:

Ta till exempel ekvationen. Låt oss först kontrollera diskriminantskylten

Och vi kommer ihåg att för att uppfylla satsen vi lärde oss måste D vara större än 0, så i det här fallet är faktorisering enligt satsen vi lärt oss omöjlig.

Därför formulerar vi ett nytt teorem: om ett kvadratiskt trinomium inte har några rötter, kan det inte brytas upp i linjära faktorer.

Så vi har tittat på Vietas sats, möjligheten att sönderdela en kvadratisk trinomial i linjära faktorer, och nu ska vi lösa flera problem.

Uppgift nr 1

I denna grupp kommer vi faktiskt att lösa problemet omvänt till det som ställs. Vi hade en ekvation, och vi hittade dess rötter genom att faktorisera den. Här kommer vi att göra tvärtom. Låt oss säga att vi har rötterna till en andragradsekvation

Det omvända problemet är detta: skriv en andragradsekvation med dess rötter.

Det finns 2 sätt att lösa detta problem.

Eftersom är rötterna till ekvationen, alltså är en andragradsekvation vars rötter är givna tal. Låt oss nu öppna parenteserna och kontrollera:

Detta var det första sättet på vilket vi skapade en andragradsekvation med givna rötter, som inte har några andra rötter, eftersom varje andragradsekvation har högst två rötter.

Denna metod involverar användningen av den omvända Vieta-satsen.

Om är ekvationens rötter, så uppfyller de villkoret att .

För den reducerade andragradsekvationen , , dvs i det här fallet, och .

Således har vi skapat en andragradsekvation som har de givna rötterna.

Uppgift nr 2

Det är nödvändigt att minska fraktionen.

Vi har ett trinomial i täljaren och ett trinomial i nämnaren, och trinomialen kan eller kanske inte faktoriseras. Om både täljaren och nämnaren faktoriseras, kan det bland dem finnas lika faktorer som kan reduceras.

Först och främst måste du faktorisera täljaren.

Först måste du kontrollera om denna ekvation kan faktoriseras, låt oss hitta diskriminanten. Eftersom , tecknet beror på produkten (måste vara mindre än 0), i detta exempel, d.v.s. den givna ekvationen har rötter.

För att lösa använder vi Vietas teorem:

I det här fallet, eftersom vi har att göra med rötter, kommer det att vara ganska svårt att helt enkelt välja rötterna. Men vi ser att koefficienterna är balanserade, det vill säga om vi antar att , och ersätter detta värde i ekvationen, får vi följande system: , dvs 5-5=0. Således har vi valt en av rötterna till denna andragradsekvation.

Vi kommer att leta efter den andra roten genom att ersätta det som redan är känt i ekvationssystemet, till exempel, d.v.s. .

Således har vi hittat båda rötterna till andragradsekvationen och kan ersätta deras värden i den ursprungliga ekvationen för att faktorisera den:

Låt oss komma ihåg det ursprungliga problemet, vi behövde minska bråkdelen.

Låt oss försöka lösa problemet genom att ersätta .

Det är nödvändigt att inte glömma att i detta fall kan nämnaren inte vara lika med 0, dvs.

Om dessa villkor är uppfyllda har vi reducerat den ursprungliga bråkdelen till formen .

Uppgift nr 3 (uppgift med en parameter)

Vid vilka värden på parametern är summan av rötterna till andragradsekvationen

Om rötterna till denna ekvation finns, då , fråga: när.

Denna online-kalkylator är utformad för att faktorisera en funktion.

Faktorisera till exempel: x 2 /3-3x+12. Låt oss skriva det som x^2/3-3*x+12. Du kan också använda denna tjänst, där alla beräkningar sparas i Word-format.

Till exempel, dekomponera i termer. Låt oss skriva det som (1-x^2)/(x^3+x) . Klicka på Visa steg för att se lösningens framsteg. Om du behöver få resultatet i Word-format, använd den här tjänsten.

Notera: talet "pi" (π) skrivs som pi; kvadratrot som sqrt , till exempel sqrt(3) , tangent tg skrivs tan . För att se svaret, se Alternativ.

Om ett enkelt uttryck ges, till exempel 8*d+12*c*d, betyder faktorisering av uttrycket att representera uttrycket i form av faktorer. För att göra detta måste du hitta gemensamma faktorer. Låt oss skriva detta uttryck som: 4*d*(2+3*c) .
Presentera produkten i form av två binomialer: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Här behöver du redan hitta flera vanliga faktorer: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vi tar ut (x+7z) och får: (x+7z)(x + 3y) .

se även Division av polynom med ett hörn (alla steg för division med en kolumn visas)

Användbart när man studerar reglerna för faktorisering kommer att vara förkortade multiplikationsformler, med hjälp av vilken det blir tydligt hur man öppnar parentes med en fyrkant:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoriseringsmetoder

Efter att ha lärt sig några knep faktorisering Följande klassificering av lösningar kan göras:

Använda förkortade multiplikationsformler.
Att hitta en gemensam faktor.