Största gemensamma delaren. Samprimtal

Primtal och sammansatta tal

Definition 1. En gemensam divisor av flera naturliga tal är ett tal som är en divisor för vart och ett av dessa tal.

Definition 2. Den största gemensamma divisor kallas största gemensamma delare (GCD).

Exempel 1. Gemensamma delare för talen 30, 45 och 60 är talen 3, 5, 15. Den största gemensamma delaren av dessa tal är

GCD (30, 45, 10) = 15.

Definition 3. Om den största gemensamma delaren för flera tal är 1, så kallas dessa tal ömsesidigt prime.

Exempel 2. Siffrorna 40 och 3 kommer att vara samprimtal, men talen 56 och 21 är inte samprimtal eftersom talen 56 och 21 har en gemensam faktor på 7, vilket är större än 1.

Notera. Om bråktalets täljare och bråktalets nämnare är inbördes primtal, är ett sådant bråk irreducerbart.

Algoritm för att hitta den största gemensamma divisorn

Låt oss överväga algoritm för att hitta den största gemensamma divisorn flera siffror i följande exempel.

Exempel 3. Hitta den största gemensamma delaren av talen 100, 750 och 800.

Lösning . Låt oss räkna in dessa siffror i primtalsfaktorer:

Primfaktorn 2 ingår i den första faktoriseringen till potensen 2, i den andra faktoriseringen – till potensen av 1, och i den tredje faktoriseringen – till potensen av 5. Låt oss beteckna den minsta av dessa befogenheter genom bokstaven a. Det är uppenbart a = 1 .

Primfaktorn 3 ingår i den första faktoriseringen till potensen 0 (med andra ord, faktorn 3 ingår inte alls i den första faktoriseringen), i den andra faktoriseringen ingår den i potensen 1, och i tredje faktorisering – till 0 potens. Låt oss beteckna den minsta av dessa befogenheter genom bokstaven b. Det är uppenbart b = 0 .

Primfaktorn 5 ingår i den första faktoriseringen till 2-potensen, i den andra faktoriseringen – i 3-potensen, och i den tredje faktoriseringen – i 2-potensen. Låt oss beteckna den minsta av dessa befogenheter genom bokstaven c. Det är uppenbart c = 2 .

Avsnitt: Matematik, Tävling "Presentation för lektionen"

Klass: 6

Presentation för lektionen

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Detta arbete är avsett att komplettera förklaringen av ett nytt ämne. Läraren väljer praktiska uppgifter och hemuppgifter efter eget gottfinnande.

Utrustning: dator, projektor, duk.

Förklaringens framsteg

Bild 1. Största gemensamma divisor.

Muntligt arbete.

1. Beräkna:

A) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

b) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Svar: a) 8; b) 3.

2. Motbevisa påståendet: Talet "2" är den gemensamma divisorn för alla tal."

Självklart är udda tal inte delbara med 2.

3. Vad kallas tal som är multiplar av 2?

4. Nämn ett tal som är en divisor av valfritt tal.

I skrift.

1. Faktorisera talet 2376 i primtalsfaktorer.

2. Hitta alla gemensamma delare för talen 18 och 60.

Delare av 18:1; 2; 3; 6; 9; 18.

Delare på 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; trettio; 60.

Vilken är den största gemensamma delaren av talen 18 och 60?

Försök att formulera vilket tal som kallas den största gemensamma delaren av två naturliga tal

Regel. Det största naturliga talet som kan delas utan rest kallas den största gemensamma divisorn.

De skriver: GCD (18; 60) = 6.

Snälla berätta för mig, är den övervägda metoden för att hitta GCD bekväm?

Siffrorna kan vara för stora och det är svårt att lista alla delare.

Låt oss försöka hitta ett annat sätt att hitta GCD.

Låt oss faktorisera talen 18 och 60 till primtalsfaktorer:

18 =

Ge exempel på divisorer för talet 18.

Siffror: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Ge exempel på divisorer för talet 60.

Siffror: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; trettio; 60.

Ge exempel på gemensamma delare för talen 18 och 60.

Siffror: 1; 2; 3; 6.

Hur kan du hitta den största gemensamma delaren för 18 och 60?

Algoritm.

1. Dela upp de givna talen i primtalsfaktorer.

Kom ihåg!

Om ett naturligt tal endast är delbart med 1 och sig själv, så kallas det primtal.

Varje naturligt tal är alltid delbart med 1 och sig själv.

Talet 2 är det minsta primtalet. Detta är det enda jämna primtalet; alla andra primtal är udda.

Det finns många primtal, och det första bland dem är talet 2. Det finns dock inget sista primtal. I avsnittet "För studier" kan du ladda ner en tabell med primtal upp till 997.

Men många naturliga tal är också delbara med andra naturliga tal.

Till exempel:

• talet 12 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
• Talet 36 är delbart med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal som talet är delbart med en hel (för 12 är dessa 1, 2, 3, 4, 6 och 12) kallas talets divisorer.

Kom ihåg!

Divisorn för ett naturligt tal a är ett naturligt tal som delar det givna talet "a" utan en rest.

Ett naturligt tal som har fler än två delare kallas sammansatt.

Observera att siffrorna 12 och 36 har gemensamma faktorer. Dessa nummer är: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den största delaren av dessa tal är 12.

Den gemensamma divisorn för två givna tal "a" och "b" är det tal som båda givna talen "a" och "b" delas med utan rest.

Kom ihåg!

Största gemensamma delaren(GCD) av två givna tal "a" och "b" är det största tal som båda talen "a" och "b" delas med utan rest.

Kortfattat skrivs den största gemensamma delaren av talen "a" och "b" på följande sätt:

GCD (a; b).

Exempel: gcd (12; 36) = 12.

Dividerar av siffror i lösningsposten betecknas med den stora bokstaven "D".

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Siffrorna 7 och 9 har bara en gemensam divisor - talet 1. Sådana nummer kallas coprimtal.

Kom ihåg!

Samprimtal- det här är naturliga tal som bara har en gemensam delare - talet 1. Deras gcd är 1.

Hur man hittar den största gemensamma delaren

För att hitta gcd för två eller flera naturliga tal behöver du:

1. dekomponera talens divisorer i primtalsfaktorer;

Det är bekvämt att skriva beräkningar med en vertikal stapel. Till vänster om raden skriver vi först ner utdelningen, till höger - divisorn. Därefter skriver vi ner värdena för kvoterna i den vänstra kolumnen.

Låt oss förklara det direkt med ett exempel. Låt oss faktorisera talen 28 och 64 till primtalsfaktorer.

1. Vi betonar samma primtalsfaktorer i båda talen.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Hitta produkten av identiska primtalsfaktorer och skriv ner svaret;
   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

   Svar: GCD (28; 64) = 4

Du kan formalisera platsen för GCD på två sätt: i en kolumn (som gjort ovan) eller "i rad".

stadsdelen Tolyatti

"Största gemensamma delare. Inbördes primtal.

Läraren Kostina T.K.

gå. Tolyatti

Lektionens ämne: ”Största gemensamma delaren.

Inbördes primtal"

Preliminära förberedelser inför lektionen: eleverna bör känna till följande ämnen: "Divisorer och multipler", "Delbarhetstester med 10, 5, 2, 3, 9", "primtal och sammansatta tal", "primtalsfaktorisering"

Lektionens mål:

1. 
   Utbildning: studera begreppen gcd och coprimtal; lära eleverna att hitta gcd av siffror; skapa förutsättningar för att utveckla förmågan att sammanfatta det studerade materialet, analysera, jämföra och dra slutsatser.
2. 
   Utbildning: utveckla självkontrollfärdigheter; främja en känsla av ansvar.
3. 
   Utveckling: utveckling av minne, fantasi, tänkande, uppmärksamhet, intelligens.

Under lektionerna

Referat av logiska problem Muntligt arbete.

1. Farmor och farfar tog med ett udda antal aprikoser från trädgården till sina två barnbarn. Kan dessa aprikoser delas lika mellan barnbarnen? [Burk]

2. Från en by till en annan 3 km. Två personer kom ut från dessa byar mot varandra i samma hastighet. Mötet ägde rum en halvtimme senare. Hitta hastigheten för varje.

3. Turisten gick 2/5 av hela sträckan. Efter det hade han 4 km mer kvar än han redan hade gått. Hitta hela vägen.

4. Antalet ägg i korgen är mindre än 40. Om du räknar dem i par, så blir det 1 ägg kvar. Om du räknar dem i tre, blir det fortfarande ett ägg kvar. Hur många ägg är det i korgen? (31)

2. Upprepning.

Med hjälp av tabellen upprepar vi definitionen av en divisor, multipel, tecken på delbarhet, definition av primtal och sammansatta tal. På skärmen finns bilder med bilder av djur, en karta över Samara-regionen, fotografier av en VAZ.

3. Studera nytt material i form av ett samtal.

• 
  Nämn delaren för 18, 21, 24.
• 
  Arean av VAZ är 500 hektar. Vilka primtalsfaktorer kan detta tal räknas in i? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
• 
  Vilka är de gemensamma dividerarna för talen 120 och 80?
• 
  Björnens vikt är 525 kg. En elefants massa är 5025 kg. Nämn några vanliga delare
• 
  Bävern väger 24 kg och är 97 cm lång. Är dessa tal primtal eller komplexa? Namnge deras gemensamma delare.
• 
  56640 ton syre förbrukas av 1 passagerarflygplan under 9 timmars drift. Denna mängd syre frigörs vid fotosyntes av 35 000 hektar skog. Nämn flera delare av detta tal.
• 
  Vilka av dessa tal är primtal och vilka är sammansatta? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?

• 
  Vilket tal är delbart med alla tal utan rest?
• 
  Vilket tal är delaren av ett naturligt tal?
• 
  Är uttrycket 34*28+85*20 delbart med 17?
• 
  Är uttrycket 4132*7008 delbart med 3?
• 
  Vad är kvoten (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
• 
  Vad är produkten (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
• 
  Lista några primtal.

Ju längre vi går längs den naturliga talserien, desto svårare är det att hitta primtal. Låt oss föreställa oss att vi flyger på ett flygplan som flyger längs den naturliga serien. Det är mörkt runt om och endast primtal indikeras med lampor. I början av resan är det mycket ljus, och sedan mindre och mer sällan.

Den antika grekiske vetenskapsmannen Euklid bevisade för 2 300 år sedan att det finns oändligt många primtal och att det största primtalet inte finns.

Problemet med primtal studerades av många matematiker, inklusive den antika grekiska vetenskapsmannen Eratosthenes. Hans metod för att hitta primtal kallades Eratosthenes såll.

Goldbach och Euler, som levde på 1700-talet och var medlemmar av Sankt Petersburgs vetenskapsakademi, arbetade med problemet med primtal. De antog att varje naturligt tal kunde representeras som en summa av primtal, men detta bevisades inte. 1937 bevisade den sovjetiske akademikern Vinogradov detta förslag.

• 
  Den indiska elefanten levde 65 år, krokodilen - 51 år, kamelen - 23, hästen - 19 år. Vilka av dessa tal är primtal och sammansatta?
• 
  Vargen kommer ikapp haren, han måste ta sig igenom labyrinten. Du kan godkänna om svaret är ett primtal [labyrinter i form av cirklar med tre exempel vardera och ett hus i mitten]

1. 
   1000-2; 250*2+9; 310/5
2. 
   24/4, 2 2 +41, 23+140
3. 
   10-3; 133+12; 28*5

Skriv på tavlan för problemet:

Delare 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48

Delare 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36

GCD (48; 36) = 12  12 gåvor  bestämning av GCD för divisorn  regel för att hitta GCD

Hur man hittar gcd för stora tal när det är svårt att lista alla divisorer. Utifrån tabellen och läroboken härleder vi regeln. Vi lyfter fram huvudorden: dekomponera, komponera, multiplicera.

Jag visar exempel på att hitta GCD för stora tal; här kan vi säga att GCD för stora tal kan hittas med den euklidiska algoritmen. Vi kommer att bekanta oss med denna algoritm i detalj i matematikskoleklasser.

En algoritm är en regel genom vilken åtgärder utförs. På 900-talet gavs sådana regler av den arabiske matematikern Alkhwaruimi.

4. Arbeta i grupper om 4 personer.

Alla får ett av fyra alternativ för uppgifter, som indikerar följande:

1. 
   Eleven ska studera teorin från läroboken och svara på en fråga
2. 
   Studera ett exempel på att hitta GCD
3. 
   Genomföra uppdrag för självständigt arbete.

I slutet av arbetet görs lite självständigt arbete.

CSR-kort

Alternativ 1

1. Vilket tal kallas primtal? Vilket tal kallas sammansatt?

2. Hitta GCD (96; 36)

För att hitta gcd för siffror måste du faktorisera de givna talen till primtalsfaktorer.

96=2 5 *3

Nedbrytningen av ett tal som är gcd för nummer 96 och 36 kommer att inkludera vanliga primtalsfaktorer med den minsta exponenten:

GCD (96;36)=22 *3=4*3=12

3. Bestäm själv. GCD(102; 84), GCD(75; 28), GCD(120; 144)

Alternativ 2

1. Vad innebär det att faktorisera ett naturligt tal i primtal? Vilket tal kallas gemensamma delare för dessa tal?

2. Prov gcd (54; 72)=18

3. Lös själv GCD(144; 128), GCD(81; 64), GCD(360; 840)

Alternativ 3

1. Vilka tal kallas relativt primtal? Ge ett exempel.

2. Prov gcd (72; 96) =24

3. Lös själv GCD(102, 170), GCD(45, 64), GCD(864, 192)

Alternativ 4

1. Hur hittar man den gemensamma divisorn för tal?

2. Prov GCD (360; 432)

3. Lös själv GCD (135; 105), GCD (128; 75), GCD (360; 8400)

Självständigt arbete

Att lösa problem från problemboken Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd för 6:e ​​klass i matematik om ämnet:

146 Hitta alla vanliga faktorer för talen 18 och 60; 72, 96 och 120; 35 och 88.
LÖSNING

147 Hitta primtalsfaktoriseringen av den största gemensamma delaren av talen a och b om a = 2·2·3·3 och b = 2·3·3·5; a = 5.5.7.7.7 och b = 3.5.7.7.
LÖSNING

148 Hitta den största gemensamma delaren av talen 12 och 18; 50 och 175; 675 och 825; 7920 och 594; 324, 111 och 432; 320, 640 och 960.
LÖSNING

149 Är talen 35 och 40 relativt primtal; 77 och 20; 10, 30, 41; 231 och 280?
LÖSNING

150 Är talen 35 och 40 relativt primtal; 77 och 20; 10, 30, 41; 231 och 280?
LÖSNING

151 Skriv ner alla egenbråk med nämnaren 12 vars täljare och nämnare är relativt primtal.
LÖSNING

152 Killarna fick identiska gåvor vid nyårsträdet. Alla gåvorna tillsammans innehöll 123 apelsiner och 82 äpplen. Hur många barn var närvarande vid granen? Hur många apelsiner och hur många äpplen fanns det i varje present?
LÖSNING

153 För resor utanför staden tilldelades fabriksarbetarna flera bussar med samma antal sittplatser. 424 personer gick till skogen och 477 till sjön. Alla platser på bussarna var upptagna och inte en enda person lämnades utan sittplats. Hur många bussar tilldelades och hur många passagerare fanns på varje buss?
LÖSNING

154 Beräkna muntligt med hjälp av en kolumn
LÖSNING

155 Använd figur 7 för att avgöra om a, b och c är primtal.
LÖSNING

156 Finns det en kub vars kant uttrycks med ett naturligt tal och där summan av längderna av alla kanter uttrycks med ett primtal; Är ytan uttryckt som ett enkelt tal?
LÖSNING

157 Faktor 875 till primfaktorer; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
LÖSNING

158 Varför om ett tal kan delas upp i två primtalsfaktorer och det andra till tre, då är dessa tal inte lika?
LÖSNING

159 Är det möjligt att hitta fyra olika primtal så att produkten av två av dem är lika med produkten av de andra två?
LÖSNING

160 På hur många sätt kan en nio-sitsig minibuss rymma 9 passagerare? På hur många sätt kan de sitta om en av dem, som kan rutten väl, sitter bredvid föraren?
LÖSNING

161 Hitta värdena för uttrycken (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); (2.2.3.5.7):(2.3.7); (2.3.7.1.3):(3.7); (3 · 5 · 11 · 17 · 23):(3 · 11 · 17).
LÖSNING

162 Jämför 3/7 och 5/7; 11/13 och 8/13, 1 2/3 och 5/3; 2 2/7 och 3 1/5.
LÖSNING

163 Använd en gradskiva, konstruera AOB = 35° och DEF = 140°.
LÖSNING

164 1) Ray OM delade upp den utvecklade vinkeln AOB i två: AOM och MOB. AOM-vinkeln är 3 gånger MOB. Vilka är vinklarna AOM och PTO? Bygg dem. 2) Beam OK delade den utvecklade vinkeln COD i två: SOK och KOD. Vinkeln SOK är 4 gånger mindre än KOD. Vilka är vinklarna SOK och KOD? Bygg dem.
LÖSNING

165 1) Arbetare reparerade en väg som var 820 m lång på tre dagar. På tisdagen reparerade de 2/5 av denna väg och på onsdagen 2/3 av den återstående delen. Hur många meter väg reparerade arbetarna i torsdags? 2) Gården innehåller kor, får och getter, totalt 3400 djur. Får och getter utgör tillsammans 9/17 av alla djur, och getter utgör 2/9 av det totala antalet får och getter. Hur många kor, får och getter finns det på gården?
LÖSNING

166 Presentera talen 0,3 som ett gemensamt bråk; 0,13; 0,2 och som en decimal 3/8; 4 1/2; 3 7/25
LÖSNING

167 Utför åtgärden genom att skriva varje tal som ett decimalbråk 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
LÖSNING

168 Presentera siffrorna 10, 36, 54, 15, 27 och 49 som summan av primtalmer så att det finns så få termer som möjligt. Vilka förslag kan du ge om att representera tal som summor av primtal?
LÖSNING

169 Hitta den största gemensamma delaren av talen a och b, om a = 3·3·5·5·5·7, b = 3·5·5·11; a = 2·2·2·3·5·7, b = 3·11·13.