Ordinarie och decimalbråk och operationer på dem. Decimaler

Den här artikeln handlar om decimaler. Här ska vi förstå decimalnotationen för bråktal, introducera begreppet decimalbråk och ge exempel på decimalbråk. Därefter kommer vi att prata om siffrorna i decimalbråk och ge namnen på siffrorna. Efter detta kommer vi att fokusera på oändliga decimalbråk, låt oss prata om periodiska och icke-periodiska bråk. Därefter listar vi de grundläggande operationerna med decimalbråk. Avslutningsvis, låt oss fastställa positionen för decimalfraktioner på koordinatstrålen.

Sidnavigering.

Decimalnotation av ett bråktal

Läsa decimaler

Låt oss säga några ord om reglerna för att läsa decimalbråk.

Decimalbråk, som motsvarar egentliga ordinarie bråk, läses på samma sätt som dessa ordinarie bråk, endast ”noll heltal” läggs först till. Till exempel motsvarar decimalbråket 0,12 det vanliga bråktalet 12/100 (läs "tolv hundradelar"), därför läses 0,12 som "noll komma tolv hundradelar".

Decimalbråk som motsvarar blandade tal läses exakt likadant som dessa blandade tal. Till exempel motsvarar decimalbråket 56.002 ett blandat tal, så decimalbråket 56.002 läses som "femtiosex komma tvåtusendelar".

Platser i decimaler

När du skriver decimalbråk, såväl som när du skriver naturliga tal, beror betydelsen av varje siffra på dess position. Faktum är att siffran 3 i decimalbråket 0,3 betyder tre tiondelar, i decimalbråket 0,0003 - tre tiotusendelar och i decimalbråket 30 000,152 - tre tiotusentals. Så vi kan prata om decimaler, samt om siffrorna i naturliga tal.

Namnen på siffrorna i decimalbråket upp till decimalkomma sammanfaller helt med namnen på siffrorna i naturliga tal. Och namnen på decimalerna efter decimaltecknet kan ses från följande tabell.

Till exempel, i decimalbråket 37,051, är siffran 3 på tiotalsplatsen, 7 är på enhetsplatsen, 0 är på tiondelsplatsen, 5 är på hundradelsplatsen och 1 är på tusendelsplatsen.

Platser i decimalbråk skiljer sig också åt i prioritet. Om vi ​​när vi skriver ett decimalbråk flyttar från siffra till siffra från vänster till höger, så kommer vi att flytta från seniorer Till juniorled. Till exempel är hundratalsplatsen äldre än tiondelsplatsen, och miljonplatsen är lägre än hundradelsplatsen. I ett givet sista decimalbråk kan vi prata om stor- och molsiffror. Till exempel i decimalbråk 604,9387 senior (högst) platsen är hundratals plats, och junior (lägst)- tiotusendels siffra.

För decimalbråk sker expansion till siffror. Det liknar expansion till siffror av naturliga tal. Till exempel är expansionen till decimaler på 45,6072 som följer: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Och egenskaperna för addition från nedbrytningen av ett decimalbråk till siffror låter dig gå vidare till andra representationer av detta decimalbråk, till exempel 45,6072=45+0,6072, eller 45,6072=40,6+5,007+0,0002, eller 45,6072=45,6072=45+0,6072. 0,6.

Slutande decimaler

Hittills har vi bara talat om decimalbråk, i vars notation det finns ett ändligt antal siffror efter decimalkomma. Sådana bråk kallas ändliga decimaler.

Definition.

Slutande decimaler- Dessa är decimalbråk, vars poster innehåller ett ändligt antal tecken (siffror).

Här är några exempel på sista decimalbråk: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Men inte varje bråk kan representeras som en sista decimal. Bråket 5/13 kan till exempel inte ersättas med ett lika bråktal med en av nämnarna 10, 100, ..., därför kan det inte omvandlas till ett sista decimalbråk. Vi kommer att prata mer om detta i teoriavsnittet, att konvertera vanliga bråk till decimaler.

Oändliga decimaler: periodiska bråk och icke-periodiska bråk

När man skriver ett decimalbråk efter decimaltecknet kan man anta möjligheten av ett oändligt antal siffror. I det här fallet kommer vi att överväga de så kallade oändliga decimalbråken.

Definition.

Oändliga decimaler– Det här är decimalbråk, som innehåller ett oändligt antal siffror.

Det är tydligt att vi inte kan skriva ner oändliga decimalbråk i full form, så i deras registrering begränsar vi oss till endast ett visst ändligt antal siffror efter decimalkomma och sätter en ellips som indikerar en oändligt fortlöpande sekvens av siffror. Här är några exempel på oändliga decimalbråk: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Om du tittar noga på de två sista oändliga decimalbråken, så i bråket 2.111111111... är det oändligt upprepade talet 1 tydligt, och i bråket 69.74152152152..., med början från den tredje decimalen, en upprepande grupp av tal 1, 5 och 2 syns tydligt. Sådana oändliga decimalbråk kallas periodiska.

Definition.

Periodiska decimaler(eller bara periodiska bråk) är oändliga decimalbråk, i vars registrering, med utgångspunkt från en viss decimal, ett antal eller grupp av tal upprepas oändligt, vilket kallas perioden för fraktionen.

Till exempel är perioden för det periodiska bråket 2.111111111... siffran 1, och perioden för bråket 69.74152152152... är en grupp av siffror av formen 152.

För oändliga periodiska decimalbråk används en speciell form av notation. För korthetens skull kom vi överens om att skriva ner perioden en gång och sätta in den inom parentes. Till exempel skrivs det periodiska bråket 2.111111111... som 2,(1) , och det periodiska bråket 69.74152152152... skrivs som 69.74(152) .

Det är värt att notera att olika perioder kan anges för samma periodiska decimalbråk. Till exempel kan det periodiska decimalbråket 0,73333... betraktas som ett bråktal 0,7(3) med en period av 3, och även som ett bråktal 0,7(33) med en period av 33, och så vidare 0,7(333), 0,7 (3333), ... Du kan också titta på det periodiska bråket 0,73333 ... så här: 0,733(3), eller så här 0,73(333) osv. Här, för att undvika tvetydighet och diskrepanser, är vi överens om att betrakta som perioden av ett decimaltal den kortaste av alla möjliga sekvenser av upprepade siffror, och med start från närmaste position till decimalkomma. Det vill säga perioden för decimalbråket 0,73333... kommer att betraktas som en sekvens av en siffra 3, och periodiciteten börjar från den andra positionen efter decimalkomma, det vill säga 0,73333...=0,7(3). Ett annat exempel: det periodiska bråket 4,7412121212... har en period på 12, periodiciteten börjar från den tredje siffran efter decimalkomma, det vill säga 4,7412121212...=4,74(12).

Oändliga decimala periodiska bråk erhålls genom att konvertera vanliga bråk vars nämnare innehåller andra primfaktorer än 2 och 5 till decimalbråk.

Här är det värt att nämna periodiska bråk med en period på 9. Låt oss ge exempel på sådana fraktioner: 6.43(9) , 27,(9) . Dessa bråk är en annan notation för periodiska bråk med period 0, och de ersätts vanligtvis av periodiska bråk med period 0. För att göra detta ersätts period 9 med period 0, och värdet på den näst högsta siffran ökas med en. Till exempel ersätts ett bråk med period 9 av formen 7.24(9) med ett periodiskt bråk med period 0 av formen 7.25(0) eller ett lika stort decimalbråk 7.25. Ett annat exempel: 4,(9)=5,(0)=5. Likheten för ett bråk med period 9 och dess motsvarande bråk med period 0 är lätt att fastställa efter att dessa decimalbråk har ersatts med lika vanliga bråk.

Låt oss slutligen titta närmare på oändliga decimalbråk, som inte innehåller en oändligt upprepad sekvens av siffror. De kallas icke-periodiska.

Definition.

Ej återkommande decimaler(eller bara icke-periodiska fraktioner) är oändliga decimalbråk som inte har någon punkt.

Ibland har icke-periodiska bråk en form som liknar den för periodiska bråk, till exempel är 8.02002000200002... ett icke-periodiskt bråk. I dessa fall bör du vara extra noga med att märka skillnaden.

Observera att icke-periodiska bråk inte konverteras till vanliga bråk, oändliga icke-periodiska decimalbråk representerar irrationella tal.

Operationer med decimaler

En av operationerna med decimalbråk är jämförelse, och de fyra grundläggande aritmetiska funktionerna definieras också operationer med decimaler: addition, subtraktion, multiplikation och division. Låt oss överväga var och en av åtgärderna med decimalbråk separat.

Jämförelse av decimaler huvudsakligen baserat på jämförelse av vanliga bråk som motsvarar de decimalbråk som jämförs. Att omvandla decimalbråk till vanliga bråk är dock en ganska arbetskrävande process, och oändliga icke-periodiska bråk kan inte representeras som ett vanligt bråk, så det är bekvämt att använda en platsvis jämförelse av decimalbråk. Platsvis jämförelse av decimalbråk liknar jämförelse av naturliga tal. För mer detaljerad information rekommenderar vi att du studerar artikeln: jämförelse av decimalbråk, regler, exempel, lösningar.

Låt oss gå vidare till nästa steg - multiplicera decimaler. Multiplikation av finita decimalbråk utförs på samma sätt som subtraktion av decimalbråk, regler, exempel, lösningar för multiplikation med en kolumn med naturliga tal. När det gäller periodiska bråk kan multiplikation reduceras till multiplikation av vanliga bråk. I sin tur reduceras multiplikationen av oändliga icke-periodiska decimalbråk efter deras avrundning till multiplikationen av ändliga decimalbråk. Vi rekommenderar för vidare studier av materialet i artikeln: multiplikation av decimalbråk, regler, exempel, lösningar.

Decimaler på en koordinatstråle

Det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan punkter och decimaler.

Låt oss ta reda på hur punkter på koordinatstrålen är konstruerade som motsvarar ett givet decimaltal.

Vi kan ersätta ändliga decimalbråk och oändliga periodiska decimalbråk med lika vanliga bråk och sedan konstruera motsvarande ordinarie bråk på koordinatstrålen. Till exempel motsvarar decimalbråket 1,4 det gemensamma bråktalet 14/10, så punkten med koordinat 1,4 tas bort från origo i positiv riktning med 14 segment lika med en tiondel av ett enhetssegment.

Decimalbråk kan markeras på en koordinatstråle, med utgångspunkt från sönderdelningen av en given decimalbråk i siffror. Låt oss till exempel behöva bygga en punkt med koordinaten 16.3007, eftersom 16.3007=16+0.3+0.0007, då kan vi komma till denna punkt genom att sekventiellt lägga 16 enhetssegment från koordinaternas ursprung, 3 segment vars längd är lika med en tiondel av en enhet, och 7 segment, vars längd är lika med en tiotusendel av ett enhetssegment.

Den här metoden för att konstruera decimaltal på en koordinatstråle låter dig komma så nära du vill den punkt som motsvarar en oändlig decimalbråkdel.

Ibland är det möjligt att noggrant plotta punkten som motsvarar en oändlig decimalbråkdel. Till exempel, , då motsvarar denna oändliga decimalbråkdel 1,41421... en punkt på koordinatstrålen, avlägsen från origo för koordinater med längden på diagonalen av en kvadrat med en sida av 1 enhetssegment.

Den omvända processen att erhålla decimalfraktionen som motsvarar en given punkt på en koordinatstråle är den s.k. decimalmått för ett segment. Låt oss ta reda på hur det görs.

Låt vår uppgift vara att ta oss från origo till en given punkt på koordinatlinjen (eller att oändligt närma sig den om vi inte kan komma dit). Med decimalmåttet för ett segment kan vi sekventiellt ta bort från origo vilket antal enhetssegment som helst, sedan segment vars längd är lika med en tiondels enhet, sedan segment vars längd är lika med en hundradels enhet, etc. Genom att registrera antalet segment av varje längd som lagts åt sidan får vi det decimaltal som motsvarar en given punkt på koordinatstrålen.

Till exempel, för att komma till punkt M i ovanstående figur, måste du avsätta 1 enhetssegment och 4 segment, vars längd är lika med en tiondel av en enhet. Punkt M motsvarar alltså decimalbråket 1,4.

Det är tydligt att koordinatstrålens punkter, som inte kan nås under decimalmätningsprocessen, motsvarar oändliga decimalbråk.

Bibliografi.

• Matematik: lärobok för 5:e klass. Allmän utbildning institutioner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. 6:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [N. Ya. Vilenkin och andra]. - 22:a uppl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Ämne: Decimalbråk. Addera och subtrahera decimaler

Lektion: Decimalnotation av bråktal

Nämnaren för ett bråk kan uttryckas med vilket naturligt tal som helst. Bråktal där nämnaren uttrycks som 10; 100; 1000;…, där n, vi kom överens om att skriva det utan en nämnare. Vilket bråktal som helst vars nämnare är 10; 100; 1000 osv. (det vill säga en etta följt av flera nollor) kan representeras i decimalnotation (som en decimal). Skriv först hela delen, sedan täljaren för bråkdelen, och hela delen skiljs från bråkdelen med ett kommatecken.

Till exempel,

Om en hel del saknas, d.v.s. Om bråket är korrekt skrivs hela delen som 0.

För att skriva en decimal korrekt måste bråktalets täljare ha lika många siffror som det finns nollor i bråket.

1. Skriv som en decimal.

2. Representera en decimal som ett bråktal eller blandat tal.

3. Läs decimalerna.

12,4 - 12 punkt 4;

0,3 - 0 poäng 3;

1,14 - 1 poäng 14 hundradelar;

2,07 - 2 poäng 7 hundradelar;

0,06 - 0 poäng 6 hundradelar;

0,25 - 0 poäng 25;

1.234 - 1 poäng 234 tusendelar;

1.230 - 1 poäng 230 tusendelar;

1.034 - 1 poäng 34 tusendelar;

1,004 - 1 poäng 4 tusendelar;

1.030 - 1 poäng 30 tusendelar;

0,010101 - 0 poäng 10101 miljondelar.

4. Flytta kommatecken i varje siffra 1 plats åt vänster och läs siffrorna.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Flytta kommatecken på varje nummer 1 plats åt höger och läs det resulterande talet.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Uttryck i meter och centimeter.

3,28 m = 3 m + .

7. Uttryck i ton och kilogram.

24.030 t = 24 t.

8. Skriv kvoten som ett decimaltal.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Express i dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 mm =

Decimaler delas in i följande tre klasser: ändliga decimaler, oändliga periodiska decimaler och oändliga icke-periodiska decimaler.

Slutande decimaler

Definition . Slutlig decimalbråk (decimalbråk) kallas ett bråktal eller blandat tal med nämnaren 10, 100, 1000, 10000, etc.

Till exempel,

Decimalbråk inkluderar också de bråk som kan reduceras till bråk med en nämnare på 10, 100, 1000, 10000, etc., med hjälp av bråkens grundläggande egenskap.

Till exempel,

Påstående . Ett irreducerbart enkelt bråktal eller ett irreducerbart blandat icke-heltal är ett ändligt decimaltal om och endast om faktoriseringen av deras nämnare till primtalsfaktorer endast innehåller talen 2 och 5 som faktorer, och i godtyckliga potenser.

För decimalbråk finns det speciell inspelningsmetod , med kommatecken. Till vänster om decimalkomma skrivs hela delen av bråkdelen, och till höger finns bråkdelens täljare, före vilken ett sådant antal nollor läggs till så att antalet siffror efter decimaltecknet är lika med antalet nollor i decimalbråkets nämnare.

Till exempel,

Observera att decimalbråket inte ändras om du lägger till flera nollor till höger eller vänster om det.

Till exempel,

3,14 = 3,140 =
= 3,1400 = 003,14 .

Siffrorna före decimalkomma (till vänster om decimalkomma) in decimalnotation av sista decimalbråk, bildar ett nummer som kallas hela delen av decimalen.

Siffrorna efter decimalkomma (till höger om decimalkomma) i decimalnotationen för det sista decimaltalet kallas decimaler.

En sista decimal har ett ändligt antal decimaler. Decimaler bildar bråkdel av en decimal.

Multiplicera och dividera decimaler med 10, 100, 1000, etc.

För att multiplicera en decimal med 10, 100, 1000, 10000 osv., tillräckligt flytta kommatecken åt höger med 1, 2, 3, 4 osv. decimaler respektive.

bråktal.

Decimalnotation av ett bråktalär en uppsättning av två eller flera siffror från $0$ till $9$, mellan vilka det finns en så kallad \textit (decimalkomma).

Exempel 1

Till exempel $35,02$; $100,7$; $123\456.5$; 54,89 USD.

Siffran längst till vänster i decimalnotationen för ett tal kan inte vara noll, det enda undantaget är när decimalkomma är omedelbart efter den första siffran $0$.

Exempel 2

Till exempel $0,357$; 0,064 USD.

Ofta ersätts decimalkomma med en decimalkomma. Till exempel $35,02$; $100,7$; $123\456.5$; 54,89 USD.

Decimal definition

Definition 1

Decimaler-- Dessa är bråktal som representeras i decimalnotation.

Till exempel 121,05 $; $67,9$; $345.6700$.

Decimaler används för att mer kompakt skriva korrekta bråk, vars nämnare är talen $10$, $100$, $1\000$, etc. och blandade tal, vars nämnare för bråkdelen är talen $10$, $100$, $1\000$, etc.

Till exempel kan det vanliga bråket $\frac(8)(10)$ skrivas som en decimal $0,8$, och det blandade talet $405\frac(8)(100)$ kan skrivas som en decimal $405,08$.

Läsa decimaler

Decimalbråk, som motsvarar vanliga bråk, läses på samma sätt som vanliga bråk, endast frasen "noll heltal" läggs till framför. Till exempel, det vanliga bråket $\frac(25)(100)$ (läs "tjugofem hundradelar") motsvarar decimalbråket $0,25$ (läs "noll komma tjugofem hundradelar").

Decimalbråk som motsvarar blandade tal läses på samma sätt som blandade tal. Till exempel, det blandade talet $43\frac(15)(1000)$ motsvarar decimalbråket $43,015$ (läs "fyrtiotre komma femton tusendelar").

Platser i decimaler

När du skriver ett decimalbråk beror betydelsen av varje siffra på dess position. De där. i decimalbråk gäller begreppet också kategori.

Platser i decimalbråk upp till decimalkomma kallas samma som platser i naturliga tal. Decimalerna efter decimaltecknet listas i tabellen:

Bild 1.

Exempel 3

Till exempel, i decimalbråket $56,328$ står siffran $5$ på tiotalsplatsen, $6$ står på enhetsplatsen, $3$ står på tiondelsplatsen, $2$ står på hundradelsplatsen, $8$ står på tusendelar plats.

Platser i decimalbråk särskiljs av prioritet. När du läser ett decimaltal, flytta från vänster till höger - från senior rangordna till yngre.

Exempel 4

Till exempel, i decimalbråket $56,328$ är den mest signifikanta (högsta) platsen tiotalsplatsen och den lägsta (lägsta) platsen är tusendelsplatsen.

Ett decimalbråk kan utökas till siffror som liknar sifferuppdelningen av ett naturligt tal.

Exempel 5

Låt oss till exempel dela upp decimalbråket $37,851$ i siffror:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Slutande decimaler

Definition 2

Slutande decimaler kallas decimalbråk, vars poster innehåller ett ändligt antal tecken (siffror).

Till exempel $0,138$; $5,34$; $56,123456$; 350 972,54 USD.

Vilken ändlig decimalbråk som helst kan omvandlas till ett bråktal eller ett blandat tal.

Exempel 6

Till exempel motsvarar det sista decimalbråket $7,39$ bråktalet $7\frac(39)(100)$, och det sista decimalbråket $0,5$ motsvarar det korrekta vanliga bråket $\frac(5)(10)$ (eller vilket bråk som helst som är lika med det, till exempel $\frac(1)(2)$ eller $\frac(10)(20)$.

Konvertera ett bråk till en decimal

Konvertera bråk med nämnare $10, 100, \dots$ till decimaler

Innan du konverterar några riktiga bråk till decimaler måste de först "förberedas". Resultatet av en sådan förberedelse bör vara samma antal siffror i täljaren och samma antal nollor i nämnaren.

Kärnan i "preliminär förberedelse" av riktiga vanliga bråk för konvertering till decimalbråk är att lägga till ett sådant antal nollor till vänster i täljaren att det totala antalet siffror blir lika med antalet nollor i nämnaren.

Exempel 7

Låt oss till exempel förbereda bråket $\frac(43)(1000)$ för konvertering till en decimal och få $\frac(043)(1000)$. Och den vanliga bråkdelen $\frac(83)(100)$ behöver ingen förberedelse.

Låt oss formulera regel för att konvertera ett rätt gemensamt bråk med en nämnare på $10$, eller $100$, eller $1\000$, $\dots$ till ett decimalbråk:

skriv $0$;

efter det sätter en decimalkomma;

skriv ner numret från täljaren (tillsammans med tillagda nollor efter beredning, om nödvändigt).

Exempel 8

Konvertera det korrekta bråket $\frac(23)(100)$ till en decimal.

Lösning.

Nämnaren innehåller talet $100$, som innehåller $2$ och två nollor. Täljaren innehåller talet $23$, som skrivs med $2$.siffror. Detta innebär att det inte finns något behov av att förbereda denna bråkdel för konvertering till en decimal.

Låt oss skriva $0$, sätta en decimalkomma och skriva ner talet $23$ från täljaren. Vi får decimalbråket $0,23$.

Svar: $0,23$.

Exempel 9

Skriv rätt bråket $\frac(351)(100000)$ som en decimal.

Lösning.

Täljaren för detta bråk innehåller $3$ siffror, och antalet nollor i nämnaren är $5$, så detta vanliga bråk måste förberedas för konvertering till en decimal. För att göra detta måste du lägga till $5-3=2$ nollor till vänster i täljaren: $\frac(00351)(100000)$.

Nu kan vi bilda önskad decimalbråkdel. För att göra detta, skriv ner $0$, lägg sedan till ett kommatecken och skriv ner numret från täljaren. Vi får decimalbråket $0,00351$.

Svar: $0,00351$.

Låt oss formulera regel för att konvertera oegentliga bråk med nämnare $10$, $100$, $\dots$ till decimalbråk:

skriv ner numret från täljaren;

Använd en decimalkomma för att separera lika många siffror till höger som det finns nollor i nämnaren för det ursprungliga bråket.

Exempel 10

Konvertera det oegentliga bråket $\frac(12756)(100)$ till en decimal.

Lösning.

Låt oss skriva ner numret från täljaren $12756$, separera sedan $2$-siffrorna till höger med en decimalkomma, eftersom nämnaren för det ursprungliga bråket $2$ är noll. Vi får decimalbråket $127,56$.

I den här artikeln kommer vi att förstå vad en decimalbråk är, vilka egenskaper och egenskaper den har. Gå! 🙂

Ett decimalbråk är ett specialfall av vanliga bråk (där nämnaren är en multipel av 10).

Definition

Decimaler är bråk vars nämnare är tal som består av en och ett antal nollor efter det. Det vill säga, detta är bråk med en nämnare på 10, 100, 1000 osv. Annars kan ett decimalbråk karakteriseras som ett bråk med nämnaren 10 eller en av tiopotenserna.

Exempel på bråk:

, ,

Decimalbråk skrivs annorlunda än vanliga bråk. Operationer med dessa fraktioner skiljer sig också från operationer med vanliga. Reglerna för operationer med dem liknar i stort sett reglerna för operationer med heltal. Detta förklarar i synnerhet deras krav på att lösa praktiska problem.

Representation av bråk i decimalnotation

Decimalbråket har ingen nämnare, det visar numret på täljaren. I allmänhet skrivs ett decimaltal enligt följande schema:

där X är heltalsdelen av bråket, Y är dess bråkdel, "," är decimalkomma.

För att korrekt representera ett bråk som en decimal krävs att det är ett vanligt bråk, det vill säga med heltalsdelen markerad (om möjligt) och en täljare som är mindre än nämnaren. Sedan i decimalnotation skrivs heltalsdelen före decimalkomma (X), och täljaren för det gemensamma bråket skrivs efter decimalkomma (Y).

Om täljaren innehåller ett tal med färre siffror än antalet nollor i nämnaren, så fylls i del Y det saknade antalet siffror i decimalnotationen med nollor före täljarens siffror.

Exempel:

Om en vanlig bråkdel är mindre än 1, d.v.s. inte har en heltalsdel, skriv 0 för X i decimalform.

I bråkdelen (Y), efter den sista signifikanta (icke-noll) siffran, kan ett godtyckligt antal nollor anges. Detta påverkar inte fraktionens värde. Omvänt kan alla nollor i slutet av bråkdelen av decimalen utelämnas.

Läsa decimaler

Del X läses vanligtvis på följande sätt: "X heltal."

Y-delen läses enligt siffran i nämnaren. För nämnare 10 ska du läsa: "Y tiondelar", för nämnare 100: "Y hundradelar", för nämnare 1000: "Y tusendelar" och så vidare... 😉

Ett annat tillvägagångssätt för läsning, baserat på att räkna antalet siffror i bråkdelen, anses vara mer korrekt. För att göra detta måste du förstå att bråksiffrorna är placerade i en spegelbild med avseende på siffrorna för hela delen av bråket.

Namnen för korrekt läsning anges i tabellen:

Baserat på detta bör avläsningen baseras på överensstämmelse med namnet på siffran i den sista siffran i bråkdelen.

• 3.5 läses som "tre komma fem"
• 0,016 står "noll komma sexton tusendelar"

Konvertera en godtycklig bråkdel till en decimal

Om nämnaren för ett gemensamt bråktal är 10 eller någon potens av tio, utförs omvandlingen av bråket enligt beskrivningen ovan. I andra situationer krävs ytterligare omvandlingar.

Det finns 2 översättningsmetoder.

Första överföringsmetoden

Täljaren och nämnaren måste multipliceras med ett sådant heltal att nämnaren ger talet 10 eller en av tiopotenserna. Och sedan representeras bråket i decimalnotation.

Denna metod är tillämplig för bråk vars nämnare bara kan utökas till 2 och 5. Så i föregående exempel . Om expansionen innehåller andra primtalsfaktorer (till exempel ), måste du tillgripa den andra metoden.

Andra översättningsmetoden

Den andra metoden är att dividera täljaren med nämnaren i en kolumn eller på en miniräknare. Hela delen, om någon, deltar inte i omvandlingen.

Regeln för lång division som resulterar i ett decimalbråk beskrivs nedan (se Division av decimaler).

Konvertera ett decimalbråk till ett vanligt bråktal

För att göra detta bör du skriva ner dess bråkdel (till höger om decimaltecknet) som täljare, och resultatet av att läsa bråkdelen som motsvarande tal i nämnaren. Därefter, om möjligt, måste du minska den resulterande fraktionen.

Finita och oändliga decimalbråk

Ett decimalbråk kallas ett slutbråk, vars bråkdel består av ett ändligt antal siffror.

Alla exemplen ovan innehåller slutliga decimalbråk. Men inte varje vanligt bråk kan representeras som en slutlig decimal. Om den första omvandlingsmetoden inte är tillämplig för ett givet bråk, och den andra metoden visar att divisionen inte kan slutföras, kan endast en oändlig decimalbråk erhållas.

Det är omöjligt att skriva ett oändligt bråk i dess fullständiga form. I ofullständig form kan sådana fraktioner representeras:

1. som ett resultat av minskning till önskat antal decimaler;
2. som en periodisk bråkdel.

Ett bråk kallas periodiskt om det efter decimaltecknet är möjligt att urskilja en oändligt upprepad sekvens av siffror.

De återstående bråken kallas icke-periodiska. För icke-periodiska bråk är endast den första representationsmetoden (avrundning) tillåten.

Ett exempel på ett periodiskt bråktal: 0,8888888... Här finns ett repeterande tal 8, som uppenbarligen kommer att upprepas i oändlighet, eftersom det inte finns någon anledning att anta något annat. Denna figur kallas perioden för fraktionen.

Periodiska fraktioner kan vara rena eller blandade. En ren decimalbråk är en vars period börjar omedelbart efter decimalkomma. Ett blandat bråk har 1 eller fler siffror före decimalkomma.

54.33333… – periodisk ren decimalbråk

2,5621212121… – periodisk blandad fraktion

Exempel på att skriva oändliga decimalbråk:

Det andra exemplet visar hur man korrekt formaterar en period genom att skriva ett periodiskt bråk.

Konvertera periodiska decimalbråk till vanliga bråk

För att omvandla ett rent periodiskt bråktal till en vanlig period, skriv in det i täljaren och skriv ett tal som består av nior i ett antal lika med antalet siffror i perioden i nämnaren.

Den blandade periodiska decimalfraktionen översätts enligt följande:

1. du måste bilda ett tal som består av talet efter decimaltecknet före punkten och den första punkten;
2. Från det resulterande talet subtraherar du numret efter decimaltecknet före punkten. Resultatet blir täljaren för det vanliga bråket;
3. i nämnaren måste du ange ett tal som består av ett antal nio lika med antalet siffror i perioden, följt av nollor, vars antal är lika med antalet siffror i talet efter decimalkomma före 1:a period.

Jämförelse av decimaler

Decimalbråk jämförs initialt med hela delar. Den fraktion vars hela del är större är större.

Om heltalsdelarna är desamma, jämför sedan siffrorna för motsvarande siffror i bråkdelen, med början från den första (från tiondelarna). Samma princip gäller här: den större bråkdelen är den med fler tiondelar; om tiondelssiffrorna är lika, jämförs hundradelssiffrorna, och så vidare.

Eftersom den

, eftersom med lika hela delar och lika tiondelar i bråkdelen har 2:a bråkdelen en större hundradels siffra.

Addera och subtrahera decimaler

Decimaler läggs till och subtraheras på samma sätt som heltal genom att skriva motsvarande siffror under varandra. För att göra detta måste du ha decimaler under varandra. Då kommer enheterna (tiotal, etc.) för heltalsdelen, såväl som tiondelarna (hundradelar, etc.) av bråkdelen, att vara i överensstämmelse. De saknade siffrorna i bråkdelen fylls med nollor. Direkt Processen för addition och subtraktion utförs på samma sätt som för heltal.

Multiplicera decimaler

För att multiplicera decimaler måste du skriva dem under varandra, i linje med den sista siffran och inte vara uppmärksam på placeringen av decimaltecken. Sedan behöver du multiplicera talen på samma sätt som när du multiplicerar heltal. Efter att ha mottagit resultatet bör du räkna om antalet siffror efter decimaltecknet i båda bråken och separera det totala antalet bråksiffror i det resulterande talet med ett kommatecken. Om det inte finns tillräckligt med siffror ersätts de med nollor.

Multiplicera och dividera decimaler med 10n

Dessa åtgärder är enkla och går ut på att flytta decimalkomma. P När du multiplicerar flyttas decimaltecknet åt höger (bråket ökas) med ett antal siffror lika med antalet nollor i 10n, där n är en godtycklig heltalspotens. Det vill säga att ett visst antal siffror överförs från bråkdelen till hela delen. Vid division flyttas kommatecken till vänster (talet minskar) och några av siffrorna överförs från heltalsdelen till bråkdelen. Om det inte finns tillräckligt med nummer att överföra fylls de saknade bitarna med nollor.

Att dividera ett decimaltal och ett heltal med ett heltal och ett decimaltal

Att dividera en decimal med ett heltal liknar att dividera två heltal. Dessutom behöver du bara ta hänsyn till decimaltecknets position: när du tar bort siffran för en plats följt av ett kommatecken, måste du placera ett komma efter den aktuella siffran i det genererade svaret. Därefter måste du fortsätta dividera tills du får noll. Om det inte finns tillräckligt med tecken i utdelningen för fullständig delning ska nollor användas som dem.

På samma sätt delas 2 heltal in i en kolumn om alla siffror i utdelningen tas bort och hela divisionen ännu inte är klar. I det här fallet, efter att ha tagit bort den sista siffran i utdelningen, placeras en decimal i det resulterande svaret och nollor används som borttagna siffror. De där. utdelningen här representeras i huvudsak som ett decimalbråk med en nollbråkdel.

För att dividera ett decimaltal (eller ett heltal) med ett decimaltal måste du multiplicera utdelningen och divisorn med talet 10 n, där antalet nollor är lika med antalet siffror efter decimalkomma i divisorn. På så sätt blir du av med decimalkomma i bråket du vill dividera med. Vidare sammanfaller uppdelningsprocessen med den som beskrivits ovan.

Grafisk representation av decimalbråk

Decimalbråk representeras grafiskt med hjälp av en koordinatlinje. För att göra detta delas enskilda segment ytterligare i 10 lika delar, precis som centimeter och millimeter är markerade samtidigt på en linjal. Detta säkerställer att decimaler visas korrekt och kan jämföras objektivt.

För att indelningarna på enskilda segment ska vara identiska bör du noga överväga längden på själva segmentet. Den bör vara sådan att bekvämligheten med ytterligare uppdelning kan säkerställas.