Regler för derivatan av en komplex funktion. Komplexa derivat

Härledning av formeln för derivatan av en potensfunktion (x till potensen av a). Härledda från rötter av x beaktas. Formel för derivatan av en högre ordnings potensfunktion. Exempel på beräkning av derivat.

Se även: Potensfunktion och rötter, formler och graf
Power Function Graphs

Grundläggande formler

Derivatan av x i potensen av a är lika med a gånger x i potensen av en minus ett:
(1) .

Derivatan av den n:te roten av x till den m:te potensen är:
(2) .

Härledning av formeln för derivatan av en potensfunktion

Fall x > 0

Betrakta en potensfunktion av variabeln x med exponent a:
(3) .
Här är a ett godtyckligt reellt tal. Låt oss först överväga fallet.

För att hitta derivatan av funktion (3) använder vi egenskaperna för en potensfunktion och transformerar den till följande form:
.

Nu hittar vi derivatan med:
;
.
Här .

Formel (1) har bevisats.

Härledning av formeln för derivatan av en rot av grad n av x till graden av m

Tänk nu på en funktion som är roten till följande form:
(4) .

För att hitta derivatan transformerar vi roten till en potensfunktion:
.
Jämför vi med formel (3) ser vi det
.
Sedan
.

Med formeln (1) hittar vi derivatan:
(1) ;
;
(2) .

I praktiken finns det inget behov av att memorera formel (2). Det är mycket bekvämare att först transformera rötterna till potensfunktioner och sedan hitta deras derivator med formel (1) (se exempel i slutet av sidan).

Fall x = 0

Om , då är potensfunktionen definierad för värdet av variabeln x = 0 . Låt oss hitta derivatan av funktion (3) vid x = 0 . För att göra detta använder vi definitionen av en derivata:
.

Låt oss ersätta x = 0 :
.
I det här fallet menar vi med derivata den högra gränsen för vilken .

Så vi hittade:
.
Av detta framgår att för , .
Vid , .
Vid , .
Detta resultat erhålls också från formel (1):
(1) .
Därför är formel (1) också giltig för x = 0 .

Fall x< 0

Överväg funktion (3) igen:
(3) .
För vissa värden av konstanten a definieras den också för negativa värden för variabeln x. Låt nämligen a vara ett rationellt tal. Sedan kan det representeras som en irreducerbar bråkdel:
,
där m och n är heltal som inte har en gemensam divisor.

Om n är udda, är potensfunktionen också definierad för negativa värden för variabeln x. Till exempel när n = 3 och m = 1 vi har kubroten av x:
.
Det är också definierat för negativa värden för variabeln x.

Låt oss hitta derivatan av potensfunktionen (3) för och för rationella värden av konstanten a för vilken den är definierad. För att göra detta, låt oss representera x i följande form:
.
Sedan,
.
Vi hittar derivatan genom att placera konstanten utanför derivatans tecken och tillämpa regeln för att differentiera en komplex funktion:

.
Här . Men
.
Sedan dess
.
Sedan
.
Det vill säga, formel (1) är också giltig för:
(1) .

Derivat av högre ordning

Låt oss nu hitta högre ordningsderivator av potensfunktionen
(3) .
Vi har redan hittat första ordningens derivata:
.

Om vi ​​tar konstanten a utanför derivatans tecken, finner vi andra ordningens derivata:
.
På liknande sätt hittar vi derivator av tredje och fjärde ordningen:
;

.

Av detta framgår att derivata av godtycklig n:e ordningen har följande form:
.

Lägg märke till att om a är ett naturligt tal, då är den n:e derivatan konstant:
.
Då är alla efterföljande derivator lika med noll:
,
kl.

Exempel på beräkning av derivat

Exempel

Hitta derivatan av funktionen:
.

Låt oss omvandla rötter till makter:
;
.
Sedan tar den ursprungliga funktionen formen:
.

Hitta derivator av potenser:
;
.
Konstantens derivata är noll:
.

På vilken vi undersökte de enklaste derivaten, och blev också bekanta med reglerna för differentiering och några tekniska tekniker för att hitta derivat. Således, om du inte är särskilt bra med derivator av funktioner eller några punkter i den här artikeln inte är helt tydliga, läs först ovanstående lektion. Snälla kom på seriöst humör - materialet är inte enkelt, men jag ska ändå försöka presentera det enkelt och tydligt.

I praktiken måste man hantera derivatan av en komplex funktion väldigt ofta, skulle jag till och med säga, nästan alltid, när man får uppgifter att hitta derivator.

Vi tittar på tabellen vid regeln (nr 5) för att differentiera en komplex funktion:

Låt oss ta reda på det. Först och främst, låt oss vara uppmärksamma på posten. Här har vi två funktioner - och , och funktionen är bildligt talat kapslad i funktionen . En funktion av denna typ (när en funktion är kapslad i en annan) kallas en komplex funktion.

Jag ringer funktionen extern funktion, och funktionen – intern (eller kapslad) funktion.

! Dessa definitioner är inte teoretiska och bör inte förekomma i den slutliga utformningen av uppdrag. Jag använder informella uttryck "extern funktion", "intern" funktion endast för att göra det lättare för dig att förstå materialet.

För att klargöra situationen, överväg:

Exempel 1

Hitta derivatan av en funktion

Under sinus har vi inte bara bokstaven "X", utan ett helt uttryck, så att hitta derivatan direkt från tabellen kommer inte att fungera. Vi märker också att det är omöjligt att tillämpa de fyra första reglerna här, det verkar finnas en skillnad, men faktum är att sinus inte kan "rivas i bitar":

I det här exemplet framgår det redan intuitivt av mina förklaringar att en funktion är en komplex funktion, och polynomet är en intern funktion (inbäddning) och en extern funktion.

Första steget vad du behöver göra när du hittar derivatan av en komplex funktion är att förstå vilken funktion som är intern och vilken som är extern.

När det gäller enkla exempel verkar det tydligt att ett polynom är inbäddat under sinus. Men tänk om allt inte är självklart? Hur avgör man exakt vilken funktion som är extern och vilken som är intern? För att göra detta föreslår jag att du använder följande teknik, som kan göras mentalt eller i ett utkast.

Låt oss föreställa oss att vi behöver beräkna värdet på uttrycket på en miniräknare (istället för ett kan det finnas valfritt tal).

Vad ska vi beräkna först? För det första du måste utföra följande åtgärd: , därför kommer polynomet att vara en intern funktion:

För det andra kommer att behöva hittas, så sinus – kommer att vara en extern funktion:

Efter att vi UTSÅLD med interna och externa funktioner är det dags att tillämpa regeln om differentiering av komplexa funktioner .

Låt oss börja bestämma oss. Från lektionen Hur hittar man derivatan? vi kommer ihåg att utformningen av en lösning på vilken derivat som helst börjar alltid så här - vi omger uttrycket inom parentes och sätter ett streck längst upp till höger:

I början vi hittar derivatan av den yttre funktionen (sinus), tittar på tabellen över derivator av elementära funktioner och lägger märke till att . Alla tabellformler är också tillämpliga om "x" ersätts med ett komplext uttryck, I detta fall:

Observera att den inre funktionen har inte förändrats, vi rör det inte.

Tja, det är ganska uppenbart

Resultatet av att tillämpa formeln i sin slutliga form ser det ut så här:

Konstantfaktorn placeras vanligtvis i början av uttrycket:

Om det finns något missförstånd, skriv ner lösningen på papper och läs förklaringarna igen.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Som alltid skriver vi ner:

Låt oss ta reda på var vi har en extern funktion och var vi har en intern. För att göra detta försöker vi (mentalt eller i ett utkast) att beräkna värdet på uttrycket vid . Vad ska du göra först? Först och främst måste du beräkna vad basen är lika med: därför är polynomet den interna funktionen:

Och först då utförs exponentieringen, därför är potensfunktionen en extern funktion:

Enligt formeln , först måste du hitta derivatan av den externa funktionen, i det här fallet graden. Vi letar efter den obligatoriska formeln i tabellen: . Vi upprepar igen: Alla tabellformler är giltiga inte bara för "X", utan också för ett komplext uttryck. Alltså resultatet av att tillämpa regeln för att differentiera en komplex funktion Nästa:

Jag betonar återigen att när vi tar derivatan av den externa funktionen så förändras inte vår inre funktion:

Nu återstår bara att hitta en mycket enkel derivata av den interna funktionen och justera resultatet lite:

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen).

För att befästa din förståelse av derivatan av en komplex funktion kommer jag att ge ett exempel utan kommentarer, försöka lista ut det på egen hand, resonera var den externa och var den interna funktionen finns, varför uppgifterna löses på detta sätt?

Exempel 5

a) Hitta derivatan av funktionen

b) Hitta derivatan av funktionen

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Här har vi en rot, och för att kunna särskilja roten måste den representeras som en makt. Därför tar vi först funktionen till den form som är lämplig för differentiering:

Genom att analysera funktionen kommer vi till slutsatsen att summan av de tre termerna är en intern funktion och att höja till en makt är en extern funktion. Vi tillämpar regeln om differentiering av komplexa funktioner :

Vi representerar återigen graden som en radikal (rot), och för derivatan av den interna funktionen tillämpar vi en enkel regel för att differentiera summan:

Redo. Du kan också reducera uttrycket till en gemensam nämnare inom parentes och skriva ner allt som ett bråk. Det är såklart vackert, men när du får besvärliga långa derivat är det bättre att inte göra detta (det är lätt att bli förvirrad, göra ett onödigt misstag och det kommer att vara obekvämt för läraren att kontrollera).

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen).

Det är intressant att notera att ibland istället för regeln för att differentiera en komplex funktion, kan du använda regeln för att differentiera en kvot , men en sådan lösning kommer att se ut som en ovanlig perversion. Här är ett typiskt exempel:

Exempel 8

Hitta derivatan av en funktion

Här kan du använda regeln om differentiering av kvoten , men det är mycket mer lönsamt att hitta derivatan genom regeln om differentiering av en komplex funktion:

Vi förbereder funktionen för differentiering - vi flyttar minus från derivattecknet och höjer cosinus till täljaren:

Cosinus är en intern funktion, exponentiering är en extern funktion.
Låt oss använda vår regel :

Vi hittar derivatan av den interna funktionen och återställer cosinus:

Redo. I det aktuella exemplet är det viktigt att inte bli förvirrad i skyltarna. Förresten, försök att lösa det med hjälp av regeln , svaren måste matcha.

Exempel 9

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen).

Hittills har vi tittat på fall där vi bara hade en häckning i en komplex funktion. I praktiska uppgifter kan du ofta hitta derivator, där, som häckande dockor, den ena inuti den andra, 3 eller till och med 4-5 funktioner är kapslade på en gång.

Exempel 10

Hitta derivatan av en funktion

Låt oss förstå bilagorna till denna funktion. Låt oss försöka beräkna uttrycket med hjälp av experimentvärdet. Hur skulle vi räkna med en miniräknare?

Först måste du hitta , vilket betyder att bågen är den djupaste inbäddningen:

Denna arcsine av en ska sedan kvadratiseras:

Och slutligen höjer vi sju till en makt:

Det vill säga, i det här exemplet har vi tre olika funktioner och två inbäddningar, medan den innersta funktionen är arcsinus och den yttersta funktionen är exponentialfunktionen.

Låt oss börja bestämma oss

Enligt regeln Först måste du ta derivatan av den yttre funktionen. Vi tittar på tabellen med derivator och hittar derivatan av exponentialfunktionen: Den enda skillnaden är att istället för "x" har vi ett komplext uttryck, som inte förnekar giltigheten av denna formel. Så resultatet av att tillämpa regeln för att differentiera en komplex funktion Nästa.

Om du följer definitionen är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen Δ y till argumentökningen Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök använda den här formeln för att beräkna, säg, derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor av beräkningar. Därför finns det enklare och effektivare sätt.

Till att börja med noterar vi att vi från hela variationen av funktioner kan urskilja de så kallade elementära funktionerna. Dessa är relativt enkla uttryck, vars derivator länge har beräknats och tabellerats. Sådana funktioner är ganska lätta att komma ihåg - tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är alla de som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte alls svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivator av elementära funktioner:

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas - och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, utan även differentierade enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna ges f(x) Och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget koncept för "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, därför:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonerar likadant för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produkten

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av en summa är lika med summan av derivator, så är derivatan av produkten strejk">lika med produkten av derivator. Men tråkigt! En produkts derivata beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men den glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är produkten av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men det allmänna schemat ändras inte. Uppenbarligen den första faktorn för funktionen g(x) är ett polynom och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt behöver detta inte göras, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att undersöka funktionen. Detta innebär att ytterligare kommer derivatan att likställas med noll, dess tecken kommer att bestämmas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck faktoriserat.

Om det finns två funktioner f(x) Och g(x), och g(x) ≠ 0 på den uppsättning vi är intresserade av, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag, va? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Och så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Täljaren och nämnaren för varje bråkdel innehåller elementära funktioner, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Enligt traditionen, låt oss faktorisera täljaren - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en halvkilometer lång formel. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x säg på x 2 + ln x. Det kommer att lösa sig f(x) = synd ( x 2 + ln x) - detta är en komplex funktion. Den har också en derivata, men det kommer inte att vara möjligt att hitta den med reglerna som diskuterats ovan.

Vad ska jag göra? I sådana fall hjälper det att ersätta en variabel och formel för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', Om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med att förstå denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med en detaljerad beskrivning av varje steg.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi en ersättning: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Vi utför det omvända utbytet: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Det är klart att det måste bytas ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2 + ln x. Sedan:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna derivatsumman.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) för ( x 2 + ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "prime". Till exempel är summans streck lika med summan av strecken. Är det tydligare? Ja det är bra.

Att beräkna derivatan handlar alltså om att bli av med samma slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Få människor känner till det i rollen n kan mycket väl vara ett bråktal. Till exempel är roten x 0,5. Tänk om det finns något fint under roten? Återigen blir resultatet en komplex funktion - de ger gärna sådana konstruktioner i prov och tentor.

Uppgift. Hitta derivatan av funktionen:

Låt oss först skriva om roten som en potens med en rationell exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu gör vi en ersättare: låt x 2 + 8x − 7 = t. Vi hittar derivatan med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Låt oss göra omvänd ersättning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Till sist, tillbaka till rötterna:

Exempel ges på att beräkna derivator med hjälp av formeln för derivatan av en komplex funktion.

Se även: Bevis på formeln för derivatan av en komplex funktion

Grundläggande formler

Här ger vi exempel på beräkning av derivator av följande funktioner:
; ; ; ; .

Om en funktion kan representeras som en komplex funktion i följande form:
,
då bestäms dess derivata av formeln:
.
I exemplen nedan kommer vi att skriva denna formel enligt följande:
.
Var .
Här betecknar de nedsänkta eller , som finns under derivattecknet, de variabler med vilka differentiering utförs.

Vanligtvis, i derivattabeller, ges derivator av funktioner från variabeln x. Men x är en formell parameter. Variabeln x kan ersättas med vilken annan variabel som helst. Därför, när vi differentierar en funktion från en variabel, ändrar vi helt enkelt, i tabellen över derivator, variabeln x till variabeln u.

Enkla exempel

Exempel 1

Hitta derivatan av en komplex funktion
.

Låt oss skriva den givna funktionen i ekvivalent form:
.
I tabellen över derivat finner vi:
;
.

Enligt formeln för derivatan av en komplex funktion har vi:
.
Här .

Exempel 2

Hitta derivatan
.

Vi tar konstanten 5 ur derivattecknet och från tabellen med derivator finner vi:
.

.
Här .

Exempel 3

Hitta derivatan
.

Vi tar ut en konstant -1 för derivatans tecken och från tabellen över derivator finner vi:
;
Från tabellen med derivator finner vi:
.

Vi tillämpar formeln för derivatan av en komplex funktion:
.
Här .

Mer komplexa exempel

I mer komplexa exempel tillämpar vi regeln för att differentiera en komplex funktion flera gånger. I det här fallet beräknar vi derivatan från slutet. Det vill säga vi delar upp funktionen i dess beståndsdelar och hittar derivatorna av de enklaste delarna med hjälp av tabell över derivat. Vi använder också regler för differentiering av belopp, produkter och fraktioner. Sedan gör vi substitutioner och tillämpar formeln för derivatan av en komplex funktion.

Exempel 4

Hitta derivatan
.

Låt oss välja den enklaste delen av formeln och hitta dess derivata. .

.
Här har vi använt notationen
.

Vi hittar derivatan av nästa del av den ursprungliga funktionen med hjälp av de erhållna resultaten. Vi tillämpar regeln för att differentiera summan:
.

Återigen tillämpar vi regeln om differentiering av komplexa funktioner.

.
Här .

Exempel 5

Hitta derivatan av funktionen
.

Låt oss välja den enklaste delen av formeln och hitta dess derivata från tabellen över derivator. .

Vi tillämpar regeln om differentiering av komplexa funktioner.
.
Här
.

Låt oss skilja nästa del med hjälp av de erhållna resultaten.
.
Här
.

Låt oss skilja nästa del.

.
Här
.

Nu hittar vi derivatan av den önskade funktionen.

.
Här
.

Efter preliminär artilleriförberedelse kommer exempel med 3-4-5 häckningar av funktioner att vara mindre skrämmande. Följande två exempel kan verka komplicerade för vissa, men om du förstår dem (någon kommer att lida), så kommer nästan allt annat i differentialkalkyl att verka som ett barns skämt.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Som redan nämnts, när man hittar derivatan av en komplex funktion, är det först och främst nödvändigt Höger FÖRSTÅ dina investeringar. I fall där det finns tvivel påminner jag dig om en användbar teknik: vi tar till exempel det experimentella värdet av "x", och försöker (mentalt eller i ett utkast) att ersätta detta värde med det "fruktansvärda uttrycket".

1) Först måste vi beräkna uttrycket, vilket betyder att summan är den djupaste inbäddningen.

2) Sedan måste du beräkna logaritmen:

4) Kubba sedan cosinus:

5) Vid det femte steget skillnaden:

6) Och slutligen, den yttersta funktionen är kvadratroten:

Formel för att differentiera en komplex funktion tillämpas i omvänd ordning, från den yttersta funktionen till den innersta. Vi bestämmer:

Det verkar utan fel:

1) Ta derivatan av kvadratroten.

2) Ta derivatan av skillnaden med hjälp av regeln

3) Derivatan av en trippel är noll. I den andra termen tar vi derivatan av graden (kub).

4) Ta derivatan av cosinus.

6) Och slutligen tar vi derivatan av den djupaste inbäddningen.

Det kan tyckas för svårt, men det här är inte det mest brutala exemplet. Ta till exempel Kuznetsovs samling och du kommer att uppskatta all skönheten och enkelheten i det analyserade derivatet. Jag märkte att de gillar att ge en liknande sak i ett prov för att kontrollera om en student förstår hur man hittar derivatan av en komplex funktion eller inte förstår.

Följande exempel är för dig att lösa på egen hand.

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Tips: Först tillämpar vi linearitetsreglerna och produktdifferentieringsregeln

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Det är dags att gå vidare till något mindre och finare.
Det är inte ovanligt att ett exempel visar produkten av inte två, utan tre funktioner. Hur hittar man derivatan av produkten av tre faktorer?

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

Först tittar vi, är det möjligt att förvandla produkten av tre funktioner till produkten av två funktioner? Till exempel, om vi hade två polynom i produkten, så kunde vi öppna parenteserna. Men i det aktuella exemplet är alla funktioner olika: grad, exponent och logaritm.

I sådana fall är det nödvändigt sekventiellt tillämpa produktdifferentieringsregeln dubbelt

Tricket är att vi med "y" betecknar produkten av två funktioner: , och med "ve" betecknar vi logaritmen: . Varför kan detta göras? Är det verkligen - detta är inte en produkt av två faktorer och regeln fungerar inte?! Det är inget komplicerat:

Nu återstår att tillämpa regeln en andra gång till parentes:

Du kan också vrida dig och sätta något inom parentes, men i det här fallet är det bättre att lämna svaret exakt i det här formuläret - det blir lättare att kontrollera.

Det övervägda exemplet kan lösas på det andra sättet:

Båda lösningarna är absolut likvärdiga.

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel på en oberoende lösning, i provet löses den med den första metoden.

Låt oss titta på liknande exempel med bråk.

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Det finns flera sätt du kan gå här:

Eller så här:

Men lösningen kommer att skrivas mer kompakt om vi först använder regeln om differentiering av kvoten , med för hela täljaren:

I princip är exemplet löst, och om det lämnas som det är blir det inget fel. Men om du har tid är det alltid lämpligt att kolla på ett utkast för att se om svaret går att förenkla?

Låt oss reducera uttrycket av täljaren till en gemensam nämnare och bli av med bråkets trevåningsstruktur:

Nackdelen med ytterligare förenklingar är att det finns en risk att man gör fel inte när man hittar derivatan, utan under banala skolomvandlingar. Å andra sidan avvisar lärare ofta uppdraget och ber att "föra tankarna till det" derivatan.

Ett enklare exempel att lösa på egen hand:

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Vi fortsätter att bemästra metoderna för att hitta derivatan, och nu kommer vi att överväga ett typiskt fall när den "hemska" logaritmen föreslås för differentiering