Чим відрізняється парна функція від непарної. Парність та непарність функції

Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якої виконується рівність

.

Графік парної функції симетричний щодо осі
.

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Приклад 6.2.Дослідити на парність чи непарність функції

1)
; 2)
; 3)
.

Рішення.

1) Функція визначена при
. Знайдемо
.

Тобто.
. Отже, ця функція є парною.

2) Функція визначена при

Тобто.
. Таким чином, ця функція непарна.

3) функція визначена для , тобто. для

,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.

3. Вивчення функції на монотонність.

Функція
називається зростаючою (зменшує) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Функції, що зростають (зменшуються) на деякому інтервалі називаються монотонними.

Якщо функція
диференційована на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, то функція
зростає (зменшується) у цьому інтервалі.

Приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій

1)
; 3)
.

Рішення.

1) Ця функція визначена по всій числової осі. Знайдемо похідну.

Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення – числова вісь, що розбивається крапками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної у кожному інтервалі.

В інтервалі
похідна негативна, функція цьому інтервалі зменшується.

В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція цьому інтервалі зростає.

2) Ця функція визначена, якщо
або

.

Визначаємо знак квадратного тричлена у кожному інтервалі.

Таким чином, область визначення функції

Знайдемо похідну
,
, якщо
, тобто.
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.

В інтервалі
похідна негативна, отже, функція зменшується на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.

4. Дослідження функції на екстремум.

Крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, якщо існує така околиця точки , що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Якщо функція
у точці має екстремум, то похідна функції у цій точці дорівнює нулю чи немає (необхідна умова існування екстремуму).

Крапки, в яких похідна дорівнює нулю або немає називаються критичними.

5. Достатні умови існування екстремуму.

Правило 1. Якщо під час переходу (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак із «+» на «–», то в точці функція
має максимум; якщо з "-" на "+", то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.

Правило 2. Нехай у точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
а друга похідна існує і відмінна від нуля. Якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то – точка мінімуму функції.

приклад 6.4 . Дослідити на максимум та мінімум функції:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Рішення.

1) Функція визначена та безперервна на інтервалі
.

Знайдемо похідну
і вирішимо рівняння
, тобто.
.Звідси
- Критичні точки.

Визначимо знак похідної в інтервалах
.

При переході через точки
і
похідна змінює знак із «–» на «+», тому за правилом 1
- Точки мінімуму.

При переході через точку
похідна змінює знак із «+» на «–», тому
- Точка максимуму.

,
.

2) Функція визначена та безперервна в інтервалі
. Знайдемо похідну
.

Розв'язавши рівняння
, знайдемо
і
- Критичні точки. Якщо знаменник
, тобто.
, то похідна немає. Отже,
- Третя критична точка. Визначимо похідний знак в інтервалах.

Отже, функція має мінімум у точці
, максимум у точках
і
.

3) Функція визначена і безперервна, якщо
, тобто. при
.

Знайдемо похідну

.

Знайдемо критичні точки:

Околиці точок
не належать області визначення, тому вони є т. екстремуму. Отже, досліджуємо критичні точки
і
.

4) Функція визначена та безперервна на інтервалі
. Використовуємо правило 2. Знайдемо похідну
.

Знайдемо критичні точки:

Знайдемо другу похідну
і визначимо її знак у точках

У точках
функція має мінімум.

У точках
функція має максимум.

Приховати Показати

Способи завдання функції

Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.

Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x у формулі y=2x^(2)-3 можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:

Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.

Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.

Парна та непарна функція

Функція є парною функцієюколи f(-x)=f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.

Функція є непарною функцієюколи f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .

Функція є ні парної, ні непарноїі називається функцією загального вигляду, коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.

Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot(-x)^(3)-7 \cdot(-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.

Періодична функція

Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцієюз періодом T \neq 0 .

Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .

Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.

f(x) > 0 на (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Обмеженість функції

Обмеженою знизуприйнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .

Обмеженої зверхуназивається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .

Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.

Зростаюча та спадна функція

Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Екстремуми функції

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необхідна умова

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Достатня умова

1. Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
2. x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу на плюс при переході через стаціонарну точку x_(0).

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Кроки обчислень:

1. Шукається похідна f"(x);
2. Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
3. Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точках та кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значенням функції, а більше - найбільшим.

Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, при якому функція звертається до 0, тобто f(x)=0.

Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x)

Парна функція симетрична щодо осі Оу

Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду.

Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, тобто.

Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто.

Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності:

Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції

Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x)

Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).

Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму.

точки локального екстремуму

Періодичність функції
Функція f(x) називається періодичною, з періодом Т, якщо для будь-кого хвиконується рівність f(x+T) = f(x).

Проміжки знакостійності
Проміжки, у яких функція або лише позитивна, або лише негативна, називаються проміжками знакопостійності.

Безперервність функції
Функція f(x) називається безперервною в точці x 0 якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто. .

Точки розриву
Точки, в яких порушена умова безперервності, називаються точками розриву функції.

x 0- Точка розриву.

Загальна схема для побудови графіків функцій

1. Знайти область визначення функції D(y).

2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.

3. Дослідити функцію на парність чи непарність.

4. Дослідити функцію на періодичність.

5. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції.

6. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.

7. Знайти асимптоти функції.

8. За наслідками дослідження побудувати графік.

Приклад:Дослідити функцію та побудувати її графік: y = x 3 – 3x

1) Функція визначена по всій числовій осі, тобто її область визначення D(y) = (-∞; +∞).

2) Знайдемо точки перетину з осями координат:

з віссю ОХ: розв'яжемо рівняння x 3 – 3x = 0

з віссю ОY: y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

3) З'ясуємо, чи не є функція парної чи непарної:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Звідси випливає, що функція є непарною.

4) Функція неперіодична.

5) Знайдемо проміжки монотонності та точки екстремуму функції: y' = 3x 2 - 3.

Критичні точки: 3x2 - 3 = 0, x2 = 1, x = ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Знайдемо проміжки опуклості та точки перегину функції: y'' = 6x

Критичні точки: 6x=0, x=0.

y(0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

7) Функція безперервна, асимптот у неї немає.

8) За результатами дослідження збудуємо графік функції.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково- дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знакостійності		Координати точок перетину графіка з Оу
		х = -5, х = 2	x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайому вам, але не менш важливу, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричним безліччю.

Приклади:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного змісту якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

Залежність змінної y від перемінно x, коли кожен значенню x відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y=f(x). Кожна функція має ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.

Розглянь докладніше властивість парності.

Функція y=f(x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції, має дорівнювати значення функції в точці -х. Тобто для будь-якої точки х з області визначення функції має виконуватися наступна рівність f(x) = f(-x).

Графік парної функції

Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.

Наприклад, функція y=x^2 є парною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Отже f(x) = f(-x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік функції y=x^2.

На малюнку видно, що графік симетричний щодо осі Оу.

Графік непарної функції

Функція y=f(x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

1. Область визначення даної функції має бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.

2. Для будь-якої точки х з області визначення функції повинна виконуватися така рівність f(x) = -f(x).

Графік непарної функції симетричний щодо точки Про - початку координат. Наприклад, функція y=x^3 є непарною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Отже f(x) = -f(x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік функції y=x^3.

На малюнку наочно представлено, що непарна функція y=x^3 симетрична щодо початку координат.