Чому дорівнює lg 100. Логарифм

Наведено основні властивості логарифму, графік логарифму, область визначення, безліч значень, основні формули, зростання та спадання. Розглянуто знаходження похідної логарифму. А також інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Логарифм є монотонною функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості логарифму представлені у таблиці.

Приватні значення

Логарифм на підставі 10 називається десятковим логарифмомі позначається так:

Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом:

Основні формули логарифмів

Властивості логарифму, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Логарифмування – це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників перетворюються на суми членів.
Потенціювання - це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів перетворюються на твори співмножників.

Доказ основних формул логарифмів

Формули, пов'язані з логарифмами випливають із формул для показових функцій та визначення зворотної функції.

Розглянемо властивість показової функції
.
Тоді
.
Застосуємо властивість показової функції
:
.

Доведемо формулу заміни основи.
;
.
Вважаючи c = b маємо:

Зворотня функція

Зворотною для логарифму на основі a є показова функція з показником ступеня a .

Якщо то

Якщо то

Похідна логарифма

Похідна логарифма від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Для знаходження похідної логарифму його потрібно призвести до основи e.
;
.

Інтеграл

Інтеграл від логарифму обчислюється інтегруванням частинами: .
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
.
Виразимо комплексне число zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Тоді, використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або

Проте, аргумент φ визначено не однозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде одним і тим же числом за різних n.

Тому логарифм, як функція від комплексного змінного, не є однозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер — власне визначення логарифму:

Логарифм з підстави a від аргументу x — це ступінь, у якому треба звести число a щоб отримати число x .

Позначення: log a x = b , де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають логарифмуванням. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм — це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де — аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь — на картинці вона виділена червоною. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому занятті — і ніякої плутанини не виникає.

З визначенням розібралися – залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. І якщо такі множники не можна зібрати у ступеня з однаковими показниками, то й вихідне число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - Точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.

Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - Ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, зрозуміло, одиниці: ln1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

Нерідко беруть цифру десять. Логарифми чисел з основи десять називають десятковими. Під час проведення обчислень із десятковим логарифмом загальноприйнято оперувати знаком lg, а не log; при цьому число десять, що визначають основу, не вказують. Так, замінюємо log 10 105на спрощене lg105; а log 10 2на lg2.

Для десяткових логарифмівтипові ті ж особливості, які є у логарифмів при підставі, більшій за одиницю. Зокрема, десяткові логарифми характеризуються виключно для позитивних чисел. Десяткові логарифми чисел, більших одиниць, позитивні, а чисел, менших одиниці, негативні; з двох не негативних чисел більшому еквівалентний і більший десятковий логарифм і т. д. Додатково, десяткові логарифми мають відмінні риси та своєрідні ознаки, якими і пояснюється, навіщо як підстава логарифмів комфортно віддавати перевагу саме цифрі десять.

Перед тим як розібрати ці властивості, ознайомимося з наведеними нижче формулюваннями.

Ціла частина десяткового логарифму числа аназивається характеристикою, а дробова - мантисоюцього логарифму.

Характеристика десяткового логарифму числа авказується як , а мантіса як (lg а}.

Візьмемо, скажімо, lg 2 ≈ 0,3010. Відповідно = 0, (lg 2) ≈ 0,3010.

Подібно і для lg 543,1 ≈2,7349. Відповідно, = 2, (lg 543,1) ≈ 0,7349.

Досить повсюдно використовується обчислення десяткових логарифмів позитивних чисел за таблицями.

Характерні ознаки десяткових логарифмів.

Перша ознака десяткового логарифму.цілогоне негативного числа, поданого одиницею з наступними нулями, є цілепозитивне число, що дорівнює чисельності нулів у записі вибраного числа .

Візьмемо, lg 100 = 2, lg 100000 = 5.

Узагальнено, якщо

То а= 10n , з чого отримуємо

lg a = lg 10 n = n lg 10 =п.

Друга ознака.Десятковий логарифм позитивної десяткової дроби, показаний одиницею з попередніми нулями, дорівнює - п, де п- чисельність нулів у поданні цього числа, враховуючи і нуль цілих.

Розглянемо , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 =-6.

Узагальнено, якщо

,

То a= 10-n і виходить

lga = lg 10n =-n lg 10 =-п

Третя ознака.Характеристика десяткового логарифмане негативного числа, більшої одиниці, дорівнює чисельності цифр у цілій частині цього числа крім однієї.

Розберемо цю ознаку 1) Характеристика логарифму lg 75,631 прирівняна до 1.

І справді, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Звідси випливає,

lg 75,631 = 1 + б,

Зміщення коми в десятковому дробі вправо або вліво рівнозначно операції перемноженняцього дробу на ступінь числа десять із цілим показником п(позитивним чи негативним). І отже, при зміщенні коми в позитивному десятковому дробі ліворуч або праворуч мантиса десяткового логарифму цього дробу не змінюється.

Так, (lg 0,0053) = (lg 0,53) = (lg 0,0000053).