Чому дорівнює діагональ куба з ребром 1. Що таке діагональ куба і як її знайти

Куб або як його ще називають гексаедр – це правильний багатогранник, кожна з граней якого має форму квадрата. Куб - це окремий випадок призми та паралелепіпеда.

Різні дисципліни використовують значення цього терміна стосовно різних властивостей геометричного прототипу. Наприклад, в аналітиці застосовують аналітичні багатовимірні куби, які дозволяють наочно зіставити дані різних таблиць.

Властивості куба

1. У куб можна вписати тетраедр двома варіантами, причому вершини тетраедра, які чотири, збігатимуться з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра розташовуватимуться на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані квадрата.
2. Чотири перерізи куба це правильні шестикутники, вони проходять центром куба перпендикулярно чотирьом діагоналям.
3. У куб вписується октаедр, причому всі шість вершин октаедра поєднуються з центрами шести граней куба.
4. Куб вписується в октаедр, причому всі вісім вершин куба розташуються в центрах восьми граней октаедра.
5. У куб можна вписати ікосаедр, так, що шість взаємно паралельних ребер ікосаедра розташуються на шести гранях куба, решта двадцять чотири ребра всередині куба, всі 12 вершин ікосаедра ляжуть по шести гранях куба.

Формули для куба

• Поверхня куба: A = 6*a2
• Об'єм куба: V = a3
• Діагональ куба: d = a*√3

Або гексаедр) є об'ємною фігурою, кожна грань - це квадрат, у якого, як нам відомо, всі сторони рівні. Діагоналлю куба є відрізок, який проходить через центр фігури та з'єднує симетричні вершини. У правильному гексаедр є 4 діагоналі, і всі вони будуть рівні. Дуже важливо не плутати діагональ самої фігури з діагоналлю її межі чи квадрата, що лежить на його основі. Діагональ грані куба проходить через центр грані та з'єднує протилежні вершини квадрата.

Формула, за якою можна знайти діагональ куба

Діагональ правильного багатогранника можна знайти за простою формулою, яку необхідно запам'ятати. D=a√3, де D позначаємо діагональ куба, а це ребро. Наведемо приклад завдання, де необхідно знайти діагональ, якщо відомо, що довжина його ребра дорівнює 2 см. Тут все просто D = 2√3, навіть рахувати нічого не треба. У другому прикладі, нехай ребро куба буде дорівнює √3 см, тоді отримуємо D = √3√3=√9=3. Відповідь: D дорівнює 3 см.

Формула, за якою можна знайти діагональ грані куба

Наль грані можна також знайти за формулою. Діагоналей, які лежать на гранях, лише 12 штук, і вони всі рівні між собою. Тепер запам'ятовуємо d=a√2 де d - це діагональ квадрата, а - це також ребро куба або сторона квадрата. Зрозуміти, звідки взялася ця формула, дуже просто. Адже дві сторони квадрата та діагональ утворюють У цьому тріо діагональ відіграє роль гіпотенузи, а сторони квадрата – це катети, які мають однакову довжину. Згадаймо теорему Піфагора, і все одразу стане на свої місця. Тепер завдання: ребро гексаедра дорівнює 8 см, необхідно знайти діагональ його грані. Вставляємо у формулу, і у нас виходить d=√8 √2=√16=4. Відповідь: діагональ грані куба дорівнює 4 див.

Якщо відома діагональ грані куба

За умовою завдання нам дана тільки діагональ грані правильного багатогранника, яка дорівнює, припустимо, √2 см, а нам необхідно знайти діагональ куба. Формула вирішення цього завдання трохи складніша за попередню. Якщо нам відомо d, ми можемо знайти ребро куба, з нашої другої формули d=a√2. Отримуємо а=d/√2=√2/√2=1см (це наше ребро). А якщо відома ця величина, то знайти діагональ куба не складе труднощів: D = 1√3 = √3. Ось так ми вирішили наше завдання.

Якщо відома площа поверхні

Наступний алгоритм рішення будується на знаходженні діагоналі по Припустимо, що вона дорівнює 72 см 2 . Для початку знайдемо площу однієї грані, а всього їх 6. Значить, 72 необхідно поділити на 6 одержуємо 12 см 2 . Це площа однієї грані. Щоб знайти ребро правильного багатогранника, необхідно згадати формулу S=a 2 , отже a=√S. Підставляємо та отримуємо a=√12 (ребро куба). А якщо ми знаємо це значення, то і діагональ знайти не складно D= a√3= √12 √3 = √36 = 6. Відповідь: діагональ куба дорівнює 6 см 2 .

Якщо відома довжина ребер куба

Бувають такі випадки, коли завдання дано лише довжина всіх ребер куба. Тоді необхідно це значення розділити на 12. Саме стільки сторін у правильному багатограннику. Наприклад, якщо сума всіх ребер дорівнює 40, то одна сторона дорівнюватиме 40/12=3,333. Вставляємо в нашу першу формулу та отримуємо відповідь!

Інструкція

Якщо довжина ребра куба(a) відома з умов задачі, формулу розрахунку довжини діагоналі грані (l) можна вивести з теореми Піфагора. У кубі будь-які два суміжні ребра утворюють прямий кут, тому трикутник, складений із них грані, є прямокутним. Ребра в цьому випадку – катети, а розрахувати вам потрібно довжину гіпотенузи. Відповідно до згаданої вище теореми вона дорівнює квадратному кореню із суми квадратів довжин , а оскільки в даному випадку вони однакові розміри, просто помножте довжину ребра на квадратний корінь з двійки: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a *√2.

Люди з кожним днем ​​люди розвиваються, але які б досягнення не були скоєні, людство не в змозі боротися з різними кліматичними примхами або з природними катастрофами. Природа завжди готує якісь сюрпризи. Ось сніг в Африці, наслідком чого стала величезна кількість жертв. Люди просто замерзали, адже їх виявився зовсім не пристосованим до таких умов.

Саме тому людство виявляється просто не в силах боротися з силами природи, а її чудасії забирають все нові та нові життя.

З усього цього випливає: звичайно ж, людство перебуває на межі свого розвитку, але і завдяки тому, що він збільшується і ризик опинитися на межі вимирання. Тому не слід думати, що з проблемами треба боротися в міру їх надходження, краще думати заздалегідь, щоб не допустити в майбутньому глобальної катастрофи.

Відео на тему

Діагональ куба - це один з елементів, який потрібно знати при вирішенні завдань зі стереометрії під час виконання підсумкової роботи з математики за курс основної школи.

Трохи теорії про куб

Цей багатогранник відноситься відразу до прямих паралелепіпедів і призм. Він - окремий випадок того й іншого. В основі куба лежить квадрат, і бічні ребра його дорівнюють стороні даного квадрата. Таким чином, усі три виміри мають однакові значення.

Всі шість граней куба є квадратами. Довжина кожного із 12 ребер однакова.

У кожній із граней можна провести діагональ, довжину якої легко знайти за формулою Піфагора. З іншого боку, сам куб має діагоналі. Їх лише чотири. Проводиться діагональ куба так, щоб починатися з вершини нижньої основи. Кінець цього відрізка виявляється у вершині верхньої основи, але так, щоб не збігтися з діагоналлю квадрата.

Важливі формули

Вони потрібно ввести однакове позначення. Найчастіше літера "а" - це сторона куба. «V» посідає обсяг. «S» та «d» відповідно площа та діагональ. «R» та «r» радіуси описаної та вписаної сфер.

V= a³(№1) використовується для знаходження обсягу;

S= a² (№2) формула площі грані;

S= 6a² (№3) необхідна розрахунку площі всієї поверхні куба;

якщо потрібно дізнатися діагональ куба, формула буде такою d=а√ 3 (№4);

для пошуку радіусів знадобляться: R=(а/2)*√3 іr=а/2 (№5) та (№6).

Декілька слів про симетрію куба

У цього геометричного тіла є два види симетрії: щодо крапки та осі. Для знаходження першої потрібно провести діагональ куба, потім другу, щоб знайти точку їх перетину. Вона буде центром симетрії.

Усі прямі, які проходять через цю точку і є перпендикулярними до граней, виявляються осями симетрії.

Приклади завдань із ЄДІ

Вони використовуються в частині, тобто там, де потрібно виконати розгорнуте рішення завдання. Просто вибрати відповідь тут не вдасться. Тому доведеться знати формули та вміти їх застосовувати у різних ситуаціях.

Перша група завдань.У ній відома довжина діагоналі куба. Потрібно обчислити його обсяг або дізнатися площу поверхні.

Наприклад, відома величина може дорівнювати одиниці. Тоді, щоб дізнатися обсяг і площу, потрібно скористатися формулами № 1 і 3. Але в них йдеться про ребру, а дана діагональ. Потрібно записати ще одну формулу.

Якщо подивитися на креслення куба і проведену в ньому діагональ, можна побачити, що утворюється прямокутний трикутник. Один його катет збігається з ребром, другий – з діагоналлю грані, а гіпотенузою виявляється діагональ куба.

Тоді можна записати теорему Піфагора: квадрат гіпотенузи (d 2) дорівнює квадрату перового катета (а 2), складеному із квадратом другого (а√2) 2 . Після виконання перетворень виходить, що ребро куба так пов'язано з діагоналлю, що дорівнює d, діленому на корінь квадратний з 3.

Тепер можна почати дізнатися ребро, а потім підрахувати обсяг та площу. У конкретній задачі а = 1/3 = (3) /3. Тоді обсяг виходить рівним (√3)/9. Площа ж — дві.

Друга група завдань.Зворотний попередній, коли відомі площа або об'єм, а потрібно обчислити значення діагоналі куба.

Прикладом може бути завдання, в якій відома площа поверхні, і вона дорівнює 8. Необхідно буде скористатися формулою №3 і залежністю, яка виведена в попередній задачі.

Спочатку знадобиться довжину ребра. Вона дорівнює квадратному кореню із приватного S на 6. Після підстановки відомої величини а=√(8/6)=√(4/3). Тепер залишилося обчислити діагональ куба, звівши це число квадрат і помноживши його на 3. Вийде 2.

Третя група завданьмістить дані про діагоналі грані куба. Вони необхідно пізнавати обсяг чи площу тіла. Можливий варіант, у якому потрібно обчислити діагональ самого куба. У таких завданнях міркування йдуть тим самим шляхом, який розглянуто у попередніх випадках.

Якщо шість граней квадратної форми обмежують певний обсяг простору, то геометричну форму цього простору можна назвати кубічною чи гексаедричною. Усі дванадцять ребер такої просторової фігури мають однакову довжину, що спрощує обчислення параметрів багатогранника. Довжина діагоналі куба- не виняток, її можна знайти багатьма способами.

Інструкція

• Якщо довжина ребра куба(a) відома з умов задачі, формулу розрахунку довжини діагоналі грані (l) можна вивести з теореми Піфагора. У кубі будь-які два суміжні ребра утворюють прямий кут, тому трикутник, складений із них і діагоналі грані, є прямокутним. Ребра в цьому випадку – катети, а розрахувати вам потрібно довжину гіпотенузи. Відповідно до згаданої вище теореми вона дорівнює квадратному кореню із суми квадратів довжин катетів, а оскільки в даному випадку вони мають однакові розміри, просто помножте довжину ребра на квадратний корінь із двійки: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a * √2.
• Площа квадрата також може бути виражена через довжину діагоналі, оскільки кожна грань кубамає саме таку форму, знання площі грані (s) достатньо обчислення її діагоналі (l). Площа кожної бічної поверхні кубадорівнює зведеній у квадрат довжині ребра, тому сторону квадрата грані можна виразити її як √s. Підставте це значення у формулу з попереднього кроку: l = √s*√2 = √(2*s).
• Куб складено із шести граней однакової форми, тому, якщо в умовах задачі дана загальна площа поверхні (S), для обчислення діагоналі грані (l) достатньо трохи змінити формулу попереднього кроку. Замініть у ній площу однієї грані однієї шостої загальної площі: l = √(2*S/6) = √(S/3).
• Довжина ребра кубаможна виразити і через обсяг цієї фігури (V), а це дозволяє формулу розрахунку довжини діагоналі грані (l) з першого кроку використовувати і в цьому випадку, внісши до неї деякі поправки. Об'єм такого багатогранника дорівнює третьому ступені довжини ребра, тому замініть у формулі довжину сторони грані кубічним коренем з об'єму: l = ³V*√2.
• Радіус описаної близько кубасфери (R) пов'язаний з довжиною ребра коефіцієнтом, що дорівнює половині кореня з трійки. Виразіть сторону грані через цей радіус і підставте вираз у ту саму формулу обчислення довжини діагоналі грані з першого кроку: l = R*2/√3*√2 = R*√8/√3.
• Формула розрахунку діагоналі грані (l) з використанням радіусу вписаної в куб сфери (r) буде ще простіше, оскільки цей радіус становить половину довжини ребра: l = 2*r*√2 = r*√8.