Що означає слово «фрактал». Загадковий безлад: історія фракталів та сфери їх застосування

Для того щоб представити все різноманіття фракталів зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації.

2.1 Геометричні фрактали

Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх одержують за допомогою деякої ламаної (або поверхні у тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Рис 1. Побудова тріадної кривої Кох.

Розглянемо один із таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Кох. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини (рис.1) – це 0-е покоління кривої Кох. Далі кожна ланка (у нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений на рис.1 через n=1. Внаслідок такої заміни виходить наступне покоління кривої Кох. У 1-му поколінні - це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожна завдовжки 1/3 . Для отримання 3-го покоління робляться ті ж дії - кожна ланка замінюється на зменшений утворюючий елемент. Отже, для отримання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління за будь-якого кінцевого nназивається передфракталом. На рис.1 представлено п'ять поколінь кривої. При nкрива Кох, що прагне до нескінченності, стає фрактальним об'єктом.

Рис 2. Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта необхідно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівні відрізки, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що за такої заміни відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконується правило: перша ліворуч ланка замінюється на утворює елемент так, щоб середина ланки зміщувалась ліворуч від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямки зміщення середин відрізків повинні чергуватись. На рис.2 представлені кілька перших поколінь і 11 покоління кривої, побудованої за вищеописаним принципом. Гранична фрактальна крива (при nщо прагне до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея .

У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне для отримання зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнку на поверхні об'єкта).

2.2 Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна використовувати термінологію теорії цих систем: фазовий портрет, встановився процес, атракторі т.д.

Відомо, що нелінійні динамічні системи мають несільними стійкими станами. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжінняатракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портретцієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Рис 3. Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта (див. рис.3 та рис.4). Алгоритм його побудови досить простий і ґрунтується на простому ітеративному вираженні:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

де Z i та C- Комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки Cпрямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, доки Z[i] не вийде за межі кола радіуса 2, центр якого лежить у точці (0,0), (це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z[i] зійдеться до якоїсь точки окружності. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z[i] залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C(якщо Z[i] залишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір).

Рис 4. Ділянка кордону множини Мандельброта, збільшена в 200 разів.

Вищеописаний алгоритм дає наближення до так званої множини Мандельброта. Безліч Мандельброта належать точки, які протягом нескінченногочисла ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорний колір). Крапки, що належать межі множини (саме там виникає складні структури) йдуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать за межами множини, йдуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).

2.3 Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості та поверхні моря.

Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).

Всім здрастуйте! Мене звати, Рібенек Валерія,м.Ульяновськ і сьогодні я викладу кілька своїх наукових статей на сайті ЛКІ.

Перша моя наукова стаття у цьому блозі буде присвячена фракталів. Скажу одразу, що мої статті розраховані майже на будь-яку аудиторію. Тобто. вони, сподіваюся, будуть цікавими як школярам, ​​так і студентам.

Нещодавно я дізналася про такі цікаві об'єкти математичного світу як фрактали. Але є вони у математиці. Вони оточують нас усюди. Фрактали бувають природні. Про те, що таке фрактали, про види фракталів, про приклади цих об'єктів та їх застосування я розповім у цій статті. Спочатку коротко розповім, що таке фрактал.

Фракта́л(лат. fractus - дроблений, зламаний, розбитий) - це складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури в цілому. У ширшому значенні під фракталами розуміють безліч точок в евклідовому просторі, що мають дробову метричну розмірність (у сенсі Мінковського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Наприклад, я вставлю картинку із зображенням чотирьох різних фракталів.

Розповім трохи про історію фракталів. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово «фрактал» було запроваджено Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом 1977 року книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. У його роботах використано наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років у тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). Але лише в наш час вдалося об'єднати їхні роботи у єдину систему.

Прикладів фракталів можна навести масу, бо, як і казала, вони оточують нас усюди. На мою думку, навіть увесь наш Всесвіт — це один величезний фрактал. Адже все в ній, від будови атома до будови самого Всесвіту, точно повторює один одного. Але є, звісно, ​​і конкретніші приклади фракталів із різних галузей. Фрактали, наприклад, є у комплексній динаміці. Там вони природно з'являються при вивченні нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями багаточленаабо голоморфною функцією комплексу зміннихна площині. Одними з найвідоміших фракталів такого виду є безліч Жюліа, безліч Мандельброта та басейни Ньютона. Нижче по порядку на картинки зображені кожен із перерахованих вище фракталів.

Ще одним прикладом фрактал є фрактальні криві. Пояснити, як будуватися фрактал найкраще саме на прикладі фрактальних кривих. Однією з таких кривих є так звана Сніжинка Коха. Існує проста процедура одержання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). У ламаною, що вийшла, знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. Нижче показана Сніжинка (або крива) Коха.

Фрактальних кривих так само існує безліч. Найвідоміші з них — це вже згадана Сніжинка Коха, а також крива Леві, крива Мінковського, ламана Дракона, крива Піано та дерево Піфагора. Зображення даних фракталів та їхню історію, я думаю, за бажання ви легко зможете знайти у Вікіпедії.

Третім прикладом чи видом фракталів є стохастичні фрактали. До таких фракталів можна віднести траєкторію броунівського руху на площині та в просторі, еволюції Шрамма-Левнера, різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введено випадковий параметр.

Існують також чисто математичні фрактали. Це, наприклад, безліч канторів, губка Менгера, Трикутник Серпінського та інші.

Але найцікавіші фрактали — це природні. Природні фрактали - це такі об'єкти в природі, які мають фрактальні властивості. І тут уже список великий. Я не перераховуватиму все, бо, напевно, всіх і не перелічитиму, але про деяких розповім. Ось, наприклад, у живій природі до таких фракталів відносяться наша кровоносна система та легені. А ще крони та листя дерев. Також сюди можна віднести морських зірок, морських їжаків, корали, морські раковини, деякі рослини, такі як капуста або броколі. Нижче показано кілька таких природних фракталів з живої природи.

Якщо ж розглядати неживу природу, то там цікавих прикладів набагато більше, ніж живою. Блискавки, сніжинки, хмари, всім відомі, візерунки на вікнах у морозні дні, кристали, гірські хребти — все це є прикладами природних фракталів із неживої природи.

Приклади та види фракталів ми розглянули. Що ж стосується застосування фракталів, то вони застосовуються в різних галузях знань. У фізиці фрактали природно виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний перебіг рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари тощо. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, у нафтохімії. У біології вони використовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її для обчислення протяжності берегової лінії. Так само фрактали активно використовуються в радіотехніці, інформатиці та комп'ютерних технологіях, телекомунікаціях і навіть економіці. Ну і, звичайно ж, фрактальне бачення, що активно використовується в сучасному мистецтві та архітектурі. Ось один із прикладів фрактальних картин:

І так, на цьому я думаю завершити свою розповідь про таке незвичайне математичне явище як фрактал. Сьогодні ми дізналися про те, що таке фрактал, як він з'явився, про види та приклади фракталів. А також я розповіла про їх застосування та продемонструвала деякі з фракталів наочно. Сподіваюся, вам сподобалася ця невелика екскурсія у світ дивовижних фрактальних об'єктів, що зачаровують.

Муніципальна бюджетна освітня установа

«Сіверська середня загальноосвітня школа №3»

Дослідницька робота

з математики.

Виконав роботу

учень 8-1 класу

Ємелін Павло

Науковий керівник

вчитель математики

Тупіцина Наталія Олексіївна

п. Сіверський

2014

Математика вся пронизана красою та гармонією,

Тільки цю красу треба побачити.

Б. Мандельброт

Введення____________________________________3-4стор.

Глава 1.История виникнення фракталов._______5-6стор.

Глава 2. Класифікація фракталів. _____________6-10стор.

Геометричні фрактали

Алгебраїчні фрактали

Стохастичні фрактали

Глава 3. "Фрактальна геометрія природи" ______11-13стор.

Глава 4. Застосування фракталів_______________13-15стор.

Глава 5 Практичні роботи__________________16-24стор.

Заключение_________________________________25.стр

Список літератури та інтернет ресурсів________26стор.

Вступ

Математика,

якщо на неї правильно подивитися,

відображає не тільки істину,

а й незрівнянну красу.

Бертранд Рассел

Слово "фрактал" - це щось, про що багато людей говорить у наші дні, від учених до учнів середньої школи. Воно з'являється на обкладинках багатьох підручників математики, наукових журналів та коробках із комп'ютерним програмним забезпеченням. Кольорові зображення фракталів сьогодні можна знайти скрізь: від листівок, футболок до картинок на робочому столі персонального комп'ютера. Отже, що це за кольорові форми, які ми бачимо довкола?

Математика – найдавніша наука. Більшості людей здавалося, що геометрія у природі обмежується такими простими фігурами, як лінія, коло, багатокутник, сфера тощо. Як виявилося багато природних систем настільки складні, що використання лише знайомих об'єктів звичайної геометрії для їх моделювання є безнадійним. Як, наприклад, побудувати модель гірського хребта чи крони дерева у термінах геометрії? Як описати ту різноманітність біологічних різноманітностей, яку ми спостерігаємо у світі рослин та тварин? Як уявити всю складність системи кровообігу, що складається з безлічі капілярів і судин і доставляє кров до кожної клітини людського тіла? Уявити будову легень і нирок, що нагадують за структурою дерева з гіллястою кроною?

Фрактали - підходящі кошти на дослідження поставлених питань. Нерідко те, що ми бачимо в природі, інтригує нас нескінченним повторенням одного й того візерунка, збільшеного або зменшеного в кілька разів. Наприклад, дерево має гілки. На цих гілках є менші гілки і т.д. Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багато разів, стаючи дедалі менше. Те саме можна побачити, розглядаючи фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення до гірської гряди --- ви знову побачите гори. Так проявляється характерна для фракталів властивість самоподібності.

Вивчення фракталів відкриває чудові можливості, як у дослідженні нескінченного числа додатків, так і в галузі математики. Застосування фракталів дуже широке! Адже ці об'єкти настільки красиві, що їх використовують дизайнери, художники, за допомогою них у графіку малюються багато елементів дерева, хмари, гори тощо. Адже фрактали використовуються навіть як антени в багатьох стільникових телефонах.

Для багатьох хаологів (вчених, що вивчають фрактали та хаос) – це не просто нова галузь пізнання, яка поєднує математику, теоретичну фізику, мистецтво та комп'ютерні технології – це революція. Це відкриття нового типу геометрії, тієї геометрії, яка описує світ навколо нас і яку можна побачити не тільки в підручниках, а й у природі та скрізь у безмежному всесвіті.

У своїй роботі я теж вирішив «доторкнутися» світу прекрасного і визначив для себе…

Мета роботи: створення об'єктів, образи яких дуже схожі на природні

Методи дослідження: порівняльний аналіз, синтез, моделювання.

Завдання:

знайомство з поняттям, історією виникнення та дослідженнями Б.Мандельброта,

Г. Коха, В. Серпінського та ін;

знайомство з різними видами фрактальних множин;

вивчення науково-популярної літератури з цього питання, знайомство з

науковими гіпотезами;

знаходження підтвердження теорії фрактальності навколишнього світу;

вивчення застосування фракталів в інших науках та на практиці;

проведення експерименту щодо створення власних фрактальних зображень.

Основне питання роботи:

Показати, що математика не сухий, бездушний предмет, вона може виражати духовний світ людини окремо та в суспільстві в цілому.

Предмет дослідження: Фрактальна геометрія

Об'єкт дослідження: фрактали в математиці та реальному світі

Гіпотеза: Все, що існує в реальному світі, є фракталом

Методи дослідження: аналітичний, пошуковий.

Актуальністьзаявленої теми визначається, насамперед, предметом дослідження, як якого виступає фрактальна геометрія.

Очікувані результати:У ході роботи я зможу розширити свої знання з математики, побачити красу фрактальної геометрії, почати роботу зі створення своїх фракталів.

Підсумком роботи буде створення комп'ютерної презентації, бюлетеня та буклету.

Глава 1. Історія виникнення

Б енуа Мандельброт

Поняття «фрактал» вигадав Бенуа Мандельброт. Слово походить від латинського "fractus", що означає "зламаний, розбитий".

Фрактал (лат. fractus - подрібнений, зламаний, розбитий) - термін, що означає складну геометричну фігуру, що має властивість самоподібності, тобто складену з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком.

Для математичних об'єктів, яких воно належить, характерні надзвичайно цікаві властивості. У звичайній геометрії лінія має один вимір, поверхня - два виміри, а просторова фігура тривимірна. Фрактали ж - це лінії і поверхні, а, якщо можна це собі уявити, щось середнє. Зі зростанням розмірів зростає і обсяг фракталу, але його розмірність (показник ступеня) - величина не ціла, а дробова, а тому межа фрактальної фігури не лінія: при великому збільшенні стає видно, що вона розмита і складається зі спіралей та завитків, що повторюють у малому масштабі саму фігуру. Така геометрична регулярність називається масштабною інваріантністю чи самоподібністю. Вона і визначає дробову розмірність фрактальних фігур.

До появи фрактальної геометрії наука мала справу із системами, укладеними у трьох просторових вимірах. Завдяки Ейнштейну стало зрозуміло, що тривимірний простір – лише модель дійсності, а не сама дійсність. Фактично наш світ розташований у чотиривимірному просторово-часовому континуумі.
Завдяки Мандельброту стало зрозуміло, як виглядає чотиривимірний простір, образно висловлюючись, фрактальне обличчя Хаосу. Бенуа Мандельброт виявив, що четвертий вимір включає не тільки перші три виміри, але і (це дуже важливо!) інтервали між ними.

Рекурсивна (чи фрактальна) геометрія йде зміну Евклидовой. Нова наука здатна описати справжню природу тіл та явищ. Евклідова геометрія мала справу лише зі штучними, уявними об'єктами, що належать трьом вимірам. На реальність їх здатне перетворити лише четвертий вимір.

Рідина, газ, тверде тіло - три звичні фізичні стани речовини, що існує в тривимірному світі. Але якою є розмірність клубу диму, хмари, точніше, їх кордонів, що безперервно розмиваються турбулентним рухом повітря?

В основному фрактали класифікують за трьома групами:

Алгебраїчні фрактали

Стохастичні фрактали

Геометричні фрактали

Розглянемо докладніше кожну їх.

Розділ 2. Класифікація фракталів

Геометричні фрактали

Бенуа Мандельброт запропонував модель фракталу, яка вже стала класичною і часто використовується для демонстрації як типового прикладу самого фракталу, так і для демонстрації краси фракталів, яка також приваблює дослідників, художників, людей, що просто цікавляться.

Саме з них і розпочиналася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "затравка" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її на будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (принаймні в умі) нескінченну кількість перетворень – отримаємо геометричний фрактал.

Фрактали цього класу найнаочніші, тому що в них відразу видно самоподібність за будь-яких масштабів спостереження. У двомірному випадку такі фрактали можна отримати, задавши деяку ламану, яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. Внаслідок нескінченного повторення цієї процедури (а, точніше, при переході до межі) виходить фрактальна крива. При видимій складності отриманої кривої, її загальний вигляд задається лише формою генератора. Прикладами таких кривих є: крива Коха (Мал.7), крива Пeано (Мал.8), крива Мінковського.

На початку ХХ століття математики шукали такі криві, які у жодній точці не мають дотичної. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і до того ж з колосально великою швидкістю (похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих були викликані не просто пустим інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М.Броун замалював траєкторію руху зважених частинок у воді і пояснив це явище так: атоми рідини, що безладно рухаються, ударяються об зважені частинки і тим самим наводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкраще показувала рух броунівських частинок. Для цього крива мала відповідати наступним властивостям: не мати дотичної в жодній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву.

До Рива Коха є типовим геометричним фракталом. Процес її побудови виглядає так: беремо одиничний відрізок, розділяємо на три рівні частини і замінюємо середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. В результаті утворюється ламана, що складається з чотирьох ланок довжини 1/3. На наступному кроці повторюємо операцію для кожного з чотирьох ланок, що вийшли, і т. д.

Гранична крива і є крива Коха.

Сніжинка Коха.Виконавши аналогічні перетворення на сторонах рівностороннього трикутника, можна отримати фрактальне зображення сніжинки Коха.

Т
також ще одним нескладним представником геометричного фракталу є квадрат Серпінського.Будується він досить просто: Квадрат ділиться прямими, паралельними його сторонам, на 9 рівних квадратів. З квадрата видаляється центральний квадрат. Виходить безліч, що складається з 8 квадратів, що залишилися "першого рангу". Поступаючи так само з кожним з квадратів першого рангу, отримаємо множину, що складається з 64 квадратів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, отримаємо нескінченну послідовність чи квадрат Серпінського.

Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Алгебраїчні фрактали отримали свою назву через те, що їх будують, використовуючи прості алгебраїчні формули.

Отримують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Відомо, що нелінійні динамічні системи мають кілька стійких станів. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області тяжінняатракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портретцієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні структури.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта. Будують його за допомогою комплексних чисел.

Ділянка кордону множини Мандельброта, збільшена в 200 разів.

Безліч Мандельброта належать точки, які протягомнескінченного числа ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорний колір). Крапки, що належать кордону множини(саме там виникає складні структури) йдуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать за межами множини, йдуть у нескінченність через кілька ітерацій (біле тло).

П



ример іншого алгебраїчного фракталу - безліч Жюлія. Існує 2 різновиди цього фракталу.Дивно, але безліч Жюліа утворюються за тією ж формулою, що і безліч Мандельброта. Безліч Жюліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жюліа, на ім'я якого і було названо безліч.

І
цікавий факт, деякі фракції алгебри вражаючим чином нагадують зображення тварин, рослин та інших біологічних об'єктів, внаслідок чого отримали назву біоморфів.

Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо.

Типовим представником цієї групи фракталів є "плазма".

Д
Для її побудови береться прямокутник і для кожного його кута визначається колір. Далі знаходиться центральна точка прямокутника і розфарбовується в колір рівний середньому арифметичному кольору по кутах прямокутника плюс деяке випадкове число. Чим більше випадкове число – тим більше "рваним" буде малюнок. Якщо ж припустити, що колір точки - це висота над рівнем моря - отримаємо замість плазми - гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори у більшості програм. За допомогою алгоритму, схожого на плазму, будується карта висот, до неї застосовуються різні фільтри, накладається текстура і фотореалістичні гори готові.

Е
Якщо подивитися на цей фрактал в розрізі, то ми побачимо цей фрактал об'ємний, і має «шорсткість», саме через цю «шорсткість» є дуже важливе застосування цього фракталу.

Допустимо потрібно описати форму гори. Звичайні фігури з Евклідової геометрії тут не допоможуть, адже вони не враховують рельєфу поверхні. Але при поєднанні звичайної геометрії з фрактальною можна отримати ту саму «шорсткість» гори. На звичайний конус потрібно накласти плазму, і ми отримаємо рельєф гори. Такі операції можна виконувати з багатьма іншими об'єктами у природі, завдяки стохастичним фракталам можна описати саму природу.

Тепер поговоримо про геометричні фрактали.

.

Розділ 3 "Фрактальна геометрія природи"

Чому геометрію часто називають "холодною" і "сухою"? Одна з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, берегової лінії або дерева. гладка, блискавка поширюється не прямою.У більш загальному плані я стверджую, що багато об'єктів у Природі настільки іррегулярні і фрагментовані, що в порівнянні з Евклідом - термін, який у цій роботі означає всю стандартну геометрію, - Природа має не просто більшу складність, а складністю зовсім іншого рівня. Число різних масштабів довжини природних об'єктів для всіх практичних цілей нескінченно.

(БенуаМандельброт "Фрактальна геометрія природи" ).

До расота фракталів двояка: вона насолоджує око, про що свідчить хоча б виставка фрактальних зображень, що обійшла весь світ, організована групою бременських математиків під керівництвом Пайтгена і Ріхтера. Пізніше експонати цієї грандіозної виставки були зафіксовані в ілюстраціях до книги тих самих авторів "Краса фракталів". Але існує й інший, більш абстрактний чи піднесений, аспект краси фракталів, відкритий, за словами Р. Фейнмана, лише розумовому погляду теоретика, у сенсі фракталы прекрасні красою важкої математичної завдання. Бенуа Мандельброт вказав сучасникам (і, мабуть, нащадкам) на прикру прогалину в "Початках" Евкліда, за яким, не помічаючи недогляду, майже два тисячоліття людства осягало геометрію навколишнього світу і вчилося математичної суворості викладу. Зрозуміло, обидва аспекти краси фракталів тісно взаємопов'язані і виключають, а взаємно доповнюють одне одного, хоча кожен із них самодостатній.

Фрактальна геометрія природи по Мандельброту - справжнісінька геометрія, що задовольняє визначенню геометрії, запропонованому в "Ерлангенскрй програмі" Ф. Клейна. Справа в тому, що до появи неевклідової геометрії Н.І. Лобачевського - Л. Больяї, існувала тільки одна геометрія - та, яка була викладена в "Початках", і питання про те, що таке геометрія і яка з геометрій є геометрією реального світу, не виникало, та й не могло виникнути. Але з появою ще однієї геометрії постало питання, що таке геометрія взагалі, і яка з багатьох геометрій відповідає реальному світу. За Ф.Клейном, геометрія займається вивченням таких властивостей об'єктів, які інваріантні щодо перетворень: евклідова - інваріантів групи рухів (перетворень, що не змінюють відстані між будь-якими двома точками, тобто представляють суперпозицію паралельних переносів та обертань зі зміною або без зміни орієнтації) , геометрія Лобачевського-Больяї – інваріантів групи Лоренца Фрактальна геометрія займається вивченням інваріантів групи самоафінних перетворень, тобто. властивостей, що виражаються статечними законами.

Що ж до відповідності реальному світу, то фрактальна геометрія описує дуже широкий клас природних процесів та явищ, і тому ми можемо слідом за Б.Мандельбротом з повним правом говорити про фрактальну геометрію природи. Нові - фрактальні об'єкти мають незвичайні властивості. Довжини, площі та обсяги одних фракталів дорівнюють нулю, інших – звертаються до нескінченності.

Природа найчастіше створює дивовижні та прекрасні фрактали, з ідеальною геометрією та такою гармонією, що просто завмираєш від захоплення. І ось їх приклади:

Морські раковини

Блискавкизахоплюють своєю красою. Фрактали, створені блискавкою, не довільні і не регулярні

Фрактальна форма підвиду цвітної капусти(Brassica cauliflora). Цей особливий вид є особливо симетричним фракталом.

П апоротніктак само є добрим прикладом фракталу серед флори.

Павлинивсім відомі своїм барвистим оперенням, у якому заховані суцільні фрактали.

Лід, морозні візерункина вікнах це теж фрактали

Про
т збільшеного зображення листочка, до гілок дерева- у всьому можна виявити фрактали

Фрактали є скрізь і всюди у навколишньому природі. Весь Всесвіт побудований за напрочуд гармонійними законами з математичною точністю. Хіба можна після цього думати, що наша планета – це випадкове зчеплення частинок? Ледве.

Глава 4. Застосування фракталів

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці. Основна причина цього у тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Ось кілька прикладів:

Про
дні з найбільш потужних додатків фракталів лежать у комп'ютерної графіки. Це фрактальний стиск зображень. Сучасна фізика та механіка лише починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів.

Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже малий розмір упакованого файлу і короткий час відновлення картинки. Фрактально упаковані картинки можна масштабувати без появи пікселізації (погана якість зображення – великими квадратами). Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки із втратою якості дозволяє встановити ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних до деяких маленьких шматочків. І у вихідний файл записується тільки якийсь шматочок якому подібний. При стиску зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена ​​такого недоліку.

Компанією Iterated розроблено новий формат зображень "Sting", що поєднує в собі фрактальне та "хвильове" (таке як у форматі jpeg) стиск без втрат. Новий формат дозволяє створювати зображення з можливістю подальшого високоякісного масштабування, причому обсяг графічних файлів складає 15-20% обсягу стиснених зображень.

У механіці та фізиціфрактали використовуються завдяки унікальній властивості повторювати контури багатьох об'єктів природи. Фрактали дозволяють наближати дерева, гірські поверхні та тріщини з більш високою точністю, ніж наближення наборами відрізків або багатокутників (при тому ж обсязі даних, що зберігаються). Фрактальні моделі, як і природні об'єкти, мають "шорсткість", і властивість це зберігається при будь-якому великому збільшенні моделі. Наявність на фракталах рівномірної міри дозволяє застосовувати інтегрування, теорію потенціалу, використовувати їх замість стандартних об'єктів у вже досліджених рівняннях.

Т
також фрактальну геометрію використовують для проектування антенних пристроїв. Вперше це було застосовано американським інженером Натаном Коеном, який жив тоді в центрі Бостона, де було заборонено встановлення на будинках зовнішніх антен. Коен вирізав із алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і потім наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше за звичайну. І хоча фізичні принципи такої антени не вивчені досі, це не завадило Коену обґрунтувати власну компанію та налагодити їхній серійний випуск. На даний момент американська фірма "Fractal Antenna System" розробила антену нового типу. Тепер можна відмовитися від використання в мобільних телефонах зовнішніх антен, що стирчать. Так звана фрактальна антена розташовується прямо на основній платі всередині апарату.

Також існує безліч гіпотез щодо застосування фракталів – наприклад, лімфатична та кровоносна системи, легкі та багато іншого теж мають фрактальні властивості.

Глава 5. Практичні роботи.

Спочатку зупинимося на фракталах «Намисто», «Перемога» та «Квадрат».

Перше – «Намисто»(Мал. 7). Ініціатором даного фракталу є коло. Це коло складається з певного числа таких же кіл, але менших розмірів, а сама ж вона є однією з кількох кіл, що являють собою таку ж, але великих розмірів. Так процес освіти нескінченний і його можна вести як у той, так і у зворотний бік. Тобто. фігуру можна збільшувати, взявши лише одну маленьку дугу, а можна зменшувати, розглядаючи побудову її з дрібніших.

Мал. 7.

Фрактал «Намисто»

Другий фрактал – це «Перемога»(Рис.8). Таку назву він отримав тому, що зовні нагадує латинську літеру “V”, тобто “victory”-перемога. Цей фрактал складається з певної кількості маленьких “v”, що становлять одну велику “V”, причому в лівій половині, якою маленькі ставляться так, щоб їх ліві половини становили одну пряму, права частина будується так само. Кожна з цих “v” будується так само і триває це нескінченно.

Рис.8. Фрактал «Перемога»

Третій фрактал – це "Квадрат" (рис. 9). Кожна з його сторін складається з одного ряду осередків, які формою представляють квадрати, сторони яких також представляють ряди осередків і т.д.

Рис.9.Фрактал «Квадрат»

Фрактал був названий "Роза" (рис. 10), в силу зовнішньої подібності з даною квіткою. Побудова фракталу пов'язана з побудовою ряду концентричних кіл, радіус яких змінюється пропорційно заданому відношенню (в даному випадку R м / R б = ¾ = 0,75.). Після цього в кожну коло вписуються правильні шестикутники, сторона якого дорівнює радіусу описаного біля нього кола.

Мал. 11. Фрактал «Троянда *»

Далі звернемося до правильного п'ятикутника, в якому проведемо діагоналі. Потім у п'ятикутнику, що вийшов при перетині відповідних відрізків, знову проведемо діагоналі. Продовжимо цей процес до нескінченності та отримаємо фрактал «Пентаграма» (рис. 12).

Введемо елемент творчості і наш фрактал набуде вигляду більш наочного об'єкта (рис. 13).

Р
іс. 12. Фрактал "Пентаграма".

Мал. 13. Фрактал «Пентаграма *»

Мал. 14 фрактал «Чорна діра»

Експеримент №1 «Дерево»

Тепер, коли я зрозумів, що таке фрактал і як його будувати, я спробував створити свої власні фрактальні зображення. У програмі Adobe Photoshop я створив невелику підпрограму або action, особливість цього екшену полягає в тому, що він повторює дії, які я роблю, і так у мене виходить фрактал.

Для початку я створив фон для нашого майбутнього фракталу з роздільною здатністю 600 на 600. Далі я намалював на цьому тлі 3 лінії – основу нашого майбутнього фракталу.

Зкроком буде запис скрипта.

продублюємо шар ( layer > duplicate) і змінимо тип змішування на " Screen" .

Назвемо його fr1". Скопіюємо цей шар (" fr1") ще 2 рази.

Тепер треба перейти на останній шар (fr3) і двічі злити його з попереднім ( Ctrl+E). Зменшити яскравість шару ( Image > Ajustments > Brightness/Contrast , яскравість встановити 50% ). Знову злити з попереднім шаром і обрізати краї всього малюнка, щоб усунути невидимі частини.

Останнім кроком я копіював це зображення і вставляв його із зменшенням та поворотом. Ось що вийшло зрештою.

Висновок

Ця робота є введенням у світ фракталів. Ми розглянули лише найменшу частину того, які бувають фрактали, на основі яких принципів вони будуються.

Фрактальна графіка - це не просто безліч зображень, що самоповторюються, це модель структури і принципу будь-якого сущого. Все наше життя представлене фракталами. Вся навколишня природа складається з них. Не можна не відзначити широке застосування фракталів у комп'ютерних іграх, де рельєфи місцевості найчастіше є фрактальними зображеннями з урахуванням тривимірних моделей комплексних множин. Фрактали дуже полегшують малювання комп'ютерної графіки, з допомогою фракталів створюються безліч спецефектів, різних казкових і неймовірних картинок тощо. Також за допомогою фрактальної геометрії малюються дерева, хмари, береги та вся інша природа. Фрактальна графіка необхідна скрізь, і розвиток "фрактальних технологій" - це одне з важливих завдань на сьогоднішній день.

У майбутньому я планую навчитися будувати фракції алгебри, коли більш докладно вивчу комплексні числа. Також хочу спробувати побудувати свої фрактальні зображення у мові програмування Паскаль за допомогою циклів.

Слід зазначити застосування фракталів у комп'ютерних технологіях, крім просто побудови гарних зображень на екрані комп'ютера. Фрактали в комп'ютерних технологіях застосовуються у таких областях:

1. Стиснення зображень та інформації

2. Приховування інформації на зображенні, звуку,…

3. Шифрування даних за допомогою фрактальних алгоритмів

4. Створення фрактальної музики

5. Моделювання систем

У нашій роботі наведено далеко не всі галузі людських знань, де знайшла своє застосування теорія фракталів. Хочемо лише сказати, що з часу виникнення теорії пройшло не більше третини століття, але за цей час фрактали для багатьох дослідників стали раптовим яскравим світлом у ночі, яке осяяло невідомі досі факти та закономірності в конкретних галузях даних. За допомогою теорії фракталів стали пояснювати еволюцію галактик та розвиток клітини, виникнення гір та утворення хмар, рух цін на біржі та розвиток суспільства та сім'ї. Можливо, спочатку це захоплення фракталами було навіть занадто бурхливим і спроби все пояснювати з допомогою теорії фракталів були невиправданими. Але, безперечно, ця теорія має право на існування, і ми шкодуємо, що останнім часом вона якось забулася і залишилася долею обраних. Під час підготовки даної роботи нам було дуже цікаво знаходити застосування ТЕОРІЇ на ПРАКТИЦІ. Тому що дуже часто виникає таке відчуття, що теоретичні знання стоять осторонь життєвої реальності.

Отже, концепція фракталів стає як частиною “чистої” науки, а й елементом загальнолюдської культури. Фрактальна наука ще дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які насолоджують око, і тих, які приносять справжню насолоду розуму.

10. Список літератури

Божокін С.В., Паршин Д.А. Фрактали та мультифрактали. РХД 2001 р .

Вітолін Д. Застосування фракталів у машинній графіці. //Computerworld-Росія.-1995

Мандельброт Б. Самоафінні фрактальні множини, «Фрактали у фізиці». М.: Світ 1988

Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи. - М: «Інститут комп'ютерних досліджень», 2002.

Морозов А.Д. Введення у теорію фракталів. Н.Новгород: Вид-во Нижегород. ун-ту 1999 р.

Пайтген Х.-О., Ріхтер П. Х. Краса фракталів. - М: «Світ», 1993.

Інтернет ресурси

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva .narod .ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає, що складається з фрагментів. Воно було запропоновано Бенуа Мандельбротом в 1975 для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature.У його роботах використані наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф ) Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.
Роль фракталів у машинній графіці сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно за допомогою декількох коефіцієнтів задати лінії і поверхні дуже складної форми. З погляду машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдено спосіб легкого уявлення складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні.
Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. У найпростішому випадку невелика частина фрактал містить інформацію про весь фрактал. Визначення фракталу, дане Мандельбротом, звучить так: "Фрактал називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого".

Існує велика кількість математичних об'єктів званих фракталами (трикутник Серпінського, сніжинка Коха, крива Пеано, безліч Мандельброта та лоренцеві атрактори). Фрактали з великою точністю описують багато фізичних явищ і освіти реального світу: гори, хмари, турбулентні (вихрові) течії, коріння, гілки та листя дерев, кровоносні судини, що далеко не відповідає простим геометричним фігурам. Вперше про фрактальну природу нашого світу заговорив Бенуа Мандельброт у своїй основній роботі "Фрактальна геометрія природи".
Термін фрактал введений Бенуа Мандельбротом у 1977 році у його фундаментальній роботі "Фрактали, Форма, Хаос і Розмірність". Згідно з Мандельбротом, слово фрактал походить від латинських слів fractus - дробовий і frangere - ламати, що відображає суть фракталу, як "зламаного", нерегулярного безлічі.

Класифікація фракталів.

Для того, щоб представити все різноманіття фракталів, зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації. Існує три класи фракталів.

1. Геометричні фрактали.

Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх одержують за допомогою ламаної (або поверхні у тривимірному випадку), яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. Внаслідок нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Розглянемо на прикладі один із таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Коха.

Побудова тріадної кривої Коха.

Візьмемо прямолінійний відрізок довжини 1. Назвемо його затравкою. Розіб'ємо затравку на три рівні частини довжиною в 1/3, відкинемо середню частину і замінимо її ламаною з двох ланок довжиною 1/3.

Ми отримаємо ламану, що складається з 4 ланок із загальною довжиною 4/3 , - так званий перше покоління.

Для того, щоб перейти до наступного покоління кривої Коха, треба у кожної ланки відкинути та замінити середню частину. Відповідно довжина другого покоління буде 16/9, третього – 64/27. якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в результаті вийде тріадна крива Коха.

Розглянемо тепер св-ва тріадною кривою Коха і з'ясуємо, чому ж фрактали називали «монстрами».

По-перше, ця крива немає довжини - як ми переконалися, з кількістю поколінь її довжина прагне нескінченності.

По-друге, до цієї кривої неможливо побудувати дотичну – кожна її точка є точкою перегину, в якій похідна не існує, – ця крива не гладка.

Довжина і гладкість - фундаментальні св-ва кривих, які вивчаються як евклідовою геометрією, і геометрією Лобачевського, Рімана. До тріадної кривої Коха традиційні методи геометричного аналізу виявилися непридатними, тому крива Коха виявилася чудовиськом – «монстром» серед гладких мешканців традиційних геометрій.

Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта необхідно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівні відрізки, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що за такої заміни відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконується правило: перша ліворуч ланка замінюється на утворює елемент так, щоб середина ланки зміщувалась ліворуч від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямки зміщення середин відрізків повинні чергуватись. На малюнку представлені кілька перших поколінь і 11 покоління кривої, побудованої за вищеописаним принципом. Крива, що при n прагне до нескінченності, називається драконом Хартера-Хейтуея.
У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне для отримання зображень дерев, кущів. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнку на поверхні об'єкта).

2. Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна скористатися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, процес, атрактор і т.д.
Відомо, що нелінійні динамічні системи мають кілька стійких станів. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином фазовий простір системи розбивається на ділянці тяжіння атракторів. Якщо фазовим є двовимірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати фазовий колірний портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта. Алгоритм його побудови досить простий і ґрунтується на простому ітеративному вираженні: Z = Z [i] * Z [i] + C, де Ziі C- Комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки з прямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, доки Z[i]не вийде за межі кола радіуса 2, центр якого лежить у точці (0,0), (це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z[i]зійдеться до якоїсь точки окружності. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z[i]залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C(якщо Z[i]залишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір.

3.Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі хаотично змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості та поверхні моря.
Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).

Про застосування фракталів

Насамперед, фрактали – область дивовижного математичного мистецтва, коли за допомогою найпростіших формул та алгоритмів виходять картини надзвичайної краси та складності! У контурах побудованих зображень нерідко вгадуються листя, дерева та квіти.

Одні з найпотужніших додатків фракталів лежать у комп'ютерній графіці. По-перше, це фрактальне стиснення зображень, і по-друге побудова ландшафтів, дерев, рослин та генерування фрактальних текстур. Сучасна фізика і механіка щойно починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів. І, звичайно ж, фрактали застосовуються безпосередньо у самій математиці.
Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже малий розмір упакованого файлу і короткий час відновлення картинки. Фрактально упаковані зображення можна масштабувати без появи пікселізації. Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки із втратою якості дозволяє встановити ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних до деяких маленьких шматочків. І у вихідний файл записується тільки якийсь шматочок якому подібний. При стиску зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена ​​такого недоліку.
Компанією Iterated розроблено новий формат зображень "Sting", що поєднує в собі фрактальне та "хвильове" (таке як у форматі jpeg) стиск без втрат. Новий формат дозволяє створювати зображення з можливістю подальшого високоякісного масштабування, причому обсяг графічних файлів складає 15-20% обсягу стиснених зображень.
Схильність фракталів виглядати як гори, квіти і дерева експлуатується деякими графічними редакторами, наприклад фрактальні хмари з 3D studio MAX, фрактальні гори в World Builder. Фрактальні дерева, гори та цілі пейзажі задаються простими формулами, легко програмуються та не розпадаються на окремі трикутники та кубики при наближенні.
Не можна обійти стороною та застосування фракталів у самій математиці. У теорії множин безліч Кантора доводить існування досконалих ніде не щільних множин, в теорії міри самоафінна функція "Канторова драбина" є гарним прикладом функції розподілу сингулярної міри.
У механіці та фізиці фрактали використовуються завдяки унікальній властивості повторювати контури багатьох об'єктів природи. Фрактали дозволяють наближати дерева, гірські поверхні та тріщини з більш високою точністю, ніж наближення наборами відрізків або багатокутників (при тому ж обсязі даних, що зберігаються). Фрактальні моделі, як і природні об'єкти, мають "шорсткість", і властивість це зберігається при будь-якому великому збільшенні моделі. Наявність на фракталах рівномірної міри дозволяє застосовувати інтегрування, теорію потенціалу, використовувати їх замість стандартних об'єктів у вже досліджених рівняннях.
При фрактальному підході хаос перестає бути синім безладу і набуває тонкої структури. Фрактальна наука ще дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які насолоджують око, і тих, які приносять справжню насолоду розуму.

Про побудову фракталів

Метод послідовних наближень

Дивлячись на цю картинку, неважко зрозуміти, як можна збудувати самоподібний фрактал (в даному випадку піраміду Серпінського). Потрібно взяти звичайну піраміду (тетраедр), потім вирізати її середину (октаедр), в результаті чого у нас виходить чотири маленькі пірамідки. З кожною з них ми робимо ту ж саму операцію і т.д. Це дещо наївне, але наочне пояснення.

Розглянемо суть методу суворіше. Нехай є деяка IFS-система, тобто. система стискаючих відображень S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (наприклад, для нашої пірамідки відображення мають вигляд S i (x)=1/2*x+o i , де o i - вершини тетраедра, i=1,..,4). Потім вибираємо деяке компактне безліч A 1 R n (у нашому випадку вибираємо тетраедр). І визначаємо по індукції послідовність множин A k : Ak + 1 = S 1 (A k) U ... U S m (A k). Відомо, що множини Ak з зростанням k, все краще наближають шуканий атрактор системи S.

Зауважимо, що кожна з цих ітерацій є атрактором рекурентної системи ітерованих функцій(англійський термін Digraph IFS, RIFSі також Graph-directed IFS) і тому їх легко збудувати за допомогою нашої програми.

Побудова за точками або ймовірнісний метод

Це найлегший реалізації на комп'ютері метод. Для простоти розглянемо випадок плоскої самоафінної множини. Отже, нехай (S

) - деяка система афінних стисків. Відображення S

представлені у вигляді: S

Фіксована матриця розміру 2x2 та o

Двовимірний вектор стовпець.

• Візьмемо нерухому точку першого відображення S 1 як початкову точку:
  x: = o1;
  Тут ми користуємося тим, що всі нерухомі точки стисків S 1, .., S m належать фракталу. Як початкова точка можна вибрати довільну точку і породжена нею послідовність точок стягнеться до фракталу, але тоді на екрані з'являться кілька зайвих точок.
• Зазначимо поточну точку x=(x 1 ,x 2) на екрані:
  putpixel(x 1, x 2, 15);
• Виберемо випадково число j від 1 до m і перерахуємо координати точки x:
  j:=Random(m)+1;
  x: = S j (x);
• Переходимо на крок 2, або, якщо зробили досить багато ітерацій, то зупиняємося.

Примітка.Якщо коефіцієнти стиснення відображень S i різні, то фрактал заповнюватиметься точками нерівномірно. Якщо відображення S i є подобами, цього можна уникнути невеликим ускладненням алгоритму. Для цього на 3-му кроці алгоритму число j від 1 до m треба вибирати з ймовірностями p 1 =r 1 s ,. з рівняння r1s+...+rms=1. Вирішення цього рівняння можна знайти, наприклад, методом Ньютона.

Про фрактали та їх алгоритми

Фрактал походить від латинського прикметника "fractus", і в перекладі означає, що складається з фрагментів, а відповідне латинське дієслово "frangere" означає розбивати, тобто створювати неправильні фрагменти. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Термін був запропонований Бенуа Мандельбротом в 1975 для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature - Фрактальна геометрія природи. У його роботах використано наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років у тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф).

Корективи

Дозволю собі внести деякі корективи до алгоритмів запропонованих у книзі Х.-О. Пайтгена і П.Х.Рихтера "Краса фракталів" М. 1993 суто для викорінення друкарських помилок і полегшення розуміння процесів оскільки після їх вивчення багато чого залишилося для мене загадкою. На жаль ці "зрозумілі" і "прості" алгоритми ведуть спосіб життя, що хитає.

В основі побудови фракталів лежить якась нелінійна функція комплексного процесу із зворотним зв'язком z=> z 2 +c оскільки z і с -комплексні числа, то z=x+iy, c=p+iq необхідно розкласти його на х і щоб перейти в більш реальну для простої людини площину:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Площина, що складається з усіх пар (x, y), може розглядатися як при фіксованих значеннях р і q, і при динамічних. У першому випадку перебираючи за законом всі точки (х, у) площини і забарвлюючи їх залежно від кількості повторень функції необхідні виходу з ітераційного процесу або не забарвлюючи (чорний колір) при підвищенні допустимого максимуму повторень ми отримаємо відображення безлічі Жюліа. Якщо, навпаки, визначити початкову пару значень (x, y) і простежити її колористическую долю при значеннях параметрів p і q, що динамічно змінюються, то одержуємо зображення, звані множинами Мандельброта.

До питання про алгоритми розмальовки фракталів.

Зазвичай тіло множини представляють у вигляді чорного поля, хоча очевидно, що чорний колір може бути замінений на будь-який інший, але це також мало цікавий результат. Отримати зображення безлічі розфарбованого в усі кольори - завдання яка може вирішуватися з допомогою циклічних операцій т.к. кількість ітерації формують тіло множини одно максимально можливому і завжди одне і теж. Розфарбувати безліч у різні кольори можливо застосувавши як номер кольору результат перевірки умови виходу з циклу (z_magnitude) або подібний до нього, але з іншими математичними діями.

Застосування "фрактального мікроскопа"

для демонстрації прикордонних явищ.

Атрактори - центри, що ведуть боротьбу за домінування на площині. Між атракторами виникає межа, що представляє витуватий візерунок. Збільшуючи масштаб розгляду в межах меж множини можна отримувати нетривіальні візерунки, що відображають стан детермінованого хаосу - звичайного явища у світі природи.

Досліджувані географами об'єкти утворюють систему з дуже складно організованими кордонами, у зв'язку з чим їх проведення стає непростим практичним завданням. Природні комплекси мають ядра типовості виступають як атрактори, що втрачають силу впливу на територію в міру її видалення.

Використовуючи фрактальний мікроскоп для множин Мандельброта і Жюліа можна сформувати уявлення про прикордонні процеси та явища, однаково складні незалежно від масштабу розгляду і таким чином підготувати сприйняття фахівця до зустрічі з динамічним і на перший погляд хаотичним у просторі та часі природним об'єктом, до розуміння фракції. природи. Багатоколірність фарб і фрактальна музика безперечно залишать глибокий слід у свідомості учнів.

Фракталам присвячені тисячі публікацій та величезні ресурси інтернет, проте для багатьох фахівців далеких від інформатики цей термін є абсолютно новим. Фрактали, як об'єкти, що становлять інтерес для фахівців різних галузей знання, повинні отримати належне місце в курсі інформатики.

Приклади

РЕШИТКА СЕРПІНСЬКОГО

Це один із фракталів, з якими експериментував Мандельброт, коли розробляв концепції фрактальних розмірностей та ітерацій. Трикутники, сформовані з'єднанням середніх точок більшого трикутника, вирізані з головного трикутника, утворюючи трикутник, з великою кількістю дірочок. У цьому випадку ініціатор - великий трикутник, а шаблон - операція вирізування трикутників, подібних до більшого. Так само можна отримати і тривимірну версію трикутника, використовуючи звичайний тетраедр і вирізуючи невеликі тетраедри. Розмірність такого фракталу ln3/ln2 = 1.584962501. Щоб отримати килим Серпінського, Візьмемо квадрат, розділимо його на дев'ять квадратів, а середній виріжемо. Те саме зробимо і з рештою менших квадратів. Зрештою утворюється плоска фрактальна сітка, яка не має площі, але з нескінченними зв'язками. У своїй просторовій формі губка Серпінського перетворюється на систему наскрізних форм, в якій кожен наскрізний елемент постійно замінюється собі подібним. Ця структура дуже схожа на розріз кісткової тканини. Колись такі повторювані структури стануть елементом будівельних конструкцій. Їхня статика і динаміка, вважає Мандельброт, заслуговує на пильне вивчення.

КРИВА КОХА

Крива Коха - один з найбільш типових детермінованих фракталів. Вона була винайдена в ХІХ столітті німецьким математиком на ім'я Хельге фон Кох, який, вивчаючи роботи Георга Контора і Карла Вейєрштрассе, натрапив на описи деяких дивних кривих з незвичайною поведінкою. Ініціатор – пряма лінія. Генератор - рівносторонній трикутник, сторони якого дорівнюють третини довжини більшого відрізка. Ці трикутники додаються до середини кожного сегмента знову і знову. У своєму дослідженні Мандельброт багато експериментував з кривими Коха, і отримав фігури такі як Острови Коха, Хрести Коха, Сніжинки Коха і навіть тривимірні уявлення кривої Коха, використовуючи тетраедр і додаючи менші за розмірами тетраедри до кожної його грані. Крива Коха має розмірність ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТУ

Це не безліч Мандельброта, яке можна досить часто бачити. Багато Мандельброта засноване на нелінійних рівняннях і є комплексним фракталом. Це теж варіант кривої Коха, незважаючи на те, що цей об'єкт не схожий на неї. Ініціатор і генератор також відмінні від використаних для створення фракталів, заснованих на принципі кривої Коха, але ідея залишається тією ж. Замість того щоб приєднувати рівносторонні трикутники до відрізка кривої, квадрати приєднуються до квадрата. Завдяки тому, що цей фрактал займає половину відведеного простору при кожній ітерації, він має просту фрактальну розмірність 3/2 = 1.5.

Складні фрактали

Фактично, якщо ви збільшите маленьку область будь-якого складного фракталу, а потім зробите те саме з маленькою областю цієї області, то ці два збільшення будуть значно відрізнятися один від одного. Два зображення будуть дуже схожі на деталі, але вони не будуть повністю ідентичними.

Рис 1. Наближення множини Мандельброта

Порівняйте, наприклад, наведені тут картинки безлічі Мандельброта, одна з яких отримана при збільшенні деякої області інший. Як видно, вони абсолютно не є ідентичними, хоча на обох ми бачимо чорне коло, від якого в різні боки йдуть щупальця, що палають. Ці елементи повторюються нескінченно довго в множині Мандельброта в пропорції, що зменшується.

Детерміністські фрактали є лінійними, тоді як складні фрактали не є такими. Будучи нелінійними, ці фрактали генеруються тим, що Мандельброт назвав нелінійними рівняннями алгебри. Хороший приклад - це процес Zn+1=ZnІ + C, що є рівнянням, що використовується для побудови множини Мандельброта та Жулії другого ступеня. Вирішення цих математичних рівнянь залучає комплексні та уявні числа. Коли рівняння інтерпретується графічно на комплексній площині, результатом виявляється дивна постать, у якій прямі лінії переходять у криві, з'являються хоча й без деформацій, ефекти самоподібності різних масштабних рівнях. При цьому вся картина загалом є непередбачуваною та дуже хаотичною.

Як можна побачити, дивлячись на картинки, складні фрактал дійсно дуже складні і їх неможливо створити без допомоги комп'ютера. Для отримання яскравих результатів цей комп'ютер повинен мати потужний математичний співпроцесор і монітор з високою роздільною здатністю. На відміну від детерміністських фракталів складні фрактали не обчислюються за 5-10 ітерацій. Майже кожна точка на екрані комп'ютера як окремий фрактал. Під час математичної обробки кожна точка розглядається як окремий малюнок. Кожній точці відповідає певне значення. Рівняння вбудовується, стосовно кожної точки і виробляється, наприклад 1000 ітерацій. Для отримання порівняно неспотвореного зображення за прийнятний для домашніх комп'ютерів проміжок часу, для однієї точки можна проводити 250 ітерації.

Більшість фракталів, які ми бачимо сьогодні, гарно розфарбовані. Можливо фрактальні зображення набули такого великого естетичного значення саме завдяки своїм кольоровим схемам. Після того, як рівняння підраховано, комп'ютер аналізує результати. Якщо результати залишаються стабільними, або коливаються навколо певного значення, точка зазвичай набуває чорного кольору. Якщо значення на тому чи іншому кроці прагне нескінченності, точку зафарбовують в інший колір, може бути синій або червоний. Під час цього процесу комп'ютер призначає кольори для всіх швидкостей руху.

Зазвичай, крапки, що швидко рухаються, зафарбовують в червоний колір, тоді як повільніші в жовтий і так далі. Темні точки, мабуть, найстабільніші.

Складні фрактали відрізняються від детерміністських у тому сенсі, що вони нескінченно складні, але при цьому можуть бути згенеровані дуже простою формулою. Детерміністським фракталам не потрібні формули чи рівняння. Просто візьміть креслярський папір і ви можете побудувати решето Серпінського до 3 або 4 ітерації без будь-яких труднощів. Спробуйте зробити це з безліччю Жулія! Легше піти міряти довжину берегової лінії Англії!

МНОЖИНА МАНДЕЛЬБРОТА

Рис 2. Безліч Мандельброта

Безліч Мандельброта і Жуліа, ймовірно, два найбільш поширені серед складних фракталів. Їх можна знайти в багатьох наукових журналах, обкладинках книг, листівках та комп'ютерних зберігачах екрану. Безліч Мандельброта, яке було побудовано Бенуа Мандельбротом, це перша асоціація, що виникає у людей, коли вони чують слово фрактал. Цей фрактал, що нагадує чесальну машину з прикріпленими до неї палаючими деревоподібними та круглими областями, генерується простою формулою Zn+1=Zna+C, де Z та C - комплексні числа та а - позитивне число.

Безліч Мандельброта, яке найчастіше можна побачити - це безліч Мандельброта 2-го ступеня, тобто а=2. Той факт, що безліч Мандельброта не тільки Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показник у формулі якого може бути будь-яким позитивним числом, ввів в оману багатьох. На цій сторінці ви бачите приклад безлічі Мандельброта для різних значень показника а.
Рис 3. Поява бульбашок при a=3.5

Також популярний процес Z = Z * tg (Z + C). Завдяки включенню функції тангенса виходить безліч Мандельброта, оточене областю, що нагадує яблуко. При використанні функції косинуса виходять ефекти повітряних бульбашок. Коротше кажучи, існує безліч способів налаштування безлічі Мандельброта для отримання різних красивих картинок.

МОЖЛИВО ЖУЛІА

Дивно, але безліч Жуліа утворюються за тією ж формулою, що і безліч Мандельброта. Безліч Жуліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жуліа, на ім'я якого і було названо безліч. Перше питання, що виникає після візуального знайомства з множинами Мандельброта і Жуліа, це "якщо обидва фрактали згенеровані за однією формулою, чому вони такі різні?" Спочатку подивіться на картинки множини Жуліа. Досить дивно, але існують різні типи множин Жулія. При малюванні фракталу з використанням різних початкових точок (щоб розпочати процес ітерацій), генеруються різні зображення. Це можна застосувати лише до багатьох Жуліа.

Рис 4. Безліч Жуліа

Хоча це не можна побачити на картинці, фрактал Мандельброта - це насправді безліч фракталів Жуліа, з'єднаних разом. Кожна точка (або координата) множини Мандельброта відповідає фракталу Жуліа. Безліч Жуліа можна згенерувати, використовуючи ці точки як початкові значення в рівнянні Z=ZІ+C. Але це не означає, що якщо вибрати крапку на фракталі Мандельброта та збільшити її, можна отримати фрактал Жулія. Ці дві точки ідентичні, але лише в математичному значенні. Якщо взяти цю точку і прорахувати її за цією формулою, можна отримати фрактал Жуліа, який відповідає певній точці фракталу Мандельброта.

Математика,
якщо на неї правильно подивитися,
відображає не тільки істину,
а й незрівнянну красу.
Бертранд Рассел.

Ви, звичайно, чули про фрактали. Ви, звичайно, бачили ці захоплюючі картинки з Bryce3d більш реальні, ніж сама реальність. Гори, хмари, кора дерева - все це виходить за межі звичної евклідової геометрії. Ми не можемо описати камінь або межі острова за допомогою прямих, гуртків та трикутників. І тут нам приходять на допомогу фрактали. Що це за знайомі незнайомці? Коли вони з'явились?

Історія появи.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури, що повторюється, перетворив лінію на набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися. Пеано намалював особливий вид лінії (рисунок №1). Для її малювання Пеано використав такий алгоритм.

На першому кроці він брав пряму лінію і заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії (Частина 1 та 2 рисунка 1). Далі він робив те саме з кожним відрізком лінії, що вийшла. І так до безкінечності. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано та пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувався начебто на підставі одномірної прямої, але складався з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася виходячи з одномірної лінії, а результаті виходила площину. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів на кшталт описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції).

Батько фракталів

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об'єкти, без спроби їх систематизувати. Так було, доки за них не взявся Бенуа Мандельброт – батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал. Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставивши факти, він прийшов до відкриття нового напряму математики - фрактальної геометрії.

Що ж таке фрактал? Сам Мандельброт вивів слово fractal від латинського слова fractus, що означає розбитий (розділений на частини). І одне з визначень фракталу - це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких представлятиме зменшену копію цілого (принаймні приблизно).

Щоб уявити собі фрактал понаочніше розглянемо приклад, наведений у книзі Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальна геометрія природи"), що став класичним - "Яка довжина берега Британії?". Відповідь на це питання не така проста, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми користуватимемося. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки, ми отримаємо якусь довжину. Однак ми пропустимо багато невеликих заливчиків і півострівків, які за розміром набагато менші за нашу лінійку. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра – ми врахуємо ці деталі ландшафту, і відповідно довжина берега побільшає. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більше міліметра, довжина буде ще більшою. У результаті відповідь на таке, здавалося б, просте питання може поставити в глухий кут будь-кого - довжина берега Британії нескінченна.

Трохи про розмірності.

У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з розмірностями. Ми прикидаємо довжину дороги (250 м), дізнаємося площу квартири (78 м2) та шукаємо на наклейці обсяг пляшки пива (0.33 дм3). Це поняття цілком інтуїтивно зрозуміле і, начебто, вимагає роз'яснення. Лінія має розмірність 1. Це означає, що вибравши точку відліку, ми можемо будь-яку точку на цій лінії визначити за допомогою 1 числа - позитивного або негативного. Причому це стосується всіх ліній – коло, квадрат, парабола тощо.

Розмірність 2 означає, що будь-яку точку ми можемо однозначно визначити двома числами. Не треба думати, що двовимірний означає плоский. Поверхня сфери теж двомірна (її можна визначити за допомогою двох значень – кутів на зразок ширини та довготи).

Якщо з математичної погляду, то розмірність визначається так: для одномірних об'єктів - збільшення вдвічі їх лінійного розміру призводить до збільшення розмірів (у разі довжини) вдвічі (2^1).

Для двовимірних об'єктів збільшення вдвічі лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (наприклад, площа прямокутника) вчетверо (2^2).

Для 3-х мірних об'єктів збільшення лінійних розмірів удвічі призводи до збільшення обсягу вісім разів (2^3) тощо.

Таким чином, розмірність D можна розрахувати виходячи із залежності збільшення "розміру" об'єкта S від збільшення лінійних розмірів L. D=log(S)/log(L). Для лінії D=log(2)/log(2)=1. Для площини D=log(4)/log(2)=2. Для обсягу D=log(8)/log(2)=3. Може бути трохи заплутано, але загалом нескладно і зрозуміло.

Навіщо я все це розповідаю? А щоб зрозуміти, як відокремлювати фрактали від, скажімо, ковбаси. Спробуймо порахувати розмірність для кривої Пеано. Отже, у нас вихідна лінія, що складається з трьох відрізків довжини Х, замінюється на 9 відрізків утричі меншої за довжину. Таким чином, зі збільшенням мінімального відрізка в 3 рази довжина всієї лінії збільшується в 9 разів і D=log(9)/log(3)=2 - двомірний об'єкт!!!

Так от, коли розмірність фігури одержуваної з якихось найпростіших об'єктів (відрізків) більша за розмірність цих об'єктів - ми маємо справу з фракталом.

Фрактали поділяються на групи. Найбільші групи це:

Геометричні фрактал.

Саме з них і розпочиналася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "затравка" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її на будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (принаймні в умі) нескінченну кількість перетворень – отримаємо геометричний фрактал.

Розглянута вище крива Пеано є геометричним фракталом. На малюнку нижче наведено інші приклади геометричних фракталів (зліва направо Сніжинка Коха, Лист, Трикутник Серпінського).

Аркуш

Трикутник Серпінського

З цих геометричних фракталів дуже цікавим та досить знаменитим є перший – сніжинка Коха. Будується на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого ___ замінюється на 4 лінії кожна довжиною 1/3 вихідної _/\_. Таким чином, з кожною ітерацією довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченну кількість ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що наша нескінченна крива вкриває обмежену площу. Спробуйте зробити те саме методами і фігурами з евклідової геометрії.

Розмірність сніжинки Коха (при збільшенні сніжинки в 3 рази її довжина зростає в 4 рази) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для побудови геометричних фракталів добре пристосовані звані L-Systems. Суть цих систем полягає в тому, що є певний набір символів системи, кожен з яких позначає певну дію та набір правил перетворення символів. Наприклад, опис сніжинки Коха за допомогою L-Systems у програмі Fractint

У цьому описі геометричні значення символів такі:

F позначає прокреслити відрізок + поворот за годинниковою стрілкою - поворот проти годинникової стрілки

Друга властивість фракталів – самоподібність. Візьмемо, наприклад, трикутник Серпінського. Для його побудови з центру рівностороннього трикутника "виріжемо" трикутник. Повторимо цю ж процедуру для трьох трикутників, що утворилися (за винятком центрального) і так до нескінченності. Якщо ми тепер візьмемо будь-який з трикутників, що утворилися, і збільшимо його - отримаємо точну копію цілого. В даному випадку ми маємо справу з повною самоподібністю.

Відразу зазначу, що більшість малюнків фракталів у цій статті отримано за допомогою програми Fractint. Якщо Вас зацікавили фрактали, це програма must have для Вас. З її допомогою можна будувати сотні різних фракталів, отримати вичерпну інформацію щодо них, і навіть послухати як фрактали звучать;).

Сказати, що програма хороша – значить нічого не сказати. Вона чудова, за винятком одного але - остання версія 20.0 доступна тільки у варіанті для DOS: (. Ви зможете знайти цю програму (остання версія 20.0) на http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html).

Залишити коментар

Коментарі

Ну і на закуску цікавий приклад Microsoft Excel. У комірки A2 і B2 однакові значення між 0 і 1. при значенні 0,5 немає ефекту.

Всім, хто зумів зробити прогу по картинці фраталу привіт. Хто може мені сказати який метот циклу мені краще використовувати щоб побудувати галявину фрактальчиків папортника з підкладкою з 3d max при кількості dt iteration 100 000 на камені з 2800 mH

Є вихідник із програмою відтворення кривої Дракона, теж фрактал.

Стаття офігенна. А ексель - це помилка співпроцесора (на останніх молодших розрядах)