Що таке lnx. Функції LN та LOG для розрахунку натурального логарифму В EXCEL

Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, який потрібно звести число а щоб отримати число b.

Якщо то .

Логарифм - вкрай важлива математична величина, Оскільки логарифмічний обчислення дозволяє не тільки вирішувати показові рівняння, а й оперувати з показниками, диференціювати показові та логарифмічні функції, інтегрувати їх і приводити до більш прийнятного виду, що підлягає розрахунку.

Вконтакте

Усі властивості логарифмів пов'язані безпосередньо із властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що означає, що:

Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими і корисними, ніж правила роботи зі ступенями.

Наведемо деякі тотожності:

Наведемо основні вирази алгебри:

;

.

Увага!може існувати тільки за x>0, x≠1, y>0.

Намагатимемося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес у математиці представляють два види— перший має в основі число «10», і зветься «десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Основа натурального логарифму - число "е". Саме про нього ми і детально говоритимемо в цій статті.

Позначення:

• lg x - десятковий;
• ln x - натуральний.

Використовуючи тотожність, можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.

Графік натурального логарифму

Побудуємо графік натурального логарифму стандартним класичним способом за точками. За бажання, перевірити, чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчитися будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.

Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, якими пройде графік:

Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. Вся річ у тотожності: . Для натурального логарифму ця тотожність виглядатиме таким чином:

Для зручності ми можемо взяти п'ять опорних точок:

;

;

.

;

.

Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів - досить нескладне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх на звичайне множення.

Побудувавши за точками графік, отримуємо приблизний графік:

Область визначення натурального логарифму (тобто всі допустимі значення аргументу Х) — усі числа більші за нуль.

Увага!До області визначення натурального логарифму входять лише позитивні числа! До області визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифму.

Область значень (тобто усі допустимі значення функції y = ln x) — усі числа в інтервалі .

Межа натурального log

Вивчаючи графік, виникає питання - як поводиться функція при y<0.

Очевидно, що графік функції прагне перетнути вісь, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не существует.

Межа натуральної logможна записати таким чином:

Формула заміни основи логарифму

Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що має довільну основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-який логарифм до натурального, або висловлювати його по довільній основі через натуральні логарифми.

Почнемо з логарифмічної тотожності:

Тоді будь-яке число, або змінну можна представити у вигляді:

де х - будь-яке число (позитивне згідно з властивостями логарифму).

Даний вираз можна прологарифмувати з обох боків. Зробимо це за допомогою довільної основи z:

Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз):

Звідси отримуємо універсальну формулу:

.

Зокрема, якщо z=e, тоді:

.

Нам вдалося уявити логарифм з довільної основи через відношення двох натуральних логарифмів.

Вирішуємо завдання

Щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади кількох завдань.

Завдання 1. Необхідно розв'язати рівняння ln x = 3.

Рішення:Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

Завдання 2. Розв'яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Рішення: Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

.

Ще раз застосуємо визначення логарифму:

.

Таким чином:

.

Можна приблизно обчислити відповідь, а можна залишити її і в такому вигляді.

Завдання 3.Розв'яжіть рівняння.

Рішення:Зробимо підстановку: t = ln x. Тоді рівняння набуде наступного вигляду:

.

Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант:

Перший корінь рівняння:

.

Другий корінь рівняння:

.

Згадуючи про те, що ми робили підстановку t = ln x, отримуємо:

У статистиці та теорії ймовірності логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темпи зростання експоненційних величин.

В інформатиці, програмуванні та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад, щоб зберегти в пам'яті N знадобиться бітів.

У теоріях фракталів та розмірності логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки за їх допомогою.

У механіці та фізицінемає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, усі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.

У хімії логарифмування використовують у рівняннях Нернста, описи окислювально-відновних процесів.

Вражаюче, але навіть у музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.

Натуральний логарифм Функція y=ln x її властивості

Доказ основної властивості натурального логарифму

Логарифмом позитивного числа b на підставі a (a>0, a не дорівнює 1) називають таке число с, що a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) nbsp nbsp nbsp

Зверніть увагу: логарифм від позитивного числа не визначено. Крім того, в основі логарифму має бути позитивне число, не рівне 1. Наприклад, якщо ми зведемо -2 у квадрат, отримаємо число 4, але це не означає, що логарифм на підставі -2 від 4 дорівнює 2.

Основне логарифмічне тотожність

Важливо, що області визначення правої та лівої частин цієї формули відрізняються. Ліва частина визначена тільки за b>0, a>0 і a ≠ 1. Права частина визначена за будь-якого b, а від a взагалі не залежить. Таким чином, застосування основної логарифмічної "тотожності" при вирішенні рівнянь та нерівностей може призвести до зміни ОДЗ.

Два очевидні наслідки визначення логарифму

Дійсно, при зведенні числа a в першу міру ми отримаємо те саме число, а при зведенні в нульовий ступінь - одиницю.

Логарифм твору та логарифм приватного

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотілося б застерегти школярів від бездумного застосування даних формул під час вирішення логарифмічних рівнянь та нерівностей. При їх використанні "зліва направо" відбувається звуження ОДЗ, а при переході від суми чи різниці логарифмів до логарифму твору або приватного - розширення ОДЗ.

Дійсно, вираз log a (f (x) g (x)) визначено у двох випадках: коли обидві функції суворо позитивні або коли f (x) і g (x) обидві менше від нуля.

Перетворюючи цей вираз у суму log a f (x) + log a g (x) , ми змушені обмежуватися лише випадком, коли f(x)>0 і g(x)>0. В наявності звуження області допустимих значень, а це категорично неприпустимо, тому що може призвести до втрати рішень. Аналогічна проблема існує й у формули (6).

Ступінь можна виносити за знак логарифму

І знову хотілося б покликати до акуратності. Розглянемо наступний приклад:

Log a (f(x) 2 = 2 log a f(x)

Ліва частина рівності визначена, очевидно, за всіх значень f(х), крім нуля. Права частина - тільки за f(x)>0! Виносячи ступінь із логарифму, ми знову звужуємо ОДЗ. Зворотна процедура призводить до розширення області допустимих значень. Всі ці зауваження стосуються не тільки ступеня 2, але й будь-якого парного ступеня.

Формула переходу до нової основи

Той рідкісний випадок, коли ОДЗ не змінюється під час перетворення. Якщо ви розумно вибрали основу з (позитивна і не рівна 1), формула переходу до нової основи є абсолютно безпечною.

Якщо в якості нової підстави вибрати число b, отримаємо важливий окремий випадок формули (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Декілька простих прикладів з логарифмами

Приклад 1. Обчисліть: lg2 + lg50.
Рішення. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ми скористалися формулою суми логарифмів (5) та визначенням десяткового логарифму.

Приклад 2. Розрахуйте: lg125/lg5.
Рішення. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ми використали формулу переходу до нової основи (8).

Таблиця формул, пов'язаних із логарифмами

Логарифмомданого числа називається показник ступеня, в який потрібно звести інше число, зване основоюлогарифму, щоб отримати дане число. Наприклад, логарифм числа 100 на підставі 10 дорівнює 2. Інакше кажучи, 10 потрібно звести в квадрат, щоб отримати число 100 (10 2 = 100). Якщо n– задане число, b– основа та l– логарифм, то b l = n. Число nтакож називається антилогарифмом на підставі bчисла l. Наприклад, антилогарифм 2 на підставі 10 дорівнює 100. Сказане можна записати у вигляді співвідношень log b n = lта antilog b l = n.

Основні властивості логарифмів:

Будь-яке позитивне число, крім одиниці, може бути основою логарифмів, але, на жаль, виявляється, що якщо bі n- раціональні числа, то в окремих випадках знайдеться таке раціональне число l, що b l = n. Однак можна визначити ірраціональне число l, наприклад, таке, що 10 l= 2; це ірраціональне число lможна з будь-якою необхідною точністю наблизити раціональними числами. Виявляється, що у наведеному прикладі lприблизно дорівнює 0,3010, і це наближене значення логарифму на основі 10 числа 2 можна знайти в чотиризначних таблицях десяткових логарифмів. Логарифми на підставі 10 (або десяткові логарифми) настільки часто використовуються при обчисленнях, що їх називають звичайнимилогарифмами та записують у вигляді log2 = 0,3010 або lg2 = 0,3010, опускаючи явну вказівку основи логарифму. Логарифми на підставі e, трансцендентному числу, приблизно рівному 2,71828, називаються натуральнимилогарифмами. Вони зустрічаються переважно у роботах з математичного аналізу та його додатків до різних наук. Натуральні логарифми також записують, не вказуючи явно підстави, але використовуючи спеціальне позначення ln: наприклад, ln2 = 0,6931, т.к. e 0,6931 = 2.

Користування таблицями звичайних логарифмів.

Звичайний логарифм числа - це показник ступеня, в який потрібно звести 10, щоб отримати це число. Так як 10 0 = 1, 10 1 = 10 і 10 2 = 100, ми одразу отримуємо, що log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 і т.д. для зростаючих цілих ступенів 10. Аналогічно, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 і, отже, log0,1 = -1, log0,01 = -2 і т.д. всім цілих негативних ступенів 10. Звичайні логарифми інших чисел укладені між логарифмами найближчих до них цілих ступенів числа 10; log2 має бути укладений між 0 і 1, log20 – між 1 і 2, а log0,2 – між -1 і 0. Таким чином, логарифм складається з двох частин, цілого числа та десяткового дробу, укладеного між 0 та 1. Цілочисленна частина називається характеристикоюлогарифма і визначається за самим числом, дробова частина називається мантисоюі може бути знайдено з таблиць. Крім того, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 дорівнює 0,3010, тому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогічно, log0,2 = log(2?10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Виконавши віднімання, ми отримаємо log0,2 = - 0,6990. Однак зручніше уявити log0,2 у вигляді 0,3010 - 1 або як 9,3010 - 10; можна сформулювати і загальне правило: всі числа, що виходять з цього числа множенням на ступінь числа 10, мають однакові мантиси, рівні мантисі заданого числа. У більшості таблиць наведені мантиси чисел, що лежать в інтервалі від 1 до 10, оскільки мантиси всіх інших чисел можуть бути отримані з наведених у таблиці.

У більшості таблиць логарифми даються з чотирма або п'ятьма десятковими знаками, хоча існують семизначні таблиці та таблиці з ще більшим числом знаків. Навчитися користуватися такими таблицями найлегше на прикладах. Щоб знайти log3,59, перш за все зауважимо, що число 3,59 укладено між 10 0 і 10 1 тому його характеристика дорівнює 0. Знаходимо в таблиці число 35 (ліворуч) і рухаємося по рядку до стовпця, у якого зверху стоїть число 9 ; на перетині цього стовпця та рядка 35 стоїть число 5551, тому log3,59 = 0,5551. Щоб знайти мантису числа з чотирма цифрами, необхідно вдатися до інтерполяції. У деяких таблицях інтерполювання полегшується пропорційними частинами, наведеними останніх дев'яти стовпцях у правій частині кожної сторінки таблиць. Знайдемо тепер log736,4; число 736,4 лежить між 10 2 і 10 3 тому характеристика його логарифма дорівнює 2. У таблиці знаходимо рядок, зліва від якої стоїть 73 і стовпець 6. На перетині цього рядка і цього стовпця стоїть число 8669. Серед лінійних частин знаходимо стовпець 4 .На перетині рядка 73 і стовпця 4 стоїть число 2. Додавши 2 до 8669, отримаємо мантису - вона дорівнює 8671. Таким чином, log736,4 = 2,8671.

Натуральні логарифми.

Таблиці та властивості натуральних логарифмів аналогічні таблицям та властивостям звичайних логарифмів. Основна відмінність між тими та іншими полягає в тому, що ціла частина натурального логарифму не має істотного значення при визначенні положення десяткової коми, і тому відмінність між мантисою та характеристикою не відіграє особливої ​​ролі. Натуральні логарифми чисел 5432; 54,32 та 543,2 рівні, відповідно, 1,6923; 3,9949 та 6,2975. Взаємозв'язок між цими логарифмами стане очевидним, якщо розглянути різницю між ними: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; останнє число не що інше, як натуральний логарифм числа 10 (пишається так: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; останнє число дорівнює 2ln10. Але 543,2 = 10 ґ54,32 = 10 2 ґ5,432. Таким чином, за натуральним логарифмом даного числа aможна знайти натуральні логарифми чисел, рівні добуткам числа aна будь-які ступені nчисла 10, якщо до ln aдодавати ln10, помножений на n, тобто. ln( aґ10n) = ln a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Наприклад, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Тому таблиці натуральних логарифмів, як і таблиці звичайних логарифмів, зазвичай містять лише логарифми чисел від 1 до 10. У системі натуральних логарифмів можна говорити про антилогарифми, але частіше говорять про експонентну функцію або про експонент. Якщо x= ln y, то y = e x, і yназивається експонентою від x(Для зручності друкарського набору часто пишуть y= exp x). Експонента відіграє роль антилогарифму числа x.

За допомогою таблиць десяткових і натуральних логарифмів можна скласти таблиці логарифмів з будь-якої основи, відмінної від 10 і e. Якщо log b a = x, то b x = a, і, отже, log c b x= log c aабо x log c b= log c a, або x= log c a/log c b= log b a. Отже, за допомогою цієї формули звернення з таблиці логарифмів на основі cможна побудувати таблиці логарифмів з будь-якої іншої основи b. Множник 1/log c bназивається модулем переходувід основи cдо основи b. Ніщо не заважає, наприклад, користуючись формулою звернення або переходу від однієї системи логарифмів до іншої, знайти натуральні логарифми за таблицею звичайних логарифмів або здійснити зворотний перехід. Наприклад, log105,432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на яке потрібно помножити натуральний логарифм цього числа, щоб отримати звичайний логарифм, є модулем переходу до системи звичайних логарифмів.

Спеціальні таблиці.

Спочатку логарифми були винайдені для того, щоб, користуючись їх властивостями log ab= log a+ log bта log a/b= log a- log b, перетворювати твори на суми, а приватні у різниці. Інакше кажучи, якщо log aта log bвідомі, то за допомогою додавання та віднімання ми легко можемо знайти логарифм твору та приватного. В астрономії, однак, часто за заданими значеннями log aта log bпотрібно знайти log( a + b) або log( a – b). Зрозуміло, можна було б спочатку за таблицями логарифмів знайти aі b, потім виконати вказане додавання або віднімання і, знову звернувшись до таблиць, знайти потрібні логарифми, але така процедура зажадала триразового звернення до таблиць. З.Леонеллі в 1802 опублікував таблиці т.зв. гаусових логарифмів– логарифмів складання сум та різниць – що дозволяли обмежитися одним зверненням до таблиць.

У 1624 І. Кеплером було запропоновано таблиці пропорційних логарифмів, тобто. логарифмів чисел a/x, де a- Деяка позитивна постійна величина. Ці таблиці використовуються переважно астрономами та навігаторами.

Пропорційні логарифми при a= 1 називаються кологарифмамиі застосовуються у обчисленнях, коли доводиться мати справу з творами та приватними. Кологарифм числа nдорівнює логарифму зворотного числа; тобто. colog n= log1/ n= - log n. Якщо log2 = 0,3010, то colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Перевага використання кологарифмів полягає в тому, що при обчисленні значення логарифму виразів виду pq/rпотрійна сума позитивних десяткових часток log p+ log q+ colog rзнаходиться легше, ніж змішана сума та різниця log p+ log q- log r.

Історія.

Принцип, що лежить в основі будь-якої системи логарифмів, відомий дуже давно і може бути простежений у глиб історії аж до давньовилонської математики (близько 2000 до н.е.). У ті часи інтерполяція між табличними значеннями цілих позитивних ступенів цілих чисел використовувалася для обчислення складних відсотків. Набагато пізніше Архімед (287-212 до н.е.) скористався ступенями числа 10 8 для знаходження верхньої межі числа піщин, необхідного для того, щоб повністю заповнити відомий на той час Всесвіт. Архімед звернув увагу на властивість показників ступенів, що лежить в основі ефективності логарифмів: добуток ступенів відповідає сумі показників ступенів. Наприкінці Середньовіччя і початку Нового часу математики все частіше почали звертатися до співвідношення між геометричною та арифметичною прогресіями. М.Штіфель у своєму творі Арифметика цілих чисел(1544) навів таблицю позитивних та негативних ступенів числа 2:

Штифель зауважив, що сума двох чисел у першому рядку (рядку показників ступеня) дорівнює показнику ступеня двійки, що відповідає добутку двох відповідних чисел у нижньому рядку (рядку ступенів). У зв'язку з цією таблицею Штифель сформулював чотири правила, еквівалентні чотирма сучасними правилами операцій над показниками ступенів або чотирма правилами дій над логарифмами: сума у ​​верхньому рядку відповідає добутку в нижньому рядку; віднімання у верхньому рядку відповідає поділу в нижньому рядку; множення у верхньому рядку відповідає зведенню в ступінь у нижньому рядку; розподіл у верхньому рядку відповідає вилученню кореня в нижньому рядку.

Очевидно, правила, аналогічні правилам Штифеля, призвели Дж.Нейпера до формального запровадження першої системи логарифмів у творі Опис дивовижної таблиці логарифмів, опублікованому в 1614. Але думки Непера були зайняті проблемою перетворення творів у суми ще з тих пір, як більш ніж за десять років до виходу свого твору Непер отримав з Данії звістку про те, що в обсерваторії Тихо Бразі його помічники мають у своєму розпорядженні метод, що дозволяє перетворювати твори до сум. Метод, про який йшлося в отриманому Неперому повідомленні, був заснований на використанні тригонометричних формул типу

тому таблиці Нейпера складалися головним чином логарифмів тригонометричних функцій. Хоча поняття основи не входило у явному вигляді у запропоноване Непером визначення, роль, еквівалентну основи системи логарифмів, у його системі відігравало число (1 – 10 –7)ґ10 7 , приблизно 1/ e.

Незалежно від Нейпера і майже одночасно з ним система логарифмів, досить близька за типом, була винайдена та опублікована Й.Бюргі у Празі, що видав у 1620 р. Таблиці арифметичної та геометричної прогресій. Це були таблиці антилогарифмів на підставі (1 + 10 –4) ґ10 4 досить хорошому наближенню числа e.

У системі Нейпера логарифм числа 107 був прийнятий за нуль, і в міру зменшення чисел логарифми зростали. Коли Г. Бріггс (1561-1631) відвідав Непера, обидва погодилися, що було б зручніше використовувати в якості підстави число 10 і вважати логарифм одиниці рівним нулю. Тоді зі збільшенням чисел їхні логарифми зростали б. Таким чином, ми отримали сучасну систему десяткових логарифмів, таблицю яких Бріггс опублікував у своєму творі. Логарифмічна арифметика(1620). Логарифми на підставі eХоча й не зовсім ті, що були введені Нейпером, часто називають нейперовими. Терміни «характеристика» та «мантіса» були запропоновані Бріггсом.

Перші логарифми з історичних причин використовували наближення до числа 1/ eі e. Дещо пізніше ідею натуральних логарифмів стали пов'язувати з вивченням площ під гіперболою xy= 1 (рис. 1). У 17 ст. було показано, що площа, обмежена цією кривою, віссю xта ординатами x= 1 і x = a(на рис. 1 ця область покрита більш жирними та рідкісними точками) зростає в арифметичній прогресії, коли aзростає у геометричній прогресії. Саме така залежність виникає у правилах дій над експонентами та логарифмами. Це дало підставу називати нейперові логарифми «гіперболічними логарифмами».

Логарифмічна функція.

Був час, коли логарифми розглядалися виключно як засіб обчислень, однак у 18 ст, головним чином завдяки працям Ейлера, сформувалася концепція логарифмічної функції. Графік такої функції y= ln x, ординати якого зростають в арифметичній прогресії, тоді як абсциси – у геометричній, представлений на рис. 2, а. Графік зворотної або показової (експоненційної) функції y = e x, ординати якого зростають у геометричній прогресії, а абсциси – в арифметичній, представлений, відповідно, на рис. 2, б. (Криві y= log xі y = 10xза формою аналогічні кривим y= ln xі y = e x.) Були запропоновані також альтернативні визначення логарифмічної функції, наприклад,

kpi; і, аналогічно, натуральні логарифми числа -1 є комплексними числами виду (2 k + 1)pi, де k- ціле число. Аналогічні твердження справедливі щодо загальних логарифмів чи інших систем логарифмів. Крім того, визначення логарифмів можна узагальнити, користуючись тотожністю Ейлера так, щоб воно включало комплексні логарифми комплексних чисел.

Альтернативне визначення логарифмічної функції надає функціональний аналіз. Якщо f(x) – безперервна функція дійсного числа x, що має наступні три властивості: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), то f(x) визначається як логарифм числа xна підставі b. Це визначення має низку переваг перед визначенням, наведеним на початку цієї статті.

Програми.

Логарифми спочатку використовувалися виключно для спрощення обчислень, і цей додаток досі залишається одним з найголовніших. Обчислення творів, приватних, ступенів та коренів полегшується не лише завдяки широкій доступності опублікованих таблиць логарифмів, а й завдяки використанню т.зв. логарифмічної лінійки – обчислювального інструменту, принцип роботи якого ґрунтується на властивостях логарифмів. Лінійка має логарифмічними шкалами, тобто. відстань від числа 1 до будь-якого числа xвибрано рівним log x; зсуваючи одну шкалу щодо іншої, можна відкладати суми чи різниці логарифмів, що дає змогу зчитувати безпосередньо зі шкали добутку чи приватних відповідних чисел. Скористатися перевагами представлення чисел у логарифмічному вигляді дозволяє і т.зв. логарифмічний папір для побудови графіків (папір з нанесеними на нього по обох осях координат логарифмічними шкалами). Якщо функція задовольняє статечному закону виду y = kx n, її логарифмічний графік має вигляд прямий, т.к. log y= log k + n log x- Рівняння, лінійне щодо log yта log x. Навпаки, якщо логарифмічний графік якоїсь функціональної залежності має вигляд прямої, то ця залежність – статечна. Напівлогарифмічний папір (у якого вісь ординат має логарифмічну шкалу, а вісь абсцис – рівномірну шкалу) зручна у тих випадках, коли потрібно ідентифікувати експоненційні функції. Рівняння виду y = kb rxвиникають щоразу, коли певна величина, така як чисельність населення, кількість радіоактивного матеріалу або банківський баланс, зменшується чи зростає зі швидкістю, пропорційною наявній на даний момент кількості жителів, радіоактивної речовини або грошей. Якщо таку залежність нанести на напівлогарифмічний папір, то графік матиме вигляд прямий.

Логарифмічна функція виникає у зв'язку з різними природними формами. За логарифмічними спіралями вишиковуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска. Nautilusроги гірського барана і дзьоби папуг. Всі ці природні форми можуть бути прикладами кривої, відомої під назвою логарифмічної спіралі, тому що в полярній системі координат її рівняння має вигляд r = ae bq, або ln r= ln a + bq. Таку криву описує точка, що рухається, відстань від полюса якої зростає в геометричній прогресії, а кут, що описується її радіусом-вектором – в арифметичній. Повсюдність такої кривої, а отже й логарифмічної функції, добре ілюструється тим, що вона виникає в таких далеких і різних областях, як контур кулачка-ексцентрика і траєкторія деяких комах, що летять на світ.

1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня

1.2. Нульовий ступінь.

1.3. Негативний ступінь.

1.4. Дробний ступінь, корінь.

Наприклад: X 1/2 = √X.

1.5. Формула складання ступенів.

1.6.Формула віднімання ступенів.

1.7. Формула множення ступенів.

1.8. Формула зведення дробу на ступінь.

2. Число e.

E = lim(1+1/N), за N → ∞.

З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.

3. Рівність Ейлера.

E (i*пі) + 1 = 0

4. Експонентна функція exp (x)

5. Похідна експоненційної функції

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Визначення функції логарифм

Y = Log b(x).

Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число (X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.

Наприклад: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятковий логарифм

Y = Log 10 (x).

Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).

Приклад використання десяткового логарифму - децибел.

6.3. Децибел

6.4. Двійковий логарифм

Y = Log 2(x).

Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральний логарифм

Y = Log e(x).

Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм — зворотна функція експоненційної функції exp (X).

6.6. Характерні точки

6.7. Формула логарифму твору

6.8. Формула логарифму приватного

6.9. Формула логарифму ступеня

6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою

Приклад:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули корисні у житті

Часто виникають завдання перерахунку обсягу площу чи довжину і обернена завдання -- перерахунок площі обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.

Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте поглянемо ближче на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в минулому прикладі, e x дозволяє нам ув'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те саме, що й 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка та часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватись виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

• наскільки зросте мій вклад через x одиниць часу (за умови 100% безперервного зростання).
• наприклад, через 3 проміжки часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штуковин".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін позначення протилежності. До речі, про чудасії; латиною він називається logarithmus naturali, звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія чи протилежність означає?

• e x дозволяє нам підставити час та отримати зростання.
• ln(x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися про час, необхідний для його отримання.

Наприклад:

• e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізки часу у нас буде в 20.08 разів більше за те, з чого ми почали.
• ln(20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 разів, вам знадобиться 3 проміжки часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Чи все ще читаєте? Натуральний логарифм показує час, необхідний для досягнення бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмічний рахунок

Ви проходили логарифми – це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення на додавання? А розподіл у віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln(1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що я маю?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас це вже є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорості до рівня 1.

• ln(1) = 0

Добре, що щодо дробового значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що за стовідсоткове безперервне зростання ln(2) означає час, необхідний подвоєння. Якщо ми звернемо час назад(тобто почекаємо негативну кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунд, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі, можна перевертати дріб і брати негативне значення: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Це означає, що якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третину від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифму негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб виростити колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативну кількість бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (е... мінімум) нуль, але вам ніяк не отримати негативне число цих маленьких тварин. У негативному числі бактерій немає сенсу.

• ln(негативне число) = невизначено

"Невизначено" означає, що немає такого проміжку часу, який би треба було прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічне множення – просто втомлення

Скільки часу займе чотириразове зростання? Звісно, ​​можна взяти ln(4). Але це дуже просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразове зростання як подвоєння (що вимагає ln(2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln(2) одиниць часу):

• Час на 4х ріст = ln(4) = Час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln(2) + ln(2)

Цікаво. Будь-який показник зростання, скажімо, 20 можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, а потім у 5 разів. Або потроєння і потім збільшення в 6.666 разів. Бачите закономірність?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм від A, помноженого на B є log(A) + log(B). Це ставлення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln(30) за один присід, або ж почекати ln(3) Для потроєння, а потім ще ln(10) для удесятірення. Кінцевий результат той самий, так що звичайно час повинен залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок розподілу? Зокрема, ln(5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, а потім отримати 1/3 від цього?

Добре, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання у 1/3 разу займе -ln(3) одиниць часу. Отже,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Це означає: дайте вирости в 5 разів, а потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенсу: множення показників зростання стає додаванням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється на віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте їх усвідомити.

Використання натурального логарифму при довільному зростанні

Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100%, а що у випадку 5%, які я отримую?

Немає проблем. "Час", який ми розраховуємо за допомогою ln(), насправді є комбінацією відсоткової ставки і часу, Х з рівняння e x . Ми лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Допустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln(30) і отримуємо 3.4.

• e x = зростання
• e 3.4 = 30

Очевидно, це рівняння означає "100% прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння у такому вигляді:

• e x = e ставка * час
• e 100% * 3.4 роки = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" та "часу", аби ставка * час залишався 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати за процентної ставки 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * час = 3.4
• 0.05 * час = 3.4
• час = 3.4/0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln(30) = 3.4, отже, при 100%-ном зростанні це займе 3.4 року. Якщо я подвоюю швидкість зростання, необхідний час зменшиться вдвічі".

• 100% за 3.4 роки = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4.

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки та часу, оскільки їхній твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох – математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), і більше того, спробуємо усвідомити його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші за 100% ставку, що наростає щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти говориш про щорічне нарахування? Чи не стане ця формула непридатною для такого випадку? Так, стане, однак для реальних відсоткових ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15% різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми вдамо, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання просте: Як швидко можна подвоїтися при 100% зростання? ln(2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років – у нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка – не 100%, а скажімо, 5% чи 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

• ставка * час = 0.693
• час = 0.693/ставка

Виходить, якщо зростання 10%-не, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

• час на подвоєння = 69.3/ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватись при ставці 5%, 69.3/5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

• час на подвоєння = 72/ставка

що є правилом сімдесяти двох. Все шито-крите.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln(3) ~ 109.8 та отримати

• час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" застосовується до зростання за відсотковими ставками, зростання населення, культур бактерій, і всього, що росте експоненційно.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер набув вам сенсу - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e – універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для зростання.

Щоразу, коли ви бачите ln(x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х разів". У майбутній статті я опишу e і ln у зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Додаток: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln(e)?

• математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна одною, очевидно, що ln(e) = 1.
• розуміє людина: ln(e) це кількість часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Проте число e саме собою є мірою зростання в 1 раз, отже ln(e) = 1.

Думайте ясно.