Щоб знайти невідоме множник треба правило. Щоб знайти невідомий множник, треба…

Щоб навчитися швидко та успішно вирішувати рівняння, потрібно почати з найпростіших правил та прикладів. Насамперед треба навчитися вирішувати рівняння, ліворуч у яких стоїть різниця, сума, приватна чи добуток деяких чисел з одним невідомим, а праворуч інше число. Іншими словами, у цих рівняннях є одне невідоме доданок і або зменшуване з віднімається, або ділене з дільником і т.д. Саме про рівняння такого типу ми з вами поговоримо.

Ця стаття присвячена основним правилам, що дозволяють знайти множники, невідомі доданки та ін. Всі теоретичні положення відразу пояснюватимемо на конкретних прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Знаходження невідомого доданку

Припустимо, у нас є кілька кульок у двох вазах, наприклад, 9 . Ми знаємо, що у другій вазі 4 кульки. Як знайти кількість у другій? Запишемо це завдання в математичному вигляді, позначивши число, яке потрібно знайти як x. Згідно з початковою умовою, це число разом з 4 утворюють 9, отже, можна записати рівняння 4 + x = 9 . Зліва у нас вийшла сума з одним невідомим доданком, праворуч – значення цієї суми. Як знайти x? Для цього треба використовувати правило:

Визначення 1

Для знаходження невідомого доданка треба відняти відоме із суми.

В даному випадку ми надаємо віднімання сенсу, який є зворотним змістом додавання. Інакше кажучи, є певний зв'язок між діями додавання та віднімання, який можна в буквальному вигляді виразити так: якщо a + b = c , то c − a = b і c − b = a , і навпаки, з виразів c − a = b і c − b = a можна вивести, що a + b = c.

Знаючи це правило, ми можемо знайти один невідомий доданок, використовуючи відоме і суму. Яке саме доданок ми знаємо, перше чи друге, у разі неважливо. Подивимося, як застосувати це правило практично.

Приклад 1

Візьмемо те рівняння, що ми вийшло вище: 4 + x = 9 . Згідно з правилом, нам потрібно відняти від відомої суми, що дорівнює 9 , відомий доданок, що дорівнює 4 . Віднімемо одне натуральне число з іншого: 9 - 4 = 5 . Ми отримали потрібне нам доданок, що дорівнює 5 .

Зазвичай рішення таких рівнянь записують так:

1. Першим пишеться вихідне рівняння.
2. Далі ми записуємо рівняння, яке вийшло після того, як ми застосували правило обчислення невідомого доданку.
3. Після цього пишемо рівняння, яке вийшло після всіх дій із числами.

Така форма запису потрібна для того, щоб проілюструвати послідовну заміну вихідного рівняння рівносильними та відобразити процес знаходження кореня. Рішення нашого простого рівняння, наведеного вище, правильно записати так:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Ми можемо перевірити правильність отриманої відповіді. Підставимо те, що в нас вийшло, у вихідне рівняння і подивимося, чи вийде з нього вірна числова рівність. Підставимо 5 4 + x = 9 і отримаємо: 4 + 5 = 9 . Рівність 9 = 9 вірна, отже, невідомий доданок було знайдено правильно. Якби рівність виявилася невірною, то нам слід було б повернутися до рішення і перевірити ще раз його, оскільки це знак допущеної помилки. Як правило, найчастіше це буває обчислювальна помилка чи застосування неправильного правила.

Знаходження невідомого віднімається або зменшується

Як ми вже згадували в першому пункті, між процесами складання та віднімання існує певний зв'язок. З її допомогою можна сформулювати правило, яке допоможе знайти невідоме зменшуване, коли ми знаємо різницю та віднімання, або ж невідоме віднімається через зменшуване або різницю. Запишемо ці два правила по черзі і покажемо, як застосовувати їх під час вирішення завдань.

Визначення 2

Для знаходження невідомого зменшуваного треба додати віднімання до різниці.

Приклад 2

Наприклад, ми маємо рівняння x - 6 = 10 . Невідомо зменшується. Відповідно до правила, нам треба додати до різниці 10 віднімається 6 , отримаємо 16 . Тобто вихідне зменшуване шістнадцяти. Запишемо все рішення повністю:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Перевіримо результат, додавши число, що вийшло, у вихідне рівняння: 16 - 6 = 10 . Рівність 16 - 16 буде правильною, отже, ми всі підрахували правильно.

Визначення 3

Для знаходження невідомого віднімається треба відняти різницю від зменшуваного.

Приклад 3

Скористаємося правилом на вирішення рівняння 10 - x = 8 . Ми не знаємо віднімається, тому нам треба від 10 відняти різницю, тобто. 10 - 8 = 2. Значить, шукане віднімається одно двом. Ось весь запис рішення:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

Зробимо перевірку на правильність, підставивши двійку у вихідне рівняння. Отримаємо правильну рівність 10 - 2 = 8 і переконаємося, що знайдене значення буде правильним.

Перед тим, як перейти до інших правил, зазначимо, що існує правило перенесення будь-яких доданків з однієї частини рівняння до іншої із заміною знака на протилежний. Всі вищенаведені правила йому повністю відповідають.

Знаходження невідомого множника

Подивимося на два рівняння: x · 2 = 20 та 3 · x = 12 . В обох нам відомо значення твору та один із множників, необхідно знайти другий. Для цього нам треба користуватися іншим правилом.

Визначення 4

Для знаходження невідомого множника потрібно виконати розподіл твору на відомий множник.

Це правило базується на сенсі, який є зворотним змістом множення. Між множенням і розподілом є наступний зв'язок: a · b = c при a і b, не рівних 0, c: a = b, c: b = c і навпаки.

Приклад 4

Обчислимо невідомий множник у першому рівнянні, розділивши відоме приватне 20 на відомий множник 2 . Проводимо розподіл натуральних чисел і отримуємо 10 . Запишемо послідовність рівностей:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

Підставляємо десятку у вихідну рівність та отримуємо, що 2 · 10 = 20 . Значення невідомого множника було виконано правильно.

Уточнимо, що у випадку, якщо один із множників нульовий, це правило застосовувати не можна. Так, рівняння x · 0 = 11 з допомогою вирішити ми можемо. Цей запис немає сенсу, оскільки вирішення треба розділити 11 на 0 , а розподіл на нуль не визначено. Докладніше про подібні випадки ми розповіли у статті, присвяченій лінійним рівнянням.

Коли ми застосовуємо це правило, ми по суті ділимо обидві частини рівняння на інший множник, відмінний від 0 . Існує окреме правило, згідно з яким можна проводити такий поділ, і він не вплине на коріння рівняння, і те, про що ми писали в цьому пункті, з ним повністю узгоджено.

Знаходження невідомого ділимого чи дільника

Ще один випадок, який нам потрібно розглянути, – це знаходження невідомого ділимого, якщо ми знаємо дільник і приватне, а також знаходження дільника за відомого приватного та ділимого. Сформулювати це правило ми можемо за допомогою згаданого тут зв'язку між множенням і поділом.

Визначення 5

Для знаходження невідомого поділеного потрібно помножити дільник на приватне.

Подивимося, як застосовується це правило.

Приклад 5

Вирішимо з його допомогою рівняння x: 3 = 5 . Перемножуємо між собою відоме приватне і відомий дільник і отримуємо 15 , яке буде потрібним нам ділимим.

Ось короткий запис всього рішення:

x: 3 = 5, x = 3 · 5, x = 15.

Перевірка показує, що ми всі підрахували правильно, адже при розподілі 15 на 3 справді виходить 5 . Правильна числова рівність – свідчення правильного рішення.

Зазначене правило можна інтерпретувати як множення правої та лівої частини рівняння на однакове відмінне від 0 число. Це перетворення не впливає на коріння рівняння.

Переходимо до наступного правила.

Визначення 6

Для знаходження невідомого дільника потрібно розділити поділення на приватне.

Приклад 6

Візьмемо простий приклад – рівняння 21: x = 3 . Для його вирішення розділимо відоме ділене 21 на приватне 3 і отримаємо 7 . Це і буде шуканий дільник. Тепер оформляємо рішення правильно:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Впевнимося у вірності результату, підставивши сімку у вихідне рівняння. 21: 7 = 3 так що корінь рівняння був обчислений правильно.

Важливо, що це правило застосовується тільки для випадків, коли приватне не дорівнює нулю, адже в іншому випадку нам знову ж таки доведеться ділити на 0 . Якщо ж приватним буде нуль, можливі два варіанти. Якщо ділене також дорівнює нулю і рівняння виглядає як 0: x = 0, то змінної буде будь-яким, тобто дане рівняння має нескінченну кількість коренів. А ось рівняння з приватним, рівним 0, з ділимим, відмінним від 0, рішень не матиме, оскільки таких значень дільника не існує. Прикладом може бути рівняння 5: x = 0 яке не має жодного кореня.

Послідовне застосування правил

Найчастіше на практиці зустрічаються складніші завдання, в яких правила знаходження доданків, зменшуваних, віднімаються, множників, ділених і приватних потрібно застосовувати послідовно. Наведемо приклад.

Приклад 7

Ми маємо рівняння виду 3 · x + 1 = 7 . Обчислюємо невідоме доданок 3 · x, відібравши від 7 одиницю. Отримаємо в результаті 3 · x = 7 - 1, потім 3 · x = 6. Це рівняння вирішити дуже просто: ділимо 6 на 3 і отримуємо корінь вихідного рівняння.

Ось короткий запис рішення ще одного рівняння (2 · x − 7) : 3 − 5 = 2:

(2 · x - 7): 3 - 5 = 2, (2 · x - 7): 3 = 2 + 5, (2 · x - 7): 3 = 7, 2 · x - 7 = 7 · 3, 2 · x - 7 = 21, 2 · x = 21 + 7, 2 · x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

236м?(236+95)м?(В.-108)м

На головне питання завдання Скільки метрів тканини продав магазин за 3 дні?ми одразу відповісти не можемо, т.к. не знаємо скільки метрів тканини продав магазин у вівторок та у середу. Знаючи, що у понеділок магазин продав 236 м тканини, а у вівторок – на 95 м більше, ніж у понеділок, ми зможемо знайти, скільки метрів тканини продав магазин у вівторок дією додавання, нам підказують слова на __ більше. Дізнавшись, скільки метрів тканини продав магазин у вівторок, ми зможемо знайти, скільки метрів тканини продали у середу. В умові завдання сказано: у вівторок – на 95 м більше, ніж у понеділок і на 108 м більше, ніж у середу . Це непряма умова, що підказує слово і . Значить у середу на 108 м менше, ніж у вівторок. Знаходимо дією віднімання, нам підказують слова на __ менше. Дізнавшись, скільки тканин продав магазин у вівторок і в середу, ми зможемо відповісти на головне питання завдання Скільки метрів тканини продав магазин за 3 дні?дією додавання, щоб знайти ціле треба скласти частини (складаємо 3 частини). Завдання вирішується у три дії.

Основні правила математики.

Щоб знайти невідомий доданок, треба від значення суми відняти відомий доданок.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до значення різниці додати віднімання.

Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти значення різниці.

Щоб знайти невідомий множник, треба значення твору поділити на відомий множник

Щоб знайти невідоме ділене, треба значення помножити на дільник.

Щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на значення приватного.

Закони дії складання:

Переміщувальний: а + в = в + а (від перестановки місць доданків значення суми не змінюється)

Сполучний: (а + в) + с = а + (в + с) (Щоб до суми двох доданків додати третій доданок, можна до першого доданку додати суму другого н третього доданків).

Закон складання числа з 0: а + 0 = а (при складанні числа з нулем, отримуємо те саме число).

Закони множення:

Переміщувальний: а ∙ в = в ∙ а (від перестановки місць множників значення твору не змінюється)

Сполучний: (а ∙ в) ∙ с = ​​а ∙ (в ∙ с) – Щоб добуток двох множників помножити на третій множник, можна перший множник помножити на твір другого та третього множників.

Розподільний закон множення: а ∙ (в + с) = а ∙ с + у ∙ с (Щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожний із доданків та отримані твори скласти).

Закон множення на 0: а ∙ 0 = 0 (при множенні будь-якого числа на 0 виходить 0)

Закони поділу:

а: 1 = а (При розподілі числа на 1 виходить те саме число)

0: а = 0 (При розподілі 0 на число виходить 0)

На нуль ділити не можна!

Периметр прямокутника дорівнює подвоєній сумі довжин його довжини та ширини. Або: периметр прямокутника дорівнює сумі подвоєної ширини та подвоєної довжини: Р = (а + в) ∙ 2,

Р = а ∙ 2 + в ∙ 2

Периметр квадрата дорівнює довжині сторони, помноженої на 4 (Р = а ∙ 4)

1 м = 10 дм = 100 см 1 год = 60 хв 1т = 1000 кг = 10 ц 1м = 1000 мм

1 дм = 10 см = 100 мм 1 хв = 60 сек 1 ц = 100 кг 1 кг = 1000 г

1 см = 10 мм 1 добу = 24 год 1 км = 1000 м

За виконання різницевого порівняння з більшої кількості віднімають менше, і під час кратного порівняння – більше ділять на менше.

Рівність, що містить невідоме, називається рівнянням. Корінь рівняння – це число, при підстановці якого рівняння замість х виходить правильне числове рівність. Вирішити рівняння – отже, знайти його корінь.

Діаметр ділить коло навпіл – на 2 рівні частини. Діаметр дорівнює двом радіусам.

Якщо у виразі без дужок присутні дії першого (додавання, віднімання) і другого (множення, розподіл) ступеня, то спочатку виконуються по порядку дії другого ступеня, а вже потім дії другого ступеня.

12 годин дня – це опівдні. 12 годин ночі – це опівночі.

Римські цифри: 1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII , 13 - XIII, 14 - XIV, 15 - XV, 16 - XVI, 17 - XVII, 18 - XVIII, 19 - XIX, 20 - XX і т.д.

Алгоритм розв'язання рівняння: визначити, чим є невідоме, згадати правило, як знайти невідоме, застосувати правило, зробити перевірку.

Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.

Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.

Навігація на сторінці.

Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5 , отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.

Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?

Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Наприклад розглянемо рівняння x−2=5 . Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його відшукання ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2 , маємо 5+2=7 . Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.

Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7.

Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7−2=5 . Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.

Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому різницю 4 маємо 9-4=5 . Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.

Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4 ,
x = 9-4 ,
x=5.

Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, навіщо підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5 , у своїй отримуємо числове рівність 9−5=4 . Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.

І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.

Щоб знайти невідомий множник, треба…

Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6 . Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.

В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що c: a = b і c: b = c, і назад.

Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12 . Відповідно до правила нам треба розділити відомий твір 12 на відомий множник 3 . Проведемо : 12:3 = 4 . Таким чином, невідомий множник дорівнює 4 .

Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x · 3 = 12 ,
x = 12:3,
x=4.

Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.

І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.

Як знайти невідоме ділене, дільник?

В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x:5=9 . Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5 тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45 . Таким чином, шукане ділене дорівнює 45 .

Покажемо короткий запис рішення:
x: 5 = 9,
x = 9 · 5,
x=45.

Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається у правильну числову рівність 45:5 = 9 .

Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.

Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник із рівняння 18:x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене 18 розділити на відоме приватне 3 , маємо 18:3 = 6 . Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.

Рішення можна оформити і так:
18: x = 3,
x = 18:3,
x=6.

Перевіримо цей результат для надійності: 18:6 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.

Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0: x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5: x = 0 воно не має рішень.

Спільне використання правил

Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.

Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7 . Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6 . Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=6:3 звідки x=2 . Так знайдено корінь вихідного рівняння.

Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7): 3-5 = 2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2 · x-7): 3 = 2 +5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28 ,
x = 28:2,
x=14.

Список літератури.

• Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін]. - 8-е вид. – К.: Просвітництво, 2011. – 112 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.