Доведіть, що відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, паралельний до її основ і дорівнює напіврізності основ. Довести, що відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, паралельний її підставам і дорівнює їх напіврізноманітності.

4. Доведіть, що відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, паралельний її основам і дорівнює напіврізності основ.

5. Доведіть, що відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін довільного чотирикутника, точкою перетину діляться навпіл.

6. Нехай, і - медіани трикутника, а довільна точка. Доведіть, що .

7. Дано чотирикутник і точка . Що являє собою даний чотирикутник, якщо .

Зауважимо, що для того, щоб повторення відіграло певну позитивну роль, потрібно не епізодичне, а систематичне, цілеспрямоване його використання після вивчення різних тем, розділів та всього курсу загалом.

§3 Підготовка вчителя до уроків повторення

Шкільна практика показує, що проблема своєчасного попередження забування шляхом повторень є дуже важливим і водночас складним завданням, що вимагає від вчителя, насамперед значної професійної підготовки.

Часто повторення пройденого зводиться до стереотипного відтворення раніше вивченого, не розкриваються нові зв'язки цього матеріалу з досліджуваним, не узагальнюються, не встановлюються ті ідеї, які лежать в основі теми або розділу програми та в основі курсу в цілому.

Незважаючи на важливість раціональної системи повторення, все ще в практиці спостерігається багато недоліків, які є наслідком невміння правильно організувати повторення; в результаті цього повторення у цих вчителів протікає методично непродумано, а тому воно приносить мало користі.

Ці недоліки переважно такі:

1. До уроків повторення вчителі готуються рідко, помилково вважаючи, що уроки повторення не вимагають особливої ​​підготовки, унаслідок чого в цих вчителів уроки повторення недостатньо продумані і проводяться методично невміло і одноманітно.

2. Повторення організується лише наприкінці року. Це призводить до перевантаження учнів, осмислення та поглиблення матеріалу замінюється часто механічним, стереотипним відтворенням пройденого. Повторення набуває характеру «натягування».

3. Вчителі не вміють виділити головне, суттєве з навчального матеріалу для повторення.

4. Невміло розподіляється за часом матеріал для повторення та не встановлюється доцільне співвідношення між повторенням колишнього та вивченням нового матеріалу.

5. При відборі матеріалу для повторення не завжди враховуються:

а) ступінь значущості і ступінь зв'язку повторюваного матеріалу з вивчається;

б) ступінь проблеми засвоєння цього матеріалу для учнів;

в) необхідність розширення та поглиблення основних понять курсу математики, що сприяють узагальненню та систематизації знань.

6. Відсутня продумана система питань та вправ при повторенні.

7. Безсистемність та епізодичність повторення.

8. Недостатнє, а часто й неправильне використання наочності.

9. Невміле використання видів повторення, їх поєднання та чергування.

10. Повторення використовують для усунення численних прогалин і накопичення оцінок.

11. Недостатньо ясне уявлення вчителя: у чому зосередити увагу учнів, у порядку і коли доцільно та ефективно проводити повторення.

12. Повторення проводиться одноманітно, одними і тими самими методами та прийомами, в одній і тій же послідовності та в одних і тих самих формах.

13. Відсутній органічний зв'язок між поясненням та повторенням, різко розмежовуються вони за часом.

14. Повторення зводиться до запам'ятовування без достатнього розуміння та осмислення старого, що зазвичай закінчується поверхневим засвоєнням навчального матеріалу та непосильним навантаженням пам'яті учнів.

15. У деяких вчителів у повторенні акт контролю пригнічує момент навчання, у результаті повторення вони перетворюється на нескінченний і малокорисний діалог між учителем і учнем.

16. Повторення у частини вчителів зводиться здебільшого до «натягування» під час підготовки до іспитів; вправи цих уроках носять натаскивающий до іспитів характер, знання учнів не узагальнюються і систематизуються.

17. Іноді повторення цілком зводиться до різноманітних вправ, які повинні і що неспроможні замінити систематичне повторення.

Таке повторення мало сприяє вдосконаленню знань учнів та розвитку їхньої пізнавальної здатності. Воно обмежує можливість проводити такі роботи при повторенні, як поглиблення та систематизація колишніх знань, угруповання навчального матеріалу навколо основних ідей курсу тощо.

Коли урок проводиться шаблонним способом, незмінно за тим самим планом, в тих самих висловлюваннях, то, по суті, маємо механічний процес, дуже мало відмінний від заучування уроку по книзі, а роль вчителя зводиться до простого командування.

Новий підхід до вже відомого (але можливо частково вже забутого) матеріалу повідомляє повторення елемент новизни, робить його цікавим, запобігає нудьгу «повторних» уроків, підвищує увагу та інтерес учнів до повторення навчального матеріалу.

Тому прийоми і методи повторення, як і організаційні форми, у яких здійснюється це повторення, дуже важливі задля досягнення цілей повторення.

Для усунення зазначених недоліків в організації та методиці проведення повторення потрібно перед кожним уроком ретельно продумувати зміст та мету уроку не тільки з теоретичної, але і з методичної сторони. Зокрема, необхідно, щоб і повторення проводилося за стрункою, глибоко методично обґрунтованою системою. Таке повторення досягається, звичайно, не шляхом завдання, а за допомогою напруженої та тонкої класної роботи.

Необхідно завжди ретельно готуватися до уроків з повторення пройденого матеріалу, усвідомлюючи, що добре зціментовані при повторенні знання стануть міцнішими. Велику увагу слід приділяти методиці проведення таких уроків, використовуючи форми та методи навчання, що активізують розумову діяльність учнів, що підвищують інтерес до того, хто вивчається. Особливо важливим є все сказане для уроків, які проводяться наприкінці навчального року після проходження всього програмного курсу.

Планування повторення має бути індивідуальною творчою роботою вчителя. Необхідно ясно розуміти, чому саме цей матеріал чи ці вправи слід використовуватиме повторення. Вчитель повинен охопити найбільш суттєві питання теми та розташувати їх у логічній послідовності. Цим можна досягти трьох цілей: полегшити розуміння нового матеріалу, показати учням логіку предмета та провести певну систематизацію раніше вивченого матеріалу.

Нерідко виникають якісь обставини, які змушують вчителя в даному класі повторити глибше той чи інший матеріал, на відміну іншого класу, і це має відбито у плануванні.

При підготовці до уроків повторення, перш за все, визначаються принципово важливі елементи знань, умінь та навичок, якими повинен володіти учень з теми, що повторюється; виділення цих елементів визначає обсяг матеріалу, що повторюється. Потім, виходячи зі специфіки навчального матеріалу, з особливостей класу, в якому буде проходити урок, слід встановити, чи потрібно дотримуватися тієї послідовності повторення, яку пропонує підручник, або доцільно перекомпонувати матеріал, визначивши нову форму поєднання їх зв'язків.

На уроки повторення виноситься матеріал, який знайомить учнів із провідними ідеями курсу, має важливе світоглядне значення, і навіть матеріал, який згодом із предмета вивчення переростає засіб вивчення іншого матеріалу. Об'єктом узагальнення може бути поняття, методи доказу теорем, методи вирішення завдань тощо. п. Зміст уроків може будуватися або теоретичному матеріалі, або системі вправ, або їх поєднанні.

Методами проведення уроків узагальнюючих повторень є повторювально-узагальнююча розмова, оглядова лекція, робота з підручником та іншою літературою тощо. буд. Часто вчитель, не підключивши учнів до самого процесу узагальнення, знову, як і щодо нового матеріалу, повідомляє їм вже готові результати. Таке узагальнення малоефективне, оскільки у процесі самостійної діяльності учнів знання досягнуто високого рівня узагальненості, системності.

Самостійна робота, спрямовану формування в учнів уміння проводити обгрунтування, - найважливіший етап уроку повторення. До цього етапу вчитель підбирає кілька завдань (однокрокові, двокрокові рідше трикрокові) по темі, що повторюється. Від традиційних самостійних робіт описувана відрізняється тим, що з учнів не потрібно оформляти рішення у звичному значенні (що б зайняло колосальне час під час уроці). Потрібно лише зафіксувати теоретично базис рішення, те дати перелік тих теоретичних положень вивченої теми, які входять в обґрунтування розв'язання задачі.

Після закінчення самостійної роботи доцільно організувати її перевірку цьому ж уроці (повністю чи частково).

Наприклад, при повторенні ознак паралельності прямих можна провести самостійну роботу:

1. Чи паралельні прямі d і е, зображені малюнку, якщо , ?

2. У трикутнику , . Через вершину проведена пряма так, що промінь - бісектриса кута. Доведіть, що .

На уроці необхідно перевірити друге завдання.

Пропонуючи на уроках узагальнюючого повторення те чи інше завдання для самостійного розгляду, вчителю слід визначити ступінь самостійності учнів, тривалість роботи, форми та методи її проведення, характер керівництва та перевірки. Перелічені компоненти визначаються матеріалом та підготовленістю учнів до самостійної роботи.

Під час підготовки до уроків повторення серед інших питань нас хвилює, що найгірше засвоїв учень, де програми знання втратили свою міцність.

Одержанню інформації про якість та міцність знань програмного матеріалу перед повторювальними уроками передує перевірка виконання тієї частини домашнього завдання, яка містить питання, включені до повторення

Під час підготовки до уроків заключного повторення наприкінці року вчитель радиться з учнями, які теми необхідно повторити перед підсумковою контрольною роботою. Щоб зорієнтувати учнів, їм пропонується список тем та типи завдань, які вирішувалися протягом року, розмістити це можна в таблицях, де ліворуч вказується вивчена тема, а праворуч – типи відповідних вправ

Методика організації узагальнюючого повторення змінюється від класу до класу. Так, якщо в середніх класах вчитель сам у формі розмови чи розповіді звертає увагу учнів на необхідність всебічного вивчення кожного поняття, явища, на взаємозв'язок понять, що вивчаються, то у старших класах доцільно так організувати роботу, щоб учні самостійно дійшли до відкриття нових зв'язків між засвоєними поняттями до узагальнення отриманих знань.

§4 Методи, форми та засоби повторення

Форми повторення можуть бути різноманітними. Серед них самостійна робота з підручником на уроці та бесіда з класом, лекція вчителя та повідомлення учнів, усні вправи та додаткові питання до вирішення завдань тощо. буд. Необхідно, щоб форми такої роботи відповідали характеру та ступеню складності матеріалу. Порція матеріалу, призначеного для самостійного повторення будинку, повинна бути такою, щоб не стояло питання про навантаження, а пропонований матеріал повинен бути доступний усім; основну роботу треба проводити на уроці.

Велику роль ефективності повторення грає наочність. Кожен урок геометрії необхідно оснащувати моделями, таблицями, деякі корисно використовувати комп'ютер, кодоскопи, кодопозитиви, діафільми чи кінофільми. Наприклад, повторити ознаки рівності трикутників можна за допомогою усного вирішення наступних завдань. Для наочності та економії часу у цьому випадку необхідно використовувати кодопозитив.

Розв'язати задачі усно (з використанням кодопозитивів).

1. Чому дорівнює відрізок?

2.

Дано: .

3. Дано:

Знайти: .

4. Знайти: .

Довідкові таблиці бажано вивішувати більш тривалі терміни, щоб заучування їх матеріалів проходило поступово.

Корисними до роботи з учнями є таблиці з умовами завдань, даними як малюнків; вони складаються за якоюсь темою і містять найбільш характерні елементи завдань, що часто зустрічаються. До цих таблиць зручно періодично повертатися, проводити за ними усні вправи та ставити додаткові питання. Зокрема, деякі таблиці доцільно використовуватиме повторення матеріалу у класі і самопідготовки учнів перед відповідними контрольними роботами. За цими малюнками учні можуть вигадувати тексти завдань, що також корисно для повторення матеріалу.

При повторенні найголовніше треба уникати перетворення якогось методу на рутину, а підвищення інтересу і активності учнів при повторенні необхідно застосовувати різні прийоми і методи роботи, урізноманітнити повторюваний матеріал внесенням елементів новизни. Тільки таким шляхом можна усунути ту суперечність, яка виникає, з одного боку, у зв'язку з відсутністю бажання у частини учнів повторювати те, що ними засвоєно одного разу, а з іншого - у зв'язку з необхідністю повторювати з метою поглиблення, узагальнення та систематизації раніше вивченого матеріалу .

У шкільній практиці застосовуються різні методи повторення. Розглянемо основні їх.

Розмова перед поясненням нового матеріалу

Про повторення вчитель дбає вже з перших хвилин викладу нового матеріалу, перед його викладом. У вступній розмові вчитель змушує учнів відтворити у пам'яті те з раніше пройденого, потім потрібно буде спиратися, щоб ясно зрозуміти новий матеріал. Так, наприклад, перш ніж приступити до доказу першої ознаки подібності трикутників (якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні), вчитель, ведучи розмову з учнями, відтворює в їх пам'яті визначення подібних трикутників, теорему про сум трикутника та про відношення площ двох подібних трикутників.

Шляхом розмови, що передує пояснення нового матеріалу, вчитель підводить учнів до теми, що вивчається так, що у учнів виникне потреба в її розкритті, порушиться інтерес до отримання подальших знань.

Повторення безпосередньо після пояснення нового матеріалу

Після пояснення нового матеріалу вчитель відразу ж організовує фронтальне повторення (можна і з викликом окремих учнів), що здійснюється в певній послідовності, основного змісту викладеного, пропонуючи учням ряд питань і вправ по темі уроку. Характер питань і вправ має бути таким, щоб за їх допомогою можна було судити про ступінь повноти та свідомість засвоєння викладеного вчителем. Наприклад, після розгляду ознак паралелограма вчитель може запропонувати школярам усно вирішити такі завдання:

1. Дано: ABCD – чотирикутник.

а) AB = CD, BC = AD;

Довести: ABCD – паралелограм.

2. Точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD Віддалена від вершин A та C на відстань 7см, а від вершин B та D – на 4см. Визначте вигляд чотирикутника ABCD та його діагоналі.

3. У чотирикутнику ABCD BO – медіана, СО – медіана. Визначити вигляд ABCD.

При вирішенні даних завдань необхідно, щоб учні докладно пояснювали свою відповідь, посилаючись на ознаки паралелограма учні повинні повністю її сформулювати.

Якщо виявлено, що учні недостатньо розуміють матеріал, слід дати повторне виклад, вдаючись у разі до нових прикладів і варіантів доказів, більш доступним формам викладу, і знову вирішувати приклади розкриття змісту викладеної цьому уроці теорії.

Повторення шляхом різноманітних вправ та самостійних робіт

Цілком ясно, що не можна домогтися ясного розуміння і міцного запам'ятовування математичної теорії без вправ, що проводяться, і самостійних робіт.

Аналіз діяльності учнів у процесі виконання вправ показує, що вправи не просте тренування, не повторення тих самих дій, а творча діяльність. Робота учнів у виконанні вправ полягає у застосуванні старих чи нових знань. Будь-яке знання, виражене у формі правила, закону чи визначення, є певною мірою узагальненням, відволіканням від конкретних властивостей та ознак об'єктів, явищ певної категорії. Воно вказує лише загальне, що у рівною міроювідноситься до всіх об'єктів даної категорії. Застосування правила чи закону у вправі вимагає від учня відтворення їх у свідомості та використання у конкретних умовах, тому учень повинен усвідомити своєрідність кожної нової вправи, встановити загальну з раніше розглянутою. Виконання вправ потребує творчого застосування учнем своїх колишніх та нових знань.

Для навчання надзвичайно важливо, якою мірою учні можуть користуватися раніше набутими навичками при вирішенні видозмінених прикладів і завдань, запропонованих при повторенні, як підібрати та провести вправи при повторенні, щоб виробити у них такі навички, які вони змогли б застосовувати.

Як пише Н. А. Менчинська, перенесення навичок досягається лише у тому випадку, якщо учні усвідомлюють загальні правила, загальні способи дій. Якщо учні ті чи інші навички набувають у результаті тренування в окремих, один від одного ізольованих вправах, то перенесення в цьому випадку стає неможливим.

Ось цими обставинами можна пояснити характер та особливості систем вправи при повторенні тієї чи іншої теми чи розділу курсу.

Але функції вправ при повторенні не вичерпуються. Під час виконання вправ потрібно щось більше, ніж просте запам'ятовування даних. Ці дані мають бути «схоплені» як єдине ціле з розумінням взаємної залежності кожної частини від решти.

Таким чином, при виконанні вправ відбувається більш глибоке осмислення теорії та вдосконалюється навичка у її додатку до різних об'єктів.

У процесі повторення необхідно підбирати завдання, які входять у стабільний підручник, з допомогою яких ілюструються властивості аналізованих постатей і співвідношення з-поміж них. Коли ж курс планиметрії закінчено і виділяється кілька уроків на повторення, доцільно підібрати серію завдань не тільки повно зачіпають теорію, але й учнів, що виводять на новий, більш якісний виток. У цьому розвитку інтересу до геометрії сприяє зв'язок між запропонованими завданнями на тему чи методу решения. Активність дітей ще більше посилиться, якщо запропонувати їм знаходити у цих завданнях зв'язок між фігурами чи його елементами. При цьому не тільки відбувається систематизація знань, а й виникає бажання імпровізувати, складати нові завдання, самостійно знаходити узагальнення та зв'язки фігур.

Все це говорить про те, що повторення не можна вести у відриві від вправ, бо при вивченні наук, як слушно стверджував Ісаак Ньютон, приклади не менш повчальні, ніж правила.

Наприклад, на уроці повторення на тему «Чотирикутники» можна використовувати таку систему завдань:

I. Розв'язання комплексного завдання. Перш ніж пред'являти учням завдання, яке потребує досить складного креслення, вчитель дає класу ряд простих завдань на побудову, з яких поступово складається креслення: побудуйте паралелограм ABCD; побудуйте його діагоналі, позначте точку їх перетину через; побудуйте пряму, що проходить через точку О і перетинає сторону AD у точці Р, а сторону ВС - у точці N; побудуйте пряму, що проходить через точку О і перетинає сторону АВ у точці М, а сторону CD - у точці Q. Наприкінці цих побудов учні одержують креслення, як на рис. 3. За цим кресленням пропонується таке завдання:

Даний паралелограм ABCD. Через точку перетину його діагоналей проведено дві прямі сторони, що перетинають АВ і CD, ВС і AD відповідно в точках М і Q, N і Р. Доведіть, що чотирикутник MNQP - паралелограм.

ІІ. Вирішення нестандартних завдань практичного характеру:

1) Як на місцевості виміряти відстань між точками A та В, використовуючи властивість сторін паралелограма (рис. 4)?

2) Чи достатньо для перевірки того, що даний чотирикутний шматок матерії має форму ромба, перевірити збіг країв при згинанні його по кожній діагоналі?

3) Користуючись лише лінійкою з паралельними краями, проведіть перпендикуляр до відрізка через його середину (довжина відрізка більша за ширину лінійки).

4) Поясніть пристрій для креслення паралельних прямих (рис. 5).

Зазвичай такі завдання викликають у учнів інтерес до геометрії, розвивають спостережливість, кмітливість.

Недооцінка ролі вправ при повторенні, як і її переоцінка, незмінно призводить до формалізму у знаннях теорії, до зниження освітнього рівня учнів.

У школі жодне поняття чи вчення не можна довести до повного розуміння без системи добре підібраних вправ.

Звідси годі було, що це повторення треба замінити лише вправами. Вправи, будучи складовою повторення, проте, що неспроможні замінити саме повторення.

Для закріплення засвоєних учнями теоретичних знань слід переважно використовувати рішення різноманітних завдань.

Кожне завдання є виключно важливим за своїм значенням і різнобічним охопленням засіб повторення теорії, закріплення основних положень цієї теорії та вдосконалення навчальних навичок. Особливо це позначається, коли основні етапи розв'язання задачі та вироблені в них перетворення обґрунтовуються. У завданнях і вправах учень зустрічає питання теорії у нових зв'язках, у нових поєднаннях, у дещо перебудованому вигляді, і учневі доводиться користуватися цією теорією стосовно умов розв'язуваного завдання. Зусилля учня у цьому напрямі сприяють усуненню формалізму у його знаннях.

Використання завдань, систематизованих певним чином – це один із шляхів підвищення ефективності процесу повторення. Так як здебільшого геометричні завдання менш алгоритмічні, ніж алгебраїчні, то особливого значення набуває навчання учнів загальним прийомам розв'язання задач. Тому повторенню підлягають як визначення і теореми, а й загальні прийоми розв'язання завдань, логічні конструкції, геометричні зміни.

Великий дидактичної метою мають завдання, у яких потрібно визначити властивості і відносини що реалізуються певної конфігурації. На успішно обраної конфігурації можна повторити багато питань курсу геометрії. Але головне, що на таких прикладах учні навчаються планомірного, комплексного аналізу креслення, у них формується та розвивається геометричне бачення, відточується інтуїція.

Наприклад: «У трикутнику АВС проїдено висоти , , . Точки , , , послідовно з'єднані (рис. 6). Знайдіть властивості та відносини які виконуються на цій конфігурації».

Ця конфігурація дає багатий матеріал для повторення питань "Кути в трикутнику", "Подоба", "Площі подібних фігур". Додавши описане коло, отримуємо вписані кути і т.д.

Працюючи з конфігурацією, учні можуть відкрити «свої» теореми, наприклад: «Висоти трикутника містять бісектриси трикутника».

Працюючи з такими завданнями можна використовувати таку методику. Учням додому пропонується завдання – визначити властивості і відносини, реалізовані цієї зміни, та був, використовуючи знайдені властивості, скласти свої завдання. Ці завдання можуть бути обговорені на черговому уроці з усім класом, або запропоновані для самостійного рішення в класі. Відбувається свого роду математичне змагання – хто найбільше вигадав «своїх» завдань і більше вирішить «чужих».

Уроки-вправи, особливо у повторенні, - важкі уроки. Тут вчитель має врахувати чинник часу разом із тим повторити основний зміст теми. Це вимагає, щоб на повторення виносилася продумана система вправ, яка б забезпечувала глибоке і всебічне осмислення навчального матеріалу.

Дуже корисно також, особливо наприкінці року, коли повторюється весь матеріал, рекомендувати учням знайти рішення тих самих завдань у різний спосіб. Іноді можна досягти різними варіаціями креслення до завдання. Спочатку вчитель сам пропонує завдання і до неї креслення у різних варіаціях, а потім вимагає оформити рішення задачі, виходячи із запропонованого креслення.

Наприклад, завдання. "Визначити площу трапеції, у якої основи дорівнюють 60 см і 20 см, а бічні сторони - 13 см і 37 см".

Розв'язати задачу, становлячи рівняння, виходячи з креслень (рис. 7).

Але така робота позитивна і в іншому відношенні Учні на подібних прикладах бачать, що на практиці потрібен безпосередній вимір на місцевості, вибір даних дуже часто диктується умовами місцевості, а тому доводиться готувати дані за цими умовами.

На досвіді такого розмаїття розв'язання завдань ми поставили перед учнями питання порівняльної оцінки кожного способу рішення, ступеня його відповідності критерію економії сил, витонченості і простоти, запропонували дати оцінку якості решения .

Також під час повторення необхідно використовувати самостійні роботи.

Розглянуті приклади показують, як змістовна вправа змушує учня звертатися до раніше засвоєних знань, їх оновлення в пам'яті та застосування на практиці.

Повторення під час опитування

Цілям повторення пройденого матеріалу має бути і облік знань учнів. Перевірка знань у процесі тренування із закріплення навчального матеріалу дуже ефективно може бути використана для постійного та систематичного повторення. Необхідно лише старанно підібрати питання та вправи (приклади і завдання), щоб один і той самий приклад на уроці служив як закріплення нового, так і повторення старого.

У практиці викладання математики часто проводиться фронтальна перевірка знань, що дає вчителю можливість опитати багатьох учнів із місця. Фронтальна перевірка знань використовується досвідченим учителем і для повторення матеріалу, що підводить вивчення нової теми.

Фронтальна перевірка зазвичай використовується після перерви у навчальних заняттях з метою перевірки міцності засвоєння матеріалу, вивченого перед перервою.

Фронтальну перевірку доцільно проводити і при повторенні матеріалу на закінчену тему або наприкінці чверті, півріччя або навчального року. Фронтальна перевірка є засобом закріплення цього повторення і водночас формою контролю.

Але повторення можна проводити і за інших видів опитування; річ лише у тому, як зможе вчитель використовувати форми опитування цієї мети.

Опитування одна із активних коштів на повторення навчального матеріалу разом із тим засобом на учнів для систематичного повторення.

Слухаючи відповідь товариша та зауваження вчителя або уточнення та доповнення інших, учні поповнюють та поглиблюють свої знання на тему, повторюють та закріплюють матеріал.

Кожен зі свого особистого досвіду може сказати, що ніщо так ясно і міцно не засвоюється, як той матеріал, яким учень відповідав чи пояснював іншим.

За допомогою опитування вчитель вирішує різні завдання.

Через опитування вчитель краще реалізує завдання повторення. Це, певне, можна пояснити тим, що з такому опитуванні між класом і вчителем встановлюються невимушені, спокійніші взаємини, зникає страх невірної відповіді, а відсутність такого страху створює вигідну психологічну обстановку і учні працюють інтенсивно.

Звичайно, опитування є одним із методів закріплення матеріалу, але повторення проводити тільки при опитуванні або, навпаки, опитування звести лише до повторення було б грубою помилкою.

Тобто. при виконанні завдань необхідно вимагати від учня, щоб він обґрунтував свої дії, посилаючись на теорію, то тут маємо вже повторення теорії, що знайшла застосування при вирішенні даного завдання.

Тільки за допомогою такого опитування можна встановити ступінь свідомості та міцності засвоєної раніше теорії та вміння її прикласти до вирішення завдань.

Фронтальна перевірка є зручною формою усної перевірки міцності знань під час уроків математики. Тут перевірка називається фронтальною не тому, що вчитель перевіряє знання всіх учнів класу, а тому, що всі основні питання за такої перевірки задаються всьому класу, і у відповідях на поставлені питання приймає велике числоучнів.

Тривалість фронтальної перевірки може бути різною, залежно від обставин.

Перевага фронтальної перевірки полягає в тому, що вона дозволяє при незначній витрачанні часу перевірити знання багатьох учнів, що дає змогу повніше і точніше встановити якість засвоєння вивченого раніше матеріалу.

Вказана форма перевірки добре поєднується з функціями повторення, особливо узагальнюючого повторення на окремі закінчені теми або розділи програми.

Крім цього, фронтальна перевірка є найкращим засобом для перевірки умінь усної відповіді, вчить учнів точно і коротко висловлювати свої думки, бути уважними, що особливо важливо, активізує та пожвавлює роботу учнів.

На уроках математики фронтальна перевірка приносить велику користь перед викладом нового матеріалу, коли зміст того, що перевіряється є тією основою, спираючись на яку, вчитель викладає новий матеріал. Наприклад, перед поясненням матеріалу про пропорційні лінії у колі можна фронтально повторити такі питання:

1) Що називається хордою?

2) Що називається діаметром, і які властивості він має?

3) Які трикутники називаються подібними?

4) Сформулюйте всі три ознаки подібності до трикутників.

5) Який кут називається вписаним і чим він вимірюється?

6) Що можна сказати про вписані кути, що спираються на ту саму дугу?

7) Які два кути називаються вертикальними?

8) Яку властивість мають вертикальні кути?

Повторивши весь матеріал, учні легко сприймають і ясно розуміють матеріал, що викладається в даному розділі.

Опитування з повторення перестав бути якимось відокремленим опитуванням, проте, має деякі особливості, які не можна не враховувати. Цими особливостями і те, що у разі залучається більше матеріалу, часом взятого з різних розділів програми, і учневі доводиться порівнювати, зіставляти цей матеріал, вказувати подібність і відмінність, осмислювати в інший логічного зв'язку нове і раніше пройдене, робити узагальнення.

Повторення за допомогою домашніх завдань

Навчальна робота учня не обмежується лише класною роботою; вона продовжується і вдома, причому домашні завдання займають велике місце при закріпленні теорії та виробленні відповідних навичок. У цьому, здавалося б, такому ясному питанні щодо використання вчителем домашніх завдань існує дві крайності.

1) На уроці недостатньо ведеться робота із закріплення знову вивченого матеріалу, і цей матеріал залишається додому для самостійного закріплення.

2) Вся закріпна робота проводиться на уроці, і нічого не залишається на будинок для самостійної роботи учня.

Обидві ці крайнощі однаково неприйнятні для школи. Тут необхідно педагогічно доцільне поєднання те й інше виду роботи, як невід'ємних частин всієї навчальної діяльності учня.

При відборі матеріалу для домашнього завдання вчитель враховує необхідність увімкнення того матеріалу, який необхідний для глибокого та свідомого засвоєння нового матеріалу. До домашнього завдання включається також матеріал з метою попередження забування. Як правило, до домашніх завдань має бути включено: теоретичний матеріал, різноманітні вправи, складання схем і таблиць, виготовлення наочних посібників, креслення графіків тощо.

Домашні завдання мають бути різноманітні за змістом матеріалу та методами виконання цього завдання.

Дуже корисними є творче домашнє завдання: повторюючи вдома тему «Чотирикутники», «відкрити» якнайбільше ознак ромба (I варіант), ознак прямокутника (II варіант), ознак квадрата (III варіант). Сформульовані теореми супроводжувати доказами.

Залежно від цілей проведення домашніх завдань, їх можна поділити на такі види:

1) Домашні завдання з метою закріплення теоретичного матеріалу, поясненого у класі, та вправи до них для закріплення навички.

2) Домашні завдання з метою повторення (отже, поглиблення та доповнення).

3) Домашні завдання з метою усунення прогалин, виявлених в окремих учнів або всього класу.

4) Домашні завдання, які мають на меті узагальнення матеріалу певної теми або розділу з подальшою його систематизацією.

5) Домашні завдання, пов'язані з тим чи іншим видом повторення, зокрема з тематичним та заключним повторенням наприкінці чверті, наприкінці року для повторення матеріалу загалом.

Залежно від характеру матеріалу та способів виконання домашнього завдання, контроль за виконанням домашнього завдання можна провести в класі усно, письмово або переглядом зошитів будинку.

Щодо методики складання та проведення домашніх завдань, пов'язаних з ліквідацією виявлених недоліків у знаннях, або поглиблення знань учнів з певного кола питань. Для цього можна використовувати систему індивідуальних завдань у вигляді серії спеціальних карток на різні розділи курсу. Ці картки повинні охоплювати повністю всі питання будь-якої теми чи розділу програми, їх складають у кількох серіях, у своїй матеріал наступної серії був логічним продовженням попередньої.

Така форма роботи з учнями має ті переваги, що, по-перше, у цих картках, спеціально складених на окремі розділи теми, вчитель швидко знаходить необхідний матеріал, який потрібно запропонувати учневі, і, по-друге, ці картки з великим успіхом можуть бути використані у класі під час опитування, при короткочасних контрольних роботах тощо.

Щоб при такому повторенні поглиблювалися як навички, а й теоретичні знання, до них зазначалися відповідні параграфи з підручника; у класі колективно розглядалися найважливіші з питань і вправ, робилися відповідні узагальнення, поглиблення, підбивалися підсумки повтореного.

Місце контрольних робіт у системі повторення

Контрольні роботи з математики є складовою навчального плану; вони є однією з форм самостійної роботи учня.

Контрольні роботи сприяють включенню учнів до поточної, повсякденної самостійної роботи з поглиблення своїх знань та навичок; вони мобілізують та організують учнів на систематичне поглиблене вивчення матеріалу.

Контрольні роботи повинні бути засобом і способом, спонукаючи учнів до систематичного повторення навчального матеріалу.

Для школи та вчителів контрольна робота є засобом контролю самостійної навчальної роботи учнів, що дозволяє перевірити засвоєння учнями матеріалу курсу.

Тематика та зміст контрольних робіт при повторенні залежить від цілей та намірів вчителя; однак вони завжди повинні вибиратися в межах частини курсу, яка була повторена до моменту контрольної роботи.

Зміст контрольних робіт має бути таким, щоб воно виключало можливість надання готової відповіді з підручників учнем на поставлені питання. Перед виконанням контрольної роботи учень повинен не лише зібрати матеріал із підручників, а й провести серйозну обробку повтореного матеріалу: порівняння та зіставлення явищ та фактів, їх аналіз, узагальнення та поглиблення матеріалу всієї теми тощо.

Якщо контрольна робота проводиться за черговою темою програми, то цьому випадку до неї повинен входити і раніше пройдений і вже на цей момент повторений навчальний матеріал. Таке включення до тексту контрольних робіт питань із раніше пройденого матеріалу, якщо вони увійшли до системи, змушує учнів повторити матеріал, пройдений раніше, дещо ширше.

Що стосується співвідношення поточного та раніше пройденого матеріалу в контрольній роботі, то доцільно, щоб 30 - 40% було зі старого, повторювального матеріалу. Тривалість контрольної роботи може бути різною – від 20 хв. до 2:00. Але, як правило, у шкільній практиці ми зустрічаємо контрольні роботи, розраховані на одну годину. Така тривалість цілком нормальна; вона викликає підвищену активність і привчає учнів раціонально використати час.

Число варіантів контрольних робіт має забезпечити самостійність її виконання учнями. Досвід показує, що кількість варіантів не повинна бути меншою за чотири.

Контрольна робота може мати як теоретичний, і практичний характер; вона може містити питання з теорії, і вправи.

У всіх випадках контрольна робота має показати:

а) як учень засвоїв матеріал курсу, і якою мірою опанував практичні навички;

б) наскільки учень оволодів методом самостійної роботи з темою;

в) ступінь свідомості виконання контрольної роботи, якою мірою учень вміє робити узагальнення на тему і грамотно викладати їх у письмовій формах;

г) глибину та повноту відповіді на поставлені питання, дослідницькі навички, оволодіння математичною термінологією, зовнішнє оформлення робіт.

Методично правильно організовані контрольні роботи привчають учня систематично та ретельно виконувати завдання з поточного повторення, і тим самим контроль стає ефективнішим.

Таким чином, контрольні роботи, що включають раніше пройдений матеріал, сприяють організації систематичного повторення раніше пройденого навчального матеріалу.

Не менше важливе значеннямає перевірку контрольних робіт. Від правильної постановки та своєчасної перевірки контрольних робіт значною мірою залежить якість та успішність самостійного повторення навчального матеріалу учнями.

Перевіряючи роботу учня, викладач повинен відзначити кожну помилку та недолік із зазначенням при розборі, у чому полягає сутність помилки.

Ретельно перевіривши роботу, зробивши відповідні виправлення та зауваження у тексті, викладач повинен вибрати всі необхідні дані для аналізу контрольної роботи у класі.

Аналіз результатів роботи є важливим етапом у системі контрольних робіт. Він дає можливість учням бачити свої успіхи, а також недоліки, які ще потрібно усунути.

При аналізі результатів контрольних робіт необхідно відзначити найбільш вдалі роботи; Проте докладніше слід зупинитися тих характерних недоліках, які знайшли місце у контрольних роботах. Тут треба дати аналіз та класифікацію помилок, зазначених у тексті контрольних робіт. При цьому насамперед відзначаються недоліки, що стосуються теоретичної сторони питання, і робляться відповідні вказівки, або повторюються в класі ті розділи, на які найбільше доводиться помилок. У цій частині зазначаються також ті питання, які недостатньо засвоєні та неповно викладені у контрольній роботі.

Якщо виявлені в тексті помилки та недоліки настільки серйозні, що можуть перешкодити подальшому вивченню курсу, необхідно провести таку роботу ще раз після ретельного повторення навчального матеріалу, охопленого контрольною роботою.

Таким чином, вся обстановка перед контрольною роботою має бути такою, щоб учень волею неволею змушений був повторювати.

Докладний аналіз результатів контрольної роботи, аналіз помилок із зазначенням і роз'ясненням причин цих помилок сприяли повторенню старого матеріалу, вторинному його осмисленню та зміцненню.

Це дослідження проводилося з метою вивчити можливості організації повторення в курсі геометрії 7-9 класів.

Основні завдання, які ставилися перед початком дослідження, було виконано у процесі написання роботи.

Аналіз навчально-методичної та психологічної літератури показав, що система уроків із повторення забезпечує викладання математики на належному рівні, а знання учнів стають досить повними та міцними.

Визначено основні вимоги щодо організації повторення.

У роботі розглянуто два підходи до класифікації видів повторення: залежно від часу повторення та від змісту матеріалу, що повторюється. Кожен вид повторення коротко охарактеризовано, виділено основні цілі та завдання даного повторення.

Виявлено основні форми та методи повторення, які сприяють підвищенню інтересу та активності учнів під час повторення.

Перелічені вимоги до підготовки уроків повторення дозволяють усунути недоліки в організації та методиці проведення повторення.

Гіпотеза, висунута на початку роботи, підтвердилася в ході проведення дослідження.

1. Методика викладання математики у неповній середній школі: Загальна методика. - М.: Просвітництво, 1985.

2. Брадіс В. М. Методика викладання математики у середній школі. - М.: Учпедгіз, 1954.

3. Осип А. А. Деякі питання повторення математики у середній школі. - М.: Учпедгіз, 1960.

4. Вивчення геометрії у 7-9 класах. - М.: Просвітництво, 2000.

6. Коротков В. І. Підготовка до проведення уроків повторення. // Математика у шкільництві. - 1980. - №6.

7. Суворова М. В. Повторно-узагальнюючі уроки в курсі математики. // Математика у шкільництві. - 1999. - №2.

8. Григор'єва Т. П., Перевощикова Є. Н. До уроків тематичного повторення у VII класі. // Математика у шкільництві. - 1986. - №2.

9. Барчунова Ф. М., Ройтман П. Б. Організація повторення курсу геометрії у X класі. // Математика у шкільництві. - 1985. - №1.

10. Міщенко Т. М. Заключне повторення курсу планіметрії. // Математика у шкільництві. - 2001. - №3.

11. Міщенко Т. М. Узагальнююче повторення планіметрії. // Математика у шкільництві. - 2001. - №2.

12. Березіна Л. Ю., Микільська І. Л. Методичні рекомендації до заключного повторення курсу геометрії VI – VIII класів з навчального посібника А. В. Погорєлова. // Математика у шкільництві. - 1985. - №1.

13. Підкасистий П. І., Портнов М. Л. Мистецтво викладання. - М.: Російське педагогічне агентство, 1998.

14. Груденов Я. І. Психолого-педагогічні засади методики навчання математики. - М.: Просвітництво, 1987.

15. Шевченко С. Д. Шкільний урок: як навчити кожного. - М.: Просвітництво, 1991.

16. Збагачувальне повторення. // Математика. - 2002. - №11.

17. Харитонов Б. Ф. Методика повторення прийомів та методів вирішення геометричних завдань. // Математика у шкільництві. - 1990. - №4.

18. Кушнір І. А. Виховання творчої активності учнів під час уроків повторення геометрії. // Математика у шкільництві. - 1991. - №1.

19. Куликова М. А., Радкевич Л. А. Організація повторення та узагальнюючі уроки з геометрії у VIII класі. // Математика у шкільництві. - 1980. - №6.

20. Зайченко Н. В. Три етапи узагальнюючого повторення курсу алгебри VIII класу. // Математика у шкільництві. - 1985. - №1.

21. Гришина Т. С. Одна з форм повторення. // Математика у шкільництві. - 2001. - №4.

22. Геометрія: Навч. для 7-9 кл. / Л. С. Атанасяні ін - М.: Просвітництво, 1995.

23. Чулкова Є. Ознаки рівності трикутників. Вирішення задач. // Математика. - 1990. - №3.

24. Алієва Н. Паралелограм. Визначення та ознака. // Математика. - 2001. - №33.

Досвідчене викладання проводилося під час педагогічної практики на V курсі. У 10 класі було розроблено та проведено факультативне заняття у формі узагальнюючого повторення теми «Трикутники». Для повторення було обрано цю тему, оскільки трикутник одна із основних фігур планіметрії.

Пропонуємо розробку цього заняття.

Узагальнююче заняття на тему «Трикутники».

Цілі заняття:

План заняття:

1. Організаційний момент.

2. Повторення теоретичного матеріалу.

3. Розв'язання задач.

4. Підбиття підсумків заняття.

5. Завдання додому.

Обладнання:

Хід заняття:

1. Поясніть, яка фігура називається трикутником. Назвіть основні елементи трикутника.

2. Назвіть основні типи трикутників.

3. Дайте визначення рівних фігур.

4.
Чи рівні трикутники (рис. 1). Відповідь поясніть.

5. Сформулюйте ознаки рівності для:

а) рівносторонніх трикутників (1 варіант);

б) рівнобедрених трикутників (2 варіант);

в) прямокутних трикутників (3 варіант).

6. Дайте визначення медіани, бісектриси та висоти трикутника.

7. Сформулюйте властивість медіани (бісектриси, висоти) рівнобедреного трикутника, проведеної до основи.

8. Розв'яжіть завдання:

а) Доведіть, що якщо у трикутнику висота ділить основу навпіл, то трикутник рівнобедрений.

б) Доведіть, що якщо у трикутнику медіана перпендикулярна стороні, до якої вона проведена, то трикутник рівнобедрений.

в) Доведіть, що у рівносторонньому трикутнику всі медіани, висоти та бісектриси рівні.

9. Чому дорівнює сума кутів трикутника?

10. Сформулюйте визначення та властивість зовнішнього кута трикутника.

11. Розв'яжіть завдання:

а) Доведіть, що бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів при одній вершині трикутника перпендикулярні.

б) Доведіть, що пряма, проведена через вершину рівнобедреного трикутника паралельно до основи, є бісектрисою зовнішнього кута при цій вершині.

в) Один кут рівнобедреного трикутника дорівнює різниці інших. Знайдіть кути трикутника.

г) Доведіть, що кут між прямими, що містять бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника, є постійною величиною.

д) Доведіть, що якщо два зовнішні кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений.

12. Дайте визначення таких трикутників. Сформулюйте теорему щодо відношення площ двох подібних трикутників.

13. Сформулюйте ознаки подібності до трикутників.

а) Доведіть, що пряма паралельна будь-якій стороні трикутника відсікає від нього подібний трикутник.

б) Доведіть, що у прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу, ділить його на два трикутники, подібні до вихідного і один до одного.

в) Доведіть, що відрізок, що з'єднує основи двох висот гострокутного трикутника, відсікає трикутник, подібний до цього.

г) Сформулюйте ознаки подібності до трикутників: прямокутних, рівнобедрених, рівносторонніх.

Вирішення задач.

1. На рис. 2, - бісектриса кута.

а) Доведіть, що .

б) Знайдіть відношення площ трикутників і, якщо , .

2. На рис. 3 прямокутний трикутник із гіпотенузою , .

а) Доведіть, що трикутник подібний до трикутника .

б) Знайдіть катети трикутника, якщо , , .

в) Доведіть, що близько чотирикутника можна описати коло.

... - Педагогічний експеримент. Експеримент проходив три етапи: 1 етап – констатуючий експеримент. При його проведенні були виявлені знання учнів на тему «Використання та вимірювання та вирішення завдань на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії», при цьому використовувалися різні форми та методи виявлення знань, такі як: анкетування, бесіди з учнями та вчителями. .

Направлені з його практичну реалізацію. Таблиця 1.2.1. Диференціація навчання. Зовнішня Внутрішня Самодиференціювання учнів відповідно до їх рівня навченості (за розв'язанням задач різної складності) Спецшколи Класи з поглибленим Вивченням математики вчитель визначає рівень розвитку та...

Проблемного характеру, завдання, пов'язані з класифікацією, аналізом та синтезом, опорні схеми. Усе це становить прийоми пізнавальної діяльності учнів. Глава 3. Прийоми активізації учнів у процесі навчання математики початкових класах щодо нумерації багатозначних чисел 3.1. Сутність прийомів активізації Для того, щоб досягти активності учнів на уроці математики, ...

Інформація про роботу.

Загальний час- 90 хвилин

Характеристика роботи. Загалом у роботі 21 завдання, з яких 16 завдань базового рівня (частина 1), 5 завдань підвищеного рівня (частина 2). Робота складається з трьох модулів: "Алгебра", "Геометрія", "Реальна математика".

Модуль «Алгебра» містить 9 завдань: у частині 1 – шість завдань; у частині 2 – три завдання. Модуль «Геометрія» містить сім завдань: у частині 1 – 5 завдань; у частині 2 – два завдання. Модуль «Реальна математика» містить п'ять завдань: всі завдання частини 1.

Поради та вказівки щодо виконання роботи. Спочатку виконуйте завдання частини 1. Почати радимо з того модуля, завдання якого викликають у Вас менше труднощів, потім переходьте до інших модулів. Для економії часу пропускайте завдання, яке не вдається виконати одразу, і переходьте до наступного. Якщо у Вас залишиться час, Ви зможете повернутися до пропущених завдань.

Усі необхідні обчислення, перетворення тощо. виконуйте у чернетці. Записи в чернетці не враховуються під час оцінювання роботи. Якщо завдання містить малюнок, то на ньому безпосередньо в тексті роботи можна виконувати необхідні побудови. Рекомендуємо уважно читати умову та проводити перевірку отриманої відповіді.

Відповіді до завдань частини 1 записуються у бланку відповідей. Відповіддю є число або послідовність цифр ( без розділових знаків та одиниць виміру!) Якщо у відповіді отримано звичайний дріб, зверніть його до десяткового.

Розв'язання завдань частини 2 та відповіді до них запишіть на окремому аркуші або бланку. Завдання можна виконувати у будь-якому порядку, починаючи з будь-якого модуля. Текст завдання переписувати не треба, необхідно лише вказати його номер.

Бажаємо успіху!

Клас

Варіант 2

1. Співвіднесіть прості дроби з рівними ним десятковими

Яке твердження щодо цього числа є вірним?

3. Знайдіть значення виразу

4. Яке з цих рівнянь немає коренів?

5. Розв'яжіть нерівність

6. Виконайте дії

.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7. Різниця суміжних кутів дорівнює 260. Знайдіть менший із цих кутів.

8. Чотирьохкутник ABCD вписаний у коло. Знайдіть кут DBC, якщо кут CAD дорівнює 67 0 .

9. Найменша сторона прямокутника дорівнює 25, діагоналі перетинаються під кутом 60 0 . Знайдіть діагоналі прямокутника.

10. Знайдіть площу трапеції ABCD, рахуючи сторони квадратних клітин 1.

12. На малюнку жирними точками показано ціну золота на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 3 по 24 жовтня 2012 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі-ціна на унції золота в рублях. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте за малюнком ціну золота на 7 жовтня 2012 (у рублях за унцію).

13. Для групи іноземних гостей потрібно придбати путівники у кількості 10 шт. Потрібні путівники знайшлися у трьох магазинах. Умови купівлі та доставки дано в таблиці. Визначте, в якому магазині загальна сума покупки з урахуванням доставки буде найменшою. У відповіді напишіть найменшу суму у рублях.

14. Лікарська ромашка втрачає при сушінні 84% маси. Скільки кілограмів ромашки потрібно зібрати, щоби отримати 12 кг. сухої рослини?

1. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює половині різниці підстав
2. Трикутники, утворені основами трапеції та відрізками діагоналей до точки їх перетину - подібні
3. Трикутники, утворені відрізками діагоналей трапеції, сторони яких лежать на бічних сторонах трапеції – рівновеликі (мають однакову площу)
4. Якщо продовжити бічні сторони трапеції у бік меншої основи, то вони перетнуться в одній точці з прямої, що з'єднує середини основ
5. Відрізок, що з'єднує основи трапеції, і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться цією точкою в пропорції, що дорівнює співвідношенню довжин основ трапеції
6. Відрізок, паралельний основам трапеції, і проведений через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл, а його довжина дорівнює 2ab/(a + b), де a і b - основи трапеції

Властивості відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції

З'єднаємо середини діагоналей трапеції ABCD, у результаті з'явиться відрізок LM.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, лежить на середній лінії трапеції.

Даний відрізок паралельний основам трапеції.

Довжина відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці її основ.

LM = (AD – BC)/2
або
LM = (a-b)/2

Властивості трикутників, утворених діагоналями трапеції

Трикутники, які утворені основами трапеції та точкою перетину діагоналей трапеції - є подібними.
Трикутники BOC та AOD є подібними. Оскільки кути BOC та AOD є вертикальними – вони рівні.
Кути OCB і OAD є внутрішніми навхрест лежачими при паралельних прямих AD і BC (підстави трапеції паралельні між собою) і прямій AC, отже, вони рівні.
Кути OBC і ODA рівні з тієї ж причини (внутрішні навхрест лежать).

Оскільки всі три кути одного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

Що з цього випливає?

Для вирішення задач з геометрії подібність трикутників використовується так. Якщо нам відомі значення довжин двох відповідних елементів подібних трикутників, то знаходимо коефіцієнт подібності (ділимо одне на інше). Звідки довжини всіх інших елементів співвідносяться між собою таким самим значенням.

Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні та діагоналях трапеції

Розглянемо два трикутники, що лежать на бічних сторонах трапеції AB та CD. Це – трикутники AOB та COD. Незважаючи на те, що розміри окремих сторін у цих трикутників можуть бути різними, але площі трикутників, утворених бічними сторонами та точкою перетину діагоналей трапеції рівнітобто трикутники є рівновеликими.

Якщо продовжити сторони трапеції у бік меншої основи, то точка перетину сторін буде збігатися з прямою лінією, яка проходить через середини основ.

Таким чином, будь-яка трапеція може бути добудована до трикутника. При цьому:

• Трикутники, утворені основами трапеції із загальною вершиною в точці перетину продовжених бічних сторін, є подібними.
• Пряма, що з'єднує середини основ трапеції, є одночасно медіаною побудованого трикутника

Властивості відрізка, що з'єднує основи трапеції

Якщо провести відрізок, кінці якого лежать на підставах трапеції, що лежить на точці перетину діагоналей трапеції (KN), то співвідношення складових його відрізків від сторони основи до точки перетину діагоналей (KO/ON) буде дорівнює співвідношенню основ трапеції(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Ця властивість випливає з відповідності відповідних трикутників (див. вище).

Властивості відрізка, паралельного основам трапеції

Якщо провести відрізок, паралельний основам трапеції і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, то він матиме наступні властивості:

• Заданий відрізок (KM) ділиться точкою перетину діагоналей трапеції навпіл
• Довжина відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції та паралельного основам, дорівнює KM = 2ab/(a + b)

Формули для знаходження діагоналей трапеції

a, b- основи трапеції

c, d- бічні сторони трапеції

d1 d2- діагоналі трапеції

α β - кути при більшій основі трапеції

Формули знаходження діагоналей трапеції через основи, бічні сторони та кути при основі

Перша група формул (1-3) відображає одну з основних властивостей діагоналей трапеції:

1. Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток її підстав. Ця властивість діагоналей трапеції може бути доведена як окрема теорема

2 . Ця формула отримана шляхом перетворення попередньої формули. Квадрат другої діагоналі перекинутий через знак рівності, після чого з лівої та правої частини виразу витягнуто квадратний корінь.

3 . Ця формула знаходження довжини діагоналі трапеції аналогічна попередньої, з тією різницею, що в лівій частині виразу залишена інша діагональ

Наступна група формул (4-5) аналогічна за змістом та виражає аналогічне співвідношення.

Група формул (6-7) дозволяє знайти діагональ трапеції, якщо відома більша основа трапеції, одна бічна сторона та кут при підставі.

Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту

Завдання.
Діагоналі трапеції ABCD (AD | | ВС) перетинаються у точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо основа АD = 24 см, довжина АВ = 9см, довжина ОС = 6 см.

Рішення.
Розв'язання цього завдання з ідеології є абсолютно ідентичним попереднім завданням.

Трикутники AOD і BOC є подібними за трьома кутами - AOD і BOC є вертикальними, а інші кути попарно рівні, оскільки утворені перетином однієї прямої і двох паралельних прямих.

Оскільки трикутники подібні, всі їх геометричні розміри ставляться між собою, як геометричні розміри відомих нам за умовою завдання відрізків AO і OC. Тобто

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Відповідь: 16 см

Завдання.
У трапеції ABCD відомо, що AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Знайдіть площу трапеції.

Рішення .
Для знаходження висоти трапеції з вершин меншої основи B і C опустимо на більшу основу дві висоти. Оскільки трапеція нерівнобока - позначимо довжину AM = a, довжину KD = b ( не плутати з позначеннями у формулізнаходження площі трапеції). Оскільки основи трапеції паралельні, а ми опускали дві висоти, перпендикулярні більшій основі, то MBCK - прямокутник.

Значить
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Трикутники DBM і ACK - прямокутні, тому їх прямі кути утворені висотами трапеції. Позначимо висоту трапеції через h. Тоді за теоремою Піфагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
і
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Врахуємо, що a = 16 - b тоді в першому рівнянні
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Підставимо значення квадрата висоти у друге рівняння, отримане за Теоремою Піфагора. Отримаємо:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким чином, KD = 12
Звідки
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Знайдемо площу трапеції через її висоту та напівсуму підстав
, де a b - основи трапеції, h - висота трапеції
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Відповідь: площа трапеції дорівнює 80 см 2 .

У матеріалах різних контрольних робіт та іспитів дуже часто зустрічаються завдання на трапецію, Вирішення яких вимагає знання її властивостей.

З'ясуємо, якими ж цікавими та корисними для вирішення завдань властивостями має трапеція.

Після вивчення властивості середньої лінії трапеції можна сформулювати та довести властивість відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці основ.

MO – середня лінія трикутника ABC і дорівнює 1/2ВС (Рис. 1).

MQ – середня лінія трикутника ABD дорівнює 1/2АD.

Тоді OQ = MQ - MO, отже, OQ = 1/2AD - 1/2BC = 1/2 (AD - BC).

При вирішенні багатьох завдань на трапецію одним із основних прийомів є проведення у ній двох висот.

Розглянемо таку завдання.

Нехай BT – висота рівнобедреної трапеції ABCD із основами BC і AD, причому BC = a, AD = b. Знайти довжини відрізків AT та TD.

Рішення.

Вирішення завдання не викликає труднощів (Рис. 2)але воно дозволяє отримати властивість висоти рівнобедреної трапеції, проведеної з вершини тупого кута: висота рівнобедреної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює напіврізності основ, а більший – напівсумі основ.

При вивченні властивостей трапеції слід звернути увагу до таку властивість, як подобу. Так, наприклад, діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники, причому трикутники, що прилягають до основ, подібні, а трикутники, що належать до бокових сторін, рівновеликі. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Причому перша частина твердження доводиться дуже легко через ознаку подібності трикутників по двох кутах. Доведемодругу частину затвердження.

Трикутники BOC та COD мають загальну висоту (Рис. 3)якщо прийняти за їх підстави відрізки BO і OD. Тоді S BOC /S COD = BO/OD = k. Отже, S COD = 1/k · S BOC.

Аналогічно, трикутники BOC та АОВ мають загальну висоту, якщо прийняти за їх підстави відрізки CO та OA. Тоді S BOC /S AOB = CO/OA = k та S А O В = 1/k · S BOC .

З цих двох пропозицій випливає, що S COD = S А O В.

Не будемо зупинятись на сформульованому твердженні, а знайдемо зв'язок між площами трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Для цього вирішимо таке завдання.

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції АBCD із основами BC і AD. Відомо, що площі трикутників BOC і AOD рівні відповідно S1 і S2. Знайти площу трапеції.

Так як S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD.

З подоби трикутників BOC і AOD випливає, що ВО/OD = √(S₁/S 2).

Отже, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), отже S COD = √(S 1 · S 2).

Тоді S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√ S 1 + √S 2) 2 .

З використанням подібності доводиться і властивість відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам.

Розглянемо завдання:

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD із основами BC і AD. BC = a, AD = b. Знайти довжину відрізка PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основ. На які відрізки PK ділиться точкою О (рис. 4)?

З подоби трикутників AOD і BOC випливає, що АO/ОС = AD/BC = b/a.

З подоби трикутників AOR і ACB випливає, що АO/АС = PO/BC = b/(a + b).

Звідси PO = BC · b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Аналогічно, з подоби трикутників DOK та DBC, випливає, що OK = ab/(a + b).

Звідси PO = OK та PK = 2ab/(a + b).

Отже, доведену властивість можна сформулювати так: відрізок, паралельний основам трапеції, що проходить через точку перетину діагоналей і з'єднує дві точки на бокових сторонах, ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Його довжина є середня гармонійна підстави трапеції.

Наступне властивість чотирьох точок: у трапеції точка перетину діагоналей, точка перетину продовження бічних сторін, середини основ трапеції лежать на одній лінії.

Трикутники BSC та ASD подібні (рис. 5)і в кожному з них медіани ST та SG ділять кут при вершині S на однакові частини. Отже, точки S, T та G лежать на одній прямій.

Так само на одній прямій розташовані точки T, O і G. Це випливає з подібності трикутників BOC і AOD.

Отже, всі чотири точки S, T, O та G лежать на одній прямій.

Так само можна знайти довжину відрізка трапеції, що розбиває, на дві подібних.

Якщо трапеції ALFD і LBCF подібні (рис. 6),то a/LF = LF/b.

Звідси LF = √(ab).

Таким чином, відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному довжин основ .

Доведемо властивість відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі.

Нехай площа трапеції дорівнює S (Мал. 7). h 1 і h 2 – частини висоти, а х – довжина відрізка, що шукається.

Тоді S/2 = h 1 · (a + x) / 2 = h 2 · (b + x) / 2 та

S = (h 1 + h 2) · (a + b) /2.

Складемо систему

(h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Вирішуючи цю систему, отримаємо х = √(1/2(а 2 + b 2)).

Таким чином, довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює √ ((а 2 + b 2) / 2)(Середньому квадратичному довжин основ).

Отже, для трапеції ABCD з основами AD та BC (BC = a, AD = b) довели, що відрізок:

1) MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, паралельний основам і дорівнює їх напівсумі (середньому арифметичному чисел a і b);

2) PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам, дорівнює
2ab/(a + b) (середньому гармонійному чисел a та b);

3) LF, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному чисел a та b, √(ab);

4) EH, що ділить трапецію на дві рівновеликі, має довжину √((а 2 + b 2)/2) (середнє квадратичне чисел a та b).

Ознака та властивість вписаної та описаної трапеції.

Властивість вписаної трапеції:трапеція може бути вписана в коло в тому і тільки в тому випадку, коли вона є рівнобедреною.

Властивості описаної трапеції.Біля кола можна описати трапецію тоді і лише тоді, коли сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Корисні наслідки того, що в трапецію вписано коло:

1. Висота описаної трапеції дорівнює двом радіусам вписаного кола.

2. Бічна сторона описаної трапеції видно з центру вписаного кола під прямим кутом.

Перше очевидно. Для доказу другого слідства необхідно встановити, що кут COD прямий, що так само не складає великої праці. Зате знання цього слідства дозволяє під час вирішення завдань використовувати прямокутний трикутник.

Конкретизуємо наслідки для рівнобедреної описаної трапеції:

Висота рівнобедреної описаної трапеції є середня геометрична основ трапеції
h = 2r = √(ab).

Розглянуті властивості дозволять глибше пізнати трапецію і забезпечать успішність у вирішенні завдань застосування її властивостей.

Залишились питання? Не знаєте як вирішувати завдання на трапецію?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.