Дробно-раціональні рівняння. Алгоритм рішення

Ми вже навчилися розв'язувати квадратні рівняння. Тепер поширимо вивчені методи на раціональні рівняння.

Що таке раціональний вираз? Ми вже стикалися з цим поняттям. Раціональними виразаминазиваються вирази, складені з чисел, змінних, їх ступенів та знаків математичних дій.

Відповідно, раціональними рівняннями називаються рівняння виду: , де - Раціональні висловлювання.

Раніше ми розглядали лише ті раціональні рівняння, що зводяться до лінійних. Тепер розглянемо і ті раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.

Приклад 1

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Дроб дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.

Отримуємо таку систему:

Перше рівняння системи – це квадратне рівняння. Перш ніж його вирішувати, поділимо всі його коефіцієнти на 3. Отримаємо:

Отримуємо два корені: ; .

Оскільки 2 ніколи не дорівнює 0, необхідно, щоб виконувались дві умови: . Оскільки жоден із отриманих вище коренів рівняння не збігається з неприпустимими значеннями змінної, які вийшли при вирішенні другої нерівності, вони обидва є рішеннями цього рівняння.

Відповідь:.

Отже, давайте сформулюємо алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

1. Перенести всі складові до лівої частини, щоб у правій частині вийшов 0.

2. Перетворити та спростити ліву частину, привести всі дроби до спільного знаменника.

3. Отриманий дріб прирівняти до 0, за таким алгоритмом: .

4. Записати те коріння, яке вийшло в першому рівнянні і задовольняє другу нерівність, у відповідь.

Давайте розглянемо ще один приклад.

Приклад 2

Вирішити рівняння: .

Рішення

На самому початку перенесемо всі складові в ліву сторону, щоб праворуч залишився 0. Отримуємо:

Тепер наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:

Дане рівняння еквівалентне системі:

Перше рівняння системи – це квадратне рівняння.

Коефіцієнти цього рівняння: . Обчислюємо дискримінант:

Отримуємо два корені: ; .

Тепер розв'яжемо другу нерівність: добуток множників не дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли жоден з множників не дорівнює 0.

Необхідно, щоб виконували дві умови: . Отримуємо, що з двох коренів першого рівняння підходить лише один – 3.

Відповідь:.

На цьому уроці ми згадали, що такий раціональний вираз, а також навчилися вирішувати раціональні рівняння, які зводяться до квадратних рівнянь.

На наступному уроці ми розглянемо раціональні рівняння моделі реальних ситуацій, а також розглянемо завдання на рух.

Список літератури

Башмаков М.І. Алгебра, 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра, 8. 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра, 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашнє завдання

Простіше кажучи, це рівняння, в яких є хоча б одна зі змінною у знаменнику.

Наприклад:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

приклад недробово-раціональних рівнянь:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Як вирішуються дробові раціональні рівняння?

Головне, що треба запам'ятати про дробові раціональні рівняння - в них треба писати. І після знаходження коріння – обов'язково перевіряти їх на допустимість. Інакше може з'явитися стороннє коріння, і все рішення вважатиметься невірним.

Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння:

Випишіть і вирішіть ОДЗ.

Помножте кожен член рівняння на спільний знаменник і скоротить отримані дроби. Знаменники при цьому пропадуть.

Запишіть рівняння, не розкриваючи дужок.

Розв'яжіть отримане рівняння.

Перевірте знайдене коріння з ОДЗ.

Запишіть у відповідь коріння, яке пройшло перевірку в п.7.

Алгоритм не заучуйте, 3-5 вирішених рівнянь - і він запам'ятається сам.

приклад . Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Рішення:

Відповідь: \(3\).

приклад . Знайдіть корені дробово-раціонального рівняння \(=0\)

Рішення:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \ (D = 49-4 \ cdot 10 = 9 \) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Записуємо та «вирішуємо» ОДЗ. Розкладаємо \(x^2+7x+10\) за формулою: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо (x_1) і (x_2) ми вже знайшли.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Очевидно, загальний знаменник дробів: ((x + 2) (x + 5)). Помножуємо на нього все рівняння.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Скорочуємо дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Розкриваємо дужки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Наводимо подібні доданки
\(2x^2+9x-5=0\)		Знаходимо коріння рівняння
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Один із коренів не підходь під ОДЗ, тому у відповідь записуємо лише другий корінь.

Відповідь: \(\frac(1)(2)\).

На цьому уроці буде розглянуто розв'язання раціональних рівнянь. За допомогою раціональних рівнянь вирішується ціла низка завдань, які виникають не лише на сторінках підручника математики, а й у житті. Проте, щоб вирішити раціональне рівняння, його ще необхідно вміти правильно скласти. Тому на даному уроці ми не лише розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь як таких, а й приклади математичного моделювання завдання, що призводить до виникнення відповідних раціональних рівнянь.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Розв'язання раціональних рівнянь

Як ви вже встигли помітити на попередньому уроці, основа розв'язання раціональних рівнянь – техніка перетворення раціональних виразів. Розглянемо приклад розв'язання раціонального рівняння.

Приклад 1

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Насамперед звернемо увагу на те, що в чисельниках обох дробів, а також у правій частині рівняння стоять парні числа. Тобто можна спростити рівняння, поділивши обидві його частини на . Цей крок не є обов'язковим, але чим простіше рівняння, тим легше його вирішувати, а чим менше числа, що фігурують у рівнянні, тим легше арифметичні обчислення за його розв'язання.

В результаті скорочення отримуємо:

Тепер перенесемо всі члени рівняння в ліву частину, щоб отримати праворуч, а потім наведемо отримані в лівій частині дроби до спільного знаменника:

Нагадаємо, що дріб дорівнює тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює , а знаменник не дорівнює . Тому наше рівняння перетворюється на таку систему:

Тепер згадаємо ще один важливий факт: твір одно тоді і тільки тоді, коли хоча б один з його множників дорівнює, а решта множників при цьому існують. І наша система перетворюється на таку:

Обидва отримані корені є рішеннями даного рівняння, оскільки за них знаменник визначений.

Розглянуте нами рівняння є моделлю для такого завдання:

Завдання 1

Човен пройшов за течією річки і проти течії річки, витративши весь шлях . Чому дорівнює власна швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює?

Рішення:

Розв'язання даної задачі здійснимо за допомогою методу математичного моделювання та виділимо 3 етапи даного методу.

Етап 1. Складання математичної моделі

Позначимо через власну швидкість човна (це стандартний прийом під час вирішення текстових завдань - позначити з допомогою невідомої ту величину, що запитується за умови завдання). Тоді:

Швидкість руху човна за течією річки;

Швидкість руху човна проти течії річки.

У цьому випадку, скориставшись формулою: , отримуємо, що час руху човна за течією річки виражається як , а час руху човна проти течії річки - . Тоді загальний час руху човна дорівнює, звідки отримуємо рівняння:

- це і є математична модель цієї задачі.

Етап 2. Робота з математичною моделлю

У разі робота з математичної моделлю зводиться до розв'язання даного раціонального рівняння, що ми зробили у прикладі 1. У цьому отримали коріння рівняння: .

Етап 3. Відповідь на запитання задачі

Справа в тому, що математична модель тому і є математичною, що абстрагована від реального життя. Якщо брати саме це завдання, то математична модель - це рівняння, яке може мати будь-яке коріння. Проте невідома величина позначає швидкість човна, тому може бути, наприклад, негативною. Або: не може бути менше швидкості течії річки, інакше б човен не зміг би пливти проти течії. І такі обмеження можуть бути в різних завданнях. Тому, перш ніж записати відповідь, необхідно оцінити, чи є вона правдоподібною.

В даному випадку очевидно, що не підходить, тому що човен не зміг би з такою швидкістю плисти проти течії. Тому у відповідь піде лише одна величина: .

Відповідь:

Розглянемо кілька прикладів рішення безпосередньо раціональних рівнянь.

Приклад 2

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Перенесемо всі складові в ліву частину, а потім наведемо дроби до спільного знаменника.

Відповідь: .

Приклад 3

Вирішити рівняння: .

Рішення:

У цьому рівнянні у правій частині вже стоїть, тому нічого переносити ліву частину не потрібно. Відразу наведемо дроби в лівій частині до спільного знаменника:

Знову скористаємося тим фактом, що дріб дорівнює тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює , а знаменник не дорівнює . З цього випливає, що дане рівняння еквівалентне системі:

Підставивши це значення в знаменник, переконуємося, що він не дорівнює . Отже, це значення змінної є відповіддю.

Відповідь: .

Приклад 4

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Схема розв'язання цього рівняння абсолютно така сама, як і в попередніх:

Відповідь: .

До розв'язання раціональних рівнянь часто зводяться різноманітні завдання. Розглянемо один із таких прикладів.

Завдання 2

Чи існує таке значення, при якому різниця дробів і дорівнює?

Щоб користуватися попереднім переглядом, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Попередній перегляд:

Урок на тему "Рішення дробових раціональних рівнянь". 8-й клас

Цілі уроку:

Навчальна:

закріплення поняття дробового раціонального рівняння;
розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь;
розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю;
навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом.

Розвиваюча:

розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити;
розвиток інтелектуальних умінь та розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення;
розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому;
розвиток критичного мислення;
розвиток навичок дослідницької роботи.

Виховує:

виховання пізнавального інтересу до предмета;
виховання самостійності під час вирішення навчальних завдань;
виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.

Тип уроку : урок – закріплення та систематизація знань, умінь та навичок.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці! Сьогодні на уроці ми розглянемо різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь. На дошці написано рівняння, подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити?

1. 7 х - 14 = 0

Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота з класом, розв'язання рівнянь

Дайте відповідь, будь ласка, на такі запитання:

Як називається рівняння №1? (Лінійне .) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. (Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Навести подібні доданки. Знайти невідомий множник).

Розв'яжемо рівняння №1

Як називається рівняння №3? (Квадратне. ) Способи розв'язання квадратних рівнянь. (Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)

Розв'яжемо рівняння №3

Що таке рівняння №2? (Пропорцію ). Що таке пропорція? (Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. (Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)

Розв'яжемо рівняння №2

Рішення:

9 х = 18 ∙ 5

9 х = 90

Х = 90: 9

Х = 10

Відповідь: 10

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати розв'язати, використовуючи основну властивість пропорції? (№5). Але оскільки це рівняння має знаменник, що містить невідоме, необхідно написати …? ОДЗ.

Рішення:

ОДЗ: х ≠ − 2, х ≠ 4

(х - 2) (х - 4) = (х + 2) (х + 3)

Х 2 - 4 х - 2 х + 8 = х 2 + 3 х + 2 х + 6

х 2 – 6 х – х 2 – 5 х = 6 – 8

11 х = -2

Х = -2: (-11)

Відповідь:

Розв'яжемо рівняння №4. Які властивості використовуються при вирішенні цього рівняння? (Якщо обидві частини рівняння помножити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)

Рішення:

| ∙ 6

3 х - 3 + 4 х = 5х

7 х - 5 х = 3

2 х = 3

х = 3: 2

х = 1,5

Відповідь: 1,5

Яке дробово-раціональне рівняння можна вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

Рішення:

| ∙ (7 – х)

12 = х (7 - х)

12 = 7 х - х 2

х 2 - 7 х + 12 = 0

D = 1> 0, х 1 = 3, х 2 = 4.

Відповідь: 3; 4.

Тепер вирішимо рівняння №7 двома способами.

Рішення:

1 спосіб:

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

Коли дріб дорівнює нулю? (Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не задовольняє ОДЗ. Кажуть, 5 – сторонній корінь.

Відповідь: − 2

Рішення:

2 спосіб:

| ∙ х (х – 5) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

х (х - 3) + х - 5 = х + 5

х ² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не задовольняє ОДЗ. 5 – сторонній корінь.

Відповідь: − 2

Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.

Перенести все до лівої частини.
Привести дроби до спільного знаменника.
Розв'язати рівняння, використовуючи правило: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
Виключити з його коріння ті, які перетворюють знаменник на нуль (за допомогою ОДЗ або перевіркою)
Записати відповідь.

Інший спосіб розв'язання.

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:

1. Знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння;

2. Помножити обидві частини рівняння на загальний знаменник; не забувши написати ОДЗ

3. Вирішити ціле рівняння, що вийшло;

4. Виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник (використовуючи ОДЗ або перевіркою)

5. Записати відповідь.

Також можна вирішити рівняння, використовуючи основну властивість пропорції, не забувши виключити з його коріння ті, які перетворюють знаменник на нуль (за допомогою ОДЗ або перевіркою)

8. Підбиття підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дрібними раціональними рівняннями, навчилися розв'язувати ці рівняння різними способами. На наступному уроці вдома у вас буде можливість закріпити отримані знання.

Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?

Всім дякую, урок закінчено.

МОУ «Ракитянська середня загальноосвітня школа №3

імені М.М. Федутенко»

Урок алгебри

«Рішення дробових раціональних рівнянь»

8 клас

Учасник конкурсу

Вчитель математики

Цецорина С.М.

п. Рокитне – 1

Тип уроку: Закріплення знань та способів дій

Форми роботи:Парна, індивідуальна, групова

Обладнання: 1. Презентація уроку

2. Тексти завдань для перевірки домашнього завдання, роботи

у групах, рефлекція

3. Оціночний лист

4. Листівки – мозаїка

5. Уривок пісні «Російському солдату»

Цілі уроку:

Сприяти виробленню умінь і навичок вирішувати дробові раціональні рівняння, створення умов для взаємоконтролю, самоконтролю засвоєння знань та умінь;

сприяти закріпленню навички розв'язання лінійних рівнянь та квадратних рівнянь за формулою;

застосовувати прийоми: узагальнення, порівняння, виділення головного, перенесення знань у нову ситуацію, розвитку математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті;

сприяти вихованню інтересу до математики, активності, організованості, уміння спілкуватися, любові до рідного краю.

Хід уроку

Організаційний момент

Хлопці, сьогодні урок алгебри вестиму я. Мене звуть Світлана Миколаївна. Я сподіваюся, що урок пройде в теплій дружній атмосфері і ми, незважаючи на всі труднощі, разом досягнемо мети.

«Рівняння – це золотий ключ,

відкриває всі математичні

сезами» (С. Коваль)

І ви, напевно, зрозуміли, щоб проникнути у всі математичні сезами, необхідно навчитися вирішувати рівняння.

Діти, тема уроку «Доробні раціональні рівняння». Основними завданнями є:

1. Закріплення розв'язання дробових раціональних рівнянь, принагідно повторити розв'язання квадратних та лінійних рівнянь.

Я пропоную наступну послідовність уроку:

1. На етапі перевірки домашнього завдання проведемо тестування з теорії та практики.

2. Актуалізація знань пройде у вигляді фронтального опитування.

3. Потім на Вас чекає різнорівнева самостійна робота.

4. Підсумком уроку є оформлення оцінного листа та виставлення отриманих Вами оцінок.

Перевірка домашнього завдання.

Для перевірки домашнього завдання я пропоную вам ТЕСТ, у якому ви перевірите себе за основними правилами. (Робота в парах).Кожній парі пропонується 1 завдання. Літера правильної відповіді вписуємо на дошці в таблицю.

ТЕСТ

Вкажіть правильну відповідь на запитання: «З яких чисел можна отримати точний квадратний корінь?»

а) 64; 0,25; - 4; 7; 1.

с) 64; 0,25; 1.

Вкажіть квадратне рівняння, записане у стандартному вигляді:

а) ах 2 + b х + с = 0;

б) b х + ах 2 + с = 0.

3. Назвіть коефіцієнти квадратного рівняння 5х 2 - 13х + 9 = 0

х) a = 5, b = - 13, c = 9

б) a = 5, b = 9, c = - 13

4. Чи правильно складено рівняння, у якого перший коефіцієнт

3 , другий коефіцієнт (- 5) , вільний член 17:

б) - 5х 2 + 3х + 17 = 0;

а) 3х 2 - 5х + 17 = 0

5. Яке із рівнянь є дробовим раціональним:

р)
.

6. Який загальний знаменник у дробів:
і

а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х - 2)

7. Яка область допустимих значень виразу

а) х
б) х
і х

8. Які корені рівняння х (х + 4) = 0

б) х = 0 та х = 4; я) х = 0 та х = - 4.

Завдання під час перевірки показують на екрані.

Учні працюють у зошитах. Вийшло слово «Цукрова». Може хтось знає цю вулицю? Нині це вулиця Федутенка у селищі Рокитне -1 (Сахзавод), вона отримала цю назву у 1985 році до 40-річчя Перемоги у ВВВ, на честь Героя Радянського Союзу, льотчиці, Надії Никифорівни Федутенко, яка жила на цій вулиці, навчалася у нашій школі та у 2008 році школі присвоєно її ім'я. Я розповіла вам про це не лише тому, що живу на цій вулиці, працюю у цій школі. А може, ви скажете чому я про це заговорила? Тому що цього року святкуватиметься 65-річчя Перемоги у ВВВ. Я дуже хотіла б, щоб ви про це згадали і не забули привітати ветеранів, які живуть поряд з вами.

Актуалізація опорних знань

Щоб успішно впоратися з наступним завданням, нагадаємо алгоритм розв'язання квадратних рівнянь. (Фронтальне опитування)

Пам'ятка для розв'язання дробових раціональних рівнянь

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь

Знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння.

Встановити ОДЗ (область допустимих значень). Для цього прирівняти знаменник до нуля та вирішити отримане рівняння.

Помножити обидві частини рівняння загальний знаменник.

Знайти додаткові множники до дробів.

Вирішити ціле рівняння, що вийшло.

Виключити з коріння ті, які перетворюють загальний знаменник на нуль.

Ст.Для обчислення квадратів чисел від 10 до 99 якою таблицею користуватимемося?

О.Таблицею квадратів натуральних чисел, що знаходиться на форзаці підручника

Робота у групах

У вас на столі знаходяться картки із завданнями різних рівнів: червоний колір – 5; зелений – 4; жовтий - 3. Ви вибираєте самі собі рівняння. Вирішуєте його самостійно. Можна у групі вирішити рівняння та іншого рівня. Підсумок цієї роботи полягає в наступному: групою вирішити всі рівняння та за відповідями зібрати свою мозаїку. Наклеїти її на лист. Т.к. Ви працюєте в групах, то один одному допомагаєте і за відповідями, отриманими при вирішенні рівнянь, ви повинні зібрати мозаїку, де позначені пейзажі нашого селища.

Картка 1 (червона)

=

=

Картка 2 (зелена)

а)
=

=

б)
=

=

Картка 3 (жовта)

а)
=

=
Учні підраховують кількість баліві поставте оцінку оціночний лист. Ці листи здається вчителю.

Оцінка «5» – від 8 балів і вище

Оцінка «4» – 7 балів

Оцінка «3» – 4 – 6 балів

Урок добігає кінця.Велике спасибі за роботу. Мені легко було працювати з вами. А що ви можете сказати про урок, ваш стан на уроці? Прошу знайти на столі картки з рефлексієюі назвати однією пропозицією ваш настрій. Чи ми досягли цілей уроку, чи все було зрозуміло, і т.д. ( по 1 учню від групи)

Рефлексія

Я встигаю посміхнутися

Скільки слів та надій

Давайте сумувати і плакати відверто

Ой, як добре, хоч пісні співай

Задоволений я своєю долею

Неприємність цю ми переживемо

Ах, навіщо цей день закінчується

Не треба зла таїти

Все поки що в повному порядку

Кап-кап-кап з очей на сукні

Оціночний лист