Градусний захід у радіанах. Градусний захід кута

З давніх-давен люди вимірюють кути. Але що таке кут? Геометрія дає нам відповідь: «Кут - це два промені, проведені із заданої точки». Кути бувають різні: тупі, гострі, прямі, розгорнуті, центральні, суміжні. Візьмемо точку O і проведемо з неї промінь O. A. Тепер з цієї точки проведемо промінь OB, паралельний променю OA і направлений з ним в одну сторону. Про такі промені говорять, що кут між ними становить 0° (нуль градусів). Якщо тепер направимо промінь OB паралельно променю OA, але у протилежний бік, то отримаємо розгорнутий кут, рівний 180°.

Що означають градус і радіан

Так ось, мірою розбіжності двох променів, проведених з однієї точки один від одного, буде градусна відстань. Що таке градус? У перекладі "градус" означає "крок". Усього таких «кроків» може бути 360 °. Це число було придумано ще в давнину математиками і астрономами, що користувалися шістдесятиричною системою числення. Вони брали коло, з центру якого проводили два радіуси. Мірою розходження цих радіусів один від одного був градус. Коли відстань між радіусами у градусах відраховували проти годинникової стрілки, такий кут вважався позитивним, а коли проти годинникової – негативною.

Обертаючи один радіус щодо іншого проти годинникової стрілки, ми отримуватимемо різні кути. Коли ці відрізки збігаються, між ними буде 0°, коли відрізки відсікають сектор кола, рівний однієї чверті повного кола, то кут між ними складе 90°. Обертаючи далі таким чином, ми отримаємо такі кути: 180 ° - радіуси лежать на діаметрі кола і ділять його навпіл, 270 ° - радіуси відсікають три чверті кола, 360 ° - радіуси збігаються. Таким чином, повне коло становить 360 °. Для вимірювання кутів існує транспортир.

Крім градусного заходу для вимірювання кутів застосовують міру радіальну. Радіан – це міра центрального кута. "Радіан" означає "пов'язаний з радіусом". Якщо з центру кола радіусом R провести два промені, то вони на ньому відсічуть дугу, довжина якої l. Так ось, кут α між вказаними променями називається центральним. Щоб його виміряти, потрібно довжину дуги кола розділити з його радіус: α=l/R. Вийде значення, виражене у радіанах (рад). Оскільки будь-якому куту на площині можна зіставити такий самий центральний кут, то постає питання, як від звичайної градусної міри перейти до радіальної.

Як перевести градуси в радіани і назад

Ми знаємо, що центральному куту в 360° відповідає все коло, довжина якого обчислюється за відомою формулою l=2 π R. Розділимо цей вираз на R і отримаємо: α= 2 π R/R=2 π рад≈6,28 рад. Якщо взяти якусь кутову відстань в A град., то його радіальний захід α вийде із пропорції: А/360°=α/(2 π). Вирішивши це рівняння, отримаємо формулу переведення градусів у радіани- α=(π/180°) А, або формулу перекладу радіан у градуси- А = (180 ° / π) α. З цих формул ми прийдемо до наступних співвідношень:

1 рад=180°/π≈57,2958°;
1°=π/180 рад≈0,01745 рад.

Скільки становитиме 180 градусів у радіанах та 90 градусів у радіанах? Скориставшись отриманими вище формулами, прийдемо до таких співвідношень:

90°=π/2 рад≈1,571 рад;
180°=π рад≈3,142 рад.

Отже, як правильно переводити градусну міру в радіальну і назад? У цьому вам допоможе наступне правило:

Щоб знайти число радіан, потрібно градусну міру помножити на число π і поділити на 180. Щоб знайти число градусів, потрібно множити радіальну міру на 180 і поділити на число π .

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Чому дорівнює довжина дуги кола, якщо R=1 см, α=1 радий?

Рішення. За формулою довжини дуги знайдемо: l = R = 1 1 = 1 см.

Завдання 2. Скільки радий 45°?

Рішення. Використовуючи правило, отримаємо: α=45 π/180=π/4 рад.

Завдання 3. Скільки град. у π² радий?

Рішення. Використовуючи правило, знайдемо: А=π² 180/π=180π град.565,5°.

Завдання 4. Чому дорівнює середній кутовий розмір місячного диска, якщо середня відстань до Місяця дорівнює R = 384399 км, а діаметр самого Місяця D = 3476 км?

Рішення. Якщо подумки на Місяць із Землі провести два промені, які пройдуть через крайні точки діаметра її диска, ми отримаємо центральний кут, що виходить із очей спостерігача. Оскільки відстань до Місяця набагато перевищує її діаметр, то цей діаметр можна буде прирівняти довжині дуги l кола, що утворюється радіусом R, тобто D?l=α R. Тоді шуканий кутовий розмір складе: ? =0,00904268742 рад=0,51810782462° ≈31'05”≈0,5°. Отже, видимий кутовий діаметр Місяця дорівнює півградусу.

Хвилини та секунди

З давніх-давен для вимірювання кутів користувалися так званою шістдесятиричною системою обчислення. У цій системі все коло ділиться на 360 °. Потім кожен градус ділять на 60 хвилин, а кожну хвилину – на 60 секунд. Хвилі позначаються значком "", а секунди - значком "". Звідси пішов вимір часу. Крім того, циферблат - це символ кола, а стрілки годинника відміряють центральні кути. Для перекладу цих одиниць використовуйте наступні співвідношення:

1°=60′=3600”;
1'=(1/60)°=60”;
1”=(1/3600)°=(1/60)';
1 рад≈3438′.

Необхідність у вимірі кутів з'явилася в людей з того часу, як цивілізація досягла мінімального технічного рівня. Всім відома феноменальна точність дотримання нахилу та орієнтації країн світу, забезпечена будівельниками єгипетських пірамід. Сучасну градусну міру кутів, як зараз вважається, винайшли давні аккадці.

Що таке градуси?

Градус – загальноприйнята одиниця виміру кутів. У повному колі 360 градусів. Причина вибору цього числа невідома. Ймовірно, аккадці розділили коло на сектори, використовуючи кут рівностороннього трикутника, а потім отримані сегменти знову розділили на 60 частин відповідно до системи обчислення. Градус теж ділиться на 60 хвилин, а хвилини – на 60 секунд. Загальноприйнятими позначеннями є:

° - кутові градуси

' - хвилини,

'' - секунди.

За тисячоліття градусний захід кутів міцно увійшов до багатьох сфер людської діяльності. Вона і зараз незамінна у всіх галузях науки і техніки - від картографії до розрахунку орбіт штучних супутників Землі.

Що таке радіани?

Архімеду приписується відкриття сталості співвідношення довжини кола та його діаметра. Ми називаємо його числом π. Воно ірраціонально, тобто не може бути виражене у вигляді звичайного або періодичного дробу. Найчастіше використовується значення числа π з точністю до двох знаків після коми – 3,14. Довжина кола L з радіусом R легко обчислюється за такою формулою: L=2πR.

Окружність радіусу R=1 має довжину 2π. Це співвідношення використовують у геометрії як формулювання радіанної міри кута.

За визначенням, радіан - кут з вершиною в центрі кола, що спирається на дугу з довжиною, що дорівнює радіусу кола. Міжнародне позначення радіана – rad, вітчизняне – радий. Розмірності не має.

Дуга кола з радіусом R з кутовою величиною радіан, має довжину α * R.

Навіщо знадобилося вводити нову одиницю виміру кута?

Розвиток науки і техніки призвело до появи тригонометрії та математичного аналізу, необхідні для точних розрахунків механічних та оптичних пристроїв. Однією з його завдань є вимір довжини кривої лінії. Найпоширеніший випадок – визначення довжини дуги кола. Використання з цією метою градусної міри кутів вкрай незручно. Ідея зіставити довжину дуги з радіусом кола виникала у багатьох математиків, але сам термін «радіан» був введений у науковий побут лише у другій половині ХІХ століття. Зараз усі тригонометричні функції в математичному аналізі за умовчанням використовують радіальну міру кута.

Як переводити градуси в радіани

З формули довжини кола випливає, що в неї укладається 2π радіусів. Звідси випливає, що: 1⁰=2π/360= π/180 рад.

І проста формула переведення з радіанів у градуси: 1 рад = 180/π.

Нехай ми маємо кут N градусів. Тоді формула для переведення із градусів у радіани буде такою: α(радіан) = N/(180/π) = N*π/180.

Залишились питання?

Відповіді ними можна знайти , де докладно роз'яснені поняття довжини кола, радіанної міри кутів і конкретних прикладах показано переведення градусів радіани. Знання згаданого вкрай важливі розуміння математики, без якої неможливе існування сучасної цивілізації.

Що таке градуси?

° - кутові градуси

' - хвилини,

'' - секунди.

Що таке радіани?

Дуга кола з радіусом R з кутовою величиною радіан, має довжину α * R.

Навіщо знадобилося вводити нову одиницю виміру кута?

Як переводити градуси в радіани

З формули довжини кола випливає, що в неї укладається 2π радіусів. Звідси випливає, що: 1⁰=2π/360= π/180 рад.

І проста формула переведення з радіанів у градуси: 1 рад = 180/π.

Залишились питання?

Функція РАДІАНИ (англійською RADIANS) – це одна з математичних та тригонометричних функцій, яка часто застосовується для інженерних розрахунків. Ця функція в Excel легко перетворює градуси на радіани – кут, що відповідає дузі, а довжина цієї дуги дорівнює її радіусу.

Як працює функція індекс у Excel?

ПРИКЛАД 1. Для інженерних розрахунків, пов'язаних з рухом по колу, часто необхідно обчислювати кутові швидкості і переводити градуси в радіани і радіани в градуси. В Excel для цього передбачені спеціальні функції. Для спрощення математичних розрахунків може знадобитися висловити в одній і другій величині.

Нам необхідно знайти, скільки буде в Радіанах 180°. Натискаємо кнопку fx біля рядка формул для виклику вікна вибору функцій «Вставка функції» (SHIFT+F3) та у вікні пошуку вводимо функцію «РАДІАНИ». Вибираємо потрібну функцію, що висвітилася, як показано на нижче малюнку.

З'являється вікно, у якому необхідно ввести аргументи функції. Вводимо значення 180, тому що нам потрібно знайти скільки буде радіан у 180 градусах. Тиснемо ОК.

У 180 градусах буде 3,1415 радіанів.

Знайдемо радіани для кута 90°. Відкриємо вікно функцій і введемо функцію, яку потрібно обчислити. Знаходимо її у вікні майстра функцій та вибираємо аргумент 90.

ОК. У 90 градусах буде 1,5707 радіанів.

У наступних прикладах розглянемо, як конвертувати ці одиниці виміру кутів в обох напрямках.

Як перевести Радіани в Градуси засобами Excel

ПРИКЛАД 2. Іноді потрібно одиницю вимірювання кутів rad перевести у значення gradus° . Для цього передбачено функцію ГРАДУСИ. Вона дозволяє перевести значення виражені в радіанах градуси в десятковому обчисленні.

Нам потрібно знайти, скільки буде в градусах 4,1 радіани. Натискаємо кнопку fx для виклику вікна вибору функції та у вікні пошуку вводимо відповідну назву функції.

З'являється вікно, в яке потрібно ввести аргументи функції. Вводимо значення 4,1, тому що нам слід знайти скільки буде gradus ° 4,1 rad . Натискаємо ОК.

Для вихідного значення 41 отримуємо рівно 235 градусів.

Таким чином виконується переведення з радіан у градуси Excel.

Скільки радіан у кількох значеннях градуса?

ПРИКЛАД 3. Іноді потрібно визначити скільки радіан в кількох значеннях градуса і вводити тоді щоразу аргумент дуже довго. У такому випадку можна скористатися дещо іншим способом конвертування величин для вимірювання кутів.

Потрібно знайти скільки буде у Радіанах 45, 67, 23, 12, 57 градусів. Натискаємо кнопку fx (SHIFT+F3) для виклику вікна вибору функції і у вікні пошуку вводимо функцію як показано нижче на малюнку. Вказуємо на функцію, що висвітилася.