Інтуїтивне пояснення теореми байєсу. Повторні незалежні випробування

ІНФОРМАТИКА, ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА УПРАВЛІННЯ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT

Про застосовність формули Байєса

DOI 10.12737/16076

А. І. Долгов **

1Акціонерне товариство «Конструкторське бюро з радіоконтролю систем управління, навігації та зв'язку», м. Ростов-на-Дону, Російська Федерація

On applicability of Bayes" formula*** A. I. Dolgov1**

1«Дизайн bureau on monitoring control, navigation and communication systems» JSC, Ростов-он-Дон, Російська Федерація

Предметом цього дослідження є формула Байєса. Мета цієї роботи - аналіз та розширення сфери застосування формули. Першочерговим завданням є вивчення публікацій, присвячених зазначеній проблемі, що дозволило виявити недоліки застосування формули Байєса, що призводять до некоректних результатів. Наступне завдання – побудова модифікацій формули Байєса, які забезпечують облік різних одиночних свідоцтв із отриманням коректних результатів. І, нарешті, з прикладу конкретних вихідних даних порівнюються некоректні результати, одержувані із застосуванням формули Байєса, і коректні результати, обчислювані з допомогою запропонованих модифікацій. Під час проведення дослідження використано два методи. По-перше, проведено аналіз принципів побудови відомих виразів, які застосовуються для запису формули Байєса та її модифікацій. По-друге, виконано порівняльну оцінку результатів (у тому числі кількісну). Пропоновані модифікації забезпечують більш широке застосування формули Байєса в теорії та на практиці, у тому числі при вирішенні прикладних завдань.

Ключові слова: умовні ймовірності, несумісні гіпотези, сумісні та несумісні свідчення, нормування.

Bayes" formula is the research subject. The work objective is to analyze the formula application and widen the scope of its applicability. результатів. Next task is to construct the Bayes" formula modifications to provide an accounting of different single indications to obtain correct results. And finally, the incorrect results obtained with application of Bayes" наведено формули зміни на те, що міститься в конкретних ініціальних даних. Два методи є використані в дослідженнях. Перший, analysis of principles of constructing the known expressions used to record the Bayesian formula and its modifications is conducted. Зрештою, comparative evaluation of the results (включаючи the quantitative one) is performed. Зазначені зміни виконують широке застосування bays" формула в теорії і практика в тому числі й відповідні проблеми.

Keywords: конкретні проблеми, несприятливі hypotheses, надійні і некомпітальні показники, нормалізовані.

Вступ. Формула Байєса знаходить дедалі ширше застосування у теорії та практиці, зокрема під час вирішення прикладних завдань з допомогою обчислювальної техніки. Використання взаємно незалежних обчислювальних процедур дозволяє особливо ефективно застосовувати дану формулу під час вирішення завдань на багатопроцесорних обчислювальних системах , оскільки у разі паралельна реалізація виконується лише на рівні загальної схеми, і за додаванні чергового алгоритму чи класу завдань немає необхідності повторно проводити роботу з розпаралелювання.

Предметом даного дослідження є застосування формули Байєса для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей несумісних гіпотез при різних одиночних свідченнях. Як показує аналіз, у таких випадках порівнюються нормовані ймовірності несумісних комбінованих подій, що на-

S X<и ч и

IS eö І IS X X<и H

"Робота виконана у рамках ініціативної НДР.

**E-mail: [email protected]

""Research is done within frame of the independent R&D.

спраглих різним повним групам подій. У цьому порівнювані результати виявляються неадекватними реальним статистичним даним. Це зумовлено такими факторами:

Використовується некоректне нормування;

Не береться до уваги наявність або відсутність перетинів свідчень, що враховуються.

З метою усунення виявлених недоліків виявляються випадки застосування формули Байєса. Якщо зазначена формула не застосовна, вирішується завдання побудови її модифікації, що забезпечує облік різних одиночних свідоцтв з отриманням коректних результатів. На прикладі конкретних вихідних даних виконано порівняльну оцінку результатів:

Некоректних – одержуваних з використанням формули Байєса;

Коректних - обчислюваних за допомогою запропонованої модифікації.

Вихідні становища. В основу викладених далі тверджень покладемо принцип збереження відносин ймовірностей: «Коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише при нормуванні із застосуванням одного загального нормуючого дільника, що забезпечує рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей» . Даний принцип є суб'єктивною основою теорії ймовірностей, проте не відображається належним чином у сучасній навчальній та науково-технічній літературі.

При порушенні зазначеного принципу спотворюються відомості про ступінь можливості подій, що розглядаються. Отримані з урахуванням спотворених відомостей результати і прийняті рішення виявляються неадекватними реальним статистичним данным.

У пропонованій статті будуть використані такі поняття:

Елементарна подія - подія, що не поділяється на елементи;

Комбіноване подія - подія, що представляє те чи інше поєднання елементарних подій;

Сумісні події - події, які у одних випадках порівняльної оцінки їх ймовірностей може бути несумісними, інших випадках спільними;

Несумісні події - події, які завжди є несумісними.

Відповідно до теореми множення ймовірностей, ймовірність Р (І ^ Е) твори елементарних подій І ^ і

Е обчислюється як твори ймовірностей Р(Ик Е) = Р(Е)Р(И^Е) . У зв'язку з цим формула Байєса часто

записується у вигляді Р(Ік\Е) =--- , що описує визначення апостеріорних умовних ймовірностей

Р(І^Е) гіпотез Ік (к = 1,...п) на основі нормування апріорних ймовірностей Р(І^Е) врахованих комбінованих несумісних подій І до Є. Кожна з таких подій представляє твір, співмножниками якого є одна з аналізованих гіпотез і одне свідчення, що враховується. При цьому все розглядає-

події ІкЕ (к = 1,...п) утворюють повну групу іІкЕ несумісних комбінованих подій, у зв'язку з

з чим їх ймовірності Р(Ік Е) повинні бути нормовані з урахуванням формули повної ймовірності згідно з кото-

рій Р(Е) = 2 Р(Ік)Р(Е\Ік). Тому формула Байєса найчастіше записується в найбільш вживаному вигляді:

Р(Ік) Р(ЄІк)

Р(Ік\Е) = -. (1)

^ кацією формули Байєса.

й Аналіз особливостей побудови формули Байєса, націленої на вирішення прикладних завдань, а також приклади

«та її практичного застосування дозволяють зробити важливий висновок щодо вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (кожна з яких є твором двох елементарних подій – однією з гіпотез та свідоцтва, що враховується). Такий вибір здійснюється суб'єктивно особою, що приймає рішення, на основі об'єктивних вихідних даних, властивих типовим умовам обстановки: види і кількість оцінюваних гіпотез і свідоцтво, що конкретно враховується.

Незрівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Формула Байєса традиційно застосовується у разі визначення не порівнюваних за ступенем можливості апостеріорних умовних віро-

ятностей гіпотез Н^ ​​при поодиноких несумісних свідченнях, кожне з яких може з'явитися

тільки в комбінації з будь-якою з цих гіпотез». При цьому вибираються повні групи та НкЕ, комбіні-

ванних подій у вигляді творів, співмножниками яких є одне із свідоцтв ц. (1=1,...,т) та одна

з п аналізованих гіпотез.

Формула Байєса застосовується для порівняльної оцінки ймовірностей комбінованих подій кожної такої повної групи, що відрізняється від інших повних груп не тільки свідченням е, що враховується, але і в загальному випадку видами гіпотез Н ^ і (або) їх кількістю п (див., наприклад, )

РНкИ = Р(Нк) Р(еН)

% Р(Нк) Р(Ег\Нк) до = 1

В окремому випадку при п = 2

РНк\Е,~ Р(Нк) Р(ЕН)

% Р(Нк) Р(Е,\Н к) до = 1

і отримані результати є правильними, зважаючи на дотримання принципу збереження відносин ймовірностей:

Р(Н1Е,) _ Р(Н 1)Р(Е,\Н1) / Р(Н2) Р(Е,\Н2) = Р(Н 1) Р(Е,\Н1)

Р(Н 2 = % РШ1!) РЕ, \ Н0 % ^) РЕ, \ Н) "Р (Н 2> 2>"

Суб'єктивність вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (з

тими чи іншими елементарними подіями, що змінюються) дозволяє вибрати повну групу подій і Нк Е ■ с

запереченням елементарної події Е ■ () і записати формулу Байєса (1 = 1,.. .,т) так:

Р(Нк\Е) -=-РНШ±.

% Р(Нк)Р(Е,Нк)

Така формула також застосовна і дає можливість отримати правильні результати, якщо обчислювані до

нормовані ймовірності порівнюються при різних аналізованих гіпотезах, але не при різних свід- ^

ствах. ¡^

Порівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Судячи з відомих публ- ^

няється для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез при різних одиночних свід- ^

ствах. При цьому не приділяється увага наступному факту. У зазначених випадках порівнюються ймовірності, що нормуються ^ несумісних (несумісних) комбінованих подій, що належать різним повним групам н подій. Однак у даному випадку формула Байєса не застосовна, тому що порівнюються комбіновані події, що не входять в одну повну § групу, нормування ймовірностей яких здійснюється з використанням різних л нормуючих дільників. Нормовані ймовірності несумісних (несумісних) комбінованих подій можна порівнювати тільки в тому випадку, якщо вони належать одній і тій же повній групі подій і нормовані ¡3 з використанням загального дільника, що дорівнює сумі ймовірностей всіх подій, що входять у повну §

У загальному випадку як несумісні свідчення можуть розглядатися:

Два свідчення (наприклад, свідчення та його заперечення); ^

Три свідчення (наприклад, в ігровій ситуації виграш, програш та нічия); ^

Чотири свідоцтва (зокрема, у спорті виграш, програш, нічия та перегравання) тощо.

Розглянемо досить простий приклад (відповідний прикладу, наведеному в) застосування формули ^ Байєса для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотези Н ^ при двох несумісних подіях

вигляді свідоцтва Л]- та її заперечення Л]

Р(Н,к) - ^. ^ Р (А ^ до », (2)

] Е Р (Нк> Р (А] \ вк> до - 1

■ _ Р(НкА]) Р(Нк> Р(А]\нк>

Р(Н,\А,) ----к-]-. (3)

V к\Л]> Р(А > п

] Е Р(Нк) Р(А]\Нк) до -1

У випадках (2) і (3) суб'єктивно обраними повними групами порівнюваних за ступенем можливості ком-

бінованих подій є відповідно безлічі і Н до А і Н до А. Це той випадок, коли формула

до-1 до ] до-1 до ]

Байєса не застосовується, тому що порушено принцип збереження відносин ймовірностей - не дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

Р(Н до А]] Р(Нк) Р(А]\Нк) / Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

Р(Нк Е Р(Нк) Р(А]\Нк)/ Е Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

до - 1 /к - 1 Відповідно до принципу збереження відносин ймовірностей, коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише за нормування із застосуванням одного загального нормуючого дільника, рівного сумі всіх порівнюваних нормованих виразів. Тому

Е Р(Нк)Р(А]\Нк) + Е Р(Нк)Р(А]\Нк) - Е Р(Нк)[Р(А]\Нк) + Р(Нк) Р(А]\Нк )] - ЕР(Нк) - 1. до -1 до -1 до -1 до -1

Таким чином, виявляється той факт, що існують різновиди формули Байєса, що відрізняються від

відомих відсутністю нормуючого дільника:

А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А) - Р(Н) Р(А, Н к). (4)

J до I ■> до

При цьому дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

т^А^ Р(Нк) Р(А]\Нк)

А,) Р(Н к) Р(А,Нк)

На основі суб'єктивного вибору нетрадиційно записуваних повних груп несумісних комбінованих подій можна збільшити кількість модифікацій формули Байєса, що включають свідчення, а також ту чи іншу кількість їх заперечень. Наприклад, найповнішій групі комбінованих подій

і і Нк /"./^ і і Нк Е відповідає (з урахуванням відсутності нормуючого дільника) модифікація формула; =1 А"=1 ; =1 ли Байєса

Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЕ^^^

де елементарна подія у вигляді свідоцтва Е II II / "/ є одним з елементів зазначеного множини-

о За відсутності заперечень свідчень, тобто при Ё\ = // е і /"./,

^ Р(Н\Е) Р(Нк) Р(Е,\Нк)

Р(Нк) Р(Е\Нк) до - 1

Таким чином, модифікація формули Байєса, призначена для визначення порівнюваних за рівнем можливості умовних ймовірностей гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях виглядає наступним чином. У чисельнику міститься нормована ймовірність однієї з комбінованих несумісних подій, про-110 разующих повну групу, виражену як твори апріорних ймовірностей, а знаменнику - сума всіх

нормованих ймовірностей. При цьому дотримується принцип збереження відносин ймовірностей - і результат, що отримується, є правильним.

Ймовірність гіпотез при одиночних сумісних свідченнях. Формули Байєса традиційно застосовуються визначення порівнюваних за рівнем можливості апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Нк (к = 1,...,п) при одному з кількох аналізованих сумісних свідчень ЕЛ (1 = 1,...,т). Зокрема (див.

наприклад, і ), щодо апостеріорних умовних ймовірностей Р(Н 1Е^) і Р(Н 1 Е2) при кожному з двох сумісних свідоцтв Е1 і Е2 використовуються формули виду:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-і P(H J E 2) =--1-. (5)

I P (Hk) PE \ Hk) I P (Hk) P (E2 Hk)

k = 1 k = 1 Необхідно врахувати, що це ще один випадок, коли формула Байєса не застосовується. Причому в даному випадку мають бути усунені дві недоліки:

Проілюстроване нормування ймовірностей комбінованих подій некоректно, зважаючи на належність різним повним групам подій, що розглядаються;

У символічних записах комбінованих подій HkEx і HkE2 не знаходить відображення той факт, що свідоцтва E х і E 2, що враховуються, є сумісними.

Для усунення останньої вади може бути використаний більш розгорнутий запис комбінованих подій з урахуванням того, що сумісні свідоцтва E1 та E2 в одних випадках можуть бути несумісними, а в інших спільними:

HkE1 = HkE1 E2 та HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, де E1 та E 2 є свідченнями, протилежними E1 та E 2.

Очевидно, що у таких випадках добуток подій Hk E1E2 враховується двічі. Крім того, воно може бути враховано ще раз окремо, проте цього не відбувається. Справа в тому, що в ситуації, що розглядається, на оцінювану обстановку впливають три ймовірних несумісних комбінованих події: HkE1E2, HkE 1E2 і

Hk E1E2. При цьому для особи, яка приймає рішення, цікавить оцінка за рівнем можливості лише

двох несумісних комбінованих подій: HkE1 E2 та HkE 1E2, що відповідає розгляду тільки g

одиночних свідоцтв. ¡Ц

Таким чином, при побудові модифікації формули Байєса для визначення апостеріорних умовних ве-^

роятностей гіпотез при одиночних сумісних свідченнях необхідно виходити з наступного. Особа, при- ^

що має рішення, цікавить, яка саме елементарна подія, представлена ​​тим чи іншим свідченням з

числа аналізованих реально відбулося в конкретних умовах. Якщо відбувається інша елементарна подія до

вигляді одиночного свідоцтва, потрібно перегляд рішення, обумовленого результатами порівняльної оцінки н

апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез з неодмінним врахуванням інших умов, що впливають на реальну загальну

становлення. 3

Введемо наступне позначення: HkE- для одного (і тільки одного) несумісного комбінованого со-

буття, що у тому, що з m > 1 аналізованих елементарних подій Ei (i = 1,...,m) разом із гіпотезою «

Hk сталася одна елементарна подія Ex і не відбулися інші елементарні події. се"

У найпростішому випадку розглядаються два поодинокі несумісні свідчення. Якщо підтвер-

очікується одне з них, умовна ймовірність свідоцтва у загальному вигляді виражається формулою л

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

У справедливості формули можна переконатися (рис. 1).

Мал. 1. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,2 При умовно незалежних свідченнях

Р(К1К2\Нк) = р(Е\Нк)Р(Е2\Нк),

тому з урахуванням (6)

Р(Нк Е-) = РЕ Нк) - Р(Е1 Нк) Р(Е21Нк) = 1,.,2. (7)

Аналогічно ймовірність Р(НкЕ-) одного з трьох (/ = 1,...,3) несумісних подій НкЕ виражається формулою

Наприклад, при i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk)] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)-P(E]E^Hk)-P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Справедливість цієї формули наочно підтверджує геометрична інтерпретація, подана на

Мал. 2. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,3

Методом математичної індукції можна довести загальну формулу для ймовірності Р(Нк Е-) за будь-якої кількості свідчення, 0=1,...,т):

Р(НкЕ-) = Р(Е,Нк)- т РЕ\Нк) Р(Е]\Нк) + 1 Р(Е\Нк) Р(Е]\Нк) Р(Е^Нк) +■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Використовуючи теорему множення ймовірностей, запишемо умовну ймовірність Р(НкЕ~-) у двох формах:

^ з яких випливає, що

P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

З використанням формули повної ймовірності P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) виходить, що

Е-) = Р(НкЕТ)

2 Р(НкЕ-) до = 1

Підставивши в отриману формулу виразу для Р(НкЕ-) у вигляді правої частини (8), отримаємо остаточний вид формули для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Н^ ​​(к = 1,.. .,п) при одному з декількох несумісних одиночних свідчень, що розглядаються. : (Е ^ \Нк)

Р(Нк)[Р(Е,\Нк) - 2 Р(Е,\Нк) Р(Ер к) +...+ (-1)т-1 Р(П Р(Єрк)] Р(Н, Е~) =-] = 1(] * ■----(9)

до 1 п т т т

2 Р(Н к) 2 [Р(Е,\Н к) - 2 Р(ЕгНк) Р(Е^Нк) + ...+ (-1)т-1 Р(П Р (Єр к)]

к = 1, = 1) = 1 () *,) ■! =1

Порівняльні оцінки. Розглядаються досить прості, але наочні приклади, що обмежуються аналізом обчислюваних апостеріорних умовних ймовірностей однієї з двох гіпотез при двох одиночних свідченнях. 1. Імовірність гіпотез при несумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані із застосуванням формул Байєса (2) і (3), на прикладі двох свідчень Л. = Л і Л. = Л при вихідних даних:

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6 Р(Л\Н2) = 0,4 У аналізованих прикладах з гіпотезою Н1 традиційні формули (2) і (3) призводять до наступних результатів:

Р(Н.) Р(А\Але 007

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,28,

2 Р(Н к) Р(А\Нк) до = 1

Р(Н Л Р(А\Н 1) 0 63

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,84,

2 Р(Нк) Р(А\Нк) до = 1

ормуючих ділить Р(Н 1 Л) = Р(Н^ Р(Л\Нр = 0,07; Р(Н^ А) = Р(Н1) Р(л|Н^ = 0,63).

Р<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

а при запропонованих формулах (4), які не мають нормуючих дільників: «і

Таким чином, у разі застосування запропонованих формул відношення нормованих ймовірностей дорівнює відношенню до нормованих ймовірностей: До

гт ж Р(Н1) Р(А\Н1) А11 |

При використанні відомих формул при такому ж відношенні -;-=-= 0,11 нормованих веро- н

Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§

ятностей, зазначених у чисельниках, відношення одержуваних нормованих ймовірностей: 2

Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63

Р(Н1 Л) = 0,28 Р(Н1 Л) = 0,84

Тобто принцип збереження відносин імовірностей не дотримується і виходять невірні результати. При цьому £

у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (11) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (10) виявляється дуже суттєвим, оскільки становить

°, 33 - °, П х 100 = 242%.

2. Імовірність гіпотез при сумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані з застосуванням формул Байєса (5) та побудованої коректної модифікації (9), використовуючи наступні вихідні дані: ^

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Е1Н1) = 0,4; Р(Е2Н1) = 0,8; Р(Е1\Н2) = 0,7; Н2) = 0,2 113

У прикладах з гіпотезою H 2 у випадку використання традиційних формул (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

I p (Hk) p (El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) =-2-- = - = 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

У разі застосування запропонованої формули (9) з урахуванням (7) P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P (Hk) Z k - 1 i - 1

При використанні пропонованих коректних формул, зважаючи на однакові знаменники, відношення P(H2) -

Нормованих ймовірностей, що вказуються в чисельниках, дорівнює відношенню

P(H2)

нормованих ймовірностей:

Тобто принцип збереження відносин імовірностей дотримується.

Однак у разі застосування відомих формул щодо зазначених у чисельниках нормованих ймовірностей

Р(Н 2) Р(Е1\Н 2) _ 0,21 _3 5 Р(Н 2)Р(Е 2 Н 2) 0,06 ,

відношення нормованих ймовірностей:

Р(Н 2 = 0.429 = 4,423. (13)

Р(Н 2 \е2) 0,097

Тобто принцип збереження відносин ймовірностей, як і раніше, не дотримується. При цьому у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (13) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (12) також виявляється дуже суттєвим:

9,387 4,423 х 100 = 52,9%.

Висновок. Аналіз побудови конкретних формульних співвідношень, що реалізують формулу Байєса та її модифікації, які пропонуються для вирішення практичних завдань, дозволяють стверджувати наступне. Повна група порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій може вибиратися суб'єктивно особою, яка приймає рішення. Цей вибір грунтується на об'єктивних вихідних даних, що враховуються, характерних для типової об-ї становки (конкретні види і кількість елементарних подій - оцінюваних гіпотез і свідчень). Представляє практичний інтерес суб'єктивний вибір інших варіантів повної групи порівнюваних за ступенем можли-

ності комбінованих подій - таким чином забезпечується суттєва різноманітність формульних співвідношень при побудові нетрадиційних варіантів модифікацій формули Байєса. На цьому, у свою чергу, може ґрунтуватися вдосконалення математичного забезпечення програмної реалізації, а також розширення області застосування нових формульних співвідношень для вирішення прикладних завдань.

бібліографічний список

1. Гнеденко, В.В. Kinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144р.

2. Вентцель, Є. С. Теорія ймовірностей/Є. С. Вентцель. - 10-те вид., стер. – Москва: Вища школа, 2006. – 575 с.

3. Андронов. А. М., Теорія ймовірностей та математична статистика / А. М. Андронов, Є. А. Копитов, Л. Я. Грінглаз. – Санкт-Петербург: Пітер, 2004. – 481 с.

4. Змітрович, А. І. Інтелектуальні інформаційні системи / А. І. Змітрович. – Мінськ: ТетраСі-стемс, 1997. – 496 с.

5. Чорноруцький, І. Г. Методи прийняття рішень / І. Г. Чорноруцький. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 p.

7. Романов, В. П. Інтелектуальні інформаційні системи економіки / В. П. Романов. - 2-ге вид., стер.

Москва: Іспит, 2007. – 496 с.

8. Економічна ефективність та конкурентоспроможність / Д. Ю. Муромцев [та ін.]. - Тамбов: Вид-во Тамб. держ. техн. ун-ту, 2007. - 96 с.

9. Долгов, А. І. Коректні модифікації формули Байєса для паралельного програмування / А. І. Долгов // Суперкомп'ютерні технології: матеріали 3-й всерос. наук-техн. конф. - Ростов-на-Дону. – 2014. – Т. 1 – С. 122-126.

10. Долгов, А. І. Про коректність модифікацій формули Байєса / А. І. Долгов // Вісник Дон. держ. техн. ун-ту.

2014. – Т. 14, № 3 (78). – С. 13-20.

1. Гнеденко, В.В., Хінчін, А.Я. Як елементарне введення в теорію проблеми. New York: Dover Publications, 1962, 144р.

2. Ventsel, E.S. Теорія веройатности. 10th ed., reimpr. Moscow: Vysshaya shkola, 2006, 575 p. (in Ukrainian).

3. Андронов, А.М., Копитов, Е.А., Грінглаз, Л.І. Теорія веройатности і математична статистика. St.Petersburg: Piter, 2004, 481 p. (in Ukrainian).

4. Змітровіч, А.1. Інтеллектуальні" інформаційні системи. Мінськ: TetraSistems, 1997, 496 р. (у Росії).

5. Чернорутскій, І.Г. Методи принятія решенії. St.Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005, 416 p. (in Ukrainian).

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.

7. Романов, V.P. Інтеллектуальні" інформаційні системи в ekonomice. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (in Russian).

8. Муромцев, Д.І., та ін. Економічна ефективність "і konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. tekhn. un-ta, 2007, 96 p. (in Ukrainian). IB

9. Дольгов, А1. Коректні modifikatsii формули Bayesa для parallel'nogo programmirovania. Superkomp'uternye технології: mat-ly 3-й veros. nauch-tekhn. konf. Rostov-on-Don, 2014, vol. 1, pp. 122-126 (in Ukrainian). ^

10. Дольгов, А1. Про коректність modifikatsij формули Bayesa. ^ Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 3 (78), pp. 13-20 (у Russian). *

Події утворюють повну групуякщо хоча б одне з них обов'язково відбудеться в результаті експерименту і попарно несумісні.

Припустимо, що подія Aможе наступити тільки разом з одним з кількох попарно несумісних подій, що утворюють повну групу. Будемо називати події ( i= 1, 2,…, n) гіпотезамидопиту (апріорі). Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності :

Приклад 16Є три урни. У першій урні знаходяться 5 білих та 3 чорних кулі, у другій – 4 білих та 4 чорні кулі, а у третій – 8 білих куль. Навмання вибирається одна з урн (це може означати, наприклад, що здійснюється вибір із допоміжної урни, де знаходяться три кулі з номерами 1, 2 та 3). З цієї урни навмання витягується куля. Яка ймовірність того, що він виявиться чорним?

Рішення.Подія A- Витягнуто чорну кулю. Якщо було б відомо, з якої урни витягається куля, то ймовірність можна було б обчислити за класичним визначенням ймовірності. Введемо припущення (гіпотези) щодо того, яка урна обрана для вилучення кулі.

Куля може бути витягнута або з першої урни (гіпотеза), або з другої (гіпотеза), або з третьої (гіпотеза). Так як є однакові шанси вибрати будь-яку з урн, то .

Звідси слідує що

Приклад 17Електролампи виготовляються на трьох заводах. Перший завод виробляє 30% загальної кількості електроламп, другий – 25%,
а третій – решту. Продукція першого заводу містить 1% бракованих електроламп, другого – 1,5%, третього – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Якою є ймовірність того, що куплена в магазині лампа виявилася бракованою?

Рішення.Припущення необхідно запровадити щодо того, на якому заводі було виготовлено електролампу. Знаючи це, ми зможемо знайти можливість того, що вона бракована. Введемо позначення для подій: A– куплена електролампа виявилася бракованою, – лампа виготовлена ​​першим заводом, – лампа виготовлена ​​другим заводом,
– лампа виготовлена ​​третім заводом.

Шукану ймовірність знаходимо за формулою повної ймовірності:

Формула Байєса. Нехай - повна група попарно несумісних подій (гіпотези). А- Випадкова подія. Тоді,

Останню формулу, що дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А, називають формулою Байєса .

приклад 18.До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50 % хворих із захворюванням До, 30% - з захворюванням L, 20 % –
із захворюванням M. Ймовірність повного лікування хвороби Kдорівнює 0,7 для хвороб Lі Mці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайдіть ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання K.

Рішення.Введемо гіпотези: – хворий страждав на захворювання До L, – хворий страждав на захворювання M.

Тоді за умовою завдання маємо. Введемо подію А- Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. За умовою

За формулою повної ймовірності отримуємо:

За формулою Байєса.

Приклад 19.Нехай в урні п'ять куль та всі припущення про кількість білих куль рівноможливі. З урни навмання взято кулю, він виявився білим. Яке припущення про початковий склад урни найімовірніше?

Рішення.Нехай - гіпотеза, яка полягає в тому, що в урні білих куль , Т. е. Можливо зробити шість припущень. Тоді за умовою завдання маємо.

Введемо подію А- навмання взята куля біла. Обчислимо. Оскільки , то за формулою Байєса маємо:

Таким чином, найбільш вірогідною є гіпотеза, тому що .

Приклад 20Два із трьох незалежно працюючих елементи обчислювального пристрою відмовили. Знайдіть ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 та 0,3.

Рішення.Позначимо через Аподія – відмовили два елементи. Можна зробити такі гіпотези:

– відмовили перший та другий елементи, а третій елемент справний. Оскільки елементи працюють незалежно, застосовна теорема множення:

Коротка теорія

Якщо подія настає лише за умови появи однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій, то дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з подій на відповідну умовну ймовірність гаманець.

У цьому події називаються гіпотезами, а ймовірності – апріорними. Ця формула називається формулою ймовірності.

Формула Байєса застосовується під час вирішення практичних завдань, коли подія , що з'являється разом із якимось із подій утворюють повну групу подій відбулося і потрібно провести кількісну переоцінку ймовірностей гіпотез . Апріорні (до досвіду) імовірності відомі. Потрібно обчислити апостеріорні (після досвіду) ймовірності, тобто. по суті потрібно знайти умовні ймовірності. Формула Байєса виглядає так:

Приклад розв'язання задачі

Умова задачі 1

На фабриці верстати 1,2 та 3 виробляють відповідно 20%, 35% та 45% усіх деталей. У їхній продукції шлюб становить відповідно 6%, 4%, 2%. Яка ймовірність того, що випадково вибраний виріб виявився дефектним? Яка ймовірність того, що воно було зроблено: а) верстатом 1; б) верстатом 2; в) верстатом 3?

Розв'язання задачі 1

Позначимо через подію, яка полягає в тому, що стандартний виріб виявився дефектним.

Подія може статися лише за умови настання однієї з трьох подій:

Виріб виготовлено на верстаті 1;

Виріб виготовлено на верстаті 2;

Виріб виготовлено на верстаті 3;

Запишемо умовні ймовірності:

Формула повної ймовірності

Якщо подія може статися тільки при виконанні однієї з подій, які утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події обчислюється за формулою

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність події:

Формула Байєса

Формула Байєса дозволяє «переставити причину і слідство»: за відомим фактом події обчислити ймовірність того, що воно було спричинене цією причиною.

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлено на верстаті 1:

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлено на верстаті 2:

Імовірність того, що дефектний виріб виготовлено на верстаті 3:

Умова задачі 2

Група складається з 1 відмінника, 5 студентів, що добре встигають, і 14 студентів, які встигають посередньо. Відмінник відповідає на 5 і 4 з рівною ймовірністю, хорошист відповідає на 5, 4 і 3 з рівною ймовірністю, і студент, що посередньо встигає, відповідає на 4,3 і 2 з рівною ймовірністю. Випадково обраний студент відповів на 4. Яка ймовірність того, що був викликаний студент, що посередньо встигає?

Розв'язання задачі 2

Гіпотези та умовні ймовірності

Можливі наступні гіпотези:

Відповідав відмінник;

Відповідав хорошист;

-Відповідав студент, що посередньо займається;

Нехай подія-студент отримає 4.

Умовні ймовірності:

Відповідь:

Дано визначення геометричної ймовірності та детально розглянуто широко відоме завдання про зустріч.

Мета роботи:сформувати навички розв'язання задач з теорії ймовірностей за допомогою формули повної ймовірності та формули Байєса.

Формула повної ймовірності

Ймовірність події А, яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В х, В 2, ..., В п,утворюють повну групу, що дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Цю формулу називають формулою повної ймовірності

Ймовірність гіпотез. Формула Байєса

Нехай подія Аможе наступити за умови появи однієї з несумісних подій В 2 ,...,В п,утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події Авизначається за формулою повної ймовірності:

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Потрібно визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія Авже настало) ймовірність гіпотез. Умовні ймовірності гіпотез знаходять за формулою

У цій формулі індекс / = 1,2

Цю формулу називають формулою Байєса (на ім'я англійського математика, який її вивів; опублікована 1764 р.). Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А.

Завдання 1.Завод виготовляє певний тип деталі, кожна деталь має дефект з ймовірністю 0,05. Деталь оглядається одним контролером; він виявляє дефект із ймовірністю 0,97, і якщо дефект не виявлено, пропускає деталь готову продукцію. Крім того, контролер може помилково забракувати деталь, яка не має дефекту; ймовірність цього дорівнює 0,01. Знайти ймовірності наступних подій: А – деталь буде забракована; В – деталь буде забракована, але помилково; С – деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом.

Рішення

Позначимо гіпотези:

Н= (На контроль надійде стандартна деталь);

Н= (На контроль надійде нестандартна деталь).

Подія А =(Деталь буде забракована).

З умови завдання знаходимо імовірності

РН(А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

За формулою повної ймовірності отримуємо

Імовірність того, що деталь буде забракована помилково, дорівнює

Знайдемо ймовірність того, що деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом:

Відповідь:

Завдання 2.Виріб перевіряється на стандартність одним із трьох товарознавців. Імовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,25, до другого – 0,26 та до третього – 0,49. Імовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,95, другим – 0,98, третім – 0,97. Знайти ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером.

Рішення

Позначимо події:

Л. =(виріб для перевірки потрапить до /-го товарознавця); / = 1, 2, 3;

В =(виріб буде визнано стандартним).

За умовою завдання відомі ймовірності:

Також відомі умовні ймовірності

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером:

Відповідь:«0,263.

Завдання 3. Два автомати виробляють деталі, які надходять на загальний конвеєр. Імовірність отримання нестандартної деталі першому автоматі дорівнює 0,06, але в другому - 0,09. Продуктивність другого автомата вдвічі більша, ніж першого. З конвеєра взято нестандартну деталь. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена другим автоматом.

Рішення

Позначимо події:

А. =(взята з конвеєра деталь зроблена /-м автоматом); / = 1,2;

У= (взята деталь виявиться нестандартною).

Також відомі умовні ймовірності

За формулою повної ймовірності знаходимо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що взята нестандартна деталь зроблена другим автоматом:

Відповідь: 0,75.

Завдання 4.Випробовується прилад, що складається з двох вузлів, надійність яких дорівнює 08 і 09 відповідно. Вузли відмовляють незалежно один від одного. Прилад відмовив. Знайти з урахуванням цього ймовірності гіпотез:

• а) несправний лише перший вузол;
• б) несправний лише другий вузол;
• в) несправні обидва вузли.

Рішення

Позначимо події:

Д = (7-й вузол не вийде з ладу); i = 1,2;

Д – відповідні протилежні події;

А= (При випробуванні буде відмова приладу).

З умови завдання одержуємо: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

За якістю ймовірностей протилежних подій

Подія Адорівнює сумі творів незалежних подій

Використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій та теорему множення ймовірностей незалежних подій, отримуємо

Тепер знаходимо ймовірність гіпотез:

Відповідь:

Завдання 5.На заводі болти виготовляються на трьох верстатах, які виробляють відповідно 25%, 30% та 45% усієї кількості болтів. У продукції верстатів шлюб становить відповідно 4%, 3% та 2%. Яка ймовірність того, що болт, випадково взятий з продукції, що надійшла, виявиться дефектним?

Рішення

Позначимо події:

4 = (навдачу взятий болт виготовлений на /-му верстаті); i = 1, 2, 3;

У= (Взяти навмання болт виявиться дефектним).

З умови завдання за формулою класичної ймовірності знаходимо ймовірність гіпотез:

Також за формулою класичної ймовірності знаходимо умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,028.

Завдання 6.Електронна схема належить одній з трьох партій із ймовірностями 0,25; 0,5 та 0,25. Імовірність того, що схема пропрацює понад гарантійний термін служби для кожної з партій, відповідно становить 0,1; 0,2 та 0,4. Знайти ймовірність того, що навмання взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби.

Рішення

Позначимо події:

4 = (навгади взята схема з г-ї партії); i = 1, 2, 3;

У= (навгадки взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби).

За умовою завдання відомі ймовірності гіпотез:

Також відомі умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,225.

Завдання 7.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначити ймовірність того, що відмовили обидва блоки.

Рішення

Позначимо події:

Д = (z-й блок вийде з ладу); i = 1,2;

А= (Пристрій вийде з ладу).

З умови завдання за якістю ймовірностей протилежних подій отримуємо: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Подія Анастає лише тоді, коли настає хоча б одна з подій Д або А 2 .Тому ця подія дорівнює сумі подій А= Д + А 2 .

За теоремою складання ймовірностей спільних подій отримуємо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що пристрій вийшов з ладу через відмову обох блоків.

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення Завдання 1.На складі телевізійного ательє є 70% кінескопів, виготовлених заводом №1; інші кінескопи виготовлені заводом № 2. Імовірність те, що кінескоп не вийде з експлуатації протягом гарантійного терміну служби, дорівнює 0,8 для кінескопів заводу № 1 і 0,7 - для кінескопів заводу № 2. Кінескоп витримав гарантійний термін служби. Знайти ймовірність, що він виготовлений заводом № 2.

Завдання 2.На складання надходять деталі з трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає 0,3% шлюбу, другий - 0,2%, третій - 0,4%. Знайти можливість надходження на складання бракованої деталі, якщо з 1-го автомата надійшли 1000, з 2-го - 2000, з 3-го - 2500 деталей.

Завдання 3.На двох верстатах виготовляються однакові деталі. Імовірність того, що деталь, виготовлена ​​на першому верстаті, буде стандартною, дорівнює 0,8, а на другому - 0,9. Продуктивність другого верстата втричі більша за продуктивність першого. Знайти ймовірність того, що стандартною буде деталь, взята навмання з транспортера, на який надходять деталі з обох верстатів.

Завдання 4.Керівник компанії вирішив скористатися послугами двох із трьох транспортних фірм. Ймовірності несвоєчасної доставки вантажу для першої, другої та третьої фірм рівні відповідно 0,05; 0,1 та 0,07. Зіставивши ці дані з даними про безпеку вантажних перевезень, керівник дійшов висновку про рівнозначність вибору і вирішив зробити його за жеребом. Знайти ймовірність того, що відправлений вантаж буде доставлений вчасно.

Завдання 5.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 і 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначте можливість того, що відмовив другий блок.

Завдання 6. До складального цеху надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 3% шлюбу, другий – 1% та третій – 2%. Визначити можливість попадання на складання небракованої деталі, якщо з кожного автомата надійшло відповідно 500, 200, 300 деталей.

Завдання 7.До складу надходить продукція трьох фірм. Причому продукція першої фірми становить 20%, другий – 46% та третьої – 34%. Відомо також, що середній відсоток нестандартних виробів для першої фірми дорівнює 5%, для другої – 2% та для третьої – 1%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб вироблено другою фірмою, якщо воно виявилося стандартним.

Завдання 8.Шлюб у продукції заводу внаслідок дефекту астановить 5%, причому серед забракованих за ознакою апродукції в 10% випадків трапляється дефект нар.А в продукції, вільній від дефекту а, дефект рзустрічається у 1% випадків. Знайти ймовірність зустрічі дефекту Ру всій продукції.

Завдання 9.У фірмі є 10 нових автомобілів та 5 старих, які раніше перебували в ремонті. Імовірність справної роботи для нового авто дорівнює 0,94, старого – 0,91. Знайти ймовірність того, що навмання обраний автомобіль буде справно працювати.

Завдання 10.Два датчики посилають сигнали в загальний канал зв'язку, причому перший посилає вдвічі більше сигналів, ніж другий. Імовірність отримати спотворений сигнал від першого датчика дорівнює 0,01 від другого - 0,03. Яка можливість отримати спотворений сигнал у загальному каналі зв'язку?

Завдання 11.Є п'ять партій виробів: три партії по 8 штук, з яких 6 стандартних та 2 нестандартних, та дві партії по 10 штук, з яких 7 стандартних та 3 нестандартних. Навмання обирають одну з партій, а з цієї партії беруть деталь. Визначити ймовірність того, що взята деталь буде стандартною.

Завдання 12.Складальник отримує в середньому 50% деталей першого заводу, 30% - другого заводу та 20% - третього заводу. Імовірність того, що деталь першого заводу відмінної якості дорівнює 0,7; для деталей другого та третього заводів відповідно 0,8 та 0,9. Наудачу взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена ​​першим заводом.

Завдання 13.Митний огляд автомашин здійснюють два інспектори. У середньому зі 100 машин 45 проходять через першого інспектора. Імовірність того, що при огляді машина, яка відповідає митним правилам, не буде затримана, становить 0,95 у першого інспектора та 0,85 у другого. Знайти ймовірність того, що машину, яка відповідає митним правилам, не буде затримано.

Завдання 14.Деталі, необхідні для збирання приладу, надходять із двох автоматів, продуктивність яких однакова. Обчисліть можливість надходження на складання стандартної деталі, якщо один з автоматів дає в середньому 3% порушення стандарту, а другий - 2%.

Завдання 15.Тренер з важкої атлетики розрахував, що для отримання командних залікових очок у даній ваговій категорії спортсмен має штовхнути штангу 200 кг. На місце у команді претендують Іванов, Петров та Сидоров. Іванов за час тренувань намагався підняти таку вагу у 7 випадках, а підняв у 3 з них. Петров підняв у 6 випадках з 13, а Сидоров має 35%-ву можливість успішно впоратися зі штангою. Тренер випадковим жеребом вибирає одного спортсмена до команди.

• а) Знайти ймовірність, що обраний спортсмен принесе команді залікові очки.
• б) Команда не одержала залікових очок. Знайти ймовірність, що виступав Сидоров.

Завдання 16.У білій скриньці 12 червоних та 6 синіх куль. У чорному - 15 червоних та 10 синіх куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок, кратна 3, то навмання беруть кулю з білого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то навмання беруть кулю із чорної скриньки. Яка ймовірність появи червоної кулі?

Завдання 17.У двох ящиках є радіолампи. У першому ящику міститься 12 ламп, їх 1 нестандартна; у другому 10 ламп, їх 1 нестандартна. З першого ящика навмання взято лампу і перекладено на другий. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута з другого ящика лампа буде нестандартною.

Завдання 18.У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий шар виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).

Завдання 19.У ящик, що містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а потім навмання одна деталь витягнута. Знайти ймовірність того, що вилучено стандартну деталь, якщо рівноймовірні всі можливі припущення про кількість стандартних деталей, що спочатку перебувають у ящику.

Завдання 20.Для покращення якості радіозв'язку використовуються два радіоприймачі. Можливість прийому сигналу кожним приймачем дорівнює 0,8, і ці події (прийом сигналу приймачем) незалежні. Визначити ймовірність прийому сигналу, якщо ймовірність безвідмовної роботи під час сеансу радіозв'язку кожного приймача дорівнює 0,9.

Сибірський державний університет телекомунікацій та інформатики

Кафедра вищої математики

з дисципліни: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

«Формула повної ймовірності та формула Бейєса(Байєса) та їх застосування»

Виконав:

Керівник: професор Б.П.Зеленцов

Новосибірськ, 2010

Вступ 3

1. Формула повної ймовірності 4-5

2. Формула Баєса (Бейєса) 5-6

3. Завдання з рішеннями 7-11

4. Основні сфери застосування формули Байєса (Бейєса) 11

Висновок 12

Література 13

Вступ

Теорія ймовірностей одна із класичних розділів математики. Вона має тривалу історію. Основи цього розділу науки було закладено великими математиками. Назву, наприклад, Ферма, Бернуллі, Паскаля.
Пізніше розвиток теорії ймовірностей визначилися на роботах багатьох учених.
Великий внесок у теорію ймовірностей зробили вчені нашої країни:
П.Л.Чебишев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.М.Колмогоров. Імовірнісні та статистичні методи в даний час глибоко проникли у додатки. Вони використовуються у фізиці, техніці, економці, біології та медицині. Особливо зросла їх у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

Наприклад, вивчення фізичних явищ проводять спостереження чи досліди. Їхні результати зазвичай реєструють у вигляді значень деяких спостережуваних величин. При повторенні дослідів виявляємо розкид їх результатів. Наприклад, повторюючи вимірювання однієї і тієї ж величини одним і тим же приладом при збереженні певних умов (температура, вологість тощо), ми отримуємо результати, які хоч трохи, але все ж таки відрізняються один від одного. Навіть багаторазові виміри не дають змоги точно передбачити результат наступного виміру. У цьому сенсі кажуть, що результат виміру є випадковою. Ще більш наочним прикладом випадкової величини може бути номер виграшного квитка в лотереї. Можна навести багато інших прикладів випадкових величин. Все ж таки у світі випадковостей виявляються певні закономірності. Математичний апарат вивчення таких закономірностей і дає теорія ймовірностей.
Отже, теорія ймовірностей займається математичним аналізом випадкових подій пов'язаних із нею випадкових величин.

1. Формула повної ймовірності.

Нехай є група подій H 1 ,H 2 ,..., H n, що має наступні властивості:

1) всі події попарно несумісні: H i

2) їхнє об'єднання утворює простір елементарних результатів W:

У цьому випадку говоритимемо, що H 1 , H 2 ,...,H nутворюють повну групу подій. Такі події іноді називають гіпотезами .

Нехай А- Деяка подія: АÌW (діаграма Венна представлена ​​малюнку 8). Тоді має місце формула повної ймовірності:

P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /H n)P (H n) =

Доведення. Очевидно: A =

P (A) = P (

Якщо врахувати, що з теореми множення P (

приклад. У магазині продаються електролампи виробництва трьох заводів, причому частка першого заводу – 30%, другого – 50%, третього – 20%. Шлюб у їхній продукції становить відповідно 5%, 3% та 2%. Якою є ймовірність того, що випадково обрана в магазині лампа виявилася бракованою.

Нехай подія H 1 полягає в тому, що обрана лампа зроблена на першому заводі, H 2 на другому, H 3 – на третьому заводі. Очевидно:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Нехай подія Аполягає в тому, що обрана лампа виявилася бракованою; A/H iозначає подію, що полягає в тому, що обрана бракована лампа з ламп, вироблених на i-му заводі. З умови завдання випливає:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

За формулою повної ймовірності отримуємо

2. Формула Байєса (Бейєса)

Нехай H 1 ,H 2 ,...,H n- повна група подій та АÌ W – певна подія. Тоді за формулою для умовної ймовірності

Тут P (H k /A) – умовна ймовірність події (гіпотези) H kабо ймовірність того, що H kреалізується за умови, що подія Асталося.

По теоремі множення ймовірностей чисельник формули (1) можна подати у вигляді

P = P = P (A /H k)P (H k)

Для представлення знаменника формули (1) можна використати формулу повної ймовірності

P (A)

Тепер із (1) можна отримати формулу, звану формулою Байєса :

За формулою Байєса обчислюється ймовірність реалізації гіпотези H kза умови, що подія Асталося. Формулу Байєса ще називають формулою ймовірності гіпотезЙмовірність P (H k) називають апріорною ймовірністю гіпотези H k, а ймовірність P (H k /A) – апостеріорною ймовірністю.

Теорема. Імовірність гіпотези після випробування дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробування на відповідну їй умовну ймовірність події, що сталася при випробуванні, поділеному на повну ймовірність цієї події.

приклад.Розглянемо наведене вище завдання про електролампи, тільки змінимо питання задачі. Нехай покупець купив електролампу у цьому магазині, і вона виявилася бракованою. Знайти можливість того, що ця лампа виготовлена ​​на другому заводі. Величина P (H 2) = 0,5 в даному випадку це апріорна ймовірність події, що полягає в тому, що куплена лампа виготовлена ​​на другому заводі. Отримавши інформацію про те, що куплена лампа бракована, ми можемо виправити нашу оцінку можливості виготовлення цієї лампи на другому заводі, обчисливши апостеріорну ймовірність цієї події.